高數(shù)各章綜合測(cè)試題與答案

第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)測(cè)試題

單項(xiàng)選擇題

1、若哥級(jí)數(shù)￡>”（x+l）"在x=l處收斂,則該基級(jí)數(shù)在工=-3處必然（

)

n=l2

（A）絕對(duì)收斂；（B）條件收斂;（0發(fā)散；（D）收斂性不定.

2、下列級(jí)數(shù)條件收斂的是（）.

（A）?磊⑻洋（0—）￡㈠尸

“=］乙〃十IU〃=］71=1乙n=\

3、若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂于S,則級(jí)數(shù)之（4+。田+凡+2）=（）

/1=1〃=1

(A)S+4；(B)S+%;(C)S+a}-a2\(D)S+a2-av

4、設(shè)。為正常數(shù)，則級(jí)數(shù)之當(dāng)竺一^（）.

N

M=IL'

（A）絕對(duì)收斂；（B）條件收斂；（C）發(fā)散；（D）收斂性與。有關(guān).

00

5、設(shè)/(彳)="2,0這不<1,而5(彳)=2久5足〃70：,-00<%<+8,

W=1

(71=1,2,),則S(—3等于(

其中么=2J。/(x)sinnnx,)

2

(01;(D)

(A)(B)

2442

二、填空題

i、設(shè)為%=4,則￡（"_'）=（）

W=1/1=1Z乙

2、設(shè)tX（xT）”"的收斂域?yàn)椋?2,4）,則級(jí)數(shù)，>q（x+l）”的收斂區(qū)間為（）

n=ln=!

2,-1vxW0

3、設(shè)f（x）=<;，則以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在x=l處收斂于（）

2

4^設(shè)f(x)=Tlx+x,-it<x<it的傅里葉級(jí)數(shù)為&+￡(qcosnx+hnsinnx),

2n=l

則a二（）

5、級(jí)數(shù)￡，T）,2,的和為（）

士（2〃+1）!

三、計(jì)算與應(yīng)用題

1、求級(jí)數(shù)￡工（工-3）”;的收斂域

”=i

2、求67TA—的和

3、將函數(shù)/（x）=ln（l-3-2/）展開(kāi)為x的耗級(jí)數(shù)，并求「7）（0）

0?1

4、求￡=的和函數(shù)

M2〃！

5、已知工（幻滿足/：（“）=/門計(jì)工"7,〃為正整數(shù)，且力⑴=￡,求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

n

￡力a）的和函數(shù).

n=l

6、設(shè)有方程V+依-1=0,其〃中為正整數(shù)，證明此方程存在唯一正根飛,并證明當(dāng)

2>1時(shí)，級(jí)數(shù)￡>；收斂.

n?l

四、證明題

n

設(shè)an=『tan"xdx

nJo

001

⑴求2—（?！?4w+2）

n=\〃

（2）試證：對(duì)任意常數(shù);l>0,級(jí)數(shù)￡與收斂

W=1n

][8]

提示：一（〃“+〃”+2）=（,八，2—（6+&+2）=1

n/+1）念〃'

，所以見(jiàn)*汾泰7r

因?yàn)椤?+為+2

n+\

第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)測(cè)試題答案與提示

1、A；2、D；3、B；4^C；5、B.

3

1、1;2、（—4,2）；3、—：4、—：5、cos1-sin1.

3

三、

1、答案：[0,6）.

53

2、答案：---In2

84

提示：原式為級(jí)數(shù)之下二飛的和函數(shù)在x=」點(diǎn)的值.

念（〃2一1）2

8181818"[8"

的和函數(shù)即可.

