2025版高中數學第二章統(tǒng)計章末復習學案含解析新人教A版必修3

PAGEPAGE1章末復習學習目標1.梳理本章學問，構建學問網絡.2.會依據不同的特點選擇適當的抽樣方法獲得樣本數據.3.能利用圖、表對樣本數據進行整理分析，用樣本和樣本的數字特征估計總體.4.能利用散點圖對兩個變量是否相關進行初步推斷，能用線性回來方程進行預料．1．抽樣方法(1)用隨機數法抽樣時，對個體所編號碼位數要相同，當問題所給位數不同時，以位數較多的為準，在位數較少的數前面添“0”，湊齊位數．(2)用系統(tǒng)抽樣法時，假如總體容量N能被樣本容量n整除，抽樣間隔為k＝eq\f(N,n)；假如總體容量N不能被樣本容量n整除，先用簡潔隨機抽樣剔除多余個體，抽樣間隔為k＝eq\f(K,n)(其中K＝N－多余個體數)．(3)三種抽樣方法的異同點類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡潔隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相同從總體中逐個抽取總體中的個體數較少系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時，采納簡潔隨機抽樣總體中的個體數較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個體數之比抽取在各層抽樣時采納簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成2.用樣本估計總體(1)用樣本估計總體用樣本頻率分布估計總體頻率分布時，通常要對給定的一組數據作頻率分布表與頻率分布直方圖．當樣本只有兩組數據且樣本容量比較小時，用莖葉圖刻畫數據比較便利．(2)樣本的數字特征樣本的數字特征可分為兩大類：一類是反映樣本數據集中趨勢的，包括眾數、中位數和平均數；另一類是反映樣本數據波動大小的，包括方差及標準差．3．變量間的相關關系(1)兩個變量之間的相關關系的探討，通常先作變量的散點圖，依據散點圖推斷這兩個變量最接近于哪種確定性關系(函數關系)．(2)求回來方程的步驟：①先把數據制成表，從表中計算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi；②計算回來系數eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)；))③寫出回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).題型一抽樣方法例1(1)大、中、小三個盒子中分別裝有同一產品120個、60個、20個，現在需從這三個盒子中抽取一個容量為25的樣本，較為恰當的抽樣方法是()A．分層抽樣 B．系統(tǒng)抽樣C．簡潔隨機抽樣 D．以上三種均可(2)某企業(yè)三月中旬生產A，B，C三種產品共3000件，依據分層抽樣的結果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的表格：產品類別ABC產品數量(件)1300樣本數量(件)130由于不當心，表格中A，C產品的有關數據已被污染看不清晰，統(tǒng)計員記得A產品的樣本數量比C產品的樣本數量多10，依據以上信息，可得C產品的數量是________件．答案(1)B(2)800解析(1)總體無明顯差異，但總體中個體數較多，故采納系統(tǒng)抽樣較恰當．(2)設C產品的樣本數量為n，則A產品的樣本數量為n＋10，由題意知eq\f(n＋n＋10＋130,3000)＝eq\f(130,1300)，解得n＝80.故C產品的數量為80÷eq\f(130,1300)＝800(件)．反思感悟系統(tǒng)抽樣的特點是“等距離”抽樣，分層抽樣的特點是“等比例”抽樣．跟蹤訓練1某高級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人．現要利用抽樣方法抽取10人參與某項調查，考慮選用簡潔隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，運用簡潔隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2，…，270；運用系統(tǒng)抽樣時，將學生統(tǒng)一隨機編號為1,2，…，270，并將整個編號依次分為10段．假如抽得號碼有下列四種狀況：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.關于上述樣本的下列結論中，正確的是()A．②③都不能為系統(tǒng)抽樣B．②④都不能為分層抽樣C．①④都可能為系統(tǒng)抽樣D．①③都可能為分層抽樣答案D解析按分層抽樣時，在一年級抽取108×eq\f(10,270)＝4(人)，在二年級、三年級各抽取81×eq\f(10,270)＝3(人)，則在號碼段1,2，…，108中抽取4個號碼，在號碼段109,110，…，189中抽取3個號碼，在號碼段190,191，…，270中抽取3個號碼，①②③符合，所以①②③可能是分層抽樣，④不符合，所以④不行能是分層抽樣；假如按系統(tǒng)抽樣時，抽出的號碼應當是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能為系統(tǒng)抽樣，②④都不能為系統(tǒng)抽樣．題型二用樣本的頻率分布估計總體例2某制造商生產一批直徑為40mm的乒乓球，現隨機抽樣檢查20個，測得每個球的直徑(單位：mm，保留兩位小數)如下：40．0340.0039.9840.0039.9940.0039.9840．0139.9839.9940.0039.9939.9540.0140．0239.9840.0039.9940.0039.96(1)完成下面的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；分組頻數頻率eq\f(頻率,組距)[39.95,39.97)[39.97,39.99)[39.99,40.01)[40.01,40.03]合計(2)假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02mm為合格品．若這批乒乓球的總數為10000，試依據抽樣檢查結果估計這批產品的合格個數．解(1)頻率分布表如下：分組頻數頻率eq\f(頻率,組距)[39.95,39.97)20.105[39.97,39.99)40.2010[39.99,40.01)100.5025[40.01,40.03]40.2010合計201.0050頻率分布直方圖如圖．(2)∵抽樣的20個產品中在[39.98,40.02]范圍內的有17個，∴產品合格率為eq\f(17,20)×100%＝85%.∴10000×85%＝8500.故依據抽樣檢查結果，可以估計這批產品的合格個數為8500.反思感悟總體分布中相應的統(tǒng)計圖表主要包括：頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖等．通過這些統(tǒng)計圖表給出的相應統(tǒng)計信息可以估計總體．跟蹤訓練2從高三學生中抽取50名同學參與數學競賽，成果的分組及各組的頻數如下：(單位：分)[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；(3)估計成果在[60,90)分的學生比例．解(1)頻率分布表如下.成果分組頻數頻率頻率/組距[40,50)20.040.004[50,60)30.060.006[60,70)100.20.020[70,80)150.30.030[80,90)120.240.024[90,100]80.160.016合計501.000.100(2)頻率分布直方圖和折線圖如圖所示：(3)成果在[60,90)分的學生比例為0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%.題型三用樣本的數字特征估計總體的數字特征例3為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯(lián)考數學成果狀況，用簡潔隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學生，以他們的數學成果(百分制)作為樣本，樣本數據的莖葉圖如圖．