高考數(shù)學(xué) 千錘百煉2

第21煉多元不等式的證明

多元不等式的證明是導(dǎo)數(shù)綜合題的一個(gè)難點(diǎn)，其困難之處如何構(gòu)造合適的一元函數(shù)，本

章節(jié)以一些習(xí)題為例介紹常用的處理方法。

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1、在處理多元不等式時(shí)起碼要做好以下準(zhǔn)備工作：

（1）利用條件粗略確定變量的取值范圍

（2）處理好相關(guān)函數(shù)的分析（單調(diào)性，奇偶性等），以備使用

2、若多元不等式是一個(gè)輪換對(duì)稱(chēng)式（輪換對(duì)稱(chēng)式：一個(gè)〃元代數(shù)式，如果交換任意兩個(gè)字母

的位置后，代數(shù)式不變，則稱(chēng)這個(gè)代數(shù)式為輪換對(duì)稱(chēng)式），則可對(duì)變量進(jìn)行定序

3、證明多元不等式通常的方法有兩個(gè)

（1）消元：①利用條件代入消元②不等式變形后對(duì)某多元表達(dá)式進(jìn)行整體換元

（2）變量分離后若結(jié)構(gòu)相同，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性與自

變量大小來(lái)證明不等式

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將自變量的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等關(guān)系，再尋找方法。

二、典型例題：

例1：已知/（力=111%送。）=/（%）+0￥2+反，其中g(shù)（尤）圖像在（l,g⑴）處的切線(xiàn)平行于

X軸

（1）確定。與的關(guān)系

（2）設(shè)斜率為左的直線(xiàn)與的圖像交于A（XQJ,8（X2,力）（王<X2），求證：

解：(1)^(x)=lnx+ax2+bxg(x)=—+2or+h,依題意可得:

g(1)=1+2?+Z?=0=>/?=—(2a+l)

（2）思路：上二2二且=”-1呻,所證不等式為_(kāi)L<g山<1

即玉二A<]n三〈三二工，進(jìn)而可將三視為一個(gè)整體進(jìn)行換元，從而轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明一元不等

式

解：依題意得左=-一由」-'*,故所證不等式等價(jià)于：

±Jnx2-lnxl<1^：^<lnxI<x1-A1^1_A<lnxI<x1_1

x2x2-xxXjx2X[X]x2X,X]

令七強(qiáng)則只需證：

%t

先證右邊不等式：ln，v，—loln，T+lv()

令Mx)=ln/-f+l//(r)=--1=—

在(1,+0。)單調(diào)遞減?.〃⑺<〃(1)=0

即Im+lvO

對(duì)于左邊不等式：1—lvlnfu>lnf+1—l>0

tt

令p(f)=lnr+l_1,則p(1)==

/.p(r)在(l,+oo)單調(diào)遞增/.p(t)>p(l)=O

小煉有話(huà)說(shuō)：

(1)在證明不等式」-〈In—-E*--L時(shí),由于%,%獨(dú)立取值，無(wú)法利用等量關(guān)系消去

x2x2-X,Xj

一個(gè)變量，所以考慮構(gòu)造表達(dá)式/(%,9):使得不等式以/(七,七)為研究對(duì)象，再利用換元

將多元不等式轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉坏仁?/p>

(2)所證不等式為輪換對(duì)稱(chēng)式時(shí)，若司,電獨(dú)立取值，可對(duì)玉,馬定序，從而增加一個(gè)可操作

的條件

例2：已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

<2)設(shè)4(%,/(2)),3(工2，/(工2))，且尤1工電，證明："")</'

%一XI2

解：

(1)定義域?yàn)?0,+00)

f(x)=lnx+l

令f(x)>0解得：x>^~

???“X)的單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是(o,g

/(x)的極小值為==無(wú)極大值

(2)思路：所證不等式等價(jià)于證[In"-'lnX]<仙"十々+],輪換對(duì)稱(chēng)式可設(shè)王〈占，

x2-2

進(jìn)而對(duì)不等式進(jìn)行變形，在考慮能否換元減少變量

證明：不妨設(shè)王<“2

,,,/X+%2\xjnx,-xjn%.x.+x2t

A|X

x2-x(In^<x2In-XjIn—+x2-xi(由于定序玉vx2，去分母避免了分

類(lèi)討論)

x,\n-^<xl\n-^-+x2-xl(觀察兩邊同時(shí)除以西，即可構(gòu)造出關(guān)于土的不等式)

