甘肅省平?jīng)鍪?024屆高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

甘肅省平?jīng)鍪?024屆高三二診模擬考試數(shù)學試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將木試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)+3x+3,g（x）=-x+〃?+2,若對任意玉E[1,3],總存在毛￡口，3],使得/（與）二晨玉）

-I1

成立，則實數(shù)〃7的取值范圍為（）

9B.、8,曰]U[9,+8)

179

T,2D.（一唱U[”

2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（)

_2)4+紅

C.24---D.

33

3.己知i為虛數(shù)單位，實數(shù)工）滿足（t+2i）i=y-i,貝（）

A.1B.y[2C.y/jD.y/5

4.已知數(shù)列｛%｝滿足4用一勺=2,且q,生，4成等比數(shù)列.若｛%｝的前〃項和為S〃，則S〃的最小值為（）

A.-10B.-14C.-18D.一20

5.已知函數(shù)/（x）=k）g”（|x-2|-a）（a>0,且。wl）,貝匕八幻在（3,+oo）上是單調(diào)函數(shù)”是“0<"1”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件I）.既不充分也不必要條件

6.已知命題〃：ho>2,_r；-8>O,那么一/，為（

33

A.3x0>2,x0-8<0B.VA:>2,X-8<0

33

C.3XO<2,XO-8<OD.VX<2,X-8<0

7.橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有

一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略

不計），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）

屋⑸「石八二2⑸「26八

A.0,B.,1C.0,-------D.------J

I6」L5）I5」L5）

8.若復數(shù)z=（3-i）（l+i）,則|z|=（）

A.25/2B?2石C.V10D.20

9.如圖，在三棱柱八8C44G中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，八8=444=8.若￡,尸分別是棱3%CC

上的點，且BE=B1E,c,F=lcc.,則異面直線AE與4歹所成角的余弦值為（）

V2

,而V?---------

13。?嚕

10.設等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”，若%=5,s）=81,則《0=（）

A.23B.25C.28D.29

11.設集合A={R%2-5/一6<。},8={_￥卜一2<0},則B=()

A.卜卜3<x<2}B.何-2</<2}

C.{乂-6cx<2}D.{x|-1cx〈2}

12.若aeR,貝U"=3”是“x（l+的展開式中廣項的系數(shù)為90”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知=貝I」一一2。+1)〃展開式/的系數(shù)為.

IXz

14.設P為有公共焦點的橢圓G與雙曲線的一個交點，且戶耳，夕鳥，橢圓G的離心率為“，雙曲線C?的

離心率為e2t若。2=3弓,則ex=.

57r\冗7T

15.四邊形ABC。中，ZA=—,ZB=ZC=—,ZD=-fBC=2t則4c的最小值是____.

6123

16.已知集合A={x\x<1,xeZ},B={x\O《x?2},則.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，四棱錐。一43CQ中，PA_L底面A3CQ,ABLAD,點七在線段A。上，旦CE"AB.

(2)若乃4=45=1,AD=3,CO=夜，ZCZM=45°,求二面角P—CE—3的正弦值.

18.(12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形八。CO為矩形，平面人AK產(chǎn)_L平面人RCO,EF//AB,N身4產(chǎn)=90。，AD

=2,AB=AF=2EF=2t點尸在棱OF上.

(1)若P是。尸的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；

(2)若二面角0-/1P-C的正弦值為邁，求?/,'的長度.

3

19.(12分)數(shù)列{〃”}滿足4=,%+2《用=(),其前〃項和為S“，數(shù)列二與r的前〃項積為二二

.2〃+1J2〃+1

(1)求S”和數(shù)列{々J的通項公式;

1

（2）設q:瘋（匹，求｛%｝的前〃項和了”，并證明：對任意的正整數(shù)〃，、匕均有鼠＞《.

20.（12分）在△A"中，角A3,C所對的邊分別為a,Z?,c,向量〃?二（2〃-屜,Gc）,向量n=（cosB,cosC）,且機//〃?

（1）求角。的大?。?/p>

（2）求y=s譏4+65加（8-5）的最大值.

21.（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究

新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)2016年至2019年新能源汽車的銷量（單位：萬臺）按季度（一年四

個季度）統(tǒng)計制成的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中。的值，并估計銷量的中位數(shù)；

（2）請根據(jù)頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預計

2020年的銷售量.

