專題01 一元二次方程的概念及其解法5大題型-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末（河南專用）

PAGE1PAGE2專題01一元二次方程的概念及其解法5大題型題型一一元二次方程的一般形式1．（23-24九年級上·河南周口·期末）一元二次方程常數(shù)項為（

）A． B．3 C．100 D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般式，一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；叫做一次項，b叫作一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項，據(jù)此可得答案．【詳解】解：一元二次方程常數(shù)項為，故選D．2．（22-23九年級上·河南濮陽·期末）將方程化成一般形式，其一次項系數(shù)是（

）A．?7 B．2 C． D．7【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程一般形式解答即可．【詳解】解：化成一元二次方程一般形式是，它的二次項系數(shù)是2，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是?7，故選：C．3．（22-23九年級上·河南南陽·期末）方程化為一般形式后，常數(shù)項為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】把原方程化為一般式，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴常數(shù)項為．故選：D4．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）方程化為一般形式后的一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（

）．A．， B．，10 C．8， D．10，8【答案】A【分析】先把方程化為一般式為，然后確定一次項系數(shù)和常數(shù)項．【詳解】解：方程化為一般式為，所以一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是，．故選：A．5．（21-22九年級上·河南鄭州·期末）一元二次方程的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（

）A．和 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的形式去判斷即可．【詳解】一元二次方程的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是，故選D．6．（21-22九年級上·河南南陽·期末）把一元二次方程化成一般形式，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式去括號，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：，去括號得：x2-5+4x2-4x+1=0，整理得：5x2-4x-4=0．故選：B．7．（20-21九年級上·河南平頂山·期末）方程（x+2）（3x﹣1）＝6化為一般形式后，常數(shù)項為（）A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4【答案】B【分析】利用多項式乘法法則展開，合并同類項，按降冪排列化為一元二次方程一般式，按定義，不含未知數(shù)的項是常數(shù)項即可確定．【詳解】（x+2）（3x﹣1）＝6，，，，常數(shù)項是-8，故選擇：B．8．（22-23九年級上·河南信陽·期末）一元二次方程（x－2）（x＋3）＝2x＋1化為一般形式是．【答案】x2－x－7＝0．【分析】把方程化為ax2+bx+c=0的形式即可求解．【詳解】解：（x-2）（x+3）=2x+1，去括號得x2+3x-2x-6=2x+1，移項得x2+3x-2x-6-2x-1=0，合并同類項得x2-x-7=0．故答案為：x2-x-7=0．題型二一元二次方程的解與參數(shù)9．（23-24九年級上·河南許昌·期末）已知是方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】A【分析】本題考查一元二次方程根的定義、代數(shù)式求值等知識，由題意，得到，恒等變形，整體代入代數(shù)式即可得到答案，熟記一元二次方程根的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：是方程的一個根，，即，，故選：A．10．（23-24九年級上·河南漯河·期末）已知是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解以及已知式子的值，求代數(shù)式的值：先把代入，得，再把代入，即可作答．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴把代入，得，則故選：A11．（23-24九年級上·河南焦作·期末）關(guān)于的一元二次方程的一個根為0，則的值是（

）A．3或 B．3 C． D．9【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．將代入方程即可求解．【詳解】解：將代入方程得：，解得：，∵，∴，故選：C．12．（23-24九年級上·河南駐馬店·期末）若是方程的根，則代數(shù)式的值為(

)A．1 B．2016 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義和代數(shù)式求值，一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此得到，再根據(jù)進(jìn)行代值計算即可．【詳解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴，故選B．13．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）解方程時，小明進(jìn)行了相關(guān)計算并整理如下：x00.511.525.2513則該方程必有一個根滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了求一元二次方程的近似根．根據(jù)表格得出近似根的取值范圍．【詳解】解：∵時，，時，，∴當(dāng)在1與之間取某一個數(shù)時，可使，即方程的其中一個解滿足的范圍是．故選：B．14．（23-24九年級上·河南周口·期末）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，判斷方程．（，、、為常數(shù)）一個解的范圍是（