■xi+x2xx+x2

2.&

兩邊同除以西得，三In—2-〈,二一+五一1令三=/,則z〉l,

%/強(qiáng)1+強(qiáng)內(nèi)耳

2/2

即證：tIn-----<In-------\-t—\

l+t1+r

2t2

令g(f)='ln-------In--------f+1

\+t1+r

，/、.It1+r2J+r2[i2，\—t1,If—1、f—1

g(O=In--+t-1=ln-----+------=ln(1+------)--------

l+r2t(1+r)22(1+r)l+r1+rr+1f+1

令，h(m)=ln(l+7n)-m

7+T=m(n>0),(再次利用整體換元)

A'(w)=—L--l=-2?L_<0,在(0,M)上單調(diào)遞減，所以〃(M〈〃(O)=O

即ln(l+")vm,即g'?)=ln(l+—)--<0恒成立

f+1r+1

???g⑴在(L+co)上是減函數(shù)，所以g(t)<g(l)=0

2/2

???tIn---<In----Ff—1得證

1+r1+r

所以左.</'(笥殳)成立

小煉有話(huà)說(shuō)：

(1)本題考臉不等式的變形，對(duì)于不等式々In2、vxjn—8—+冬一王而言，觀察到

玉+/玉+/

每一項(xiàng)具備齊次的特征(不包括對(duì)數(shù))，所以同除以巧，結(jié)果為強(qiáng)或者1,觀察對(duì)數(shù)的真數(shù),

再

其分式也具備分子分母齊次的特點(diǎn)，所以分子分母同除以玉,結(jié)果為土或者1,進(jìn)而就將不

等式化為以，■為核心的不等式

(2)本題進(jìn)行了兩次整體換元，第一次減少變量個(gè)數(shù)，第二次簡(jiǎn)化了表達(dá)式

例3:已知函數(shù)/(x)=e*-5冗2一如(q￡R).

(1)若函數(shù)/(3)在/?上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)如果函數(shù)g(x)=/(x)-卜恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)%,乙,

證明：土衛(wèi)"<1112。.

2

解：

⑴??"(%)是K上是增函數(shù)

:.yxeRJ(x)=ex-x-a>0(注意：?jiǎn)握{(diào)遞增一導(dǎo)數(shù)值NO)

:.a<(er-x)

設(shè)7i(x)=ex-xh(x)=ev-1

令"(x)>0解得x>0故力⑶在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+oo)由調(diào)遞增

:.a<\

(2)思路：^(x)=f(x)-\a--}x2=ex-ax2-ax,g(x)=^r-2ax-a<)所證不等

ex,-2ax-a=0

式含有3個(gè)字母,考慮利用條件減少變量個(gè)數(shù)。由4超為極值點(diǎn)可得，1

x

e'-2ax2-a=0

從而可用為,工2表示。，簡(jiǎn)化所證不等式。

解：依題意可得:

g(")=fW-x2=ex-ax1-ax,g(x)=ex-2ax-a

,/xpx2是極值點(diǎn)

g(x,)=0(ex,-2ax-a=0

=?t兩式相減可得：2a——2

Xz

g(%2)=0[e-2ax2-a=0

文正_X2

x,+.6、一e"e

所證不等式等價(jià)于:----;<In------oe（2<-------不妨設(shè)司

2x,-x2西一看

“1一&6所_內(nèi)_1

兩邊同除以"2可得：e2<---------,（此為關(guān)犍步驟：觀察指數(shù)耗的特點(diǎn)以及分式的分母，化不同

為相同，同除以e”使得多項(xiàng)呈西一%的形式）

從而考慮換元減少變量個(gè)數(shù)。令1=玉一次2，￡（。,+8）

所證不等式只需證明：1v63or）-e'+l<0,設(shè)〃（x）=/■-d+1

P（x）=一/+

由（2）證明可得：/一（；+1）20/.p（x）<0

在（0,+oo）單調(diào)遞減，p（r）<p（0）=0證明完畢

原不等式成立即士玉<In2a

2

小煉有話(huà)說(shuō)：本題第（3）問(wèn)在處理時(shí)首先用好極值點(diǎn)的條件，利用導(dǎo)數(shù)值等于。的等式消去

a,進(jìn)而使所證不等式變量個(gè)數(shù)減少。最大的亮點(diǎn)在于對(duì)*+%〈ml'二?二的處理,此時(shí)

