《新高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)課件》專(zhuān)題一-培優(yōu)點(diǎn)5-極值點(diǎn)偏移問(wèn)題_第1頁(yè)
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培優(yōu)點(diǎn)5

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專(zhuān)題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱(chēng)性，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，這類(lèi)題往往思維要求較高，過(guò)程較為煩瑣，計(jì)算量較大，解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，有構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨(dú)具特色.例(2021·啟東模擬)已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2.證明x1＋x2>2.所以g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，由于x1，x2是方程g(x)＝0的實(shí)根，不妨設(shè)0<x1<1<x2，方法一(對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造函數(shù)法)要證x1＋x2>2，只要證x2>2－x1>1.由于g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故只要證g(x2)<g(2－x1)，由于g(x1)＝g(x2)＝0，故只要證g(x1)<g(2－x1)，因?yàn)閤<1，所以1－x>0,2－x>x，所以e2－x>ex，即e2－x－ex>0，所以H′(x)>0，所以H(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增.所以H(x1)<H(1)＝0，即有g(shù)(x1)<g(2－x1)成立，所以x1＋x2>2.方法二(比值代換法)設(shè)0<x1<1<x2，由g(x1)＝g(x2)，得

，取對(duì)數(shù)得lnx1－x1＝lnx2－x2.所以當(dāng)t>1時(shí)，g(t)單調(diào)遞增，所以g(t)>g(1)＝0，故x1＋x2>2.能力提升跟蹤演練證明f′(x)＝lnx＋1，方法二f(x1)＝f(x2)即x1lnx1＝x2lnx2，

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