微積分 第一章習題1.1答案學習課件

函數集合與函數習題1。1求下列函數的自然定義域：（1）由，得定義域為。（2）由，得定義域為。（3）由，得定義域為。（4）由得定義域為（5）由，得定義域為。（6）2由，得定義域為。（7）由，得定義域為且。求下列函數的值域：（1） 由，得（2）由得。（3）由，得，所以。（4）由，得，所以把半徑為的一圓形鐵皮，自中心處剪去中心角為的一扇形后圍成一無底圓錐。試將這圓錐的體積表示為的函數。解：圓錐的底圓周長為鐵皮被剪后所剩扇形的弧長，即，所以圓錐的底圓半徑為，圓錐的母線長顯然為，所以圓錐的高為，由此得圓錐體積為：，其中。下列各題中，函數和是否相同？為什么？（1）的定義域為，而的定義域為，所以兩函數不同。（2），與對應法則不同，是不同的函數。（3）與具有相同的定義域和對應法則，是兩個相同的函數。（4）的定義域為，與的定義域不同，是兩個不同的函數。（5）的定義域為，而的定義域為，所以兩個函數不同。（6）的定義域為，與的定義域不同，它們是兩個不同的函數。（7），它與的定義域和對應法則都相同，是兩個相同的函數。（8）的定義域為，的定義域為和，所以它們是兩個不同的函數。（9），它與的定義域和對應法則都一樣，是兩個相同的函數。（10），它與的定義域和對應法則都一樣，是兩個相同的函數。設為定義在內的奇函數，若在內單調遞增，證明在內也單調遞增。證明：設，則，所以，而，所以。設下面所考慮的函數都是定義在上的。證明：兩個偶函數的和是偶函數，兩個奇函數的和是奇函數；兩個偶函數的乘積是偶函數，兩個奇函數的乘積是偶函數，偶函數與奇函數的乘積是奇函數；兩個奇函數的商是偶函數，兩個偶函數的商是偶函數。證明：設為奇函數，為偶函數。（1）（2）（3）證明：定義在對稱區(qū)間上的任何函數都可唯一表示成一個偶函數與一個奇函數之和。證明：唯一性：若，其中為偶函數，為奇函數，則，所以只能是存在性：令易驗證，且為偶函數，為奇函數。下列函數中哪些是偶函數，哪些是奇函數，哪些既非偶函數又非奇函數？（1）定義域為，且，所以是偶函數。（2），所以既不是奇函數，也不是偶函數。（3）定義域為，且，所以是偶函數。（4）定義域為，且，所以是奇函數。（5），所以既不是奇函數，也不是偶函數。（6）定義域為，且，所以是偶函數。（7）定義域為，且，所以是奇函數。（8）定義域為，且，所以是奇函數。下列各函數中哪些是周期函數？對于周期函數，指出其周期。（1）因為為周期函數，周期為，所以本函數也為周期函數，周期為。（2）因為為周期函數，周期為，所以本函數也為周期函數，周期為。（3）因為為周期函數，周期為，所以本函數也為周期函數，周期為。（4）若其為周期函數，則存在，使得，令，得，所以；令，得，由此得，這是一個矛盾。所以不是周期函數。（5）因為，所以本函數為周期函數，周期為。求下列函數的反函數：（1），所以反函數為（2）所以反函數為。（3），所以反函數為（4）易得，所以，所以反函數為。（5）所以反函數為（6）所以反函數為。（7）由應取，所以反函數為。設的定義域，求下列各