滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《勾股定理》單元作業(yè)設(shè)計(jì)

滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《勾股定理》單元作業(yè)設(shè)計(jì)

一、單元信息

基本信息學(xué)科年級(jí)學(xué)期教材版本單元名稱

數(shù)學(xué)八年級(jí)第二學(xué)期滬科版勾股定理

單元組織方5自然單元口重組單元

式

序號(hào)課時(shí)名稱對(duì)應(yīng)教材內(nèi)容

1勾股定理（1）第18.1(P52-54)

2勾股定理（2）第18.1(P54-56)

課時(shí)信息3勾股定理的逆定理（1）第18.2(P58-58)

4勾股定理的逆定理（2）第18.2(P58-59)

5勾股定理復(fù)習(xí)第18章(P52-68)

二、單元分析

（一）課標(biāo)要求（2022版）

勾股定理是幾何中幾個(gè)重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)

量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起過(guò)重要的作用，在現(xiàn)時(shí)世界中也有著廣泛的作用。

學(xué)生通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)

識(shí)和理解。

在2022版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)勾股定理的要求是：探索勾股定理及其逆定理，

并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

內(nèi)容要求部分，在“圖形的性質(zhì)”中強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理

論證來(lái)研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，從基本事實(shí)出發(fā)

推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理；在這一部分還涉及到：理解直角三角形的概念，

探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理；直角三角形的兩人銳角互余，直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半；掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。在

“圖形的變化”中要求能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一

些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。在“圖形與坐標(biāo)”中強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，用代數(shù)方法研究圖形，

在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示圖形上點(diǎn)的位置，用包標(biāo)法分析和解決實(shí)際問(wèn)

題。

學(xué)業(yè)要求部分，在“圖形的性質(zhì)”中要求：在亙觀理解和掌握?qǐng)D形與幾何

基本事實(shí)的基礎(chǔ)匕經(jīng)歷得到和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)

邏輯，形成幾何直觀和推理能力；在“圖形的變化”中要求：理解幾何圖形的

對(duì)稱性，感悟現(xiàn)實(shí)世界中的對(duì)稱美，知道可以用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)對(duì)稱；知道直

角三角形的邊角關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)，能用銳角三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際

問(wèn)題；在“圖形與坐標(biāo)”中要求：感悟通過(guò)幾何建立直觀、通過(guò)代數(shù)得到數(shù)學(xué)

表達(dá)的過(guò)程。在這樣的過(guò)程中，感悟數(shù)形結(jié)合的思想，會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法分

析和解決問(wèn)題。

教學(xué)提示部分，在“圖形的性質(zhì)”中提到：要通過(guò)生活中的或者數(shù)學(xué)中的

現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟基本事實(shí)的意義，經(jīng)歷幾何命題發(fā)現(xiàn)和證明的過(guò)程，

感悟歸納推理過(guò)程和演繹推理過(guò)程的傳遞性，增強(qiáng)推理能力，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維

思考現(xiàn)實(shí)世界；在“圖形的變化”中提到：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自然界中的對(duì)稱之美，

感悟圖形有規(guī)律變化產(chǎn)生的美，會(huì)用幾何知識(shí)表達(dá)物體簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，增強(qiáng)

對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。在“圖形與坐標(biāo)”中提到：要強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)

歷用坐標(biāo)表達(dá)圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移變化的過(guò)程，體會(huì)用代數(shù)方法表達(dá)圖

形變化的意義，發(fā)展幾何直觀；引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷借助平面直角坐標(biāo)系解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)

題的過(guò)程，感悟數(shù)形結(jié)合的意義，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和

創(chuàng)新意識(shí)。

（二）教材分析

1、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

\.艮么

—

feJJ

2、內(nèi)容分析

直角三角形是一種特殊的三角形，勾股定理反映的是直角三角形三邊的關(guān)

系它是平面幾何中的一個(gè)重要定理。本章主要內(nèi)容有兩個(gè)部分:勾股定理的發(fā)現(xiàn)

與證明，運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；勾股定理的逆定理，利用勾股定

理的逆定理判定直角三角形。

在本章之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的部分性

質(zhì)和一個(gè)三角形是直角三匏形的條件。在此基礎(chǔ)上，本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是關(guān)

2

于直角三角形的勾股定理、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用。本章的第一部分利用

學(xué)生熟悉的方格網(wǎng)為背景通過(guò)觀察、分析、一般化等思維活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生得到

猜想一一勾股定理，再利用面積計(jì)算、數(shù)形結(jié)合的方法證明勾股定理。教科書

利用史實(shí)進(jìn)行了愛(ài)國(guó)主義教育，培養(yǎng)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義情感。課本應(yīng)用勾股定理解

決了兩個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。木章的第二部分利用兩個(gè)情景提出了逆命題（逆定理）

的概念，提出了一個(gè)定理的逆命題是否成立的問(wèn)題;應(yīng)用實(shí)例展現(xiàn)利用勾股定理

的逆定理判定三角形是直角三角形。

勾股定理反映了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，也是直角三角形的

一條重要性質(zhì)，勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程體現(xiàn)了一般化的數(shù)學(xué)思想。勾股定理及其

逆定理，杷直角三角形中形的特征轉(zhuǎn)化為三邊的數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了形與數(shù)的密

切聯(lián)系，一般化、形與數(shù)的密切聯(lián)系在數(shù)學(xué)理論上均有重要地位。勾股定理的

證明方法很多，課本是利用面積法給出證明的。學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的面積證法

有一定的困難，其原因主要是：在此之前，學(xué)生沒(méi)有見(jiàn)過(guò)用面積法證明的示例。

學(xué)生感到陌生；學(xué)生不會(huì)利用面積關(guān)系列等式。目前不要求學(xué)生掌握勾股定理

的逆定理的構(gòu)造性證明。本章的教學(xué)重點(diǎn)是勾股定理、勾股定理的逆定理的內(nèi)

容及其應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。

課本選取學(xué)生熟悉的方格紙為背景，關(guān)注勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，幫助學(xué)生