3、答案」（，）工y+…

n=o〃+lL22j

片叫0）二加.（-1）”21

提示：/(x)=ln(l-x-2x2)=ln(l-2x)+ln(l+x)

<X>_1_1(1*2y、二

4、答案：Y--x〃=—+-+1e2-l,-OO<X<-HX>

￡2〃〃！(42J

過(guò)一(/+]-ZV-1(Y

提不：ZvT"Z7~n~7X3X，

n=o2n\?=1(n-\y.\2)?=1nl\2J

5、答案：案)=-e'ln(l-x),xG[—1,1)

71=1

提示：先解一階線性微分方程，求出特解為力(x)=土X/

之/；(])=￡==e'￡2,記S(x)=￡*,則可得S(x)=Tn(l-%)

w=ln=)〃n=\〃n=l〃

6、提示:設(shè)/*)=/+內(nèi)一1,則力(x)>0,(x>0),故<")在(0,+oo)內(nèi)最多有一個(gè)正

根.而，(0)=-1<0,力⑴=〃>0,所以有唯一正根與.由方程/+招一1=0知,

0<%=三叢<"!■，故當(dāng)a>l時(shí)，級(jí)數(shù)方寸收斂.

〃〃”=i

四、提示：一(凡+%+2)

(I、,f(a〃+%+2)=L

n小+1)?=in

II100〃8]

因?yàn)椋?-=而，所以％<而</自才?產(chǎn)

第十章曲線積分與曲面積分測(cè)試題

一、單項(xiàng)選擇題

(x+〃y)ck+ydy_

1、己知--------——；----為某一兀函數(shù)的全微分，則。等于()

(")，)-

(A)-1;(B)0;(01;(D)2.

2、設(shè)閉曲線c為國(guó)+|引=1的正向，則曲線積分耳：；:的值等于()

(A)0;(B)2;(C)4;(D)6.

3、設(shè)Z為封閉柱面f+y2=々⑴wzW3),其向外的單位法向量為

n={cosa,coscos/},貝Ujj(fcosa+ycosJ3+Zcos/)(!5,等于()

(A)9"J;(B)6m(C)3na2;(D)0.

2222

X+y+z=a,則]』等于()

4、設(shè)曲線c為

x+y+z=0J

(A)3d2;(B)0;(0/；⑻

3

5、設(shè)2為下半球zn-G2—^2^2的上側(cè)，C是由2和z=0所圍成的空間閉區(qū)域，則

Jjzdxdy不等于()

z

(A)-jjjdv;(B)￡\/a2-r2rdr;

n

(0_『ddj：_產(chǎn)⑻JJ(z+x+y)dxdy.

二、填空題

1、設(shè)C是圓周f+丁二以2,則](?)由=()

C

2、設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力尸=(y+3x)i+(2y—x))的作用下沿橢圓4/+9=4的逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)

一周，則尸所做的功等于()

3、設(shè)2是平面%+y+z=6被圓柱面/+產(chǎn)=1所截下的部分，則JJz小等于()

z

4、設(shè)E是球面f+y2+z2=1的外側(cè)，則」——再由也等于()

E(7+y2+z2)

5、設(shè)廠2叫))也+/僅也與珞徑無(wú)關(guān)，其中r(x)連續(xù)且/(0)=0,則/(x)=()

,J1+x

三、計(jì)算與應(yīng)用題

1、求/=[[e'siny-8(x+y)dx]+(eycosy-or)dy,其中a,Z?為正常數(shù)，L為從點(diǎn)

4(2^7,0)沿曲線y=yjlcix-x2到點(diǎn)0(0,0)的弧.

2222

2、計(jì)算/=[y2ds,其中L為圓周產(chǎn)+'+z』

JLx+y+z=0

3、在變力F=yzi+zr/+砂女的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面

v-222

會(huì)■+會(huì)+會(huì)=1上第一卦掛線的點(diǎn)M?〃,，)，問(wèn)4,小，取何值時(shí)，力尸所做的功W最

大？并求出W最大值.

22

4、設(shè)S為橢球面5+]"+Z2=1的上半部分，點(diǎn)P(x,y,z)wS,Ji為S在點(diǎn)P處的切平

面，p(x,y,z)為點(diǎn)0(0,0,。)到平面兀的距離，求民夕(:y.y.

2

5、求/=jJxzd)dz+2z)dzdR+3Ajdxdy,其中X為曲面z=l-d一上(0wxW1)的上

￡4

側(cè).

6、設(shè)對(duì)于半空間x>0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S,都有，

，「依x)d)dz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0,其中函數(shù)/(x)在|0,+co)內(nèi)具有連續(xù)的

s

一階導(dǎo)數(shù)，且lin}/(x)=l,求/(x).

