《自動(dòng)控制原理及其應(yīng)用》課件第2章

第2章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1系統(tǒng)的微分方程

2.2拉普拉斯變換

2.3傳遞函數(shù)

2.4系統(tǒng)方框圖

2.5典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和方框圖

2.6環(huán)節(jié)的基本連接方式及其總傳遞函數(shù)

2.7方框圖的等效變換及化簡(jiǎn)

小結(jié)

2.1系統(tǒng)的微分方程

描述系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的關(guān)系的最直接的數(shù)

學(xué)方法是列寫系統(tǒng)的微分方程(DifferentialEquationofSystems)。當(dāng)系統(tǒng)的輸入量和輸出量都是時(shí)間t的函數(shù)時(shí)，

其微分方程可以確切地描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。微分方程是

系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型。

1.建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟

建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟如下：

(1)全面了解系統(tǒng)的工作原理、結(jié)構(gòu)組成和支持系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。

(2)一般從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，依次列寫它們的微分方程。

(3)將各元件或環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)系起來(lái)消去中間變量，求取一個(gè)僅含有系統(tǒng)的輸入量和輸出量的微分方程，它就是系統(tǒng)的微分方程。

(4)將該方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。即把與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，把與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊，各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，并將方程的系數(shù)化為具有一定物理意義的表示形式，如時(shí)間常數(shù)等。

2.建立系統(tǒng)微分方程舉例

【例1】有源電路網(wǎng)絡(luò)如圖2-1所示，試列寫其微

分方程。

系統(tǒng)中：ur(t)——輸入電壓；uc(t)——輸出電壓；

K0——運(yùn)算放大器開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)。圖2-1有源電路網(wǎng)絡(luò)

解理想運(yùn)算放大器有兩個(gè)特點(diǎn)：

(1)放大倍數(shù)K0的值很大，uc(t)=K0Δui(t)，所以

Δui(t)≈0;

(2)輸入阻抗Ri很大，所以Ii≈0。設(shè)運(yùn)算放大器的反相輸入端為A點(diǎn)。因?yàn)閡c(t)=－K0uA(t),所以，A點(diǎn)電位為

因?yàn)橐话爿斎胱杩购芨?，所以?jù)此，可列出

即

【例2】圖2-2所示為一有源RC網(wǎng)絡(luò)，設(shè)電路輸入電

壓為ur(t)，輸出電壓為uc(t)。圖中A為理想運(yùn)算放大器，試列寫其微分方程。圖2-2有源RC網(wǎng)絡(luò)

解由于理想運(yùn)算放大器A工作在線性狀態(tài)，其開(kāi)環(huán)增益很大，根據(jù)理想運(yùn)算放大器“虛地”的特點(diǎn)，有

且于是有

整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，即若令T=R1C1為時(shí)間常數(shù)，K=-R1/R0為放大系數(shù)，則可得

(2-1)

【例3】如圖2-3所示的RLC串聯(lián)電路，設(shè)輸入

量為ur(t)，輸出量為uc(t)，試列寫出該網(wǎng)絡(luò)的微分方程。圖2-3

RLC串聯(lián)電路

解根據(jù)電路理論中的基爾霍夫定律和元件的電壓與電流的關(guān)系有

i(t)為流經(jīng)電阻R、電感L及電容C的電流。以上兩式消去中間變量i(t)，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，可得

若令T1=L/R、T2=RC為時(shí)間常數(shù)，則上式可寫為

(2-2)

【例4】如圖2-4所示為一化工生產(chǎn)中常見(jiàn)的雙容液

位對(duì)象。設(shè)輸入量F1為流入液體流量，輸出量L2為儲(chǔ)罐2的液位高度。試建立L2與F1之間的動(dòng)態(tài)方程。圖2-4兩個(gè)串聯(lián)液體儲(chǔ)罐

解為便于分析，假設(shè)液體儲(chǔ)罐1和儲(chǔ)罐2近似為線性對(duì)象，即阻力系數(shù)R1、R2均為常數(shù)。根據(jù)流體連續(xù)性原理，對(duì)于儲(chǔ)罐1和儲(chǔ)罐2有以上各式中，R1、R2

為儲(chǔ)罐1、2的閥門阻力系數(shù)；A1、A2

為儲(chǔ)罐1、2的底面積(容量系數(shù))，V1、V2為儲(chǔ)罐1、2的流體體積(V=AL)；L1、L2為儲(chǔ)罐1、2的液體高度。

聯(lián)立式(2-3)～式(2-8)，并整理后得

(2-9)