2%1-x2

對(duì)數(shù)部分無(wú)法再做變形，兩邊取指數(shù)，而后同除以""使得不等式的左右都是以王一%為整

體的表達(dá)式，再利用整體換元轉(zhuǎn)化為一元不等式。

例4:已知/(x)=(4+l)lnx+④2+1

(1)討論/(力的單調(diào)性

(2)設(shè)〃《—2,求證：G(0,+OO),|/(X,)-/(X2)|>4|X1-X2|

解：(1)定義域x>0

f(x)=----+lax=-------令f(x)>0,即

XX

2ax2+4+1>0=2加>一(0+])

①4=0則/(力>0恒成立,/(力為增函數(shù)

②。>0則/>一與富，/(工)>0恒成立，為增函數(shù)

三L2(〃+1)

③。<0時(shí)，X<------

2a

當(dāng)則/(x)v0恒成立，/(x)為減函數(shù)

當(dāng)一lva<0時(shí)，解得：0<x<J—四

V2a

1。尸]'1a+1、

X[J2af

1V2a

十—

/

(2)思路：所證不等式/(%)—/(占)|24|不一司含絕對(duì)值，所以考慮能否去掉絕對(duì)值，由

(1)問(wèn)可知/(力單調(diào)遞減，故只需知道玉,超的大小即可，觀察所證不等式為輪換對(duì)稱(chēng)式，

且％,占任取，進(jìn)而可定序々，所證不等式/(^)-/(%])>4^2-4xj,即

/(%)一4/之/(%)一你，發(fā)現(xiàn)不等式兩側(cè)為關(guān)于七,9的同構(gòu)式，故可以將同構(gòu)式構(gòu)造一

個(gè)函數(shù)，從而證明新函數(shù)的單調(diào)性即可。

解：不妨設(shè)超>王，???白工一2,所以由第(1)問(wèn)可得單調(diào)遞減，.?./(々)</(百)

所證不等式等價(jià)于：/(^)-/(xj)>4X2-4X(O/(5)+4苔>f(x2)+4x2,令

g(x)=/(x)+4x=(6t+l)lnx+a￥2+l+4x?只需證明g(x)單調(diào)遞減即可

，/、〃+1./2ax2+4.v+a+l

g(x)=---+2ar+4=-------------°

xx

設(shè)〃(X)=2OX2+4x+a+l

方程〃(x)=0A=16—16tz(6t+l)=—16(?+2)(?—1)<0

..〃(x)K0=g(x)<0

g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞減。.\^(^)>^(^2)即所證不等式成立

小煉有話(huà)說(shuō)：同構(gòu)式以看作是將不同的變量放入了同一個(gè)表達(dá)式，從而可將這個(gè)表達(dá)式視為

一個(gè)函數(shù)，表達(dá)式的大小與變量大小之間的關(guān)系靠函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行聯(lián)結(jié)。將不等式轉(zhuǎn)化為

函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題。雙變量的同構(gòu)式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。

例5：已知函數(shù)/(x)=21nx-￡-Qt.

(1)當(dāng)。之3時(shí)，討論函數(shù)y=/(x)在+8)上的單調(diào)性；

(2)如果芭,馬(X〈天)是函數(shù)/(尢)的兩個(gè)零點(diǎn)，f(x)為函數(shù)/(力的導(dǎo)數(shù)，證明：

解：(1)/(x)=--2x-?可判斷f(x)在1+oo]單調(diào)遞減

/(x)</f^J=4-l-a=3-a<0

「1、

.,J(x)在一,+oo單調(diào)遞減

.2/

(2)思路：/(X)=2-2x-a可得：#+2.]=——烏-----—(%(+2x^)-a,含有三

xI3JM+293

個(gè)字母，考慮利用條件減少字母的個(gè)數(shù)。由/(內(nèi))=/(9)=0可得:

21n強(qiáng)

21nx.-xl-ax.=0

,兩式相減便可用須，“2表岳々，即々—（x2+2），代人可得:

21nx2一石一但二°

21n強(qiáng)

—————xL=6(x2-x1)_21n^_J_

V一

+2X23x2-x,Xj+2X2g31

從而考慮換元法將多元解析式轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉馕鍪竭M(jìn)行證明

Xj+2X62,

2---------------(x.+、}~ci

解：fV1

~~3-XJ+2X23

,.?不工2（西＜工2）是函數(shù)/（力的兩個(gè)零點(diǎn)

2

/(x,)=21nx1-x1-ar1=021nx(\

=>a=-------L—4-rJ

/(x2)=21nx2-xj-ar2=0x2-x,

21n強(qiáng)

.//+2-62/、6x.

