第五章 平面向量

第五章平面向量

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第一節(jié)彳平面向■的概念及其線性運(yùn)算

小據(jù)的。雙目符身可期簫0或、圜。福。會面的第4周

??＞必、過教材關(guān)

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量;向量的大小

向量平面向量是自由向量

叫做向量的長度（或稱模）

零向量長度為止的向量；其方向是任意的記作0

a

單位向量長度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±-

|a|

方向相同或相反的非零向量（又叫做

平行向量0與任一向量壬任或共線

共線向量）

相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向■的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

(1)交換律：

*a+b=b+a；

求兩個(gè)向量和的三角形法則

加法

運(yùn)算⑵結(jié)合律：(a+b)+c=a

+(b4-c)

平行四邊形法則

求a與b的相反

向量一b的和的

減法aa—b=a+(-b)

運(yùn)算叫做與

ab三角形法則

的差

求實(shí)數(shù)2與向量a（l）|2.a|=U||a|；23a)=G〃)a；

數(shù)乘

的積的運(yùn)算（2）當(dāng)義＞0時(shí)，7a的方向q+〃)a=ia+〃a；

與a的方向相同;當(dāng)2Vo^(a4-b)=xa+xb

時(shí),2a的方向與a的方向

相反;當(dāng)2=0時(shí)，2a=0

3.共線向■定理

向量a（aHO）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)心使得b=2a.

［小題體驗(yàn)］

1.下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）

A.若@〃卜則a=bB.若|a|=|b|,則a=b

C.若|a|=|b|,則a〃bD.若2=>則|a|=|b|

答案：D

2.若皿〃11,n〃匕則向量m與向量k（）

A.共線B.不共線

C.共線且同向D.不一定共線

答案：D

3.若。是△A5C的邊43上的中點(diǎn)，則向量7方等于（）

A.-~BC+^BAB.-~BC-yBA

--->1--->--->1--->

C.BC—^BAD.BC

答案：A

4.已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a+加與一伯一3a供線，貝以=.

答案：V

?>>好過易錯(cuò)關(guān)

1.在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)

誤.

2.在向量共線的重要條件中易忽視“aHO”，否則7可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè).

3.要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.

［小題糾偏］

1.若菱形A3CD的邊長為2,^!\AB-~CB+~CD\=.

解析：\ABVCD\=\AB+BC￥CD\=\AD\=2.

答案：2

2.己知a,b是非零向量，命題p：a=b,命題q：|a+b|=|a|+|b|,則p是4的

條件.

解析：若a=1>,ffl|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|aH-|a|=2|a|,即p=g.

若|a+b|=|a|+|b|,由加法的運(yùn)算知a與b同向共線，

即a=2b,且7>0,故g=/p.

??p是q的充分不必要條件.

答案：充分不必要

士耨自0身點(diǎn)家跌國噩冊。勇停屈。砂面演。金g）速弧死

考點(diǎn)一平面向■的有關(guān)概念（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一自主練透）

［題組練透］

1.設(shè)a。為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|aka°；②若a

與a°平行，則a=|a|ao；③若a與a°平行且同=1,則a=a0.假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與間a。的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命題；若a與a°平行，則a與a。的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向

時(shí)a=一|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3?

2.下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段

B.若向量a和b不共線，則a和b都是非零向量

C.長度相等但方向相反的兩個(gè)向量不一定共線

D.方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等

解析：選C選項(xiàng)A中向量與有向線段是兩個(gè)完全不同的概念，故正確；選項(xiàng)B中零

向量與任意向量共線，故a,b都是非零向量，故正確；選項(xiàng)C中是共線向量，故錯(cuò)誤；選

項(xiàng)D中既然方向相反就一定不相等，故正確.

3.（易錯(cuò)題）給出下列命題：

①若a=b,b=c,則a=c；

②若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則方=萬不是四邊形ABCD為平行四邊形的充要

條件;

③a=b的充要條件是同=也|且a〃b；

④若a〃b,b〃c,則a〃c.