答案」⑴吟(1)

提示：由題設(shè)和高斯公式得

0=Bxf(x)dy^dz-xyf(x)dzdr-e2xzdrdy=土酊[.『(x)+fix')-xf(x)-e2vJdv

5c

由S的任意性，知？'。)+/(幻一4(幻一62'=0,解此微分方程即可.

四、證明題

已知平面區(qū)域￡>={(x,y)0WXWTT,0WxW兀},L為￡)的正向邊界，試證:

(1)jxe""dy-[ye.&?=Jxe^nydy-ye^nvdx；

LL

(2)1;r2^(xesinvdy-ye-sinAdx

第十章曲線積分與曲面積分測(cè)試題答案與提示

*、

1、D；2、C；3、A；4、B：5、B.

—*、

r41

1、-7ta\2、-4TC：3^6>/3兀；4、一兀：5、----

31+x2

1、答案：I=—+2\a2b——ay

122

提示：添加從。（0,0）沿y=0到點(diǎn)4（2。,0）的有向直線段右，然后用格林公式.

2、答案:I=-a\

3

提示：利用變量“對(duì)等性"/=J12出=1產(chǎn)2出=1/2出出.

、?ab”c

入口案：F'F'"百

叱“知c.

提示：直線段OM:x=",y=%,z=7r,/從0變到1,功W為

W=￡yzdx+zxdy+xydz=，:，產(chǎn)出=6g

J/Z2

再求卬=夕74在條件---—I-----下的最大值即可.

Q-U

4、答案：小Zds3.

0（3Z）I2

提示：曲面S在點(diǎn)p（x,y,z）處的法向量為{x,y,2z},

切平面方程為：-X+^r+zZ=O,

22

點(diǎn)0（0,0。）到平面Ji的距離夕（克,y,z）=[?+總+z?

5、答案：/=JJxzdy^dz+2z）dzdx+3x>dxdy=n.

I

提示：添加曲面之為平面my上被橢圓V+A=l（OWxWl）所圍的下側(cè)，在E和之所

圍封閉曲面上用高斯公式.

注意到在/=Jjxzd）dz+22）dzdx+3;iydxdy的積分等于jj3A>dxdj為0.

&D

6、提?。?/p>

（1）^ii=￡7resinvdy-￡=兀[：（6疝工+6一疝》）也,同理，

右邊=?！福?+。-工）山.

(2)由(1)得JW)'d)，一卜/Hx=?！?esinr+e-sinx)(Lv,而由esinr和e*"泰勒展開(kāi)

式知道

7i￡{2+sin2x)drW7i￡(esinx+e-sint)cLr,

而7rJ^(2+sin2=^7t2.

第九章重積分測(cè)試題

一、選擇題

1、若區(qū)域。是反少平面上以(1,1),(一1,1)和(一1,一1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，R是。在第

一象限中的部分，則JJ(xy+cosxsiny)dxdy=().

D

(A)2jjcosxsinydxdy;(B)2,cosxsinydxdy

AD

(C)4,(xy+cosxsiny)dxdy(D)0

a

2、設(shè)f&y)連續(xù)，且/(x,y)=Ay+jJ9dxdy,其中。是xoy平面上由y=0,y=f

D

和x=l所圍區(qū)域，則/(x,y)等于().

(A)xy;(B)2xy;(0xy+\;(D)xy+-

8

2222222

3、設(shè)/]=jjcosy1x+ydbcdy,I2=jjcos(x+y)dxdy,/3=jjcos(x+y)dxdy,其中

D

O={(x,y)K+y2§},則().

(A)L>L>L\(B)L>L>L\(C)Z2>Z.>L;(D)/,>Z.>I2

4、設(shè)空間閉區(qū)域。由f+V+z?wl及OWZ確定，為。在第一掛限的部分，則().

(A)JJJxdv=4|jjxdv;(B)jjjydv=4JJjydv;

aaQA

(C)jjjzdv=4JJJzdv;(D)xyzdv=4jJJxyzdv

aaca

5、設(shè)空間閉區(qū)域C={(x,y,z)|^yWzwjnj},/=JJJzdv,則下列將/

化為累次積分中不正確的是().