---------------(X+2x,)—a=----------------------

XX3V1」

31+22x,+2X2X2-x,3

???一*2")2<0

21n強(qiáng)It!

6w

二.只需證-In—<0

xx+2X2X2-x,Xj+2X2Xj1+2強(qiáng)石

王

V

,4"/=—(=(l,+oo)

%

則設(shè)—Inr下面證〃（。＜0

/?（i）=0,//（/）=-——?（：，）（，）＜0恒成立

，(%+2%、

.?./2⑺在（1,+8）單調(diào)遞減，.?.〃（。＜〃（1）=0即/<0

3

小煉有話(huà)說(shuō):

（1）體會(huì)在用表示。時(shí)為什么要用兩個(gè)方程，而不是只用21n芯一片-依］=0來(lái)表示。？

如果只用演或馬進(jìn)行表示，則In再很難處理，用不工2兩個(gè)變量表示。，在代入的時(shí)候有項(xiàng)

In三，即可以考慮利用換元法代替三，這也體現(xiàn)出雙變量換元時(shí)在結(jié)構(gòu)上要求“平衡”的特

耳X,

點(diǎn)

21nx

(2)在/'(智衛(wèi))再+62/■T/f)這一步中，對(duì)一如f)項(xiàng)的處理

可圖可點(diǎn)，第三問(wèn)的目的落在判斷/(土產(chǎn))的符號(hào)，而一((乙一七)符號(hào)為負(fù)，且在解

析式中地位多余(難以化成土)，所以單拿出來(lái)判斷符號(hào)，從而使討論的式子得到簡(jiǎn)化且能

表示為上的表達(dá)式

例6：(2010年天津，21)已知函數(shù)f(x)=xe-*

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值

(2)已知函數(shù))=8(%)的圖像與函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，證明當(dāng)%>1時(shí),

/(x)>g(x)

(3)如果%工工2，且/(克1)=/(工2)，求證：玉+冗2>2

解：(1)/(%)=-我-、+/、=(1-x)e-x

令f(x)>0=>x<l/./(x)的單調(diào)區(qū)間為：

X(fl)(L”)

/(力4-—

/W/

???〃力的極大值為/⑴=L無(wú)極小值

e

(2)解：與人力關(guān)于x=l軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為“2—月

g（力=/（2-M=（2-x）ex-2所證不等式等價(jià)于證：

X""+（X—2）+2>0設(shè)/2（力=X"，+（x-2）/?（1）=0

h[x）=-xe~x4-e-t+ex~2+（x-2）ex~2={x-\）{ex~2-1）

=^x（x-l）（e2x-2-l）

?/x>1/.e2x~2-1>0.\/z（x）>0

M力在（1,”）單調(diào)遞增「.MxAMihBivaAga）

（3）思路：所給條件/（%）=/（占）=>%"』=七6』，但很難與％+%>2找到聯(lián)系。首

先考慮玉,工2的范圍，由（1）可得工=1是極值點(diǎn)，.,./（玉）=/（毛）=%,%2應(yīng)在工=1的

兩側(cè)，觀察已知和求證均為菁,9的輪換對(duì)稱(chēng)式，所以可設(shè)王〈工2，進(jìn)而工[<1<12，既然無(wú)

法直接從條件找聯(lián)系，不妨從另一個(gè)角度嘗試。已知條件給的是函數(shù)值，所證不等式是關(guān)于

自變量的，%]+x2>2<=>%）>2-x2,而2—工2<1，根據(jù)/（x）的單調(diào)區(qū)間可發(fā)現(xiàn)2—工2，王

同在單調(diào)遞增區(qū)間中，進(jìn)而與函數(shù)值找到聯(lián)系芭>2-X2=/（芯）>〃2—電）

由〃％）=/（/）可得所證不等式等價(jià)于/（々）>“2—工2），剛好使用第二問(wèn)的結(jié)論。

解：?.,/（內(nèi)）=/（工2），X=1是極值點(diǎn)

X]，W在4=1的兩側(cè)，不妨設(shè)尤<1<12

所證不等式等價(jià)于項(xiàng)>2-％2而2-電V1

???7（/）在（-8,1）單調(diào)遞增

二.％>2-電=/（3）>“2-毛）??"（%）=/（%）

.,.只需證明/（9）>/（2—冗2）X2>1

二.由第（2）問(wèn)可得/（X2）>g（%）=/（2-工2）成立

.?.%[+占>2得證

小煉有話(huà)說(shuō)：（1）本題第（3）問(wèn)是利用函數(shù)的單調(diào)性，將自變量的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不