其中正確命題的序號是.

解析：①正確.???a=b,??.a,b的長度相等且方向相同，

又b=c,Ab,c的長度相等且方向相同，

Aa,c的長度相等且方向相同，故a=c.

②正確.V=：.\AB\=\DC\SLAB//^Ct

又A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，

:.四邊形ABCD為平行四邊形；

反之，若四邊形為平行四邊形，

則焉〃灰且I成1=1萬才I,因此，7B=DC.

③不正確.當(dāng)a〃b且方向相反時(shí)，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a〃b

不是a=b的充要條件，而是必要不充分條件.

④不正確.考慮b=0這種特殊情況.

綜上所述，正確命題的序號是①

答案：①@

［謹(jǐn)記通法］

向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)向量：方向、長度.

(2)非零共線向量：方向相同或相反.

(3)單位向量：長度是一個(gè)單位長度.

(4)零向量：方向沒有限制，長度是0.

(5)相等相量：方向相同且長度相等.

考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一自主練選)

［題組練透］

1.(2018?武漢調(diào)研)設(shè)M為平行四邊形ABC。對角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所

在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則市+蘇+災(zāi)+蘇等于()

A.~OMB.2OM

C.30MD.4OM

解析:選D因?yàn)镸是平行四邊形ABCD對角線AC,BD的交點(diǎn)，所以方才+虎=2OMt

~OB+~OD=2OMt所以示+蘇+/+蘇=4就.

2.(2018.溫州模擬)在等腰梯形4〃。&中,3=一2G,“為8。的中點(diǎn),則加=()

A.l/IB4-TAZ)B.TAB4-1AZ)

LL14L

C^AB+7AD+7AD

4424

解析：選B因?yàn)橄路?一2司，所以翁=2萬才.又股是次？的中點(diǎn)，所以國5=芥運(yùn)

VAC)=^AB￥AD4-DC)=^AB+而+：前)=1^4-1AD.

3.(2019?鄭州第一次質(zhì)捌)如圖，在△4BC中，N為線段AC上A

靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BN上且方=(m+H3+寺就，

則實(shí)數(shù)m的值為()

A.1B.|

D互

V11U11

解析：選D^用無率記=，〃+看］^+,％?一不?)=/5五+看

衣，設(shè)方=2而(0W2W1),則方=焉+幺而=3+2(京一區(qū))=(1-2)南+2就,

m=l一入,F

因?yàn)樵?=1^4C,所以方=(1一㈤焉+$就,則｛21解得、故選

=

ny*￥二江

［謹(jǐn)記通法］

i.平面向■的線性運(yùn)算技巧

(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.

(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、

三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.

2.利用平面向■的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路

(1)沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置.

(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.

(3)比較、觀察可知所求.

考點(diǎn)三共線向■定理的應(yīng)用(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)

［典例引領(lǐng)］

1.在△ABC中，點(diǎn)O在線段8C的延長線上，且〃C=3C￡>,點(diǎn)。在線段CD上(與點(diǎn)

C,。不重合)，若前=工/+(1—x)?k,則X的取值范圍是()

A.(0,I)B.(0,§

c,(T。)D.(-g,0)

解析：選DilCO=yBCf*：^O='AC^-7jo=~AC^y~BC='AC^y(AC-^B)=-

yl芹+(l+y)就，???近=3而，點(diǎn)O在線段CO上(與點(diǎn)C,。不重合)，

VAO=X^4B4-(1-X)7C,AXG(-1

,0.

2.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線,

(1)若9=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),

求證：AtB,0三點(diǎn)共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)A,使Aa+b和a+Ab同向.

解：⑴證明：VAB=a+b,BC=2a+8b,CD=3a-3b,

，前=云+而=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5瓦.