克服機(jī)械記憶公式的學(xué)習(xí)方式。教學(xué)內(nèi)容采用“問(wèn)題情景一探究猜想一解祥、

應(yīng)用與拓展”的形式展開(kāi)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流

等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過(guò)程，目的是使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知

識(shí)的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)和技能，形成有效的學(xué)習(xí)策略，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)

知識(shí)的意識(shí)與能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。課本在數(shù)學(xué)園地中，設(shè)置了具有挑

戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)探索.給學(xué)生提供探

索與交流的空間，以發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力。課本將圖形與啟發(fā)性問(wèn)題

相結(jié)合，計(jì)算與證明相結(jié)合，數(shù)與形相結(jié)合，充分發(fā)揮圖形的直觀作用，以加

深學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解C

（三）學(xué)情分析

勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，到網(wǎng)格中的直角三角形。

再到一般的直角三角形，體現(xiàn)了從特殊到一般的探索、發(fā)現(xiàn)和證明的過(guò)程。證

明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法求出斜邊偉邊長(zhǎng)的正方形的面積，教學(xué)中要注

意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得定理的證明。

勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的一個(gè)特殊的結(jié)論。在正方形網(wǎng)格中比較

容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積關(guān)系，進(jìn)而得出三邊之

間的關(guān)系，但是從等腰直角三角形過(guò)渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形，提出合理

的猜想，學(xué)生有較大的困難。因此，在教學(xué)中需要先引導(dǎo)學(xué)生觀察網(wǎng)格背景下

的正方形的面積關(guān)系，然后思考沒(méi)有網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，再將這

種關(guān)系表示成邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，這有利于學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理。

另外學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察、歸納、猜想和推理的能力。習(xí)得了一定的幾何

知識(shí)，同時(shí)他們也學(xué)習(xí)了一些幾何圖形的面積計(jì)算方法（包括割補(bǔ)、拼接），

但運(yùn)用面積法和割補(bǔ)思想來(lái)解決問(wèn)題的意識(shí)和能力還不夠。同時(shí)同學(xué)們對(duì)于算

術(shù)平方根有了一定了解，這對(duì)求三角形的邊長(zhǎng)有一定作用。

3

三、單元學(xué)習(xí)與作業(yè)目標(biāo)

（-）單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷對(duì)問(wèn)題情景的觀察、分析、一般化等思維活動(dòng)，提出猜想，體驗(yàn)勾股

定理的探索過(guò)程，豐富學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合

情推理能力；

2.了解勾股定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣;利用數(shù)學(xué)史話介紹，培養(yǎng)

學(xué)生愛(ài)國(guó)主義的思想情感；

3.會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思

維能力和推理論證的表達(dá)能力；

4.結(jié)合具體情景，了解逆命題（逆定理）的概念;理解勾股定理的逆定理,會(huì)用

勾股定理的逆定理判定直用三角形.

（二）單元作業(yè)目標(biāo)

1.通過(guò)基礎(chǔ)題的設(shè)計(jì)與訓(xùn)練,使學(xué)生能夠初步掌握勾股定理及其逆定理,

并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和實(shí)際運(yùn)用,會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

2.通過(guò)能力題的設(shè)計(jì)與訓(xùn)練，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)用代數(shù)計(jì)算解決幾何問(wèn)題的

一種方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；

3.通過(guò)素養(yǎng)題的設(shè)計(jì)與訓(xùn)練，旨在以題目為媒介，讓學(xué)生在分析與思考中,

培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、應(yīng)用能力及發(fā)展思維能力；

4.激發(fā)國(guó)家認(rèn)同、國(guó)際理解的社會(huì)責(zé)任擔(dān)當(dāng)，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷。

四、單元作業(yè)整體設(shè)計(jì)思路

學(xué)生作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸和繼續(xù),也是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的一個(gè)重要手段.但

過(guò)重的作業(yè)負(fù)擔(dān)，不僅難以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，而且會(huì)產(chǎn)生不可低估的負(fù)面效

應(yīng).根據(jù)國(guó)家“雙減”政策,必須優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)。在全面透徹理解《勾股定理》

教學(xué)內(nèi)容的前提下，把握知識(shí)的連貫性，明確教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)以及對(duì)學(xué)

生能力培養(yǎng)的要求.首先要加強(qiáng)“雙基”訓(xùn)練，特別是對(duì)基本概念的理解和掌

握是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)思維、提高能力的根本.其次要注重學(xué)習(xí)內(nèi)容重難

點(diǎn)的把握，充分利用學(xué)生作業(yè)的完成促使學(xué)生牢固掌握重點(diǎn)知識(shí)，同時(shí)把學(xué)習(xí)

中的難點(diǎn)分解于作業(yè)中，循序漸進(jìn)地掌握知識(shí).另外要注意知識(shí)的整體性，

方面注意發(fā)習(xí)鞏固已有知識(shí)，與舊知識(shí)銜接起來(lái)，另一方面為后續(xù)知識(shí)做好準(zhǔn)

備，把后面的內(nèi)容或方法滲透到前面的知識(shí)中形成良好的知識(shí)鏈，保持掌握知

識(shí)與培養(yǎng)能力的系統(tǒng)性.基于以上方面的考慮特從以下方面進(jìn)行設(shè)計(jì)。

1.作業(yè)編排：在2022版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到：促進(jìn)自主學(xué)習(xí)，加強(qiáng)自我監(jiān)

控、自我評(píng)價(jià)，提升自主學(xué)習(xí)能力；家校協(xié)同，建立監(jiān)控、指導(dǎo)、評(píng)價(jià)、激勵(lì)

機(jī)制，適時(shí)交流和開(kāi)展個(gè)性化指導(dǎo)，營(yíng)造學(xué)生自主學(xué)習(xí)的良好環(huán)境。所以在作