）xA． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象與直線的交點就是方程的根，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷方程一個解的范圍．【詳解】解：函數(shù)的圖象與直線的交點就是方程的根，由表中數(shù)據(jù)可知：在與之間，∴對應(yīng)的x的值在與之間，即．故選：D．15．（23-24九年級上·河南信陽·期末）已知一元二次方程有一個根為，則k的值為．【答案】2【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．根據(jù)一元二次方程的解的定義，把代入一元二次方程，然后解一次方程即可．【詳解】解：把代入一元二次方程得：，，，故答案為：2．16．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）若是方程的一個根，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．根據(jù)一元二次方程的解，把代入方程得到關(guān)于的一次方程，然后解此一次方程即可．【詳解】解：把代入得：，解得．故答案為：．17．（23-24九年級上·河南漯河·期末）關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則k的值是．【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程的解一元二次方程的定義，將代入方程，結(jié)合一元二次方程的定義求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：1．18．（23-24九年級上·河南洛陽·期末）已知a是關(guān)于x的方程的一個根，則．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程根的定義，解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)要求的問題對得到的等式進(jìn)行變形；將代入方程中，然后將得到的等式進(jìn)行變形即可求得答案．【詳解】a是關(guān)于x的方程的一個根，，，故答案為：19．（23-24九年級上·河南周口·期末）當(dāng)時，關(guān)于x的一元二次方程(的一個根是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的定義及一元二次方程的解，把方程的解代入方程求出a的值，再結(jié)合一元二次方程的定義即可求解．【詳解】解：把x=0代入方程有：，∴；又∵當(dāng)時，方程不是一元二次方程，∴，故答案為．題型三配方法解一元二次方程及配方法的應(yīng)用20．（23-24九年級上·河南南陽·期末）用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的配方法，將轉(zhuǎn)化為的形式即可，靈活掌握配方法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，∴，故選：．21．（21-22九年級上·河南平頂山·期末）用配方法解方程時，原方程應(yīng)變形為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，利用配方法解出方程即可，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∴，∴，∴，故選：．22．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）用配方法解方程，則方程可變形為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的一般步驟對選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，，，故選D.23．（22-23九年級上·河南駐馬店·期末）將關(guān)于的一元二次方程化成的形式，則．【答案】14【分析】先移項，再在方程的兩邊都加上配方后可求解的值，從而可得答案．【詳解】解：∵，移項得：，，，．故答案為：14．24．（22-23九年級上·河南許昌·期末）下面是小明同學(xué)解一元二次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．．解：二次項系數(shù)化為1，得，第一步