：.~ABt由共線，又???它們有公共點(diǎn)B,：.AfB,。三點(diǎn)共線.

(2)?,，Aa+b與a+Ab同向，

；?存在實(shí)數(shù)4a>0),使％a+b=〃a+"b),

即Aa+b=Aa+2Ab.，(左一N)a=(2A—1)b.

???a,b是不共線的兩個(gè)非零向量，

僅一；1=0,僅=1,優(yōu)=一1,

解得或

［〃-1=0,U=iU=-i,

又>>0,，A=1.

［由題悟法］

共線向量定理的3個(gè)應(yīng)用

⑴證明向量共線：對于向量a,b,若存在實(shí)數(shù)九使a=2b,則a與b共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)2,使笈=7笈，則A,B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

［提醒］證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn).

［即時(shí)應(yīng)用］

1.設(shè)向量a,b不共線，~AB=2a+pb,^C=a+b,~CD=a-2bt若A,B,D三點(diǎn)

共線，則實(shí)數(shù)〃的值為()

A.-2B.-1

C.1D.2

解析：選B因?yàn)?5?=a+b,CD=a-2b,所以說=進(jìn)+布=2a-b.又因?yàn)锳,

B,0三點(diǎn)共線，所以我，麗共線.設(shè)弁=2詬，所以2a+pb=2(2a-b),所以2=22,

p=-2,即2=1,p=-1.

2.如圖，在△ABC中，D,尸分別是“C,4C的中點(diǎn)，~AE=^ADt.

3A

~AB=at~AC=b.

BDC

(1)用a,b表示向量茄，~AE,~AF,~BE,~BFi

(2)求證：B,Et尸三點(diǎn)共線.

解：(1)延長AD到G,

>1----?

使AO=5AG,

連接5G,CGt得到口AbGC,

所以4(J=a+b,

AD=1AG=1(a+b),

AE=1AD=|(a+b),AF=1AC=1b,

BE=AE—AB=1(a4-b)—a=|(b—2a),

BF=AF—AB=lb—a=l(b—2a).

(2)證明：由(1)可知錠=的彳,

又因?yàn)?*有公共點(diǎn)優(yōu)

所以E,尸三點(diǎn)共線.

■局。目畬?！辍愣砑觨含03加倒含他

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1.已知。A,B是同一平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，直線48上有一點(diǎn)。滿足2就+7范=0,

則萬？=()

A.2OA—~OBB.-'OA-\-2OB

1a

2">-

C.^OA3

解析：選A依題意，得0C=08+“C=0R+24c=0〃+2（0。一。4）,所以0C

=2OA~~OB.

2.（2019?石家莊質(zhì)檢）在△45C中，點(diǎn)卻在邊A3上，且說=，7，設(shè)遂=a,~CA=

b,則茍=（）

A.|a+|bB.1a+|b

C4a+IbD|a+Ib

解析：選BV-SD=|DA,：JBD=^BAt：.~CD=~CB+BD='CB=~CB+|

（CA—CB）=^CB+1c4=|a+|b.

3.在四邊形4BC&中，,=a+2b,就=-4a-b,G=-5a-3b,則四邊形48C0

的形狀是（）

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對

解析：選C由已知，得罰=焉+就+而=-8a-2b=2（-4a-b）=2萬乙故茄

//~BC.

又因?yàn)槠渑c而不平行，所以四邊形A8CO是梯形.

4.（2018?揚(yáng)州模擬）在△A8C中，N是AC邊上一點(diǎn)且前■泥，P是3N上一點(diǎn)，若

AP=WAB+|AC,則實(shí)數(shù)小的值是

解析：如圖，因?yàn)榍?界下，尸是前上一點(diǎn).所以京=/正，

~A?=niAB+|AC=mAB+1A]V,因?yàn)?,P,N三點(diǎn)共線，所以M/

BC

,2,1

+3=1,則,n~y

答案：I

J

5.在△ABC中，ZA=60°,Z.4的平分線交BC于點(diǎn)。，若48=4,且茄=；就+幺/方

（2GR）,則AO的長為.