22.（10分）已知橢圓。：￡+與=1的左右焦點分別為耳，￡,焦距為4,且橢圓過點（2,1），過點F,且

a-b-3

不平行于坐標軸的直線/交橢圓與P,Q兩點，點Q關于工軸的對稱點為R,直線網(wǎng)交K軸于點M.

（2）求。耳聞面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1>C

【解析】

將函數(shù)“X)解析式化簡，并求得了'(X),根據(jù)當玉w［l,3］時r(x)>0可得“X)的值域；由函數(shù)g(x)=—x+〃?+2

在々￡［1,3］上單調(diào)遞減可得的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關系，即可求得〃z的取值范圍.

【詳解】

x2+3x+3_x2+x+2(x+1)+1

依題意〃x)=

X+1X+1

3

貝！)ra)=i一1',

(?1)

當了<1,3］時,r(x)>0,故函數(shù)/(X)在［1,3］上單調(diào)遞增,

7

當百?1,3］時,/(x,)G

而函數(shù)以x)=T+〃z+2在［1,3］上單調(diào)遞減,

7

只-u

2_

7

<-

〃2

——-

29

如-11-7-<-

+124<w.2

>-

〃7

I-4

179

故實數(shù)桁的取值范圍為T，-

故選：c.

【點睛】

本題考查了導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用，恒成立與存在性成立問題的綜合應用，屬于中檔題.

2、A

【解析】

觀察可知，這個幾何體由兩部分構(gòu)成，：一個半圓柱體，底面圓的半徑為L高為2；一個半球體，半徑為1,按公式計

算可得體積。

【詳解】

設半圓柱體體積為匕，半球體體積為K，由題得幾何體體積為

V=V+V,=^X12x2x—+—x^-xI3x—=—,故選A。

122323

【點睛】

本題通過=視圖考察空間識圖的能力,屬干基礎題.

3、D

【解析】

,、[x=-l

,/(x+2i)i=y-i,:.-2+xi=y-z,/.'?,

則L=|-l+2i|=6

故選D.

4、D

【解析】

利用等比中項性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項，進而求得S”，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當〃=4或5時，S”取到最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，可知(q｝為等差數(shù)列，公差4=2,

由4,生必成等比數(shù)列，可得〃；=%4，

，(q+4)2=q(q+6),解得“=—8.

AS.=-8H+n(Z?-1)x2=M2-9M=(n--)2--.

“224

根據(jù)單調(diào)性，可知當〃=4或5時，S“取到最小值，最小值為-20?

故選：D.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質(zhì)、等差數(shù)列前〃項和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考

查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意當〃=4或5時同時取到最值.

5、C

【解析】

先求出復合函數(shù)/(X)在3+0。)上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和0<4<1的包含關系，利用集合間包含關系與充

要條件之間的關系，判斷正確答案.

【詳解】

/(X)=logM(|x-21-a)(a>0,且a=1),

由卜-2卜々>0得xv2-a或2+a?

即/(x)的定義域為{x\x<2-。或x>2+a},(a>0,且4w1)

令，=打一2|一其在(F,2—4)單調(diào)遞減，(2+a,+o。)單調(diào)遞增，

2+a<3

/(M在(3,+8)上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為a>0

a工1

即Ova<l.

故選：C.

【點睛】

本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎題.

6、B

【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.

【詳解】

已知命題〃:叫>2,石-8>0,那么是VX>2,X3_8<0.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.

7、C

【解析】

根據(jù)題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定

此時橢圓的離心率，進而確定離心率的取值范圍.

【詳解】

當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.

此時橢圓長軸長為J12?+6?=6石，短軸長為6,

故選：C

【點睛】

本題考查了楣圓的定義及其性質(zhì)的簡單應用，屬于基礎題.

8、B

【解析】

化簡得到Z=(3-i)(1+i)=4+2i,再計算模長得到答案.

【詳解】

z=(3-i)(l+i)=4十2i,故國=亞=26.

故選：B.

【點睛】

本題考查了復數(shù)的運算，復數(shù)的模，意在考查學生的計算能力.

9、B

【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線AE與Ab所成角的余弦值.

【詳解】

依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設A3的中點為。，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以

A(0,-2,8),E(0,2,4)M(0,-2,0),F(-2V3,0,6),所以4七二(0,4,-4),4尸二卜26,2,6).所以異面直線與

8-24x/26

所成角的余弦值為

\E?AF4ax2拒7F

故選；B

【點睛】

本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.