等關(guān)系，進(jìn)而與前面問(wèn)題找到聯(lián)系。在處理此類(lèi)問(wèn)題感到無(wú)法入手時(shí)，不妨在確定變量的范

圍后適當(dāng)將其賦予一個(gè)函數(shù)背景，獷展不等式變形的空間

(2)本題笫(2)(3)兩問(wèn)存在圖形背弟。首先說(shuō)笫三問(wèn)：所證不等式七十%>20小上>1

122

,即證X=%],%=看的中點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1,而X=1恰好是/(x)的極值點(diǎn)。/(芭)=/(工2)可

理解為了(力與一條水平線(xiàn)交于演,馬，而土土土■>1說(shuō)明什么？說(shuō)明如果是以極大值點(diǎn)x=l

為起點(diǎn)向兩邊走，左邊下降的快而右邊下降的慢！從函數(shù)角度來(lái)看說(shuō)明f(x)增長(zhǎng)快下降慢(如

圖)。那么如何使用代數(shù)方法說(shuō)明函數(shù)快增長(zhǎng)慢下降的特點(diǎn)呢？

I

本題的第二問(wèn)提供了一個(gè)方法，就是以極值點(diǎn)所在豎直線(xiàn)為對(duì)

稱(chēng)軸，找“X)的對(duì)稱(chēng)圖形(虛線(xiàn))，這樣便杷極值點(diǎn)左邊的情，J'、

I

I

況對(duì)稱(chēng)到右邊來(lái)(即g(x)),由于對(duì)稱(chēng)軸右邊都是從x=l起x=l，

開(kāi)始下降，那么通過(guò)證明對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)原圖像在對(duì)稱(chēng)圖像的上方即可說(shuō)明增減的相對(duì)快慢。

例7：已知函數(shù)〃X)J二A

(1)求“X)的極值

(2)若Inx—乙<0對(duì)任意的x>0均成立，求Z的取值范圍

(3)已知芯>0,工2>。且芭+W<?，求證：x1+x2>XjX2

解：(1)f\x)=a~^X令/(尤)>0解得

.V

.?./(力在(0,?“)單調(diào)增，在(e",+00)單調(diào)遞減

.?./(%)有極大值/(/)一無(wú)極小值

InX

(2)Inx一履vO=Z>——(參變分離法)

x

]設(shè)g(x)=@±(即a=l時(shí)的/(力)

\X/maxX

??g(x)max=g(e)W

(3)思路：所求證不等式須+工2>玉12無(wú)法直接變形，聯(lián)系/(x),g(x)的特點(diǎn)可以考慮不

等式兩邊取對(duì)數(shù)，即％+%>%毛=ln(x+電)>In%]+lnw,由玉>0,%2>。且

x]+x2<e可得芭，w￡(°,e)，聯(lián)系第⑵問(wèn)的函數(shù)g(x)即可尋找IhXiJnw與1”西+電)

的聯(lián)系了。

解：A'(>0,x>0,

2x1+x2<e

：.XpX2G(0,^)

考慮g(力=皿在(0,e)單調(diào)遞增

X

玉Xj+x2x(+x2

I"<IG+W)=10羽<當(dāng)嶼+%)

同理：.?聞工2)〈8($十')=>

x2X,+x2芭+電

,Jn%+lnx2<M(…)+仙(…2)

=ln(X)+x2)

X+%2

即In(再%)vIn(%1+x2)/.XjX2<x{+x2

例8：已知函數(shù)g(x)=lnx+bx

(1)函數(shù)g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)外,占，求實(shí)數(shù)b的取值范圍

2

(2)在(1)的條件下，求證：x,x2>e

解：(1)g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)』,々，即lnx+區(qū)=0有兩個(gè)不同的根

,Inx4、\nx

：.b=-----設(shè)〃刈=----------

xx

/'(x)=---令/(x)>0可得：l-lnxv0=x>e

X

.?./(X)在(0,e)單調(diào)遞減，在(e,+8)單調(diào)遞增

且X—>+oo時(shí),0，/(e)=—

..hw(一±0

(2)思路一：所證不等式中含有兩個(gè)變量玉,多，考慮利用條件消元將其轉(zhuǎn)化為一元不等式,

InX+=0/、

由零點(diǎn)可知，,從中可以找到王々，即1n=-Z?(X1+Xj),下面只需用玉,工2

"2b"2°

In—（%）+x2）\n-

將。消掉即可，仍然利用方程組兩式作差可得。二一工，從而------------五

%一工2

（X）4-x2）ln—

只需證明............-＞2f兩邊同除以王，即可利用換元將所證不等式轉(zhuǎn)為一元不等式

王一占

來(lái)進(jìn)行證明

解：不妨設(shè)/＞大

,,Inx+bx.=0/、

由已知可得：/.Inxx.=-b(x,+X.)