13

解析：因?yàn)閎,D,C三點(diǎn)共線，所以彳+2=1,解得久=》如圖，8

過點(diǎn)。分別作AC,A5的平行線文AH,AC于點(diǎn)M,N,則就=]就，'、/

QANc

~AM=^ABf因?yàn)樵凇鰽BC中，2A=60°,NA的平分線交5c于點(diǎn)。，所以四邊形ANDM

為菱形，因?yàn)?〃=4,所以4N=AAf=3,A&=3，5?

答案：W3

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)

1.已知向量a,b,且而=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,則一定共線的

三點(diǎn)是（）

A.A,B,DB.A,B,C

C.BtC,DD.A,C,D

解析：選A罰=笈+京^+罰=32+6b=33.因?yàn)轶排c說有公共點(diǎn)A,所以

A,Bf。三點(diǎn)共線.

2.已知向量a,b不共線，且c=2a+b,d=a+（2；.—l）b,若c與d共線反向，則實(shí)

數(shù)幺的值為（）

A.1B.一疊

C.1或一；D.—1或一3

解析：選B由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c=Ad（AV0）,于是；.a+b=

jt[a+(22-l)b].

整理得Aa+b=Aa+(2AA—A)b.

A=k

由于a,b不共線，所以有彳t

2).k-k=\t

整理得2萬一;I-1=0,解得2=1或；1=一;.

又因?yàn)閗V0,所以；IV0,故;1=一不

3.(2019?浙江六校聯(lián)考)在平行四邊形A8CZ)中，點(diǎn)E為C。的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)

為凡設(shè)7方=a,AD=b,則向量訴=()

A-3a+3bB,一爭一jb

C?一5+jbD.ja-jb

解析：選C如圖，因?yàn)辄c(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，CD〃A3,所以而=p

乾=2,所以^^=；^=：(^?+^^)=/b_；a)=_；a+jb.AB

4.(2018,送?期初)已知a,b是兩個(gè)不共線的非零向量，且起點(diǎn)在同一點(diǎn)上，若a,rb,

g(a+b)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則實(shí)數(shù)/的值為()

A.2B.1

C.\D.1

解析；選D由題可設(shè)g(a+b)=2a+wb,因?yàn)閍,，b,々a+b)三向量的終點(diǎn)在同一直

線上，所以有2+〃=1.所以1=2,"=弓，所以;=芻，解得f=[.

5.(2019?丹東五校協(xié)作體聯(lián)考)P是△4BC所在平面上的一點(diǎn)，滿足了彳+鋁+￥不=

2AB,若SAABC=6,則△E4B的面積為()

A.2B.3

C.4D.8

解析：選AVTTV~PBVPC=2AB=2(PB-^A),：.3~PA=~PB-~PC=~CBf

???/〃,，且方向相同，，沔=筆=畫1=3,

SeABAP府

?c_SAABC

??'3

6.已知。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2前=笳+衣，~AD=tAC,若B,0,。三點(diǎn)共線，

則，的值為?

解析：設(shè)線段8c的中點(diǎn)為則萬方+說=2五方.

因?yàn)?前=蘇+衣，所以就=方防，

則4)=34—=[(AS+AC?)=氐4戶+：43)=；篇+.A方.

由5,O,。三點(diǎn)共線，得;+==1，解得，=；.

答案/

7.設(shè)點(diǎn)M是線段5c的中點(diǎn)，點(diǎn)4在直線3C外，就『16,|前+就|=[1方一就

|,則|見尸.

解析：由|成+就|=|19一衣|可知，AB±AC,

則AM為RtAkABC斜邊3c上的中線，

---?1--->

因此，|AM|=3|5C|=2.