移項，得，第二步配方，得，第三步變形，得，第四步開方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同學(xué)的解法中運用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______，其中“配方法”依據(jù)的一個數(shù)學(xué)公式是______；(2)上述解題過程，從第______步開始出現(xiàn)錯誤，請寫出正確的解答過程．【答案】(1)轉(zhuǎn)化思想，完全平方公式(2)三，解答過程見詳解【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的幾種常見解法：直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法，結(jié)合方程的特點選擇合適的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解答過程判斷依據(jù)即可；（2）根據(jù)配方法判斷即可．【詳解】（1）解：中運用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，其中“配方法”依據(jù)的一個數(shù)學(xué)公式是完全平方公式；故答案為：轉(zhuǎn)化思想，完全平方公式；（2）解題過程，從第三步開始出現(xiàn)錯誤，正確的解答過程如下：解：，，，，，解得，．25．（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）計算：(1)；(2)配方法解方程：．【答案】(1)；(2)，【分析】本題考查了二次根式的混合運算，解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)運算法則和解題步驟是解題關(guān)鍵．（1）先計算乘方和二次根式，再合并同類項即可；（2）利用配方法解方程即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，，或，解得：，．26．（23-24九年級上·河南鶴壁·期末）閱讀與思考：【閱讀材料】我們把多項式及叫做完全平方公式．如果一個多項式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項．使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求代數(shù)式的最小值．，可知當(dāng)時，有最小值，最小值是．再例如：求代數(shù)式的最大值．，可知當(dāng)時，有最大值．最大值是．(1)求的最小值為_____，的最小值為_____；(2)若多項式，試求M的最小值；(3)如圖，學(xué)校打算用長米的籬笆圍一個長方形的菜地，菜地的一面靠墻(墻足夠長)，求圍成的菜地的最大面積．【答案】(1)6；(2)(3)圍成的菜地的最大面積是【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）由，可知時，有最小值6；由，可知當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，最小值為；（2）根據(jù)，求解作答即可；（3）設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則另一邊長為米，依題意得：，然后求解作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時，有最小值6；∵，∴當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，最小值為，故答案為：6，；（2）解：∵，∴當(dāng)時，M有最小值，最小值為；（3）解：設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則另一邊長為米，依題意得：，∴當(dāng)時，S有最大值，最大值是，∴圍成的菜地的最大面積是．27．（22-23九年級上·河南南陽·期末）我們知道：任何有理數(shù)的平方都是一個非負(fù)數(shù)，即對于任何有理數(shù)，都有成立，所以，當(dāng)時，有最小值．(1)代數(shù)式有最小值時，___________；(2)代數(shù)式的最小值是___________；(3)【探究】求代數(shù)式的最小值，小明是這樣做的：．當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，最小值為2．請你參照小明的方法，求代數(shù)式的最小值，并求此時的值．【答案】(1)3(2)5(3)最小值為，【分析】（1）根據(jù)求解；（2）根據(jù)是非負(fù)數(shù)進(jìn)行求解；（3）通過配方法求解；【詳解】（1）解：，，故答案為：3；（2），，最小值是5，故答案為：5；（3），當(dāng)時，代數(shù)式有最小值，最小值為．題型四公式法解一元二次方程28．（23-24九年級上·河南開封·期末）若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于熟知關(guān)于一元二次方程若有解，則其解為．【詳解】解：由題意得：，，，∴該方程為，故選：．29．（22-23九年級上·河南南陽·期末）（1）解方程（2）無論p取何值，關(guān)于x的一元二次方程總有兩個不等的實數(shù)根嗎？請給出答案并說明理由．【答案】（1），；（2）方程總有兩個不相等的實數(shù)根，理由見解析．【分析】本題考查一元二次方程的解法，根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法．（1）根據(jù)公式法即可求出答案．（2）根據(jù)根的判別式即可求出答案．【詳解】解．解（1），，，，則，，（2）方程總有兩個不相等的實數(shù)根．理由如下：原方程整理得：方程總有兩個不相等的實數(shù)根．30．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）在下面的四組條件中選擇其中一組的值，使這個一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程．①；②；③；④．（注意：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．）【答案】選擇③；選擇④【分析】本題主要考查的是根據(jù)一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判別式大于0.方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式小于0，方程無解，選擇條件時要先判斷方程是否成立，再求解即可．【詳解】解：選①時，，，方程有兩個相等的實數(shù)根，故①不符合題意；選②時，，，方程沒有實數(shù)根，故②不符合題意；選擇③時，，，，；選擇④時，，，31．（23-24九年級上·河南許昌·期末）解方程：

