立體幾何與空間向量專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

立體幾何與空間向量基本立體圖形及其直觀圖空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1下列說(shuō)法正確的是()A．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)平面圖形與其直觀圖的關(guān)系例2(多選)(2023·朝陽(yáng)建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，則以下說(shuō)法正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2倍C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC的周長(zhǎng)是4＋4eq\r(2)空間幾何體的展開(kāi)圖和截面圖例3某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，M，N分別是圓柱上、下底面圓周上的兩點(diǎn)，O為下底面圓的圓心，ME是圓柱的母線，OE⊥ON，如圖所示，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2例4某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為4eq\r(3)的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為4π，則該球的半徑是()A．2 B．4C．2eq\r(6) D．4eq\r(6)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積幾何體的表面積例1(1)(2023·襄陽(yáng)四中模擬)如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是2，過(guò)PO的中點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積為()A．(1＋eq\r(5))π B．(2＋eq\r(5))πC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)＋\r(5)))π D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋\r(5)))π(2)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_______cm2(結(jié)果中保留π)．幾何體的體積例2(2023·全國(guó)甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．3例3如圖，一個(gè)底面半徑為3的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為4和10，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π例4我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣，芻，草也，薨，屋蓋也”．今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體(如圖所示)，下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，上棱EF＝eq\f(3,2)，EF∥平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻薨的體積為()A．6 B.eq\f(11,3)C.eq\f(31,4) D．12例5如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，則三棱錐A－A1EF的體積是________．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系基本事實(shí)與推論的應(yīng)用例1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．交，設(shè)交點(diǎn)為P.空間兩條直線的位置關(guān)系例2(1)(多選)如圖所示，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，l?平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列結(jié)論能成立的是()A．l與AD平行 B．l與AB異面C．l與CD所成的角為30° D．l與BD垂直(2)在底面半徑為1的圓柱OO1中，過(guò)旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則()A．AE＝CF，AC與EF是共面直線B．AE≠CF，AC與EF是共面直線C．AE＝CF，AC與EF是異面直線D．AE≠CF，AC與EF是異面直線異面直線所成的角例3(1)如圖，在三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點(diǎn)，則EF與AC所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°(2)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)空間直線、平面的平行有關(guān)平行關(guān)系的判斷例1(1)(多選)(2023·天津和平區(qū)期中)已知三條直線a，b，c和兩個(gè)平面α，β，下列命題正確的是()A．若α∥β，a?α，則a∥βB．若α∥β，a?α，b?β，則a∥bC．若a∥α，a∥b，b∥β，則β∥αD．若α∩β＝a，b?α，c?β，b∥c，則a∥b(2)(多選)(2023·遼寧沈陽(yáng)二模)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，則()A．平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行B．平面PBC內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面PAD平行C．平面PAB和平面PCD的交線不與底面ABCD平行D．平面PAD和平面PBC的交線不與底面ABCD平行直線與平面平行的判定與性質(zhì)例2如圖，在三棱臺(tái)DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．求證：BD∥平面FGH.例3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在MD上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.面面平行的判定與性質(zhì)例4如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.空間直線、平面的垂直有關(guān)垂直關(guān)系的判斷例1(2023·重慶模擬)已知l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正確的是()A．若l∥α，且m∥α，則l⊥mB．若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m∥nC．若m∥l，且m⊥α，則l⊥αD．若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(1)在五面體ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2eq\r(5)，求證：AB⊥平面ADE.(2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.面面垂直的判定與性質(zhì)例3如圖所示，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E為PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面PCD⊥平面ACE；(2)求點(diǎn)B到平面ACE的距離．空間向量及其運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算例1(1)已知向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)c－2a，則c＝()A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．①化簡(jiǎn)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________．共線向量與共面向量定理的應(yīng)用例2如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點(diǎn)M，N分別在AC1和BC上，且滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？空間向量的數(shù)量積例3已知空間三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)求a與b夾角的余弦值；(3)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．例4已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求|eq\o(AC1,\s\up6(→))|；(2)求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))與eq\o(A1D,\s\up6(→))夾角的余弦值；(3)證明：eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).空間向量在立體幾何中的應(yīng)用利用空間向量證明平行、垂直例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD所成的角為30°.求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.利用空間向量求空間角例2(1)如圖，正四棱錐P－ABCD的側(cè)面PAB為正三角形，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線BE與PA所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)(2)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AD上，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，若異面直線D1E與A1F所成角的余弦值為eq\f(3\r(2),10)，則λ的值為_(kāi)_______．例3(2020·新高考Ⅰ卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．例4(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖，三棱錐A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：BC⊥DA；(2)點(diǎn)F滿足eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，求二面角D－AB－F的正弦值．利用空間向量求空間距離例5(2023·廣州天河區(qū)模擬)如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE∥BF，AB＝AE＝2BF＝2.(1)證明：平面EAC⊥平面EFC；(2)在棱EC上有一點(diǎn)M，使得平面MBD與平面ABCD的夾角為45°，求點(diǎn)M到平面BCF的距離．立體幾何中的折疊問(wèn)題例2圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖2中的二面角B－CG－A的大?。剿餍詥?wèn)題與平行、垂直相結(jié)合例3如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求二面角D－BF－C的余弦值；(2)在線段AB(含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)