若令T1=A1R1,T2=A2R2為時(shí)間常數(shù)，K=R2為放大系數(shù),

則可得到

(2-10)

【例5】如圖2-5所示為電樞電壓控制的他勵(lì)直流電

動(dòng)機(jī)的示意圖。直流電動(dòng)機(jī)是調(diào)速系統(tǒng)的被控對(duì)象。現(xiàn)以

電樞電壓ua為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速n為輸出量，試建立其微

分方程。圖2-5他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)示意圖

解根據(jù)電路定律及元件特性，有設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

式中g(shù)=9.8m/s2。又設(shè)將以上兩式代入式(2-13)有

(2-15)

式中，轉(zhuǎn)速慣量若勵(lì)磁回路電流if恒定，負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL為電動(dòng)機(jī)的外部擾動(dòng)量，則可分析改變輸入量ua對(duì)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速n的影響。

由式(2-11)、式(2-12)、式(2-14)和式(2-15)，消去中間變量，并化成標(biāo)準(zhǔn)形式，可得

(2-16)其中，Tm為直流電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)，即

(2-17)

Ta為電樞回路電磁時(shí)間常數(shù)，即

(2-18)

【例6】如圖2-6所示為一個(gè)彈簧、質(zhì)量和阻尼器

組成的機(jī)械系統(tǒng)，若外力F(t)作用于質(zhì)量為m的物體，其輸出量y(t)為位移，試列寫該系統(tǒng)F(t)與y(t)之間的微分方程。圖2-6彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)

解根據(jù)牛頓第二定律，可得

(2-19)

又有

(2-20)

(2-21)將式(2-20)、式(2-21)代入式(2-19)，可得微分方程為

移項(xiàng)整理得

(2-22)

2.2拉普拉斯變換

1.拉氏變換的概念

若將時(shí)間域函數(shù)f(t)，乘以指數(shù)函數(shù)e-st(其中s=σ+jω，是一個(gè)復(fù)數(shù))，再在0～∞(本書(shū)如無(wú)特指，∞均指+∞)之間對(duì)t進(jìn)行積分，就得到一個(gè)新的復(fù)頻域函數(shù)F(s)。F(s)稱為f(t)的拉氏變換式，并可用符號(hào)表示。

(2-23)

【例1】求單位階躍函數(shù)(UnitStepFunction)1(t)的象

函數(shù)。

解在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，單位階躍函數(shù)是一個(gè)突加作用信號(hào)，相當(dāng)于一個(gè)開(kāi)關(guān)的閉合(或斷開(kāi))，單位階躍函數(shù)的定義式為由拉氏變換的定義得1(t)的象函數(shù)為

(2-24)

單位階躍函數(shù)如圖2-7所示。圖2-7單位階躍函數(shù)

【例2】求斜坡函數(shù)(RampFunction)的象函數(shù)。

斜坡函數(shù)的定義式為

式中，K為常數(shù)。

解在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，斜坡函數(shù)是一個(gè)對(duì)時(shí)間作均勻變化的信號(hào)。在研究跟隨系統(tǒng)時(shí)，常以斜坡信號(hào)作為典型的輸入信號(hào)。同理，根據(jù)拉氏變換的定義式有

(2-25)

這里應(yīng)用了積分學(xué)中的分部積分法，即若式(2-25)中K=1，則單位斜坡函數(shù)的象函數(shù)為

【例3】求指數(shù)函數(shù)(ExponentialFunction)e-αt的象函數(shù)。

解由式(2-23)，有

(2-26)

【例4】求正弦函數(shù)(SinusoidalFunction)f(t)=sinωt的象函數(shù)。

解由式(2-23)，有

(2-27)這里應(yīng)用了歐拉公式：

實(shí)際上，常把原函數(shù)與象函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列成對(duì)

照表的形式。通過(guò)查表，就能夠知道原函數(shù)的象函數(shù)或象

函數(shù)的原函數(shù)，十分方便。常用函數(shù)的拉氏變換對(duì)照表見(jiàn)

表2-1。

2.拉氏變換的運(yùn)算定理

1)疊加定理

兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的拉氏變換等于兩個(gè)函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和。即

(2-28)

證

2)比例定理

K倍原函數(shù)的拉氏變換等于原函數(shù)拉氏變換的K倍。即

(2-29)