業(yè)編排方面分別設(shè)置了課前的預(yù)習(xí)作業(yè)和課中的練習(xí)作業(yè)以及課后的課時(shí)作業(yè)，

其中課前的預(yù)習(xí)作業(yè)均設(shè)置為選擇題和填空題主要為最容易的題目，以鞏固和

識(shí)記知識(shí)點(diǎn)為主。課中的練習(xí)作業(yè)設(shè)置有選擇題、填空題和解答題當(dāng)堂完成，

4

這些題目全部為容易題。由于課前預(yù)習(xí)作業(yè)和課中練習(xí)作業(yè)比較簡(jiǎn)單所以沒(méi)有

進(jìn)行分層設(shè)計(jì)。由于學(xué)生的學(xué)力有差異所以課后的課時(shí)作業(yè)設(shè)置了不同的等級(jí)，

雖然設(shè)置了不同的等級(jí)但并沒(méi)有分別設(shè)計(jì)三套難度等級(jí)不同的作業(yè)，如果不同

層次的學(xué)生做難度不同、題目不同的作業(yè)，則不利于同學(xué)之間相互交流、相互

幫助。為了培養(yǎng)全面發(fā)展的人，共性寓于個(gè)性之中個(gè)性又受共性的制約，共性

和個(gè)性在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。所以在一套作業(yè)中體現(xiàn)基礎(chǔ)、能力、素養(yǎng)三個(gè)

等級(jí)，使每個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)中既有共性學(xué)習(xí)又有個(gè)性學(xué)習(xí)，既能共同進(jìn)步又能個(gè)

性發(fā)展；另外為了鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力，在每個(gè)課時(shí)的最后又設(shè)置了素養(yǎng)發(fā)展

題，旨在鍛煉學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手、動(dòng)腦、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；

2.難度設(shè)?。簽榱饲袑?shí)貫徹落實(shí)素質(zhì)教育，培養(yǎng)全面發(fā)展的人，兼顧群體

特點(diǎn)與個(gè)體差異，課后的課時(shí)作業(yè)題目設(shè)置為基礎(chǔ)、能力、素養(yǎng)三個(gè)等級(jí)。課

時(shí)作業(yè)大致按照6：3：1設(shè)計(jì)，單元檢測(cè)作業(yè)大致按照7：2：1設(shè)計(jì)；

3.題型設(shè)置：為了對(duì)接初中學(xué)業(yè)水平考試，在題型設(shè)置方面和學(xué)業(yè)水平考

試一致，設(shè)置為：選擇題、填空題和解答題。為了培養(yǎng)全面發(fā)展的人，在各種

類型的題目里面設(shè)置「培養(yǎng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)理解和掌握的題目、培養(yǎng)獲取信息

能力的閱讀分析問(wèn)題、培養(yǎng)探究能力的探究問(wèn)題、培養(yǎng)解決問(wèn)題能力的具有實(shí)

際背景的問(wèn)題等；

4.時(shí)間設(shè)置：為切實(shí)減輕學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)，課前的預(yù)習(xí)作業(yè)時(shí)間在10分鐘

之內(nèi)，課中的練習(xí)作業(yè)時(shí)間也在10分鐘之內(nèi)，課后的課時(shí)作業(yè)時(shí)間控制在15-

20分鐘，單元檢測(cè)作業(yè)設(shè)置為25-30分鐘；

5.作業(yè)布置：作業(yè)分為基礎(chǔ)題、能力題和素養(yǎng)題，針對(duì)班級(jí)學(xué)生學(xué)力的不

同將學(xué)生分成三個(gè)層級(jí)，學(xué)力最低層級(jí)的學(xué)生（C級(jí)學(xué)生）完成基礎(chǔ)等級(jí)的題

目，鼓勵(lì)探索能力等級(jí)的題目；學(xué)力中等層級(jí)的學(xué)生（B級(jí)學(xué)生）完成基礎(chǔ)和

能力兩個(gè)等級(jí)的題目，鼓勵(lì)探索素養(yǎng)等級(jí)的題目；學(xué)力最高層級(jí)的學(xué)生（A級(jí)

學(xué)生）至少完成能力和素養(yǎng)兩個(gè)等級(jí)的題目。

A面向全體學(xué)生

預(yù)習(xí)作業(yè)T知識(shí)點(diǎn)的識(shí)?

丁高單容麗

作

業(yè)

設(shè)練習(xí)作業(yè)

計(jì)

體

課時(shí)作業(yè)

系

培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)全

素養(yǎng)發(fā)展面發(fā)展

C等學(xué)生完成基礎(chǔ)修

5

五、作業(yè)設(shè)計(jì)

(1)18.1勾股定理(1)課時(shí)作業(yè)及評(píng)價(jià)分析

課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

1、數(shù)學(xué)的眼光

通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)勾股定理并會(huì)進(jìn)行證明，能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)研究運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)

單計(jì)算和運(yùn)用；能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究

2、數(shù)學(xué)的思維

通過(guò)觀察分析，大膽猜想，并探索勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、合作交流、

邏輯推理的能力；在探索勾股定理的過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-歸納-驗(yàn)證”

的數(shù)學(xué)過(guò)程，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

3、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言

能夠精確描述勾股定理并用字母表示；會(huì)用勾股定理解決分析結(jié)果，形成合理

的判斷或決策；形成數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力。

課時(shí)作業(yè)目標(biāo)

(1)能夠?qū)垂啥ɡ磉M(jìn)行證明，并能夠運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算；

(2)鞏固對(duì)勾股定理的理解、識(shí)記及應(yīng)用；

(3)培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、實(shí)際應(yīng)用、邏輯推理的能力。

一、預(yù)習(xí)作業(yè)

(1)作業(yè)內(nèi)容

1、直角△48C的主要性質(zhì)是：NC=90。(用幾何語(yǔ)言表示)

(1)兩銳角之間的關(guān)系：

(2)若立樂(lè)30。，則的對(duì)邊和斜邊的關(guān)系：

2、如果直角三角形的兩條直角邊用匕表示，斜邊用c表示，那么勾股定理

可以表示為,用文字?jǐn)⑹黾礊橹苯侨切蔚膬蓷l直角

邊的等于斜邊的.

6

3、如圖，字母8所代表的正方形的面積是()

A.12B.13C.144D.194

(2)時(shí)間要求：10分鐘。

(3)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)(學(xué)生自評(píng))

習(xí)題評(píng)價(jià)表

題號(hào)等級(jí)說(shuō)明與評(píng)價(jià)

A能正確寫出兩小問(wèn)的答案，說(shuō)明以前所學(xué)關(guān)于直角三角形的知

1識(shí)掌握比較牢固.