(A)Izdz;(B)/=/cose/^sin旦夕；

22

(C)I=j^7izdz+j\z(2-z)dz;(D)Izdz

二、填空題

1、設(shè)區(qū)域。為V+y2WR?,則/=jj(*_+與dxdy的值等于（）

2、設(shè)￡）={（x,y）H+）心Wl},則叫」y,尸「ln（l+x+yXLvdy的值等于（）

一*itr口

3、積分/=J：dAj：er"y的值等于（）

4、積分/=JJJ/（f+V+zbdu可化為定積分J：9（x）dx,則0（x）等于（）

5、積分/=\\\（如+外）2優(yōu)的值等于（）

X2+V+zYl

三、計(jì)算與應(yīng)用題

1、求/=JJ（“2+/+）忸dy,其中。是由圓/+y2=4和*+l）2+y2=i所圍的平

面區(qū)域.

2、求/=/卜2付必心dy,其中O={（x,y）|0WxWl,0WyWl}.

D

3,計(jì)算/=/，（/+/+2）出，，其中G由曲線,）'=2z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面

與平面z=4所圍的立體.

4、計(jì)算/=jjj（x+z）du,C由Z二&2+）2及z=14-R-y2確定.

Q

5、計(jì)算/=J?d）jfe-^dx+J；dyj"e"dr.

4225

6、設(shè)有一高度為h（t）（/為時(shí)間）的雪堆在融化過(guò)程中，其側(cè)面滿足方程

2*十/）

z=h⑴一（設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米，時(shí)間單位為小時(shí)），已知體積減少的速率與側(cè)

松）

面積成正比（比例系數(shù)為0.9）,問(wèn)高度為130c機(jī)的雪堆全部融化需多少小時(shí)?

四、證明題

設(shè)函數(shù)/（x）在［0,1］上連續(xù)，并設(shè)J；/（x）cU=4,證明/=

°Ox2

第九章重積分測(cè)試題答案與提示

、

1、A；2、D；3、A；4、C；5、B.

2、1；3、^-(1-e-4)；4、4TU2/(^2)；5、^(6t2+Z?2).

1

片b2)4

1、答案：/=5（3兀-2）.

提示:將?？闯蓛蓚€(gè)圓域的差，再考慮到奇偶對(duì)稱性，利用極坐標(biāo)計(jì)算便可.

2、答案：7=e-l

提示：為確定max{Y,y2},必須將。分成兩個(gè)區(qū)域，再考慮到積分次序的選取問(wèn)題即可.

°…,256

3、答殺：I=----冗

3

提示:旋轉(zhuǎn)曲面的方程為爐+>2=2z,用柱面坐標(biāo)計(jì)算7=nbj1（產(chǎn)+z）dz即

2

可.

71

4、答案：/=上.

8

nx]

提示：BIxdu二0，jjjzdv=dpcos(p.p2sin^xip.

Qn,,”

5、答案：/=.

82

提示：交換積分次序.

6、答案：/=100小時(shí)

提示：先利用三重積分求出雪堆的體積V=J；⑺dzJJchd)，=(〃3w；

，+＞飛；［人2⑺一雙力可

再求出雪堆的側(cè)面積S=JJ^\+z^+z；dxdy=—h2(3t)；

由題意叱=-0.9S,所以幽=-上，解出雙。并令其等于o,則可得結(jié)果.

drdr10

四、提示：交換積分次序，

并利用￡dyjo7(x)/(y)dx=￡去￡/(x)/(y)dy=心￡fMf(y)dy.

第八章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用測(cè)試題

一、選擇題

1、已知函數(shù)/(外在［-U］上連續(xù),那么.仁,⑺力二()?

(A)/(sinx)-/(cosy)(B)f(sinx)cosx-/(cosy)siny

(C)/(sinx)cosx;(D)/(cosy)siny

2、在矩形域。:?—與|v5,|y-%|＜b內(nèi)，＜(x,y)=/y(x,y)三0是/(x,y)三c(常數(shù))

的().