答案：2

8.已知O,E,戶分別為△43C的邊3C,CA,A6的中點(diǎn)，且衣=a,~CA=b,給

出下列命題：①茄=；a-b；②謠=a+；b；③'#=-；a+；b；?ADYBEYCF=^.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為?

解析：^C=a,~C\=b,^D=^CB4-^4C=—la—b,故①錯(cuò)；

~BE=~BC4-1C4=a+1b,故②正確；

CF=1(CB4-CA)=1(—a+b)=—la+lb,故③正確；

////

AD4-BE-\-CF=—b—Ia+a4-lb4-1b—1a=0,故④正確.

???正確命題為②③④.

答案：3

9.設(shè)eife2是兩個(gè)不共線的向量，已知成=2a—8ez,cl=ei4-3e2,CD=2ei-

(1)求證：A,比。三點(diǎn)共線;

⑵若窗=3a-Ae2,且小D.尸三點(diǎn)共線.求A的值.

解：(1)證明：由已知得說=布一方=(2巳一。2)一(ei+3e2)=ei-4e2,

VAB=2ei-8e2,

：.~AB=2BD.

又?.,7臺與謝有公共點(diǎn)B,

1?A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)由(1)可知方方=e1-4a,

-

VfiF=3ei-/te2,且〃，Df產(chǎn)三點(diǎn)共線，

：.~BF=fBD(leR),

即3ei—kei=xei—4ZG2,

解得k=12.

10.已知a,b不共線，方才=a,7)B=b,^C=c,OD=d,OE--=e,設(shè)fWR,

如果3a=c,2b=d,e=/(a+b),是否存在實(shí)數(shù)/使C,DtE三點(diǎn)在一條直線上？若存在，

求出實(shí)數(shù)，的值，若不存在，請說明理由.

解：由題設(shè)知，CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=a-3)a4-/b,C,D,E三點(diǎn)在一條

直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)A,使得益=AW方，即《—3)a+rb=-3Aa+2Ab,

整理得(￡-3+3k)a=(2A-f)b.

，-3+3A=0,6

因?yàn)閍,b不共線，所以有，解得

/-2/1=0,5

故存在實(shí)數(shù)1=1使C,。，E三點(diǎn)在一條直線上.

三上臺階，自主選做志在沖刺名校

1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在線段〃。上，且滿足BO=：DC,人

過點(diǎn)。的直線分別交直線A-AC于不同的兩點(diǎn)若無方=/〃/質(zhì)ML\

N

~AN=n~ACt貝lj()

A.帆+〃是定值,定值為2

B.2加+〃是定值，定值為3

C.5+1是定值，定值為2

D.^+l是定值，定值為3

解析：選D因?yàn)镸,O,N三點(diǎn)共線，所以罰=2萬5+(1—；I)筋.又刀3=山而，"AN

=n~ACt所以茄=癡笈+(1—2)〃就.又說=11記，所以罰一就=3就一打方，所

以罰=；就+我方.比較系數(shù)知識=彳，(1—；.)w={,所以］+==3，故選D.

2.(2019?長沙模擬)在平行四邊形ABCO中，M為8C的中點(diǎn).若方'=2說5+〃萬前

貝!J入—fi=?

解析：如圖，在平行四邊形ABC。中，~AB=~DCf所以京=示5+4^——

前=端+；方=翁+；(涼-灰)=磊+；(前一^")=翁+；2M

—>1—>3—?—>1—?—>2—?1—>21

DB—TAB,所以5A3=AM+jO3,所以45=予4知,所以幺=三，〃=：,所以入

1

一〃，

答案常

3.已知。A,〃是不共線的三點(diǎn)，且蘇=/蘇+〃加(m,weR).

(1)若〃?+〃=1,求證：A,P,5三點(diǎn)共線；

(2)若A,P,3三點(diǎn)共線,求證：6+〃=1.