B能正確寫出其中一個(gè)的答案，或者書寫不準(zhǔn)確.

C兩問(wèn)都不能寫出，說(shuō)明不能掌握以前所學(xué)的知識(shí)點(diǎn).

A能正確填寫出三空，說(shuō)明預(yù)習(xí)效果明顯能初步識(shí)記勾股定理.

2B只能填出勾股定理的幾何表示，不能填出文字表示。

C三空都不能填出，說(shuō)明完全沒(méi)有理解預(yù)習(xí)內(nèi)容.

A能寫出正確答案，說(shuō)明不僅能記住勾股定理，并且還能初步進(jìn)

3行應(yīng)用.

B

C不能正確寫出答案，說(shuō)明沒(méi)有記住勾股定理或者雖然記住了勾

股定理但是不會(huì)應(yīng)用.

(4)作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答過(guò)程】解：直角△48C中，4=90°,

(1)兩銳隹之間的關(guān)系；^+^-90°,

(2)???NB=30°,的對(duì)邊和斜邊的關(guān)系是AC=08.

1

故答案為；力+4=900；AC=1AI3.

7

【設(shè)計(jì)意圖】本題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)，含33度角的直角三角形的性

質(zhì)綜合性較強(qiáng)，但是難度不大.

第2題：

【作業(yè)分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算；

【解答過(guò)程】直角三角形三邊之間的關(guān)系為：標(biāo)+〃=〃，故答案為：a2+b2=d；

平方和；平方

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是

a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么犀+-=d.

第3題：

【作業(yè)分析】外圍正方形的面積就是斜邊和一直角邊的平方，實(shí)際上是求另一

直角邊的平方，用勾股定理即可解答.

【解答過(guò)程】解：根據(jù)勾股定理我們可以得出：。2+爐=〃,々2=25,0;

169,勿=169-25=144,因此制面積是144.故選：C.

【設(shè)計(jì)意圖】本題主要考查了正方形的面積公式和勾股定理的應(yīng)用.只要搞清

楚直角三角形的斜邊和直角邊本題就容易多了.

二、練習(xí)作業(yè)

(1)作業(yè)內(nèi)容

1..下列說(shuō)法中正確的是()

A.已知。，b,c是三角形的三邊，則蘇+

B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方

C.在RlZ\A8C中，4=90°,所以

D.在RlZXABC中，4=90°,所以

8

2.求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長(zhǎng)度:

3.如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案.已

知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用y表示直角三角形的兩

直角邊（x>y）,下列四個(gè)說(shuō)法：①￡+）。=49；@x-y=2；③2?-4=49；

④x+y=9,其中說(shuō)法正確的有（）個(gè).

C.3個(gè)D.4個(gè)

4.已知在RlZiABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.如果c=26,a：

b=5：12,求〃、b的值.

（2）時(shí)間要求：10分鐘。

（3）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)（學(xué)生互評(píng)、教師總評(píng)）

習(xí)題評(píng)價(jià)表

題號(hào)等級(jí)說(shuō)明與評(píng)價(jià)

A能寫出正確答案，說(shuō)明不僅能記住勾股定理，并且還能正確區(qū)

1別對(duì)邊與對(duì)角.

B

C不能正確寫出答案，說(shuō)明沒(méi)有記住勾股定理或者雖然記住了勾

股定理但是不能正確區(qū)分對(duì)邊與對(duì)角.

9

A全部都能正確寫出，說(shuō)明不僅能記住勾股定理，并且還能初步

2進(jìn)行應(yīng)用.

B不能全部寫對(duì)，說(shuō)明能記住勾股定理，但運(yùn)用?上還有問(wèn)題.

C全部錯(cuò)誤，說(shuō)明沒(méi)有記住勾股定理或者雖然記住了勾股定理但

是不會(huì)應(yīng)用.

A能寫出正確答案，說(shuō)明能夠掌握了勾股定理并且能夠把數(shù)與形

3結(jié)合.

B

C不能寫出正確答案，對(duì)知識(shí)的掌握還不夠靈活.

A能夠正確做出，過(guò)程完整條理清楚.

4B能夠正確做出但過(guò)程不完整.

C不能做出，無(wú)過(guò)程.

(4)作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】以a,h,。為三邊的三角形不一定是直角三角形，得出力不正確；

由直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，得出環(huán)正

確；由勾股定理得出61E確，〃不正確；即可得出結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：月不正確：???以a,b,。為三邊的三角形不一定是直角三角

形，???/1不正確；

8不正確；???直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，

，懷正確；

GE確???4=90°,???力優(yōu)斜邊，J80+40=482,確;

〃不正確；VZ^=90°,，力防斜邊，，A82+Ba=A。，：,D

不正確；故選：C.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了勾股定理的運(yùn)用；熟練掌握公股定理，并能進(jìn)行推理

論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

第2題：

【作業(yè)分析】直接利用勾股定理得出已知圖形的面積和未知邊長(zhǎng).

【解答過(guò)程】解：如圖1,正方形的面積為：100+225=325；

如圖2,^=>/172-152

如圖3,尸｛132—52=12；

如圖4,^=7^2+82=10-

【設(shè)計(jì)意圖】此題主要考查了勾股定理，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

10

第3題：

【作業(yè)分析】利用大正方形面積和小正方形面積可得出大正方形和小正方形的

邊長(zhǎng)，利用勾股定理可判斷①，利用線段和差可判斷②，利用大

正方形面積等于小正方形面積與四個(gè)直角三角形面積之和可判斷

③，利用①③可判斷④.

【解答過(guò)程】解：???大正方形面積為49,???大正方形邊長(zhǎng)為7,在直角三角形

中，9+尸=7=49,故說(shuō)法①正確；

???小正方形面積為4,?,?小正方形邊長(zhǎng)為2,???x-)，=2,故說(shuō)法

②正確：???大正方形面積等于小正方形面積與四個(gè)直角三角形面

工

積之和，???4X0q+4=49,...2q+4=49,故說(shuō)法③正確；

V2nH4=49,??.29=45,W+/=49,A^+y+Zvy=49+45,

(x+y)2=94,'而，故說(shuō)法④錯(cuò)誤：故選：C.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用大正方形面積和小

正方形面積得出大正方形和小正方形的邊長(zhǎng).