(A)充要條件；(B)充分條件；(C)必要條件；(D).既非充分又非必要條件

3、若函數(shù)在區(qū)域。內(nèi)的二階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則()

(A)/Kx.y)=/Jx.y)在。內(nèi)成立：(B)＜(x.y).4(Xy)在。內(nèi)連續(xù)：

(C)f(x,y)在。內(nèi)可微分；(D)以上結(jié)論都不對(duì)

4、lim;孫,的值為()

,33

2

(A)oo；(B)不存在；(C)—；(D)0.

3

5、設(shè)有三元函數(shù)盯一21。＞+。口=1,據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)的一個(gè)鄰域，在

此鄰域內(nèi)該方程().

(A)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)的隱函數(shù)z=z(x,y)；

(B)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)的隱函數(shù)z=z(x,y)和y=)、(x,z)；

(C)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)的隱函數(shù)z=z(x,y)和x=x(y,z)；

(D)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z).

二、填空題

jry

1、設(shè)/(x,y)=*cos(—x)+(y-l)arctanj—,則￡(1,1)的值為().

2V

2、設(shè)/(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且===b,令

0(x)=/(X[/'彳1*,則”(1)的值為().

3^設(shè)/(X,乂2)二-)/,其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=O確定的隱函數(shù)，則

4、曲線卜、V+z2=3在點(diǎn)處的切線方程為().

x-2y+z=0

5、函數(shù)〃=丁+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z在點(diǎn)0(0,0,0)處

沿()方向的方向?qū)?shù)最大？

三、計(jì)算和應(yīng)用題

1、設(shè)(々爐_y28sx燦+Q4/jysinx43x$?少為某一■函數(shù)f(x,y)的全微分，求

a和〃的值

2、設(shè)z=/(x-y,x+y)+g(x+&y),7,g具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且g”羊0,如果

+彖%,求常數(shù)女的值.

dx~dxdy

3、在橢球內(nèi)嵌入?中心在原點(diǎn)的長(zhǎng)方體，問(wèn)長(zhǎng)寬高各是多少時(shí)長(zhǎng)方體的體

積最大?

4、設(shè)y=g(x,z),而z是由方程/(x-z,移)=0所確定的的函數(shù)，求」

dx

x22

5、設(shè)/(x,y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g(x9y)=f(e\x+y),且

/(x,y)=l-x-y+^(7(x-l)2+y2),證明g(x,y)在(0,0)取得極值，判斷此極值是

極大值還是極小值，并求出此極值.

6、設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為X。)坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)?/p>

。={(內(nèi))|f+y2一孫.75},小山的高度函數(shù)為=75-V+外

(1)設(shè)M)(N，%)為區(qū)域。上一點(diǎn)，問(wèn)人(乂了)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?/p>

數(shù)最大？若記此方向?qū)?shù)的最大值為g(x0,%),試寫出g(%,%)的表達(dá)式.

(2)現(xiàn)利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，為此需在山腳下尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀

登的起點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置.

四、證明題

設(shè)尸(〃,u)可微，試證曲面F(—=0上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)定點(diǎn).

z-cZ-C

第八章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用測(cè)試題答案與提示

、

1、C；2、A；3、D；4、B；5、D.

二、

1、—;2、a(\+b+b2)+by；3、1；4、X1=~~~；5、gradu\=3i-27—6A.

1、答案：a=2,b=-2.

提示：利用A=這一條件.

2、答案：k=-l.

提示：,"，+力+g\號(hào)—kg\

oxdy

言—+/,毅”2力—?,

魯=-/+啟+依〃，空+2黑+空=4%+(1+2攵++，

dxdydxdxdydy

又因?yàn)間〃羊0,所以1+2Z+左2=o,k=-l.

、公安2后2y/3

3、答案：----4,---by----c.

333

提示：設(shè)所嵌入的長(zhǎng)方體在第一掛線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為",y,z),則求體積V=8盯z在條件

222

-y+咨5"+—^=1下的極值就可.

ab“c

4、答案：上=史正幽.

出f；-xf展

5、答案：故g(0,0)=/(l,0)=0是極大值.