證

3)微分定理

(2-30)

及在零初始條件下，

(2-31)

證當(dāng)初始條件f(0)=0時(shí)，有

同理，可求得若具有零初始條件，即

則

4)積分定理

(2-32)

及在零初始條件下,

(2-33)

證當(dāng)初始條件時(shí)，由上式有

同理，可以證明在零初始條件下有

5)位移定理

(2-34)

證

6)初值定理

(2-35)

證

由微分定理有

當(dāng)s→∞時(shí)，e-st→0，對(duì)上式左邊取極限有

代入上式有

即

7)終值定理

(2-36)

證

由微分定理有對(duì)上式兩邊取極限

(2-37)

由于當(dāng)s→0時(shí)，e-st→1，所以式(2-37)左邊可寫成將上式代入式(2-37)，兩邊消去f(0)，得

上式表明，原函數(shù)f(t)在t→∞時(shí)的數(shù)值(穩(wěn)態(tài)值)，可以通過(guò)將象函數(shù)F(s)乘以s后，再求s→0時(shí)的極限值來(lái)求得。條件是當(dāng)t→∞和s→0時(shí)，等式兩邊各有極限存在。終值定理在分析研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能時(shí)(例如分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，求取系統(tǒng)輸出量的穩(wěn)態(tài)值等)有著很多的應(yīng)用，因此,終值定理也是一個(gè)十分重要的運(yùn)算定理。

由于拉氏變換具有上述這些重要的運(yùn)算定理，使得拉

氏變換的應(yīng)用更加方便。表2-2為拉氏變換的主要運(yùn)算定理一覽表。

3.拉氏反變換

由象函數(shù)F(s)求取原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換(InverseLaplaceTransform)。拉氏反變換常用下式表示:

拉氏變換和拉氏反變換是一一對(duì)應(yīng)的，所以，通?？梢酝ㄟ^(guò)查表來(lái)求取原函數(shù)。在自動(dòng)控制理論中常遇到的象函數(shù)是s的有理分式，即展開(kāi)部分分式的方法是先求出方程A(s)=0的根s1,s2,…,sn。

于是，B(s)/A(s)可以寫成如下形式:

設(shè)A(s)=0無(wú)重根，則上式可展開(kāi)成如下部分分式:

(2-38)如果確定了每個(gè)部分分式中的待定系數(shù)Ci(i=1,2,…,n)，則由拉氏變換表即可查得F(s)的反變換。

如求C1時(shí)，用s－s1乘以式(2-38)，并令s=s1，即

在上式中，當(dāng)s=s1時(shí)，s－s1=0，所以方括號(hào)中的各項(xiàng)將為零。于是，同理，其余系數(shù)可由下式求出：

(2-39)

全部待定系數(shù)求出后，運(yùn)用拉氏變換線性性質(zhì)，即可求得

(2-40)

當(dāng)然，對(duì)比較簡(jiǎn)單的象函數(shù)，除應(yīng)用上述方法外，也可用直接通分的方法來(lái)求取待定系數(shù)。2.3傳遞函數(shù)

1.傳遞函數(shù)的定義

傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解微分方程的過(guò)程中引申出來(lái)的概念。微分方程這一數(shù)學(xué)模型不僅計(jì)算麻煩，并且它所表示的輸入、輸出關(guān)系復(fù)雜而不明顯。但是，經(jīng)過(guò)拉氏變換的微分方程卻是一個(gè)代數(shù)方程，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，從而可以用簡(jiǎn)單的比值關(guān)系描述系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系。據(jù)此，建立了傳遞函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)的定義為：在初始條件為零時(shí)，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。即

(2-41)

2.傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式

如果系統(tǒng)的輸入量為r(t)，輸出量為c(t)，并由下列微分方程描述:在初始條件為零時(shí)，對(duì)方程兩邊進(jìn)行拉氏變換,有

即根據(jù)傳遞函數(shù)的定義有

(2-42)

3.傳遞函數(shù)的性質(zhì)

傳遞函數(shù)有以下性質(zhì)：

(1)傳遞函數(shù)是由微分方程變換得來(lái)的，它和微分方程之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(2)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s(s=σ+jω)的有理分式，s是復(fù)數(shù)，而分式中的各項(xiàng)系數(shù)an,an-1,…,a1,a0,以及bm,bm-1,…,b1,b0都是實(shí)數(shù)，它們是由組成系統(tǒng)的元件的參數(shù)構(gòu)成的。

