2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題（解析版）

第1頁/共22頁2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學(xué)(AUB)=-1,k∈Z}-2,k∈Z}D.⑦【答案】A【解析】【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出.故選：A.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.1-a2故選：C.3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的B=()第2頁/共22頁A.21B.34C.55D.89【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖模擬運(yùn)行，即可解出.當(dāng)n=2時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A=3+5=8，B當(dāng)n=3時(shí)，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A=8+13=21，B=21當(dāng)n=4時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出B=34.故選：B.A.-B.-C.D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.因?yàn)?所以,如圖,設(shè)第3頁/共22頁2故選:D.A7B.9C.15D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于q的方程,計(jì)算出q,即可求出S4.242,即q3由題知q>0,所以q=2.故選:C.6.有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A第4頁/共22頁【解析】【分析】先算出報(bào)名兩個(gè)俱樂部的人數(shù),從而得出某人報(bào)足球俱樂部的概率和報(bào)兩個(gè)俱樂部的概率,利用條件概率的知識求解.記“某人報(bào)足球俱樂部”為事件A,記“某人報(bào)兵乓球俱樂部”為事件B，故選:A.7.“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的()A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.當(dāng)sin2α+sin2β=1時(shí)，例如α=,β=0但sinα+cosβ≠0，即sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0；即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1.綜上可知，sin2α+sin2β=1是sinα+cosβ=0成立的必要不充分條件.故選：BA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.第5頁/共22頁解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x，則圓心(2,3)到漸近線的距離故選：D9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()A.120B.60C.40D.30【答案】B【解析】【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)的情況，即可得解.【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e，假設(shè)a連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5×12=60種.故選：B.10.已知f(x)為函數(shù)y=cos向左平移個(gè)單位所得函數(shù)，則y=f(x)與A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得f(x)=—sin2x，再作出的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.第6頁/共22頁因?yàn)閥=cos向左平移個(gè)單位所得函數(shù)為y=cos=cos=sin2x，所以f=sin2x，而顯然過與兩點(diǎn)，作出的部分大致圖像如下，考慮2x=,2x=,2x=，即x=處f的大小關(guān)系，所以由圖可知的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：C.【答案】C【解析】【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得△PDO三△PCO，△PDB三△PCA，從而得到PA=PB，再在△PAC中利用余弦定理求得從而求得，由此在△PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；第7頁/共22頁3，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于PB,上BPD的方程組，從而求得由此在△PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，則由余弦定理可得PA2法二：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，第8頁/共22頁因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4，所以AC=BD=4，則由余弦定理可得 PA22+6mcosθ11=0①,則m26mcosθ23=0②,故選：C.第9頁/共22頁A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出△PF1F2的面積，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得出OP的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出PF1PF2,PF12+PF22，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出PF12+PF22，即可根據(jù)中線定理求出.【詳解】方法一：設(shè)上0<θ<，所以S△P=b2tan=b2tanθ,所以，S△P，解得：y故選：B.而所以故選：B.第10頁/共22頁故選：B.【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大.【答案】2【解析】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到從而求得a=2，再檢驗(yàn)即可得解.因?yàn)閥=f2+ax+sin2+ax+cosx為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，又定義域?yàn)镽，故f(x)為偶函數(shù)，故答案為：2.第11頁/共22頁【答案】15【解析】【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.【詳解】作出可行域，如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A時(shí)，z有最大值，由可得故答案為：1515.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CD，A1B1的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為 .【答案】12【解析】【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，EF中點(diǎn)為O，取AB，BB1中點(diǎn)G,M，側(cè)面BB1C1C的中心為N，連接FG,EG,OM,ON,MN，如圖，則球心O到BB1的距離為第12頁/共22頁所以球O與棱BB1相切，球面與棱BB1只有1個(gè)交點(diǎn)，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.故答案為：12平分線，則AD=.【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根據(jù)等面積法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根據(jù)正弦定理求出B,C，即可根據(jù)三角形的特征求出.【詳解】如圖所示：記AB=c,AC=b,BC=。由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得，解得：故答案為：2.。o，所以故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以第13頁/共22頁用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī).（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出.【小問1詳解】因?yàn)?Sn=nan，3【小問2詳解】2兩式相減得，第14頁/共22頁*.BCC1B1的距離為1.（2）若直線AA1與BB1距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得A1O丄平面BCC1B1，再由勾股定理求出O為中點(diǎn)，即可得證；（2）利用直角三角形求出AB1的長及點(diǎn)A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.【小問1詳解】如圖，:A1C丄底面ABC，BC面ABC，:A1C丄BC，又BC丄AC，A1C,AC平面ACC1A1，A1C∩AC=C,:BC丄平面ACC1A1，又BC平面BCC1B1，:平面ACC1A1丄平面BCC1B1，第15頁/共22頁:A1O丄平面BCC1B1:A1到平面BCC1B1的距離為1，:A1O=1，:△A1OC,△A1OC1,△A1CC1為直角三角形，且CC1=2，CO2O2AC2，:AC=A1C【小問2詳解】:Rt△ACB≌Rt△A1CB:BA=BA1，過B作BD丄AA1，交AA1于D，則D為AA1由直線AA1與BB1距離為2，所以BD=2在Rt△ABC，AC2延長AC，使AC=CM，連接C1M，:C1M∥A1C，:C1M丄平面ABC，又AM平面ABC，:C1M丄AM又A到平面BCC1B1距離也為1，第16頁/共22頁所以AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為.19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.（1）設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g已按從小到大排好）對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：對照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.參考數(shù)據(jù)：k00.100.050.010P2.7063.8416.635【答案】（1）分布列見解析，E(X)=1（2i）m=23.4；列聯(lián)表見解析ii）能【解析】【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；（2i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m=23.4，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【小問1詳解】依題意，X的可能取值為0,1,2，所以X的分布列為：X012第17頁/共22頁P(yáng)782078【小問2詳解】（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為14.4，后續(xù)依次為故第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，故列聯(lián)表為：合計(jì)對照組620實(shí)驗(yàn)組620合計(jì)202040所以能有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.20.已知直線x2y+1=0與拋物線C:y2=2px交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=4.（1）求p；（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)=0，求△MNF面積的最小值.【解析】【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出p；（2）設(shè)直線MN：x=my+n，M,利用=0，找到m,n的關(guān)系，以及△MNF的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值.【小問1詳解】第18頁/共22頁設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB)，由=0可得，y24py+2p=0，所以yA+yB=4p,yAyB=2p，AB所以AB ·5(xAxB)2+(yAyB)2 ·5yA—yB(yA+yB)24yAyB 【小問2詳解】因?yàn)镕(1,0)，顯然直線MN的斜率不可能為零，設(shè)直線MN：x=my+n，M(x1,y1),N(x2,y2)，22y2將y12設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，所以d=min2【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到m,n的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.第19頁/共22頁21.已知f=ax-（1）若a=8，討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo),然后令t=cos2x,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造g(x)=f(x)-sin2x,計(jì)算g,(x)的最大值,然后與0比較大小,得出a的分界點(diǎn),再對a討論即可.【小問1詳解】所以在上單調(diào)遞增,在