Inx2+bx2=0

即只需證明：—力（％+無(wú)）＞2,在方程11n可得：〃x-x,）=ln三

L[\nx2+bx2=0-〃x

hi迨1n強(qiáng)

:.b=—工只需證明：——工（斗+不）＞2

X一/xi-x2

In強(qiáng)1+強(qiáng)m三

xj%>201+*In強(qiáng)>2%一1

即———(xj+x2)>2<=>

強(qiáng)-1

%

V

令t=j則/>1,所以只需證明不等式：(l+/)hu>2(r—l)=>(l+i)hv—2/+2>0①

x\

設(shè)/7(f)=(l+i)hv—2/+2從1)=0

/?(/)=—+lnz-2=-+lnr-l//(1)=0

,力(，)=：一"二^^>。.?.//(/)在(1,+oo)單調(diào)遞增

.,./z(/)>/?(1)=0

在(1,+0。)單調(diào)遞增

.-./z(r)>//(1)=0,即不等式①得證

2

-b(x^+%)>2即In>2/.x{x2>e

思路二：參照例題6的證明方法，構(gòu)造一個(gè)單調(diào)的函數(shù)，進(jìn)而將自變量的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)

值的不等式進(jìn)行證明。由(1)可知在構(gòu)造的函數(shù)/(%)=-----中，有/(藥)=/(%)=6,

且“X)在(o,e)單調(diào)遞減，在(G+8)單調(diào)遞增，所以考慮使用來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，所證不等

2

式芭工2ox1>J,通過(guò)(1)中的數(shù)形結(jié)合可知0<再<e<%，從而有

%

2/2\/2\

%?O,e),j￡(O,e),所以所證不等式轉(zhuǎn)化為〃為)</—,^f(x2)<f—,轉(zhuǎn)化

W\X2J\X2J

為關(guān)于超的一元不等式，再構(gòu)造函數(shù)證明即可

2

解：所證不等式x,x,>eox1>—

X2

因?yàn)間(x)=lnx+床有兩不同零點(diǎn)xvx2

Inx

滿(mǎn)足方程lnx+bx=O=b=-------,由(1)可得：0V%<6<%2

x

考慮設(shè)〃刈=一小.=

X

由⑴可得:/(力在(0,e)單調(diào)遞減,在(e,+?)單調(diào)遞增

2

e

\-0<x<e<x.”e(O,e),一e(O,e)

12x?

結(jié)合/(X)的單調(diào)性可知：只需證明/(%)</

.?"(%)=/(工2)

所以只需證明：/(x2)</—O/(X2)-/—<0

\X27IWJ

,e2

In一122

22

即證明：一---^-<0<=>x2ln-———lnx7<0=2x；—(x；+e)lnx2<0

e~x2x2x2''

x2

設(shè)〃(x)=2f-(%2+e2)lnx,xe(e,-l-oo),則〃(e)=0

12

7?(x)=4x——(x2+e2^-2x\nx=3x--——2x\nx,則〃(e)=0

A(x)=3+--2(1+Inx)=1+—-21nx,則〃(e)=0

XX

單調(diào)遞減/Jz(x)<A(^)=0

單調(diào)遞減/./z(A:)<h(e)=0

〃(x)單調(diào)遞減〃(x)v=0

22

即-(x+e)lnx2<0得證

(^\/

2

?'?/(%)</'—得證，從而有一<=>x]x2>e

(xjx2

例9：已知函數(shù)=-,入+m(x+a),其中常數(shù)。>0

(1)求〃力的單調(diào)區(qū)間

(2)已知0<〃<g,若不X2?—a，a)，F(xiàn)工工2，且滿(mǎn)足/(xj+f(W)=。，試證明:

/(x,+x2)</(O)

解：(1)定義域“￡(-。,+8)

2ax+a2a(x+a)

令/(x)>0即x^ax-(2->oX]=0,x2=———>-a

①x}<x2=>0<a<yf2

X(-a,0)

Ia)<。J

/w+—+

//

②x}=^=>=a=42/(x)20恒成立.,./(力在(一〃,+8)單調(diào)遞增

③x1>x2=>a>>/2

(2-/、

X-a------(0,+oo)

Iya,Ia)