第4題：

【作業(yè)分析】在RtZ\48C聲，NC=90°,根據(jù)勾股定理可得AB2=AG+8G,

根據(jù)題目給出的已知條件可以求第三個(gè)邊的長(zhǎng).

【解答過(guò)程】解：:RIA48c中，NC=90°,c=26,a：b=5：12,可設(shè)

5x,則〃=12Y,(5x>2+2=262；解得x=2,，a=l(),

Z?=24.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考行的還勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直

角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵.

11

三、課時(shí)作業(yè)

(1)作業(yè)內(nèi)容

1.(基礎(chǔ)題)在R【ZL4BC中，NC=90°.若。=6,b=8,則c,的值是()

A.10B.2734C.2yf7D.4.8

2.（能力題）（原創(chuàng)題）如圖，將矩形ABC。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩

形48'C'O',連接CC'.已知4B=5,BC=12,通過(guò)計(jì)算我們可以得

出CC'的長(zhǎng)度是（）

A.13B.132C.13次D.135

3.（基礎(chǔ)題）在RtZVIBC中，斜邊8C=3,則入￥+以：+人^的值為

4.（能力題）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,

C都在格點(diǎn)上，若8。是△48C的高，則8。的長(zhǎng)為

5.（基礎(chǔ)題）在RtZ\A8C中，々=90°,/4、/B、NC的對(duì)邊分別是

b,c.

(1)已知。=40,c=41,求〃;

(2)已知a=5,〃=12,求c.

6.（改編）

（基礎(chǔ)題）（1）已知甲往東走了6%?，乙往南走了8k〃，求此時(shí)甲乙兩人的距

離；

（能力題）（2）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8,求第三邊長(zhǎng)的平方；

（素養(yǎng)題）（3）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8,求斜邊上的高。

7.如圖是用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)分別為。和兒

斜邊長(zhǎng)為。請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋,用它們拼出F方形圖案,要求拼圖時(shí)百角二角

形紙片不能互相重疊.

（能力題）（1）請(qǐng)你畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；

（素養(yǎng)題）（2）利用U）中畫出的圖形證明勾股定理.

素養(yǎng)發(fā)展

勾股定理是平面幾何中最重要的定理！它是歷史上第一個(gè)將數(shù)與形聯(lián)系起

來(lái)的定理.開(kāi)啟了論證幾何的開(kāi)端,甚至引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，勾股定理的

發(fā)現(xiàn)使人們加深了對(duì)數(shù)的理解，發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)。勾股定理也是歷史上第一個(gè)給

出完全解答的不定方程，并引出了費(fèi)馬大定理。而勾股定理的證明目前約有

500種，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。請(qǐng)同學(xué)們利用課余時(shí)間收集

整理勾股定理的證明方法并加以分類，看誰(shuí)收集的又多又好！

13

（2）時(shí)間要求：

A級(jí)學(xué)生做能力題和素養(yǎng)題20分鐘,

B級(jí)學(xué)生做基礎(chǔ)題和能力題20分鐘,

C級(jí)學(xué)生做基礎(chǔ)題20分鐘。

（3）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)（教師評(píng)價(jià)）

習(xí)題評(píng)價(jià)表

題號(hào)等級(jí)說(shuō)明與評(píng)價(jià)

A能寫出正確答案，說(shuō)明能夠掌握了勾股定理并且能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單

1運(yùn)用.

B

C不能寫出正確答案，還不能夠掌握定理.

A能寫出正確答案，說(shuō)明能夠掌握了勾股定理并且能夠把數(shù)與形

2結(jié)合.

B

C不能寫出正確答案，對(duì)知識(shí)的掌握還不夠靈活運(yùn)用.

A能寫出正確答案，說(shuō)明能夠掌握了勾股定理并且能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單

3計(jì)算.

B

C不能寫出正確答案，對(duì)知識(shí)沒(méi)有掌握并且不能運(yùn)用.

A能寫出正確答案，說(shuō)明能夠掌握了勾股定理并且能夠把數(shù)與形

4結(jié)合.

B

C不能寫出正確答案，對(duì)知識(shí)的掌握還不夠靈活.

A能夠正確做出，過(guò)程完整條理清楚.

5B能夠正確做出但過(guò)程不完整.

C不能做出，無(wú)過(guò)程.

A能夠正確做出，過(guò)程完整條理清楚考慮全面，能與其它知識(shí)相

6結(jié)合.

B能夠正確做出但過(guò)程不完整；考慮不全面.

C不能做出，無(wú)過(guò)程.

A能夠畫出示意圖并完成證明過(guò)程.

7B能夠畫出示意圖不能完成證明.

C不能夠畫出示意圖.

14

作業(yè)整體評(píng)價(jià)表

評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備注

ABC

答題的準(zhǔn)A等，答案正確，過(guò)程正確。

確性B等，答案正確，過(guò)程有問(wèn)題。

C等，答案不正確，有過(guò)程不完整；答案不準(zhǔn)

確，過(guò)程錯(cuò)誤、或無(wú)過(guò)程。

答題的規(guī)A等，過(guò)程規(guī)范，答案正確。

范性B等，過(guò)程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等.過(guò)程不規(guī)范或無(wú)過(guò)程,答案錯(cuò)誤c

解法的創(chuàng)A等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。

新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過(guò)程復(fù)雜或無(wú)過(guò)

程。

綜合評(píng)價(jià)AAA,AAB綜合評(píng)價(jià)為A等；

等級(jí)ABB、BBB、AAC綜合評(píng)價(jià)為B等;

其余情況綜合評(píng)價(jià)為C等。

(4)作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解答過(guò)程】解：在RtA/BC中，4=90°,。=6,8=8,由勾股定理得：c

=Va2+b2=V62+82=10,故選：A.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考行的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是

a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么屋+'=/.