用配方法解方程：(1)；(2)；用公式法解方程：(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本題考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知識，熟練掌握配方法及公式法解一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可得到答案；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可得到答案；（3）根據(jù)公式法解一元二次方程即可得到答案；（4）根據(jù)公式法解一元二次方程即可得到答案．【詳解】（1）解：，，即，解得，，；（2）解：，，，即，解得，，；（3）解：，，，，，；（4）解：，，，，．32．（23-24九年級上·河南洛陽·期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查解一元二次方程：（1）先移項，再利用直接開平方法求解；（2）利用公式法求解．【詳解】（1）解：，，，，解得，；（2）解：中，，，，，則，解得，．33．（23-24九年級上·河南南陽·期末）（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）1（2）．【分析】本題主要考查了實數(shù)的混合運算以及解一元二次方程．（1）實數(shù)的混合運算，按照實數(shù)的混合運算法則計算即可．（2）用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：（1）原式；（2），，解得：．34．（23-24九年級上·河南南陽·期末）計算或解方程：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)，．【分析】（）根據(jù)二次根式的除法運算和利用平方差公式運算，然后分母有理化，再合并同類二次根式即可；（）利用公式法求解即可；本題考查了二次根式的混合運算，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵熟練掌握運算法則和靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋驹斀狻浚?）原式，，，；（2），∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，．35．（22-23九年級上·河南信陽·期末）（1）解方程：；（2）分式化簡：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）采用公式法即可求解；（2）根據(jù)分式的混合運算法則化簡即可．【詳解】（1），∴，即，則，；（2）．36．（22-23九年級上·河南南陽·期末）（1）計算：；（2）解方程：(公式法)【答案】（1）0；（2），【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的混合運算順序和法則進(jìn)行計算即可；（2）利用公式法即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：，，，，37．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）（1）我們發(fā)現(xiàn)，利用配方法解一元二次方程的步驟是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，對于一元二次方程，當(dāng)時，它的求根公式是_____，用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法．（2）小明在用公式法解方程時出現(xiàn)了錯誤，解答過如下：，，，（第一步）．（第二步）∴．（第三步）∴，．（第四步）小明解答過程是從第______步開始出錯的，其錯誤原因是．（3）請你寫出此題正確的解答過程．【答案】（1）；（2）一，方程沒有化成一般式；（3），，正確的解答過程見解析【分析】(1)根據(jù)配方法解一元二次方程，即可求得；(2)根據(jù)公式法解一元二次方程，即可解答；(3)用公式法解此方程，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時，由原方程得：，得，得，故，故，故答案為：；（2）由原方程得：，，，，∴小明解答過程是從第一步開始出錯的，其錯誤原因是方程沒有化成一般式．故答案為：一，方程沒有化成一般式；（3）方程化為，，，，．∴．∴，．題型五因式分解法求根38．（22-23九年級上·河南南陽·期末）關(guān)于x的一元二次方程的根是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】此題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案.【詳解】解：，∴，則，則或，解得，故選：B39．（22-23九年級上·河南周口·期末）方程的解是（

）A．， B．， C． D．，【答案】A【分析】本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的各種解法是解題的關(guān)鍵．移項后分解因式，即可得到兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】解：，去括號，得：，移項，得：，整理，得：，分解因式，得：，解得：，，故選：．40．（23-24九年級上·河南南陽·期末）關(guān)于方程的描述，下列說法錯誤的是（

）A．它是一元二次方程 B．解方程時，方程兩邊先同時除以C．它有兩個不相等的實數(shù)根 D．用因式分解法解此方程最適宜【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的定義、解法及根的判別式，根據(jù)一元二次方程的定義、解法及根的判別式逐一判斷即可求解，掌握一元二次方程的定義、解法及根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、方程整理得為，故方程是一元二次方程，該說法正確，不合題意；、解方程時，方程兩邊先同時除以，會漏解，故該說法錯誤，符合題意；、由得：，故方程有兩個不相等的實數(shù)根，該說法正確，不合題意；、用因式分解法解此方程最適宜，該說法正確，不合題意；故選：．41．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）一元二次方程的正數(shù)解是．【答案】2024【分析】本題主要考查解一元二次方程，運用因式分解法求出方程的解，再判斷出正數(shù)解即可．【詳解】解：∵，∴∴∴∴一元二次方程的正數(shù)解是2024，故答案為：2024．42．（23-24九年級上·河南周口·期末）方程的解是．【答案】，【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用因式分解法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)因式分解法進(jìn)行計算解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴，．故答案為：，．43．（22-23九年級上·河南濮陽·期末）對于一元二次方程：，下列是小聰求解的推理過程：解：兩邊都減，得①兩邊分別分解因式，得②兩邊都除以，得③兩邊都減，得④推理過程，開始出現(xiàn)錯誤的那一步對應(yīng)的序號是．【答案】③【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可判斷錯誤．【詳解】解：根據(jù)等式的基本性質(zhì)可判斷錯誤．故答案為：．44．（23-24九年級上·河南三門峽·期末）解方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程：（1）先把方程左邊利用提公因式法分解因式，然后解方程即可；（2）利用配方法解方程即可