/?+—+

小）/X/

（2）

思路一：分別用用,工2，〃表示出/（Xj+x2）,并利用/（%1）+/（9）=0進(jìn)行代換，然后判

斯/（3+超）的符號(hào)即可。

解：f（玉+工2）="a一'+----------,/（0）=0,所以只需證明：/（x+x,）＜0

7

2ax}+x2+a

.?./（七）十/（W）=。

，/、./、111111玉+x,211八

/(xj+/(xj=-x.--+—+-x2--+—=---+—+—=0

即％+々=2——!------!_

2axx+ax2+a

只需證f(玉+招)=1+——!---------!........-<0

aa+x1+x2a+X]a+x2

-%）=匕-小J+［一右一.1

a+x1-a(ai.)(aIX]卜巧)玉玉

---------+-----------------------=----------

G+X

a(4+xj(a+X[+/2)(〃+W)a(a+xj(i+x2)(6r+x2)

(〃+%+々)(〃+12)-4(4+工1)

二x\

a(a+%)(a+X]+x2)(a+x2)

22

a+ax2+叫+x[x2+ax2+x1-a-ax^

Q(a+xJ(a+X]+x2)(a+x2)

x

x)x2+20r2+i%+占+2。

〃(a+xJ(4+X+x2)(6f+x2)a(a+xJ(a+X+x2)(iz+x2)

vxpx2￡（一。,〃），4￡（0,；

X)+a>+a>0,x,+x2+2a>0

若要證/（%+毛）＜0,只需證明：＜0即可

下面判斷公起的范圍

(X+〃)2-2

八------(~a<x<a)f(x)=-——

u+x+aJ2+2(x+a)2

(x+a)?-2v(a+a)?-2=4/-2<0

單調(diào)遞減，不妨設(shè)用<七v/(0)=0,/(xI)+/(x2)=0

:.-a<xl<0<x2<a與9<0,玉+巧+a=/+(%+a)>0

—_<0得證

a\+x2

?."G+W)v°即不等式f(x,+x2)</(0)得證

思路二：在證明f（%+X,）=--1------------------------＜0時(shí)，固定工2（視為,一個(gè)參

-aa+x1+x2。*a+x2

數(shù)），將a+演作為一個(gè)整體視為自變量，構(gòu)造函數(shù)判斷/（M+W）符號(hào)

解：考慮證明f(%+x,)=1+——--------.......-<0

-a。+$+乙。%a+x2

同思路一判斷出/.-a<%1<0<x2<a

令X=4+X]XG(O,67)設(shè)g(x)=^+—5--------!—

ax+x2xa+x2

...g(x)=----!—+2-=(少+工匹〉0

22,22

(x+x2)XX(x+x2)

/.g(x)在(0,a)單調(diào)遞增g(a+玉)vg(a)=。

即/(玉+/)=)+——!--------!.1......-<o不等式得證

a+x}+x2a+x}a+x2

小煉有話(huà)說(shuō)：（1）思路一的方法比較直接，在整理完/（須+工2）后通分判斷符號(hào)。其中證明

玉+工2>。借鑒了例6的思路，通過(guò)單調(diào)性將自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系，

構(gòu)造函數(shù)證明。

(2)思路二為我們提供了一個(gè)證明多元不等式的方法：可固定其中一個(gè)變量，視其為參數(shù)，

以另一個(gè)變量作為自變量構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算出最值，對(duì)原表達(dá)式進(jìn)行一次放縮，然后再將先前

固定的變量視為自變量構(gòu)造函數(shù)證明不等式，這種方法也稱(chēng)為調(diào)整法

(3)第(3)問(wèn)中對(duì)凡,超范圍的判定是一個(gè)亮點(diǎn)，利用極值點(diǎn)與單調(diào)性來(lái)進(jìn)行判定。此方法

通過(guò)圖像更為直觀，所以在判斷變量范圍時(shí)可以考慮做出草圖，然后觀察其大概位置，在用

代數(shù)語(yǔ)言進(jìn)行說(shuō)明和證明。

例10：已知函數(shù)f(x)=。一?一"其中agwR,e=2.71828...