(3)傳遞函數(shù)是一種運(yùn)算函數(shù)。

(4)傳遞函數(shù)的分母是它所對(duì)應(yīng)系統(tǒng)微分方程的特征方程的多項(xiàng)式，即傳遞函數(shù)的分母是特征方程(CharacteristicEquation)ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0等號(hào)左邊的部分。

2.4系統(tǒng)方框圖

方框圖(BlockDiagram)又稱結(jié)構(gòu)圖，它是傳遞函數(shù)的

一種圖形描述方式，它可以形象地描述自動(dòng)控制系統(tǒng)中各單元之間和各作用量之間的相互聯(lián)系，具有簡(jiǎn)明直觀、運(yùn)算方便的優(yōu)點(diǎn)，所以方框圖在分析自動(dòng)控制系統(tǒng)中獲得了廣泛

的應(yīng)用。

方框圖由信號(hào)線、引出點(diǎn)、比較點(diǎn)和功能框等部分組成，它們的圖形如圖2-8所示。圖2-8方框圖的圖形符號(hào)(a)功能框;(b)引出點(diǎn)及信號(hào)線;(c)比較點(diǎn)

1.功能框(BlockDiagram)

如圖2-8(a)所示，框左邊向內(nèi)箭頭為輸入量(拉氏式)，框右邊向外箭頭為輸出量(拉氏式)，框內(nèi)為系統(tǒng)中一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的單元的傳遞函數(shù)G(s)。它們間的關(guān)系為C(s)=G(s)R(s)。

2.信號(hào)線(SignalLine)

信號(hào)線表示信號(hào)流通的路徑和方向，流通方向用箭頭表示。在系統(tǒng)的前向通路中，箭頭指向右方，信號(hào)由左向右流通。因此輸入信號(hào)在最左端，輸出信號(hào)在最右端。而在反饋

回路中則相反，箭頭由右指向左方，參見(jiàn)圖2-9。

3.引出點(diǎn)(PickoffPoint)

如圖2-8(b)所示，引出點(diǎn)(又稱分點(diǎn))表示信號(hào)由該點(diǎn)取出。從同一信號(hào)線上取出的信號(hào)，其大小和性質(zhì)完全相同。

4.比較點(diǎn)(ComparingPoint)

比較點(diǎn)如圖2-8(c)所示。比較點(diǎn)又稱和點(diǎn)(SummingPoint)，其輸出量為各輸入量的代數(shù)和。因此在信號(hào)輸入處要注明它們的極性。

圖2-9為一典型自動(dòng)控制系統(tǒng)的方框圖。它通常包括前向通路和反饋回路(主反饋回路和局部反饋回路)、引出點(diǎn)和比較點(diǎn)、輸入量R(s)、輸出量C(s)、反饋量B(s)和偏差量

E(s)。圖中,各種變量均標(biāo)以大寫英文字母的拉氏式(如X(s))，功能框中均為傳遞函數(shù)。圖2-9典型自動(dòng)控制系統(tǒng)方框圖

2.5典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和方框圖

1.比例環(huán)節(jié)(ProportionalElement)

輸出量與輸入量成比例的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié),如圖2-10所示，其微分方程為

(2-43)

式中，K為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。圖2-10比例環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線(a)比例環(huán)節(jié)方框圖；(b)比例環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)將式(2-43)兩邊取拉氏變換有

整理后得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)，即

(2-44)當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，有

得到

比例環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-10(b)所示?？梢?jiàn),比例環(huán)節(jié)的輸出量能立即響應(yīng)輸入量。

常見(jiàn)的比例環(huán)節(jié)，如電阻分壓器、比例運(yùn)算放大器、齒輪減速器和測(cè)速發(fā)電機(jī)等，分別如圖2-11(a)、(b)、(c)、(d)所示。比例環(huán)節(jié)是最基本的環(huán)節(jié)。圖2-11常見(jiàn)的比例環(huán)節(jié)

2.積分環(huán)節(jié)(IntegralElement)

輸出量與輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，如圖2-12(a)所示，其微分方程為

(2-45)

式(2-45)經(jīng)拉氏變換，并整理可得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2-46)

式中，T為積分時(shí)間常數(shù)。圖2-12積分環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線(a)積分環(huán)節(jié)方框圖；(b)積分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時(shí)，輸出量C(s)為