第2題：

【作業(yè)分析】?jī)纱卫霉垂啥ɡ?，先求出AC長(zhǎng)，再根據(jù)△C4C'是等腰直角

三角形求出CC的長(zhǎng)

【解答過(guò)程】解：???四邊形A8C。為矩形，A3=5,8c=12

：.AC=AB2+BC2=52+122=13J?VzfC4C'=90°AC=AC'

：.CCz=AC2+AC，2=132+132=132故選擇A

【設(shè)計(jì)意圖】此題是勾股定理，考查了勾股定理的運(yùn)用和特殊的直角三角形。

15

第3題：

【作業(yè)分析】由直角三角形結(jié)合勾股定理得到的值，即可得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】解：???RlZ\A8C中，斜邊8C=3,??.A￥+4a=3a=32=9,

.=280=2X9=18,故答案為：18.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

第4題：

【作業(yè)分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積差可得三角形力式的面積,

由三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：由勾股定理得：AU疹子=行，

4-xIX2-4-x1X3-4-X2X3=3.5

VSAABC=3X3-2121°20\

工A「?RD二7后7后

,?.2刈?》卜2/.V13-BD=7,：.BD=13,故答案為：13

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解

題的關(guān)鍵.

第5題：

【作業(yè)分析】（1）由勾股定理求出直角邊〃即可；

（2）由勾股定理求出斜邊c即可.

【解答過(guò)程】解（1）V^C=90°,.\/=/2_2=9；

?>ca=A/412_4Q2

⑵*.*ZC=90°,c=7a2*b2=752+122=13.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注

意c是斜邊.

第6題：

【作業(yè)分析】（1）由勾股定理直接可得；

（2）由于直角邊不確定，所以不止一種情況

（3）在第二小題的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步增加知識(shí)的考查，利用面積

求斜邊上的高

16

【解答過(guò)程】（1）甲乙兩人之間的距離;62+82=106〃

（2）當(dāng)6和8為兩個(gè)直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方=62+82=100

當(dāng)6和8為直角邊和斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方=8=6=28

（3）設(shè)斜邊上高為h,當(dāng)6和8為兩個(gè)直角邊時(shí)，斜邊

=?+82=10,由三角形面積可得：ix6x8=ix10/?,得

.24

力=7

當(dāng)6和8為直角邊和斜邊時(shí)，另一直角邊=82-62=27,由

三角形面積可得：1x27x6=：x8力，得力*

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，分類討論是解題的關(guān)鍵。

第7題：

【作業(yè)分析】（1）把四個(gè)全等的直角三角形的斜邊首尾相接，可拼成所需圖案,

如圖所示（答案不唯一）；

（2）分別用兩種方法計(jì)算大正方形的面積，從而可得（。十人）2=

_1

2

c+4X2abf化簡(jiǎn)即可得證.

【解答過(guò)程】解：（1）（答案不唯一）如圖;

（2）證明：???大正方形的面積可表示為（〃+〃）2,大正方形的面

22

積也可表示為：/+4xEa〃，???（〃十〃）2=/+4X?a〃，即

〃+〃+加力=/+勿力，???〃+〃=〃，即直角三角形兩直角邊的平

方和等于斜邊的平方.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是拼出熟知的勾股圖.

17

（2）18.1勾股定理（2）課時(shí)作業(yè)及評(píng)價(jià)分析

課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

1、數(shù)學(xué)的眼光

感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值；體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，形成積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意

識(shí)，再一次感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；培

養(yǎng)學(xué)生交流與合作的協(xié)作精神。

2、數(shù)學(xué)的思維

通過(guò)對(duì)勾股定理實(shí)際問(wèn)題的分析與解決，通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，培養(yǎng)學(xué)生的

探究能力、質(zhì)疑能力，提高用勾股定理來(lái)解次實(shí)際問(wèn)題的能力；幫助學(xué)生感受

到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系；

3、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言

能進(jìn)一步總用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題；欣賞數(shù)學(xué)語(yǔ)言

的簡(jiǎn)潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流的習(xí)慣。

課時(shí)作業(yè)目標(biāo)

（1）能夠運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算以及解決實(shí)際問(wèn)題；

（2）進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)勾股定理的理解、識(shí)記及應(yīng)用；

（3）培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、邏輯推理的能力；

（4）鍛煉學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作能力。

一、預(yù)習(xí)作業(yè)

（1）作業(yè)內(nèi)容

1、直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用4,8和C分別表示

直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么+=.

用圖形表示為：

2、如圖，一棵大樹(shù)在暴風(fēng)雨中被臺(tái)風(fēng)刮倒，在離地面3米處折斷，測(cè)得樹(shù)頂端

距離樹(shù)根4米，已知大樹(shù)垂直地面，則大樹(shù)高約多少米？（）

C.9米D.25

18

3、如圖是一個(gè)外輪廓為長(zhǎng)方形的機(jī)器零件的平面不意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單

位：cm）,計(jì)算兩個(gè)圓孔中的A和B的距離為

（2）時(shí)間要求：10分鐘。

（3）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)（學(xué)生自評(píng)）

習(xí)題評(píng)價(jià)表

題號(hào)等級(jí)說(shuō)明與評(píng)價(jià)

A能正確填寫結(jié)果，說(shuō)明能夠記住勾股定理.

1B

C不能填出正確結(jié)果，說(shuō)明沒(méi)有能夠記住勾股定理.

A能正確選出答案，說(shuō)明能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)

2題.

B

C不能寫出正確答案，說(shuō)明沒(méi)有掌握勾股定理或者不能進(jìn)行實(shí)際

應(yīng)用.

A能正確填寫結(jié)果，說(shuō)明能夠解決實(shí)際問(wèn)題.

3B

C不能填出正確結(jié)果，說(shuō)明沒(méi)有理解預(yù)習(xí)內(nèi)容.

（4）作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

【解答過(guò)程】解：如果用。，8和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那

么a~+b^=&.故答案為：展，Z?2,c2.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

19

第2題:

【作業(yè)分析】設(shè)大樹(shù)高約有x米，再由勾股定理即可得出結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：設(shè)大樹(shù)高約有x米，由勾股定理得：（“-3）2=32+42,解得:

x=8,答：大樹(shù)局約8米.故選：B.

【設(shè)計(jì)意圖】此題是勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

問(wèn)題來(lái)解決.