(1)當(dāng)l=—。時(shí),求/(x)的極小值

(2)當(dāng)〃>0,人=一々時(shí)，設(shè)/(力為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)玉,工2,

且內(nèi)<工2，求證：f(3\na)>f\^|%2

Ig+M

解：(1)f^x)=ex-ax+af\x)=ex-a

①當(dāng)時(shí)，/(x)>0恒成立.?./(%)為增函數(shù)，無(wú)極小值

②當(dāng)々>0時(shí)，令/(x)>0=e'>a,解得x>lna

「./(X)在(-00,Ina)單調(diào)遞減，在(Ina,+oo)單調(diào)遞增

/(X)有極小值為/(Ina)=e”"—alna+a=2a-a\na

(2)思路：/(x)=eA-ax+a,可得f(3\na)=a(a2-31na+①，

()yY\2**—z/v-Lz>—Q

fp±2=*+'2-4,考慮減少變量個(gè)數(shù)。由石,馬是零點(diǎn)可得：1,

I芭+/J[e&-ax2+a=0

可得。=巴士，若直接代入不等式消去〃，則不等式過(guò)于復(fù)雜。且

/(31n6?)>/|2XlX1I之間很難通過(guò)變形構(gòu)造函數(shù)，所以考慮分別判斷

〃3hw)J的取值直圍，尋找它們之間的“中間量”。構(gòu)造函數(shù)

1+^2

p(a)=a2-3\na+\,通過(guò)判斷單調(diào)性可得到p(a)>0,從而/(3hw)>0,而

2演必2孫巧9x,

xx+X2ee

e^-a=e'-t~',不利于通過(guò)換元減少變量個(gè)數(shù)，但觀察到

1$+電七一9

2xv_2x+x

r2]2從而

M+W2

%%

內(nèi)一電必f

于’2XX內(nèi)+如為-—二

{2<e2-2,可通過(guò)換元4二衛(wèi)二"構(gòu)造

1「乙2

2XX

函數(shù)。(幾)，再分析其最值即可得到/12<0,從而通過(guò)橋梁“0”證明不等式

3+電,

解：f(x)=ex-axa:.f\x)=ex-a

/./(31n^)=a3-3a\na-\-a=a[cr-31na+1)

2司也

2X,X2

<XI+X2>

???/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和々

_o￥[+a=0ex'-eX2./2/%、迎Xm

Xl+X2_2________

=>a=---------e

—aXy+a=0—x2

考慮：.,./(31na)=4(a2-3]na+i),p(^a)=a2-31n?+l

2m

a+—

/'C32?2

p⑷=2a——,因?yàn)閍>0

aa

/.p(a)在0,單調(diào)遞減,,+oo單調(diào)遞增

|-3畔+1>0

??P(%n=

/.p(6/)>0/./(31ntz)=a-p(<a)>0

X|-Xjx2-X|

設(shè)，二^SA(4>0),則T二再劣62+e2=24+6：―/

2Xj-x224

設(shè)a(4)=2/l_/+eT/.a(/l)=2—1一&々=2—(/+；)<0

/.a（2）在（0,+oo）單調(diào)遞減

綜上可得：,f（31na）>0>f

I再

第22煉恒成立問(wèn)題——參變分離法

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)(一個(gè)視為變量，另一個(gè)視為參數(shù)),

可利用不等式的等價(jià)變形讓兩個(gè)字母分居不等號(hào)的兩側(cè)，即不等號(hào)的每一側(cè)都是只含有一個(gè)

字母的表達(dá)式。然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍

2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個(gè)字母的范圍己知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它

的函數(shù)，另一個(gè)字母(一般為所求)視為參數(shù)。

3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問(wèn)題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點(diǎn)原則:

(1)已知不等式中兩個(gè)字母是否便于進(jìn)行分離，如果僅通過(guò)幾步簡(jiǎn)單變換即可達(dá)到分離目的,

則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個(gè)字母的關(guān)系過(guò)于“緊密”，會(huì)出現(xiàn)無(wú)法分離的情

形，此時(shí)要考慮其他方法。例如：(*-l)2<10gaX,二小磔>1等

1-X

(2)要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值(或臨界值)，若解析式過(guò)

于復(fù)雜而無(wú)法求出最值(或臨界值)，則也無(wú)法用參變分離法解決問(wèn)題。(可參見(jiàn)”恒成立問(wèn)

題一一最值分析法”中的相關(guān)題目)

4、參變分離后會(huì)出現(xiàn)的情況及處理方法：(假設(shè)x為自變量，其范圍設(shè)為。，/(x)為函數(shù);

〃為參數(shù)，g(。)為其表達(dá)式)

(1)若/(X)的值域?yàn)閇肛M]

①心￡。話(huà)⑷</(力則只需要g(a)Kf(xL=〃z

VXGD,^(X)</(X),則只需要g⑷</⑴旃=m

②Dx￡2g(a)之,則只需要g(a)>11ttx=M