(1)若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學生總人數，并估計甲校高三年級這次聯(lián)考數學成果的及格率(60分及60分以上為及格)；(2)設甲、乙兩校高三年級學生這次聯(lián)考數學平均成果分別為eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，估計eq\x\to(x)1－eq\x\to(x)2的值．解(1)設甲校高三年級學生總人數為n.由題意，知eq\f(30,n)＝0.05，解得n＝600.樣本中甲校高三年級學生數學成果不及格的人數為5，據此估計甲校高三年級這次聯(lián)考數學成果的及格率為1－eq\f(5,30)＝eq\f(5,6).(2)設甲、乙兩校樣本平均數分別為eq\x\to(x′1)，eq\x\to(x′2).依據樣本莖葉圖知，30(eq\x\to(x′1)－eq\x\to(x′2))＝30eq\x\to(x′1)－30eq\x\to(x′2)＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此eq\x\to(x′1)－eq\x\to(x′2)＝0.5，所以eq\x\to(x)1－eq\x\to(x)2的估計值為0.5分．反思感悟樣本的數字特征分為兩大類：一類是反映樣本數據集中趨勢的特征數，例如平均數；另一類是反映樣本數據波動大小的特征數，例如方差和標準差．通常我們用樣本的平均數和方差(標準差)來近似代替總體的平均數和方差(標準差)，從而實現對總體的估計．跟蹤訓練3對甲、乙的學習成果進行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測值如下：甲6080709070乙8060708075問：甲、乙誰的平均成果好？誰的各門功課發(fā)展較平衡？解甲的平均成果為eq\x\to(x)甲＝74，乙的平均成果為eq\x\to(x)乙＝73.所以甲的平均成果好．甲的方差是seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(－14)2＋62＋(－4)2＋162＋(－4)2]＝104，乙的方差是seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[72＋(－13)2＋(－3)2＋72＋22]＝56.因為seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙的各門功課發(fā)展較平衡．線性回來及應用典例理論預料某城市2024到2024年人口總數與年份的關系如下表所示：年份202x(年)01234人口數y(十萬)5781119(1)請畫出上表數據的散點圖；(2)指出x與y是否線性相關；(3)若x與y線性相關，請依據上表供應的數據，用最小二乘法求出y關于x的回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(4)據此估計2025年該城市人口總數．(參數數據：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30)

解(1)數據的散點圖如圖：(2)由散點圖可知，樣本點基本上分布在一條直線旁邊，故x與y呈線性相關．(3)由表知eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(5＋7＋8＋11＋19)＝10.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝3.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.6，∴回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.2x＋3.6.(4)當x＝5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝19.6(十萬)＝196萬．故2025年該城市人口總數約為196萬．[素養(yǎng)評析](1)最小二乘法估計的三個步驟①作出散點圖，推斷是否線性相關．②假如是，則用公式求eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，寫出回來方程．③依據方程進行估計．(2)線性回來的應用，留意三個方面，一是收集數據，二是精確計算求得回來方程，三是用回來方程進行估計預料，所以，這類題目培育的數學核心素養(yǎng)為數學運算與數據分析.1．現有10個數，其平均數是4，且這10個數的平方和是200，那么這組數的標準差是()A．1B．2C．3D．4答案B解析設這10個數為a1，a2，…，a10，則有aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,10)＝200，且a1＋a2＋…＋a10＝40，∴eq\f(a1－42＋a2－42＋…＋a10－42,10)＝eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,10)－8a1＋a2＋…＋a10＋160,10)＝eq\f(200－8×40＋160,10)＝4，∴標準差為eq\r(4)＝2.2．某農田施肥量x(單位：kg)與小麥產量y(單位：kg)之間的回來方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋250，則當施肥量為50kg時，可以預料小麥的產量為________kg.答案450解析干脆將x＝50代入回來方程中，可得eq\o(y,\s\up6(^))＝4×50＋250＝450.3．如圖所示是一次考試結果的頻率分布直方圖，則據此估計這次考試的平均分為________．答案75解析利用組中值估算平均分，則有eq\x\to(x)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75，故估計這次考試的平均分為75.4．某車間為了制定工時定額，須要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數據如下：零件的個數x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標系中畫出表中數據的散點圖；(2)求出y關于x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并在坐標系中畫出回來直線；(3)試預料加工10個零件須要多少小時？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)))解(1)散點圖如圖．(2)由表中數據得：eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝52.5，eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝54，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝0.7，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝1.05，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.05，回來直線如圖所示．(3)將x＝10代入線性回來方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×10＋1.05＝8.05，故加工10個零件約須要8.05小時．5．從某學校的男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組；第一組[155,160)，其次組[160,165)，…，第八組[190,195]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組的人數相同，第六組的人數為4.(1)求第七組的頻率；(2)估計該校的