10、D

【解析】

由S9=81可求生=9,再求公差，再求解即可.

【詳解】

解：｛4｝是等差數(shù)列

.?$=94=81

「.％=9,又；q=5,

公差為d=4,

/.Go=%+6d=29,

故選：D

【點睛】

考查等差數(shù)列的有關性質(zhì)、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.

11、D

【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.

【詳解】

由題意知，集合A=｛聞-1vx<6｝,8=卜,<2),

由集合的交運算可得,Ac8=[x\-l<x<2}.

故選:D

【點睛】

本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎題.

12、B

【解析】

求得x(1+ax)5的二項展開式的通項為C；x/.f”,令々=2時河得/項的系數(shù)為90,即C；x/=90，求得a，即可得出

結(jié)果.

【詳解】

若a=3則x(1+at)，=x(l+3/)'二項展開式的通項為C；x3憶X』,令2+1=3,即2=2,則/項的系數(shù)為

2

C；x3=90，充分性成立;當*1+av)'的展開式中V項的系數(shù)為90,則有C；xa2=90，從而?=±3，必要性不成立.

故選:B.

【點睛】

本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識，考查考生的分析問題的能力和計算能力，難度較易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-8

【解析】

先根據(jù)定積分求出〃的值，再用二項展開式公式即可求解.

【詳解】

因為卜

=-x24=4

lo4

所以〃=4

(x+1)4的通項公式為Tr+i=C'x「?

當/=2時,7；=C；xl4-r.Z=C>2=6x2

33

當r=3時，T4=C1x=4x

故+展開式中產(chǎn)的系數(shù)為4+(—2)x6=—8

lxJ

故答案為：-X

【點睛】

此題考查定積分公式，二項展開式公式等知識點，屬于簡單題目.

14、

【解析】

設丹=2,

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得S『F\F?=b；tan0=b；

$1

'/q=—,/.q=—=a；-2=c2

ac

\ex

根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，5嚴建、=%一=層

-tan<9

H,22|\1)

：.b；=c--a；=c11-京

JI八2AI)

)Ie2)

nc11cc石

即——H——=2,3q=e,q=—

e「約3

故答案為無

3

15、

【解析】

7Q.in-57-rTT

在A4BC中利用正弦定理得出/二12，進而可知，當NC4B=,時，AC取最小值，進而計算出結(jié)果.

sinZCAB

【詳解】

.5兀.冗71.71冗71.716+四

sin—=sin—+—=sm—cos—+cos-sin—=--------

12(46J46464

ACBC

如圖，在AABC中，由正弦定理可得

sinZ-BsinZ.CAB

B

即“—2^77,故當NCA8=W時，AC取到最小值為癡+,2.

~s\r\^CAB22

故答案為：二十二.

2

【點睛】

本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.

16、{0,1}

【解析】

直接根據(jù)集合A和集合B求交集即可.

【詳解】

解：A={X|X<1,XGZ),

B=|x|0<x<2},

所以A[5={0,l}.

故答案為：{0,1}

【點睛】

本題考查集合的交集運算,是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)當

【解析】

(1)要證明CE_L平面240,只需證明CE_LQA,CELAD,即可求得答案；

(2)先根據(jù)已知證明四邊形ABCE為矩形，以A為原點，4B為x軸，A。為)'軸，AP為z軸，建立坐標系A-“，z,

求得平面尸EC的法向量為〃，平面BEC的法向量”，設二面角P—CE—8的平面角為凡cos0=|cos〈〃,|,

即可求得答案.

【詳解】

(1)PA_L平面ABC。，CEu平面ABC/),

???PAICE.

A3LAD,CE//AB,

CE±AD.

又/A4cA￡>=A,

CW_L平面PAD.

(2)由(1)可知CE_LAO.

在RtAECD中,DE=CDcos45°=b

CE=CL>sin45°=l.

AE=AD-ED=2.

又AB=CE=]tAB//CEf

???四邊形ABCE為矩形.

以A為原點，43為工軸，AO為)'軸，AP為z軸，建立坐標系A一個z,

如圖：

則：40.0,0),C(l,2,0),￡(0,2,0),尸(0,0,1),

PC=(I,2,-1),PE=(0,2,-l)

設平面PEC的法向量為〃=(A-)，,z),

n-PC=()

n-PE=0

jr+2y-z=0

即V

2y-z=0

令y=l,則z=2,x=0

/.〃=(0,l,2)

由題_1_平面ABCD,即平面BEC的法向量為AQ=(0,0,1)

由二面角P-CE-B的平面角為銳角，

設二面角P-CE-8的平面角為。

------22亞

即cos0=|cos(n,AP)\=-j==—^―

sin0=V1-cos20=專

二?二面角P-CE-B的正弦值為：

5

【點睛】

本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查

了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

18、(1)如變.(2)叵.