則輸出量響應(yīng)為積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-12(b)所示?？梢?jiàn),積分環(huán)節(jié)的輸出量隨時(shí)間的變化而不斷增加，其斜率為1/T。

積分環(huán)節(jié)是過(guò)程控制中最重要的環(huán)節(jié)，常見(jiàn)的積分環(huán)節(jié)如圖2-13所示。圖2-13常見(jiàn)的積分環(huán)節(jié)

3.微分環(huán)節(jié)(DerivativeElement)

輸出量與輸入量的導(dǎo)數(shù)成正比的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié),如圖2-14(a)所示，其微分方程為

(2-47)

式中，T為微分時(shí)間常數(shù)。經(jīng)拉氏變換，得該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2-48)圖2-14微分環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線(a)微分環(huán)節(jié)方框圖；(b)微分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時(shí)，微分環(huán)節(jié)輸出量C(s)為

則響應(yīng)

式中，δ(t)為單位脈沖函數(shù)。

c(t)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-14(b)中的c(t)所示，c(t)是理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線，其在t=0的時(shí)刻，輸出c(t)從0→∞，再?gòu)摹蕖?。實(shí)際上微分特性總是含有慣性的，實(shí)際微分環(huán)節(jié)的微分方程為

其傳遞函數(shù)為

(2-49)則單位階躍響應(yīng)

c′(t)的輸出量變化曲線如圖2-14(b)所示。

4.慣性環(huán)節(jié)(InertialElement)

含有一個(gè)儲(chǔ)能元件和一個(gè)耗能元件的環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量的微分方程為

(2-50)

式中，T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；K為慣性環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。

對(duì)式(2-50)作拉氏變換并整理，得慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)為

(2-51)

慣性環(huán)節(jié)的方框圖如圖2-15(a)所示。圖2-15慣性環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線(a)慣性環(huán)節(jié)方框圖；(b)慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時(shí)，輸出量C(s)為

可得其單位階躍響應(yīng)為當(dāng)K=1時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-15(b)所示。對(duì)慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線進(jìn)行分析，可得C(0)=0，C(T)=0.632，C(3T)=0.95，C(4T)=0.982，C(∞)→1。因此，

慣性環(huán)節(jié)在輸入量突變時(shí)，輸出量不能突變，只能隨著時(shí)間的推移按指數(shù)規(guī)律變化，這表明該環(huán)節(jié)具有慣性特點(diǎn)。常見(jiàn)的慣性環(huán)節(jié)如圖2-16所示。圖2-16常見(jiàn)的慣性環(huán)節(jié)

5.一階微分環(huán)節(jié)(Proportional-DerivetiveElement)

一階微分環(huán)節(jié)也稱比例微分環(huán)節(jié)，它是由比例環(huán)節(jié)加微分環(huán)節(jié)構(gòu)成的，它的微分方程為

(2-52)

式中，T為微分時(shí)間常數(shù)。

對(duì)式(2-52)作拉氏變換并整理，得傳遞函數(shù)G(s)為

(2-53)

比例微分環(huán)節(jié)的方框圖如圖2-17(a)所示。圖2-17比例微分環(huán)節(jié)方框圖及響應(yīng)曲線(a)比例微分環(huán)節(jié)方框圖；(b)比例微分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時(shí)，即R(s)=1/s，有輸出量C(s)為

則其單位階躍響應(yīng)為

比例微分環(huán)節(jié)的響應(yīng)曲線如圖2-17(b)所示。一階微分環(huán)節(jié)的實(shí)例如圖2-18所示。分析該環(huán)節(jié)，不難得到其傳遞函數(shù)為

其中，K=－R1/R0為比例放大系數(shù)；T0=R0C0為微分時(shí)間常數(shù)。圖2-18一階微分環(huán)節(jié)

6.振蕩環(huán)節(jié)(OscillatingElement)

振蕩環(huán)節(jié)也稱二階環(huán)節(jié)，它的微分方程通常表達(dá)為

(2-54)

式中,T為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；ζ為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比(又稱阻尼系數(shù))。對(duì)式(2-54)作拉氏變換，可得

移項(xiàng)整理有

(2-55)令T=1/ωn,ωn為該環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率,則式

(2-55)可改寫成如下形式:

(2-56)