提示：由全微分的定義知/(1,0)=0￡。,0)=/；(1,0)=-1

g'x=f；?e—+外2xg；=/：?e-+a2y4(0,0)=0g；(0,0)=0

g：=(外/y+九以把—+力?孫〉+(局-2x)2x+2月

g：y=(Zr+九,2y)*y+/'?(/?+*)+(6?/"+%?2y)2x

g；2=(芹?/"+九々田*》+工，//+(用.2y)2y+2力

A二七(0,0)=26(L0)=-2B=g：,(0,0)=/；(l,0)=-1

。=8；式0,0)=2月(1,0)=-2

AC-B2=3>0,且AvO,故g(0,0)=/(l,0)=0是極大值.

6、答案：g(%，為)=J(%-2%)2+(%-2%>=15k+5靖-8%%

攀登起點(diǎn)的位置：M,(5,-5),M2(-5,5).

提示：沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大,方向?qū)?shù)的最大值即為梯度的模.

然后再求g(x,y)在條件75-x2-y2+xy=0y的極大值點(diǎn)就可.

四、答案：通過(guò)定點(diǎn)M(a,b,c).

第六章微分方程測(cè)試題

一、選擇題

1、設(shè)y=f(x)是y-2/+4y=0的解，若/(為)>0且/'(%)=0,則在/點(diǎn)/(x)

().

(A)取極大值；(B)取極小值；(C)在與某鄰域內(nèi)單增；(D)在與某鄰域內(nèi)單減.

2、微分方程)，〃-4)，'+4y=8/'的一個(gè)特解應(yīng)具有形式()為常數(shù)).

(A)ce2x;(B)dx2e2x;(C)cxe2x\(D)(bx2+cx)e2x.

3、微分方程y〃+y=Y+i+sinx的特解形式可設(shè)為().

(A)y=ax2+^x+c+x(Jsinx+ecosx);

(B)y=x(ax2+c+Jsinx+ecosx);

(C)/=ax2+bx+c+dsinx;

(D)/=ax2+/?x+c+ecosx

4、設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)y,%，%都是非齊次線性微分方程y〃+p(x)y'+q(x)y=fM的解,

。,。2是任意常數(shù)，則該方程的通解為().

(A)。必+七必+%；

(B)4-+4%-(4+4)必；

(C)

(D)qy+c2y2+。-

5、方程盯'+)，=0滿足y⑴=2的特解為().

(A)xy1=1;(B)x2y=2;(C)xy=2;(D)xy=\.

二、填空題

1、已知微分方程/-2y,-3y=6T有一個(gè)特解y*=--xex,則其通解為().

2、以％=?-二必=屁-“為特解的二階常系數(shù)齊次微分方程是().

3、若連續(xù)函數(shù)/(%)滿足/(?￥)=「'e，⑴力，則f(x)等于().

J0

4、已知函數(shù)丁二六％)在任意點(diǎn)x處的增量△)，=￡竺+。，其中。是比?(Arf0)高

l+x~

階的無(wú)窮小，且)，(0)=兀，則y(l)等于().

5、y〃+2y'+y=疣”的通解為().

三、計(jì)算和應(yīng)用題

1、設(shè)y=e?'+(1+x)e'是二階常系數(shù)線性微分方程y〃+a了+/y=yev的一個(gè)特解，

求該微分方程的通解.

2、設(shè)函數(shù)y=y(x)在(y。,+oo)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'。0,x=x(y)是y=y(x)的反函

數(shù).

d2r(drY

(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程W+G+sin磯歸=0變換為y=y(x)所

d)\dyj

滿足的微分方程；

3

(2)求變換后的微分方程滿足條件y(0)=0,/(0)=|的解.

3、已知y=e2x+xe',必=e-r+xex,必=e2v+xeA-e-v都是某二階常系數(shù)非齊次線性微

分方程的解，試求此微分方程

4、已知連續(xù)函數(shù)小)滿足〃x)=/"求小).

5、已知連續(xù)函數(shù)/(x)滿足/(r)+[:(r-w)/(〃*〃=ex+2xj：/(r〃)d〃，求f(x).

6、設(shè)函數(shù)f(x)在[1,+s)上連續(xù)恒正，若曲線y=/(x),直線x=l,x=(1>l)與x軸所

圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為]/⑺-/⑴],試求

y=/")所滿足的微分方程，并求該方程滿足/(2)二/的特解.