證明：(1)若/〃+〃=1,

則.=mOA4-(l-m)OB=~OB-\-m(OA

r

：JoP-OB=m(OA^OB)t

即訴=m赤，,亦與赤共線.

又???蘇與拓T有公共點(diǎn)B,

：.AtP,8三點(diǎn)共線.

⑵若4,尸，B三點(diǎn)共線，

則存在實(shí)數(shù)%使

；rdp-~dB=^{OA—~dB).

又5方=mOA+11OB.

故有inOA+(〃-1)7耳=XOA-XOB,

即(，九-x)OA+(〃+2—1)OB=0.

VO,A,"不共線，：.~OAt笳不共線,

〃L2=0,

n+x-l=0,

第二節(jié)平面向■的基本定理及坐標(biāo)表示

脫=￡3e海=演。會畫8J第出畫

??>必、過教材關(guān)

1.平面向■基本定理

如果巳，。2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)丕殖向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且

只有一對實(shí)數(shù)為，右，使2=右。1+22。2.

其中，不共線的向量。，6叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基民

2.平面向■的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：

設(shè)a=(xi,ji),b=(x2,力)，則

a+b=(x]+x?,>+理),a-b=Cq-x2，也一段),

2a=(Zvoxpi),|a|={rf+j用

(2)向量坐標(biāo)的求法：

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi,yi)t5(X2,J2)，則下^=(4一工1，九-21)，

22

IAB|=^/(x2-XI)+(J2-Ji).

3.平面向■共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,ji),b=(M,)2),其中bWO,則a〃bo-y2—孫力=0.

［小題體驗(yàn)］

1.已知a=(4,2),b=(—6,m)f若2〃況則相的值為.

答案：一3

2.(教村習(xí)想改編)已知a=(2,l),b=(-3,4),貝113a+4b=.

答案：(一6,19)

3.設(shè)ei,6是平面內(nèi)一組基向量，且a=ei+2@2,b=-ei+e2,則向量ei+e?可以

表示為另一組基向量a,b的線性組合，即ei+e2=a+b.

解析：由題意，設(shè)5+色=〃冠+,山.

因?yàn)閍=ei+2?2,b=-ei+e2,

所以6］+82=7〃(。1+262)+〃(-81+。2)=(機(jī)—〃)。1+(2加+〃)62.

m—n=l,m~y

由平面向量基本定理，得.,所以＜,

、〃=一?

答案.---

育秉?33

4.已知向量a=(2,—1),b=(—1,m),c=(-1,2),若(a+b)//c,則肌=.

答案：一1

??＞必、過易錯(cuò)關(guān)

1.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向

量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

2.若d=(xi，Jl)＞b=(X2，J2)＞則d〃b的充要條件不能表示成因?yàn)閄2，JT2有

可能等于0,所以應(yīng)表示為XJ2—31=0.

［小題糾偏］

1.設(shè)e”a是平面內(nèi)一組基底，若右6］+幺2。2=0，則幺1+幺2=.

答案：0

2.已知向量a=(2,l),b=(l,-2),若〃ia+〃b=(9,-8)(次，〃￡R),則利一〃的值

為.

解析：???，〃。+，力=(2〃，+〃，2?)=(9,—8),

2m+n=9,［m=2,

/?*.m—n=2—5=-3.

y/?-2//=-8,1〃=5,

答案：一3

匕想自0居點(diǎn)奧做中國人畫G同僚（Sb正圃￡3。金倒臺睡熊

考點(diǎn)一平面向?基本定理及其應(yīng)用（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一自主練透）