振蕩環(huán)節(jié)的方框圖如圖2-19(a)所示。圖2-19振蕩環(huán)節(jié)方框圖及單位階躍響應(yīng)曲線(a)振蕩環(huán)節(jié)方框圖；(b)振蕩環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)若輸入量為r(t)=1(t)，則輸出量的傳遞函數(shù)為

查表2-1，可得該環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為

(2-57)

式中,為阻尼振蕩頻率；

為輸出量與輸入量的相移。

振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線一般如圖2-19(b)所示。振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)，隨著阻尼比ζ的不同，表現(xiàn)出不同的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程，如圖2-20所示。圖2-20振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線從圖2-20中不難發(fā)現(xiàn)，二階振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線c(t)的振蕩過(guò)程劇烈程度隨阻尼比ζ值的變化而變化，ζ值越小，振蕩越強(qiáng)烈。當(dāng)ζ=0時(shí)，響應(yīng)c(t)為等幅振蕩過(guò)程；當(dāng)0<ζ<1時(shí)，響應(yīng)c(t)為衰減振蕩過(guò)程，它是過(guò)程控制中常常采用的形式；當(dāng)ζ≥1時(shí)，響應(yīng)c(t)為單調(diào)(非振蕩)上升過(guò)程，當(dāng)對(duì)被控變量要求超調(diào)量為零時(shí)，采用此過(guò)渡過(guò)程形式,其中,ζ=1時(shí)是臨界振蕩過(guò)程。

二階環(huán)節(jié)振蕩過(guò)程的實(shí)例很多。在控制系統(tǒng)中，若含有兩種不同形式的儲(chǔ)能元件，而這兩種儲(chǔ)能元件又能進(jìn)行能量交換，就有可能出現(xiàn)振蕩而形成振蕩環(huán)節(jié)，如圖2-21所示的RLC串聯(lián)電路。圖2-21

RLC串聯(lián)電路在圖2-21所示電路中，若輸入量為ur(t)=1(t)，輸出量為uc(t)，則微分方程為

其傳遞函數(shù)G(s)為令T2=LC,則得

為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。又令2ζT=RC,得

為系統(tǒng)的阻尼比。2.6環(huán)節(jié)的基本連接方式及其總傳遞函數(shù)

1.串聯(lián)連接(SeriesConnection)

環(huán)節(jié)間的串聯(lián)連接是指環(huán)節(jié)間輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的串聯(lián)傳遞關(guān)系，如圖2-22所示。前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出即為后一環(huán)節(jié)的輸入，第一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入作為整個(gè)環(huán)節(jié)組的輸入，最后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出作為整個(gè)環(huán)節(jié)組的輸出。圖2-22環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的方框圖設(shè)各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為G1(s),G2(s),…,Gn(s)，那么各環(huán)節(jié)串聯(lián)以后總的傳遞函數(shù)(等效傳遞函數(shù))G(s)為

(2-58)

即若干個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。

2.并聯(lián)連接(ParallelConnection)

環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接方式如圖2-23所示。在并聯(lián)連接中，各環(huán)節(jié)的輸入相同，而總的輸出為各個(gè)環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和。圖2-23環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接的方框圖設(shè)有三個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)連接(見(jiàn)圖2-23)，各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為

則并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為對(duì)于n個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接，總的傳遞函數(shù)為

(2-59)

即環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的代數(shù)和。

3.反饋連接(FeedbackConnection)

兩個(gè)環(huán)節(jié)的反饋連接方式如圖2-24所示。兩個(gè)環(huán)節(jié)相互作用形成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。

設(shè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為R(s)，輸出信號(hào)為C(s)，前向環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G1(s)，反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為H(s)。兩個(gè)環(huán)節(jié)反饋連接時(shí)的傳遞函數(shù)G(s)=C(s)/R(s)可以從圖2-24的關(guān)系中

求出。圖2-24環(huán)節(jié)的反饋連接

1)負(fù)反饋的情況

當(dāng)反饋信號(hào)B(s)與輸入信號(hào)R(s)相減時(shí),稱為負(fù)反饋,此時(shí)

C(s)=G1(s)［R(s)－H(s)C(s)］

整理后得

因此，負(fù)反饋連接的總傳遞函數(shù)為

(2-60)

2)正反饋的情況

當(dāng)反饋信號(hào)B(s)與輸入信號(hào)R(s)相加時(shí)，稱為正反饋，

此時(shí)

整理后得因此，正反饋連接的總傳遞函數(shù)為

(2-61)