四、證明題

證明方程y"+y=/(x)(其中/(X)連續(xù))的通解為

y=c1cosx+c2sinx+j：fit)sin(x-f)df,其中為任意常數(shù).

第六章微分方程測(cè)試題答案與提示

1、A；2、B；3、A；4、D；5、C.

二、

3xxxrf

1、c,e+c2c~--xe~；2、y+2y+y=0；3^ln(x+l)；4、ne

4

xx

5^y=(ct+c2x)e~+-(x-l)e.

三、

xX2xv

1、答案：c^+C2Q+e+(1+x)e.

提示：將)，=e2'+(l+x)e'代入原方程，比較同類項(xiàng)系數(shù)，求出a,4y的值，然后再去求

解微分方程.

2、答案：(1)yff-y=sinx;

(2)y=ex-e~x--sinx.

2

3、答案：yn-y,-2y=e-2xe.

2j

提示：y,-y3=e-\y,-y2=e是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特解,從而可得出對(duì)應(yīng)齊次微分方

程為y〃一V-2y=0,設(shè)非齊次線性微分方程為y〃一：/-2)，=/(陽(yáng)，再將其中任

意個(gè)非齊次特解代入,得出f(x)=ex-2xex.

4、答案：/(r)=3e3x-2e2x.

/1、

5、答案：f(x)=\+2x+-x2ev.

I2)

提示：作代換xu=t,則2X￡f(xu)du=2,/(r)dt.

6、答案：

1+x

提示：依題意可得：?|[?/?)一/(1)]=兀//2(尢)★，然后兩邊求導(dǎo).

四、略.

第五章定積分及應(yīng)用測(cè)試題

一、選擇題

1、設(shè)/(x)連續(xù)，/=(枕)dx,r>0,s>0,則/的值是().

(A)依賴于s和1;(B)是一個(gè)常數(shù)；

(C)不依賴于s但依賴于八(D)依賴于s但不依賴于九

2、下列積分中，等于零的是().

22r

(A)j1|cos.v|ln(l+x)dx(B)j3(x+l)edx

~2

小、r7sinxcos4x,

(C)Jl+/)心

r1+x

3、設(shè)在[a,b]上f(x)>0,f(x)<0,f\x)>0,

令E=J："r)dx,S2=f(b)(b-a\S3=g[/(a)+fS)](。—a)，則()

(A)S3>S2>S,;(B)53>S,>S2;(0S2>S,>S3;(D)Sf>S3>S2.

_.nf+^sin2x.、

4、己1A知J----dr=一，則J。一「dx的值等于(z).

°x2°x

2

(A)—;(B)兀；(C)—;(D)7C-1.

24

5、設(shè)/(x)在。處可導(dǎo)，且/(0)=0,則極限lim^——；——的值等于().

XT0X

(A)不存在；(B)0;(C)/'(0);(D)g/'(0).

二、填空題

1、設(shè)/(幻連續(xù)，￡V-7(0dt=x,則/(7)等于().

2、定積分J和(1+3rctanx)Jl+cos2xdx的值為().

~4

3、定積分J：(忖+x)ewdx的值為().

4、若積分J：(2x-l)dx=-4,則常數(shù)〃的值等于().

5、曲線y=-d+f+2x與不軸所圍成的面積值等于（）.

三、計(jì)算和應(yīng)用題

1、已知了(兀)=1,且「［/*)+/〃(切sinxdx=3,求/(0).

2x-v

計(jì)肛2x4-x(e4-e)

2、dv

1+V1-X

設(shè)/（”）=/：1+2：￡；+?也‘求焉

3、

計(jì)算F—吧U―cU.

4、

sinx+cosx

5、設(shè)^f(x)=lnx+「/(x)dx?求f(x).

設(shè)f(x)可導(dǎo)，/(0)=l,且工+與X無(wú)關(guān)，求

6、

四、證明題

設(shè)函數(shù)/（幻在句上連續(xù)，在g㈤內(nèi)r*）>o,證明存在唯一的歲武。,。）使曲線

y=f（x）和y=/O,x=a所圍面積S］是y=/*）和丁=/（J）,x=b所圍面積S2的3

倍.