第3題：

【作業(yè)分析】根據(jù)圖形標(biāo)出長(zhǎng)度，可以知道4C和AC的長(zhǎng)度，從而構(gòu)造直角

三角形，根據(jù)勾股定理就可求出A和8的距離.

【解答過(guò)程】解：VAC=10-4=6（cm）,8c=12-4=8（cm）,

/.A^=^AC2+BC2=762+82=10（cm）.故答案為：10.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查正確運(yùn)用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)

好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

三、練習(xí)作業(yè)

（1）作業(yè)內(nèi)容

1..如圖，做一個(gè)寬80厘米，高60厘米的長(zhǎng)方形木框，需在相對(duì)角的頂點(diǎn)加

一根加固木條，則木條的長(zhǎng)為（）

A.90厘米B.MX）厘米C.105厘米D.11。厘米

20

2.如圖，小李準(zhǔn)備建一個(gè)蔬菜大棚，棚寬4米，高3米，長(zhǎng)20米，棚的斜面

用塑料布遮蓋，不計(jì)墻的厚度，請(qǐng)計(jì)算陽(yáng)光透過(guò)的最大面積

3.如圖，是一-棵美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，若最大的正方

形E的邊長(zhǎng)為10,則正方形A,B,C,。的面積之和為.

4.閱讀并解答問(wèn)題

明朝數(shù)學(xué)家程大位在數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》中以《西江月》詞牌敘述了

一道“蕩秋千”問(wèn)題：

原文：平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉.

良工高士素好奇，算出索有幾？

譯文：如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺

（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的

繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？（注古代5尺為1步）

21

建立數(shù)學(xué)模型，如圖，秋千繩索0A靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（4C=I

尺），將它往前推進(jìn)兩步（所=10尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（BD=5

尺），已知OC_LCD于點(diǎn)C,BD_LCD于點(diǎn)、D,BE1OC于點(diǎn)E,OA=OB,

求秋千繩索（。八或。B）的長(zhǎng)度.

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（I）直接寫出四邊形EC。，是哪種特殊的四邊形；

（2）求OA的長(zhǎng).

（2）時(shí)間要求：10分鐘。

（3）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)（學(xué)生互評(píng)、教師總評(píng)）

習(xí)題評(píng)價(jià)表

題號(hào)等級(jí)說(shuō)明與評(píng)價(jià)

A能寫出正確答案，說(shuō)明不僅能記住勾股定理，并且還能實(shí)際應(yīng)

1用.

B

C不能正確選出答案，說(shuō)明沒(méi)有記住勾股定理或者雖然記住了勾

股定理但是不會(huì)解決實(shí)際問(wèn)題.

A能正確寫出答案，說(shuō)明不僅能記住勾股定理，并且還能初步進(jìn)

2行應(yīng)用.

B

C不能寫出正確答案，說(shuō)明沒(méi)有記住勾股定理或者雖然記住了勾

股定理但是不會(huì)應(yīng)用.

22

A能寫出正確答案，說(shuō)明能夠掌握了勾股定理并且能夠把數(shù)與形

3結(jié)合.

B

C不能寫出正確答案，對(duì)知識(shí)的掌握還不夠靈活.

A能夠正確做出兩問(wèn)，過(guò)程完整條理清楚.

4B能夠正確做出兩問(wèn)但過(guò)程不完整.

C只能做出第一問(wèn)或者其它情況.

(4)作業(yè)分析

第1題：

【作業(yè)分析】由于長(zhǎng)方形木框的寬和高與所加固的木板正好構(gòu)成直角三角形,

故可利用勾股定理解答.

【解答過(guò)程】解：設(shè)這條木板的長(zhǎng)度為x厘米，由勾股定理得：爐=802+6。2,

解得x=l(X)厘米.故選：B.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了勾股定埋在實(shí)際生活中的運(yùn)用，屬較簡(jiǎn)單題目，注意

細(xì)心運(yùn)算即可.

第2題：

【作業(yè)分析】此題只需根據(jù)勾股定理計(jì)算直角三角形的斜邊，即矩形的寬.再

根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算.

【解答過(guò)程】解：根據(jù)勾股定理，得直角三角形的斜邊是后不=5,所以陽(yáng)

光透過(guò)的最大面積是5X20=100(平方米).故答案為：］oo平

方米；

【設(shè)計(jì)意圖】此題運(yùn)用了勾股定理，注意陽(yáng)光透過(guò)的最大面積，即是矩形的面

積.

第3題：

【作業(yè)分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫稳?，?/p>

CD的面積和即為最大正方形的面積.

23

【解答過(guò)程】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得斗、B的面積和為S，C、D

的面積和為S2,51+52=53,于是S3=S+S'B|JSi=A+B+C+D=

16=100.故答案為：100.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.能夠發(fā)現(xiàn)正方形A,B,C,。的邊

長(zhǎng)正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠

證明正方形A,B,C,。的面積和即是最大正方形的面積.

第4題：

【作業(yè)分析】(1)根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，可得結(jié)論；

(2)設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，此時(shí)繩索長(zhǎng)，向前推出的10尺，和秋千

的上端為瑞點(diǎn)，垂直地面的線可構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定

理可求解.

【解答過(guò)程】解：(1)四邊形ECDA是矩形，理由是：'JOCA.CD,BDLCD,

BE1OC,:?/ECD:/CDB=/BEC=91,，四邊形是

矩形；

(2)設(shè)OA的長(zhǎng)為x尺，?；EC=BD=5尺,AC=1尺

???E4=EC-AC=5-1=4尺在Rt^O破中，0E=(x-4)尺，

O6=x尺，￡6=10尺，由勾股定理得：102+(1-5+1)2=9，解

得：x=14.5.答：秋千繩索(0A或0B)的長(zhǎng)度為14.5尺.

【設(shè)計(jì)意圖】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意能力，關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角

三角形，用勾股定理來(lái)解.