［題組練透］

1.（2019?溫州模擬）如圖，在直角梯形A5C&中，AB=2AD

=2DCtE為3C邊上一點(diǎn)，~BC=3ECt尸為AE的中點(diǎn)，則蘇

=（）

-萬—^AD

C.ABD.-1AB+

解析：選C如圖,取A〃的中點(diǎn)G,連接OG,CG,易知四邊

形DCBG為平行四邊形,:.BC=GD=AD—AG=AD—\AB,

：JAE=AB+笳=~AB+^BC=AB4-1^AD—^AB^=^AB

1,■,>

于是定=衣一3=；右一卷=鑒3+；茄）一六=一17^+§40,故

2.在△4BC中，點(diǎn)M,N滿足由J=2而？，~BN=~NC.^MN=xAB+y~ACt則x=

解析：??,布?=2而？，：JAM=^AC,

V~BN=~NC

t：.~AN=Z乙:(AB+~AC)9

>>>1>>2>

MNANAM(ABAC)AC

:.=—=^/+—^J

=\AB—\AC.

2o

又加=工商+」就,

.11

??x=5,y=-^

答案.i-1

?26

3.如圖，已知平行四邊形A5C0的邊SC,CD的中點(diǎn)分別是K,

L,且不?=e"~AL=e2f試用修，燈表示萬不，CD.

解：設(shè)S(?=x,CD=y,則石？=；x,DL=-^y.

由AD4-DL=^4L,

-y+|x=ei,①

得J1

x-^y=e2,②

①+②X(—2),得;x—2x=ei—2、

224

即x=—^(ei-2e2)=-jei+je2,

所以33=—zei+^e2.

同理可得y=—：ei+We2,即而=一：6［+：。2.

［謹(jǐn)記通法］

用平面向?基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算

來解決.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運(yùn)用平面

幾何的一些性質(zhì)定理.

考點(diǎn)二平面向■的坐標(biāo)運(yùn)算(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一自主練透)

［題組練透］

1.向量a,b滿足a+b=(-1,5),a—b=(5,—3),則b為()

A.(—3,4)B.(3,4)

C.(3,-4)D.(-3,-4)

解析：選A由a+b=(-IQ),a—b=(5,—3),得2b=(—1,5)—(5,—3)=(-6,8),

???力=；(-6,8)=(—3,4),故選A.

2.已知M(3,-2),M-5,-1),且標(biāo)=品4,則尸點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-8,1)B.(一1,-1)

C.(1，DD.(8,-1)

解析：選B設(shè)尸(x,y)f則記=(x-3,j+2),而各方=*-8,1)=(—4,3，所以

x-3=-4,fx=-l,

'1解得＜3所以1,—I).

y+2=5，0=一分i)

3.已知4(一2,4),3(3,-1),C(-3,-4).設(shè)篇=a,BC=b,G4=C,且說=

3GCV=-2b,

(1)求3a+b-3c；

(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)mfn；

(3)求M,N的坐標(biāo)及向量水的坐標(biāo).

解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),C=(l,8).

(l)3a+b—3c=3(5,-5)+(-6,—3)—3(1,8)

=(15—6—3,—15—3—24)=(6,—42).

(2)Vmb+〃C=(—6/w+n,—3m+8〃),

-6/w+〃=5,

,-

1―3m+8n=-5,

77/=-1,

解得，

n=—1.

(3)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，-：~CM=~0M-~0C=3ct

...加=3c+衣=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).

???/M(0,20).

又二?宣=蘇一萬？=—2b,

AO2V=-2b+OC=(12,6)4-(-3,-4)=(9,2),

；.N(9,2),-18).

［謹(jǐn)記通法］

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向

線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.

考點(diǎn)三平面向■共線的坐標(biāo)表示(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一師生共研)

［典例引領(lǐng)］

1.已知梯形46CD,其中AB〃CD,且OC=2AB,三個(gè)頂點(diǎn)A(L2),8(2,1),C(4,2)，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

解析：??,在梯形4BCO中，DC=2AB,AB//CDf.??萬方=27了.設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,

y),則友=(4一凡2-j),Al=(l,-1),

.\(4-x,2-j)=2(l,-1),即(4一x,2-y)=(2,-2),

4-x=2(x=2

?：'解得｛'故點(diǎn)&的坐標(biāo)為(2,4).

l2-y=~2f口=4,

答案：(2,4)

2.已知a=(l,O),b=(2,l).