第五章定積分及應(yīng)用測(cè)試題答案與提示

、

1、D；2、C；3、B；4、A；5、D.

—?、

1、—；2、4>/2—2；3、2；4、2：5、—.

1212

;、

1、答案：/（0）=2.

提示：用分部積分.

2、答案：4一兀.

提示：利用奇偶對(duì)稱性.

3、答案：1.

提示：分別求出/(0)和/⑴的值即可.

4、答案：((兀T).

"一r?sin3x,Vcos3x,1f5sin3x+cos3x,

提不：2————_dx=\2————~dr=-2—-----——dx.

Josinx+cosxJosinx+cosx2Josinx+cosx

5、答案：/(x)=—

XX

6、答案：f(x)=e~x.

提示：令尸(x)=￡[/(%)+畏(*)W=提x)+f(xt)dt=f(x)+x^f(u)du,

由尸'(x)=0得/'(x)+/(x)=0,所以[e'/。)]'=0.

四、提示：V/G(tz,^),S.(/)=(z-tz)f(t)-￡f(x)dx,S2(t)=\"f(x)dx-(b-t),

令被。=S(/)—3s2(f)，用零點(diǎn)定理和單調(diào)性證明即可.

第一章綜合測(cè)試題

一、單項(xiàng)選擇題

1、/(%)當(dāng)xf/時(shí)的左極限和右極限都存在且相等是limf(x)存在的()條件.

AT%

(A)充分;(B)必要;(O充要;(D)無(wú)關(guān).

2、設(shè)lim(--H——+4—=().

nnn

1?

(A)lim—+lim—++lim0;(B)Q0;

n>oon>?o：產(chǎn)片,8

1+2++n1

(0lim(D)極限不存在.

ft—>oo2

3、設(shè)f(x)=2*+3t-2,則當(dāng)xfO,有().

(A)/(%)與x是等價(jià)無(wú)窮??；(B)與x是同階但非等價(jià)無(wú)窮小;

(0/(x)是比x高階的無(wú)窮小；(D)f(x)是比x低階的無(wú)窮小.

設(shè)/(外二號(hào)1,則1=0是/(%)的(

4、).

er+1

(A)可去間斷點(diǎn)；(B)跳躍間斷點(diǎn)；(C)第二類間斷點(diǎn)；(D)連續(xù)點(diǎn).

5、方程/一次一1二0至少有一個(gè)根的區(qū)間是（）.

(A)(0,；);(B)(C)(1,2);(D)(2,3).

二、填空題

7、若/(X+L)=%2+4+3,則/*)=().

XX'

8、已知函數(shù)/“)」(c°sx)''在1=0連續(xù)，貝().

[a,X=O

9、lim(J〃+3一冊(cè)-1=().

H->30

,?，1

3sinx+x-cos一

10、設(shè)lim---------------------工=().

zo(l+cosx)(er-1)

_a2+bn+5/、,/、

5、已知hm----------------=2,則a=(),b=().

"->83〃-2

三、計(jì)算與應(yīng)用題

f(),xW?f(),xW()山

i、設(shè)/(%)=1八，ga)=12八，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)H/(X)，]g[g(%)],

x,x>0[-x,x>0

f[gMlg[f(x)l

2、設(shè)/(x)=『sin?x>,要使/(x)在(To,”)內(nèi)連續(xù)，應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)。？

3、設(shè)/a)=]ei，x>°,求/(x)的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明間斷點(diǎn)所屬類型.

[ln(l+x),-1<x<0

4、計(jì)算極限lim(sinx嚴(yán)I

n

X->—

2

5、計(jì)算極限|im(—^)川

2x+l

6、設(shè)f(x)的定義域是[0,1],求函數(shù)/(1+；)+/(工一；)的定義域.

四、證明題

Tt7C

證明方程sinx+x+l=O在開(kāi)區(qū)間(一二，二)內(nèi)至少有一個(gè)根.

22

第一章綜合測(cè)試題答案與提示

■、

1、C；2、C；3、B；4、B；5、C.

—?、

33

1、x2+l：2、1；3、一；4、-；5、任意常數(shù)，6.

22

三、

1、答案：f[fM]=/(x),g[g(x)]=O,/U(x)]=O,g"@=g(x).