綜合負(fù)反饋和正反饋兩種情況，閉環(huán)系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)G(s)為

(2-62)從式(2-62)中，可以看到一個(gè)很有意義的現(xiàn)象，如果前向環(huán)節(jié)放大倍數(shù)很大，則反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就簡(jiǎn)化為

(2-63)

即反饋系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性主要決定于反饋環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性?？偟膫鬟f函數(shù)近似為反饋環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的倒數(shù)，而與前向環(huán)節(jié)的特性無(wú)關(guān)。若前向環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)趨向無(wú)限大，則反饋系

統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2-64)

2.7方框圖的等效變換及化簡(jiǎn)

在分析系統(tǒng)時(shí)經(jīng)常需要對(duì)方框圖作一定的變換，尤其是多回路系統(tǒng)，更需要對(duì)系統(tǒng)的方框圖作逐步等效變換，直至變?yōu)榈湫偷姆答佅到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式，并求出系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)以便對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。

1.方框圖的等效變換規(guī)則

方框圖的等效變換基本規(guī)則如表2-3所示。這里要說(shuō)明以下幾點(diǎn)：

(1)環(huán)節(jié)前后比較點(diǎn)的移動(dòng):根據(jù)保持比較點(diǎn)移動(dòng)前后系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系不變的等效原則，可以將比較點(diǎn)向環(huán)節(jié)前或后移動(dòng)。

(2)環(huán)節(jié)前后引出點(diǎn)的移動(dòng):根據(jù)保持引出點(diǎn)移動(dòng)前后系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系不變的等效原則，可以將引出點(diǎn)向環(huán)節(jié)前或后移動(dòng)。

(3)連續(xù)比較點(diǎn)、連續(xù)引出點(diǎn)的移動(dòng):由于信號(hào)具有線性性質(zhì)，它們的相加次序可以任意交換,因而它們的引出點(diǎn)也可以任意交換。

2.方框圖的化簡(jiǎn)舉例

系統(tǒng)方框圖的化簡(jiǎn)過(guò)程，一般可分為以下幾步：

(1)根據(jù)研究目的確定系統(tǒng)的輸入和輸出。輸入、輸出確定后，從輸入至輸出的通道就成為前向通道。

(2)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的環(huán)節(jié)由等效環(huán)節(jié)代替。若有交叉反饋(即兩個(gè)互相交叉的反饋回路)存在，則可先移動(dòng)信號(hào)相加點(diǎn)或分支點(diǎn)，使局部反饋回路解除交叉，然后逐步減少局部反饋回路。

(3)把閉環(huán)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成最基本的方框圖形式，并求出其總的傳遞函數(shù)。

【例1】化簡(jiǎn)圖2-25中的交叉反饋系統(tǒng)，并求出它

的傳遞函數(shù)。

解交叉反饋系統(tǒng)是一種較復(fù)雜的多環(huán)系統(tǒng)，它的基本形式如圖2-25(a)所示(為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，傳遞函數(shù)中的(s)省去)。圖2-25交叉反饋系統(tǒng)的化簡(jiǎn)由圖2-25(a)可見(jiàn)，該系統(tǒng)的兩個(gè)回環(huán)的反饋通道是互相交叉的。對(duì)這類系統(tǒng)的化簡(jiǎn)，主要是運(yùn)用引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的移動(dòng)來(lái)解除回路的交叉，使之成為一般的不交叉的多回路系統(tǒng)。在圖2-25(a)中，只要將引出點(diǎn)1后移，即可解除交叉，成為如圖2-25(b)所示的形式。由圖2-25(b)再引用求閉環(huán)傳遞函數(shù)的公式即可得到圖2-25(c)和圖2-25(d)，從而得到系統(tǒng)總的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)為以上雖然是一個(gè)典型的例子，但從中可以引申出一般交叉反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取公式：

(2-65)

式中，n為反饋回環(huán)的個(gè)數(shù)。

3.自動(dòng)控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取

自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型框圖如圖2-26所示。圖中R(s)為輸入量，C(s)為輸出量，N(s)為擾動(dòng)量。圖2-26自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

1)在輸入量R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的輸出

若僅考慮輸入量R(s)的作用，則可暫略去擾動(dòng)量N(s)。由圖2-27(a)可得輸出量C(s)對(duì)輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)GBr(s)為

(2-66)

此時(shí)系統(tǒng)的輸出量(拉氏式)Cr