(1)當(dāng)人為何值時(shí)，〃a-b與a+2b共線；

(2)若而=2a+3b,~BC=a+mbf且A,B,C三點(diǎn)共線，求州的值.

解：(l)???a=(l,O),b=(2,l),

，Aa-b=?l,0)-(2,l)=(A-2,-1),

a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2),

?；Aa—b與a+2b共線，

A2(Ar-2)-(-l)X5=0,

??/=一,

(2)AB=2(l,0)+3(2,l)=(8,3),

"BC=(l,0)+m(2,l)=(2m+l,m).

V4,B,C三點(diǎn)共線，：.~AB//~BCf

.\8/n-3(2m+1)=0,；?m=7

【由題悟法】

向■共線的充要條件

(l)a〃boa=2b(bW0)；

(2月〃1)0。72—工叨=0(其中2=(彳1,刈)，b=(x2,J2?.當(dāng)涉及向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問題時(shí)

一般利用⑵比較方便.

［即時(shí)應(yīng)用］

1.已知向量a=(—1,2),b=(3,m),帆￡R,則“機(jī)=一6”是“a〃(a+b)”的()

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A由題意得a+b=(2,2+m),由2〃9+力，得一lX(2+m)=2X2,所以機(jī)

=-6.當(dāng)初=—6時(shí)，a〃(a+b),則是"a〃(a+b)”的充要條件.

2.(2018?貴陽監(jiān)測)已知向量m=(A+l,l),n=q+2,2),若(m+n)〃(m-n),貝！I2=

解析：因?yàn)閙+n=(2^+3,3),m—n=(-1,—1),

又(m+n)〃(m—n),

所以(R+3)X(-1)=3X(-Ij,解得幺=0.

答案：0

3.設(shè)向量a,b滿足同=2、后，b=(2,l),且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為.

解析：與b方向相反，???可設(shè)a=2bG.vo),

a=7(2,1)=(22,—).

由同=^^=2布，解得i=-2或；1=2(舍去)，

故a=(—4,-2).

答案：(-4,-2)

4.若三點(diǎn)42,2),B(a,0),。0,份(。斤0)共線，貝6+：的值等于.

解析：~AB=(a-2f-2),就=(一2,6一2),依題意，有(a—2)(方一2)—4=0,即ab

—2a—2b=0t所以;+?=；?

a。4

答案：\

公勤局0邑畬藺窿1顫豌腦醯淄獺。頌胸蹈膽

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1.在平行四邊形A3C。中，AC為對角線，若防=(2,4),衣=(1,3),則說=()

A.(-2,—4)B.(-3,_5)

C.(3,5)D.(2,4)

解析:選B由題意得說=而一其=就一焉=(演一焉)一,=*-21》=

(1,3)—2(2,4)=(—3,-5).

2.已知4(-1,-1),B(mtm+2),C(2,5)三點(diǎn)共線，則機(jī)的值為()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選AAB=(mtzn+2)—(—1,-l)=(m4-l,m+3),

就=(25)-(T,-1)=(3,6),

VA,B,C三點(diǎn)共線，

：.~AB//~ACt.??3(m4-3)-6(m+l)=0,

，機(jī)=1.故選A.

3.如圖，在△0A3中，P為線段Ab上的一點(diǎn)，~OP=xOA+

yOB,且蘇=2區(qū)，貝！J()

1

XJ--

A.3

BC.2

--

y3

13

-

=一-

X-V4

4?

n31

D.x=w，產(chǎn)w

解析：選A由題意知m=加+方，又$=2君，所以罰=前+；前=前+

1(OA—OB)=^OA,所以x=〃,y=y

4.(2019?舟山模擬汜知向量a=(2,3),