15

【解析】

(1)以A為原點，為x軸，AO為｝，軸，A尸為z軸，建立空間直角坐標系，貝URE=(-1,0,2),CP=(-2,

-1,1),計算夾角得到答案.

(2)設FP=^FD，計算P(0,232-2；.),計算平面APC的法向量〃=(1,-1,),平面ADF

2—2A

的法向量機二(1,0,0),根據(jù)夾角公式計算得到答案.

【詳解】

(1)V5AF=90°,.\AF±AB,

又???平面A8EF_L平面ABCDt且平面ASEbn平面ABCD=ABf

???AF_L平面A3CO,又四邊形A3CO為矩形，

???以A為原點，A5為x軸，AO為y軸，A廣為z軸，建立空間直角坐標系，

*：AD=2tAB=AF=2EF=2t尸是。尸的中點，

：.B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),

BE=(?L0，2)，CP=(?2，-1,1),

設異面直線BE與。尸所成角的平面角為仇

BECf\42^5

則cosO=

BE\]CP\岳?瓜—15

???異面直線BE與CP所成角的余弦值為皂史.

15

(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),D(0,2,0),

設尸(a,b,c),FP=ZFD>0<x<l,即(a,b,c-2)=2(0,2,-2),

解得a=。，b=2X,c=2-2z,：.P(0,22,2-22),

AP=(°，2x,2-2x),AC=(2，2,0),

設平面APC的法向量〃=(x,yfz),

AP=22y+(2-2A)z=0,22、

則-V7取x=L得〃=(1,-1?--------),

nAC=2x+2y=()2-2%

平面AOP的法向量〃7=(1,0.0),

???二面角。?AP?C的正弦值為理,

3

：.\cos<nun>\\m[\n\

解得％=5，???P(0,1,1),

???PF的長度|P為=?0-0)2+(1-())2+(1—2)2=V2.

【點睛】

本題考食了異面直線夾角，根據(jù)二面角求長度，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

,證明見解析

【解析】

(1)利用己知條件建立等量關系求出數(shù)列的通項公式.

(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和，進一步利用放縮法求出結(jié)論.

【詳解】

(1)=1,為+2。,*=0,得｛為｝是公比為一;的等比數(shù)列,

b\b2一1

2------

當〃之2時，數(shù)列〔要：的前〃項積為一一，貝!1??2：+12：+1,兩式相除得

[2n+lJ2〃+1力紅%二1

.TT2n-12n+\

1

b“=2〃+]=2〃-1

得々

2〃+1]2n+1

2n-\

又與=；得仄=1，?"“=21；

JJ

11J2.+1-J2〃-11(1_______1]

yj2n-1J2〃+1(，2〃+1+\j2n-\)~2y/2n-ly/2n+l-八,2〃-1y/2n+l)

___1___<1,

J2kI1)2，

故S,〃>Z.

【點睛】

本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，數(shù)列的前〃項和的應用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，主

要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題.

TT

20、(1)B(2)2

6

【解析】

(1)轉(zhuǎn)化條件得2sinAcosC=^sin(B+C),進而可得cosC二事，即可得解;

(2)由A+8=2化簡可得)，=2sin|A+f),由A￡f0,手]結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

6v3；\67

【詳解】

(1)m//n，/.(2a-\/3Z?)cosC=V3ccosB，

由正弦定理得2sinAcosC-Gsin8cosc=\/3sinCeosB,

二.2sinAcosC=\/3(sinBcosC+sinCeosB)即2sinAcosC=Gsin(8+C),

又B+C=71—A,「?2sin4cosC=6sinA,

z、W

又AG(0,^),sinA^0??'-cosC=-^-,

由?！?0,7)可得C=L

6

57r57r

(2)由(1)可得A+8=——,B=——A,

66

y=sinA+gsin(Z?-y)=siiiA+x/3sin(^~-A-y)=sinA+Gs而(/-A)

=sinA+\/3cosA=2s\n\A+—,

.(八5萬、.冗(717TTY_.<7r}7,^1

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