24

三、課時(shí)作業(yè)

（1）作業(yè)內(nèi)容

1.（基礎(chǔ)題）RtZ\A8C的斜邊為13,其中一條直角邊為12,另一條直角邊的

長(zhǎng)為（）

A.5B.6C.7D.9

2.（能力題）如圖，點(diǎn)0是矩形A8CO的中心，E是48上的點(diǎn)，沿CE折疊

后，點(diǎn)8恰好與點(diǎn)0重合，若8c=3,則折痕CE的長(zhǎng)為（）

A.2A/3B.C.V3D.后

2

3.（基礎(chǔ)題）直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則它斜邊上的高

為.把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則其斜邊

擴(kuò)大到原來(lái)的倍.

4.（能力題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以。為圓心，以。尸的長(zhǎng)為半徑畫

弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-J相，0）,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)

為-1,則2點(diǎn)的坐標(biāo)為.

25

5.（基礎(chǔ)題）知識(shí)是用米為人類服務(wù)的，我們應(yīng)該把它們用于有意義地方.就

下面的情景請(qǐng)你作出評(píng)判.有一塊邊長(zhǎng)為24米的正方形綠地，如圖所示，

在綠地旁邊B處有健身器材，由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小明想在

A處樹(shù)立一個(gè)標(biāo)牌“少走■米，踏之何忍？”請(qǐng)你計(jì)算后幫小明在標(biāo)牌的?

處填上適肖的數(shù)字.

6.（改編）

如圖，在中，4=90°,AB=]0cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā),

以2c〃濟(jì)少的速度沿8c移動(dòng)至點(diǎn)。，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

（基礎(chǔ)題）（1）求BC的長(zhǎng)；

（能力題）（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻3使得點(diǎn)尸到邊

48的距離與點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離相等？若存在，求出，的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

26

7.教材中的探究：如圖，把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形沿對(duì)角線剪開(kāi)，用所得到

的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)面積為2的大正方形.由此，得到了一種能在數(shù)

軸上畫出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的方法（數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1）.

閱讀理解:

（基礎(chǔ)題）（1）圖1中大正方形的邊長(zhǎng)為，圖2中點(diǎn)A表示的數(shù)

為;

遷移應(yīng)用：

（2）請(qǐng)你參照上面的方法，把5個(gè)小正方形按圖3位置擺放，并將其進(jìn)行

裁剪，拼成一個(gè)大正方形.

（能力題）①請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出裁剪線，并在圖3中畫出所拼得的大正方形的

示意圖（畫出一種即可）.

（素養(yǎng)題）②利用①中的成果，在圖4的數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)-

遍的點(diǎn)，并比較它們的大小.

27

素養(yǎng)發(fā)展

勾股定理是幾何學(xué)中一條基礎(chǔ)定理，被譽(yù)為“兒何學(xué)的基石；勾股定理

還是第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，它是兒何代數(shù)化的橋梁，三角函數(shù)之

間的關(guān)系由定理推演而來(lái)；勾股定理的公式被數(shù)學(xué)家評(píng)定為改變世界面貌的

公式；當(dāng)年我國(guó)衛(wèi)星向外太空發(fā)送信號(hào)，華羅庚就提議發(fā)送勾股定理的證明

圖案，因?yàn)楣垂啥ɡ砜赡苁俏拿髦g的相通語(yǔ)言。從上可知，勾股定理意義

非凡。勾股定理并且在實(shí)際生活中應(yīng)用也非常廣泛，那么同學(xué)們能不能利用

我們所學(xué)的勾股定理實(shí)際測(cè)量出我們學(xué)校旗桿的高度呢？

(2)時(shí)間要求：

A級(jí)學(xué)生做能力題和素養(yǎng)題20分鐘,

B級(jí)學(xué)生做基礎(chǔ)題和能力題20分鐘,

C級(jí)學(xué)生做基礎(chǔ)題20分鐘。

28

（3）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)（教師評(píng)價(jià)）

習(xí)題評(píng)價(jià)表

題號(hào)等級(jí)說(shuō)明與評(píng)價(jià)

A能寫出正:確答案，說(shuō)明能夠掌握了勾股定理并且能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單

1計(jì)算.

B

C不能寫出正確答案，還不能夠掌握定理.

A能寫出正確答案，說(shuō)明能夠運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題以及知識(shí)的

2綜合運(yùn)用.

B

C不能寫出正確答案，對(duì)知識(shí)的掌握還不夠靈活運(yùn)用.

A能寫出正確答案，說(shuō)明能夠掌握了勾股定理能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)

3算.

B

C不能寫出正確答案，對(duì)知識(shí)沒(méi)有掌握并且不能運(yùn)用.

A能寫出正確答案，說(shuō)明能夠掌握了勾股定理并且能夠把數(shù)與形

4結(jié)合.

B

C不能寫出正確答案，對(duì)知識(shí)的掌握還不夠靈活.

A能夠正確做出，過(guò)程完整條理清楚能彰解決實(shí)際問(wèn)題.

5B能夠正確做出但過(guò)程不完整.

C不能做出，無(wú)過(guò)程.

A能夠正確做出兩問(wèn)，過(guò)程完整條理清楚考慮全面，能與其它知

6識(shí)相結(jié)合.

B能夠正確做出兩問(wèn)但過(guò)程不完整；考慮不全面或者只能做出第

一問(wèn).

C兩問(wèn)都不能做出或者能做出第一問(wèn)但過(guò)程不完整.

A能夠完成三問(wèn)過(guò)程完整條理清楚.

7B能夠完成前兩問(wèn)過(guò)程完整條理清楚.

C其它情況.

29

作業(yè)整體評(píng)價(jià)表

評(píng)價(jià)指標(biāo)等級(jí)備注

ABC

答題的準(zhǔn)A等，答案正確，過(guò)程正確。

確性B等，答案正確，過(guò)程有問(wèn)題。

C等，答案不正確，有過(guò)程不完整；答案不準(zhǔn)

確，過(guò)程錯(cuò)誤、或無(wú)過(guò)程。

答題的規(guī)A等，過(guò)程規(guī)范，答案正確。

范性B等，過(guò)程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等.過(guò)程不規(guī)范或無(wú)過(guò)程,答案錯(cuò)誤c

解法的創(chuàng)A等，解法有新意和獨(dú)到之處，答案正確。

新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯(cuò)誤。