2024年上海中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)卷試題真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上海中學(xué)2024年自招題數(shù)學(xué)1．已知a、b和c是的三邊，，，方程兩根之差是，求的底角的度數(shù)．2．已知關(guān)于x和y的方程組有正整數(shù)解，求整數(shù)a的值．3．已知平面上有三個(gè)圓和三條直線，求它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值．4．已知I是的內(nèi)心，交于D，交于E，，求長(zhǎng)度．5．已知二次函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，，求的值．6．已知，圖象頂點(diǎn)為A，與x軸交于B和C，是等邊三角形，求a的值．7．如圖，已知一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)交于A和B點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，，(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)已知點(diǎn)A點(diǎn)橫坐標(biāo)是m，的面積是S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式；(3)已知的面積是，判斷過A和B點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)度能否等于3．如果能，求其解析式；如果不能，請(qǐng)說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及根與系數(shù)的關(guān)系，首先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根與系數(shù)的式子，然后根據(jù)方程的兩根之差是得到，代入得到的a、b的關(guān)系，從而確定底角的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)方程的兩根分別為m、n，，方程兩根之差是，，整理得，即，，即，是底邊為b的等腰三角形，由圖可知，，的底角．2．1或2或4或10【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，利用有理數(shù)的整除的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．利用加減法求出方程組的解，利用已知條件得到關(guān)于a的關(guān)系式，利用有理數(shù)的整除的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論【詳解】解：，由得：，∴當(dāng)時(shí)，，∵有正整數(shù)解∴，且或2或3或4或6或12∴，當(dāng)，則，此時(shí)，（舍）；當(dāng)，則，此時(shí)，（舍）；當(dāng)，則，此時(shí)，；當(dāng)，則，此時(shí)，；當(dāng)，則，此時(shí)，；當(dāng)，則，此時(shí)，，∴整數(shù)a的值為1或2或4或10．3．三個(gè)圓和三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值為．【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵兩條直線最多有1個(gè)交點(diǎn)，∴三條直線兩兩之間最多有3個(gè)交點(diǎn)，∵兩個(gè)圓最多有2個(gè)交點(diǎn)，∴三個(gè)圓兩兩之間最多有6個(gè)交點(diǎn)，∵一條直線與一個(gè)圓最多有2個(gè)交點(diǎn)，∴一條直線與三個(gè)圓最多有6個(gè)交點(diǎn)，∴三條直線與三個(gè)圓最多有18個(gè)交點(diǎn)，∴三個(gè)圓和三條直線最多有：個(gè)交點(diǎn)，∴三個(gè)圓和三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值為．4．2【分析】連接，可得出，由三角形內(nèi)心的定義可得出，，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得出，進(jìn)而利用三角形外角的定義以及等量代換，等邊對(duì)等角得出，再證明，由相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：連接，∵，∴，∵I是的內(nèi)心，∴，，∵和都對(duì)應(yīng)弧，∴，又∵，∴．∵，∴，又，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定以及性質(zhì)，三角形外角的定義以及性質(zhì)等知識(shí)．掌握三角形內(nèi)心的定義是解題的關(guān)鍵．5．【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、求函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式成為解題的關(guān)鍵．由可得，設(shè)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，最后求出的函數(shù)值即可．【詳解】解：∵，∴，設(shè)，∵，∴，解得：，∴，∴．6．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與等邊三角形綜合．熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．令，求出，配方，得到對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)，根據(jù)是等邊三角形，得到，得到，即可求得．【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，．∴．∴．∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．∴．∵是等邊三角形，∴．∴．∴．∴．解得（舍去）或．故．7．(1)(2)(3)不能，理由見解析【分析】（1過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，由，可得，可求得；設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：，將代入即可求解；（2）由題意得，可求出直線的解析式為：得出，根據(jù)即可求解；（3）由題意得，設(shè)過A和B點(diǎn)的拋物線的解析式為：，可推出；設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為，若過A和B點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)度等于3，則，即；結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，判斷此一元二次方程有無實(shí)數(shù)根即可求解；【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，如圖所示：∵，，∴，∵∴，∴，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：（2）解：∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)是m，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，∴直線的解析式為：，∴，∴（3）解：由解得：，∴，∴，解得：，∵，即：，∴，∴，設(shè)過A和B點(diǎn)的拋物線的解析式為：，則，解得：，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為，若過A和B點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)度等于3，則，∴，即，由得：，∴，整理得：，∵，∴過A和B點(diǎn)