2024秋高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第2課時(shí)雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-第2課時(shí)雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,a)＝1的一條漸近線為y＝eq\r(2)x，則實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\r(2) B．2 C.eq\r(3) D．4解析：由題意，得eq\r(2)＝eq\f(\r(a),\r(2))，所以a＝4.答案：D2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線x＋3y＋1＝0垂直，則雙曲線的離心率等于()A.eq\r(6) B.eq\f(2\r(3),3) C.eq\r(10) D.eq\r(3)答案：C3．已知雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．[－eq\r(3)，eq\r(3)]解析：由題意知，F(xiàn)(4，0)，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，當(dāng)過F點(diǎn)的直線與漸近線平行時(shí)，滿意與雙曲線右支只有一個(gè)交點(diǎn)，畫出圖形，通過圖形可知應(yīng)選C.答案：C4．若在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支上到原點(diǎn)O和右焦點(diǎn)F的距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A．e>eq\r(2) B．1<e<eq\r(2)C．e>2 D．1<e<2答案：C5．已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))解析：因?yàn)镕1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1,所以eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0,即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).答案：A二、填空題6．已知F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，若A(1，4)，則|PF|＋|PA|的最小值是________．解析：因?yàn)锳點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F′(4，0)，于是由雙曲線的定義得|PF|－|PF′|＝2a＝4.而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5.兩式相加得|PF|＋|PA|≥9，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．由雙曲線的圖象可知當(dāng)點(diǎn)A，P，F(xiàn)′共線時(shí)，滿意|PF′|＋|PA|最小，故所求|PF|＋|PA|的最小值為9.答案：97．若直線y＝x－4與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．解析：將直線方程y＝x－4代入eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1，整理得2x2－24x＋57＝0，則有x1＋x2＝12，x1·x2＝eq\f(57,2).由弦長(zhǎng)公式得|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(122－4×\f(57,2))＝2eq\r(15).答案：2eq\r(15)8．已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)在圓x2＋y2＝5上，則m的值是________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y得x2－2mx－m2－2＝0.Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(m，2m)，又因?yàn)辄c(diǎn)(m，2m)在圓x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1.答案：±1三、解答題9．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(－eq\r(3)，eq\r(3))在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)已知P，Q為雙曲線上不同兩點(diǎn)，點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上，求eq\f(1,|OP|2)＋eq\f(1,|OQ|2)的值．解：(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，所以設(shè)雙曲線方程為x2－eq\f(y2,3)＝λ(λ≠0)，因?yàn)辄c(diǎn)M(－eq\r(3)，eq\r(3))在雙曲線上，所以(－eq\r(3))2－eq\f(（\r(3)）2,3)＝λ，所以λ＝2.所以雙曲線方程為x2－eq\f(y2,3)＝2，即eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1.(2)由題意知OP⊥OQ，設(shè)OP直線方程為y＝kx，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－\f(y2,6)＝1，,y＝kx，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(6,3－k2)，,y2＝\f(6k2,3－k2)，))所以|OP|2＝x2＋y2＝eq\f(6,3－k2)＋eq\f(6k2,3－k2)＝eq\f(6（1＋k2）,3－k2).由OQ直線方程為y＝－eq\f(1,k)x，以－eq\f(1,k)代替上式中的k，可得|OQ|2＝eq\f(6\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))\s\up12(2))),3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))\s\up12(2))＝eq\f(6（k2＋1）,3k2－1).所以eq\f(1,|OP|2)＋eq\f(1,|OQ|2)＝eq\f(3－k2,6（1＋k2）)＋eq\f(3k2－1,6（1＋k2）)＝eq\f(2（k2＋1）,6（1＋k2）)＝eq\f(1,3).10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)為F(－2，0)．(1)求雙曲線方程；(2)設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若|eq\o(MQ,\s\up14(→))|＝2|eq\o(QF,\s\up14(→))|，求直線l的方程．解：(1)由題意可設(shè)所求的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則有e＝eq\f(c,a)＝2，c＝2，所以a＝1，則b＝eq\r(3)，所以所求的雙曲線方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)因?yàn)橹本€l與y軸相交于M且過焦點(diǎn)F(－2，0)，所以l的斜率肯定存在，設(shè)為k，則l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0，2k)，因?yàn)閨eq\o(MQ,\s\up14(→))|＝2|eq\o(QF,\s\up14(→))|且M，Q，F(xiàn)共線于l，所以eq\o(MQ,\s\up14(→))＝2eq\o(QF,\s\up14(→))或eq\o(MQ,\s\up14(→))＝－2eq\o(QF,\s\up14(→)).當(dāng)eq\o(MQ,\s\up14(→))＝2eq\o(QF,\s\up14(→))時(shí)，xQ＝－eq\f(4,3)，yQ＝eq\f(2,3)k，所以Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)k))，因?yàn)镼在雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1上，所以eq\f(16,9)－eq\f(4k2,27)＝1，所以k＝±eq\f(\r(21),2)，所以直線l的方程為y＝±eq\f(\r(21),2)(x＋2)．當(dāng)eq\o(MQ,\s\up14(→))＝－2eq\o(QF,\s\up14(→))時(shí)，同理求得Q(－4，－2k)，代入雙曲線方程得，16－eq\f(4k2,3)＝1，所以k＝±eq\f(3\r(5),2)，所以直線l的方程為y＝±eq\f(3\r(5),2)(x＋2)，綜上，所求的直線l的方程為y＝±eq\f(\r(21),2)(x＋2)或y＝±eq\f(3\r(5),2)(x＋2)．B級(jí)實(shí)力提升1．已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則eq\f(1,e1e2)的最大值是()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(4\r(3),3) C．2 D．3答案：A2．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，直線與雙曲線左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(5)，eq\r(10))C．(eq\r(2)，eq\r(10)) D．(1，eq\r(2)＋1)解析：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由題意得當(dāng)直線滿意條件時(shí)應(yīng)有2<eq\f(b,a)<3，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))，所以eq\r(5)<e<eq\r(10).答案：B3．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(diǎn)(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積．解：(1)因?yàn)閑＝eq\r(2).所以可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．因?yàn)檫^點(diǎn)(4，－eq\r(10))，所以λ＝16－10＝6，所以雙曲線的方程為x2－y2＝6，即eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)由(1)可知，雙曲線中a＝b＝eq\r(6)，所以c＝2eq\r(3).所以F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)．所以eq\o(MF1,\s\up14(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up14(→))＝(2eq\r