電路理論基礎（第三版） 課件 第1章 電路模型和基爾霍夫定律

第一章電路模型和基爾霍夫定律

電路模型是電路分析的基礎。電流和電壓是電路中的基本變量。各電流、電壓間的約束關系分為兩類:一類是基爾霍夫定律,它給出各支路間電流、電壓的約束關系;另一類是各理想元件本身的伏安特性。這些是電路理論的基本概念,是本章闡述的主要內(nèi)容。

1.1電路與電路模型1.2電路變量1.3基爾霍夫定律1.4電阻電路元件1.5簡單電路分析1.1電路與電路模型電路是由各種電氣設備或器件聯(lián)接而成的電流的通路。在人們的生產(chǎn)和生活實踐活動中用到的電路是多種多樣的,例如,有遠距離輸電線路,也有電視機中進行無線電信號接收和處理的電路。電路有時又稱為網(wǎng)絡,這兩個名詞沒有嚴格的區(qū)分,但網(wǎng)絡通常指較復雜的電路。根據(jù)電路的用途大致可將其分為兩類:信號處理和能量的傳送與轉換。例如,電視機中的電路將電視信號進行處理,電網(wǎng)系統(tǒng)完成電能傳送與分配,電氣傳動系統(tǒng)完成能量的轉換。一般而言,電路是由電源或信號源、中間環(huán)節(jié)以及負載組成的。電源給電路提供電能,信號源給電路提供要處理的電信號,當然,傳送信號的同時也伴隨著能量的傳送。從電路分析的角度,我們將這兩類源都稱為電源。中間環(huán)節(jié)進行電能的傳送或電信號的處理,負載則將電能轉變?yōu)槠渌芰?。當閉合電路中有電源時會產(chǎn)生電流和電壓,因此電源又稱為激勵源或激勵,而電流和電壓則稱為響應。1.1電路與電路模型對電路進行分析要建立其物理過程的數(shù)學描述。發(fā)生在電路中的電磁現(xiàn)象和能量轉換情況是復雜的。例如,一個用導線繞成的線圈,當電流通過時,線圈周圍會產(chǎn)生磁場,磁場中儲存著磁場能量。在線圈各匝之間還存在電壓,又形成電場,儲存著電場能量。電流流過線圈的導體,又會消耗電能。在生產(chǎn)實踐中,實際電路的組成結構是復雜、多樣的,要對各種電路和種類繁多的電氣設備和器件一一建立其電磁性質(zhì)的數(shù)學描述是非常麻煩的,也無法對電路采用系統(tǒng)的分析方法。理想元件(簡稱為元件)是人為定義的有精確數(shù)學描述的電路元件,每種元件表示單一的一種物理性質(zhì)。例如,最常用的電阻元件、電感元件及電容元件分別表示著消耗電能、儲存磁場能量和儲存電場能量這三種物理現(xiàn)象。根據(jù)各種電氣設備的物理性質(zhì),將其表示為理想元件或理想元件的組合,稱為建立其電路模型。電路中所有元件都用電路模型表示,就得到了整個電路的電路模型。電路模型直觀地反映出各電氣設備和器件的電、磁性質(zhì)。1.1電路與電路模型對電路模型進行分析,可采用系統(tǒng)的分析方法,易于求出電路的數(shù)學描述和解答。應注意,任何模型都是在一定條件下近似的結果,有一定的適用范圍,同一電氣設備在不同的應用場合可能有不同的電路模型。例如,工作于低頻電路的線圈,其匝間電場效應可忽略,因此可用一個電阻元件和一個電感元件的串聯(lián)作為其電路模型;而在高頻電路中,線圈的電容不可忽略,因此其高頻模型中除了電阻元件和電感元件,還會出現(xiàn)電容元件。這里所講的理想元件是集總(集中)參數(shù)元件,模型是集總參數(shù)電路模型。在集總參數(shù)電路中,所有的電磁現(xiàn)象及能量轉換均集中在元件內(nèi)部完成,電路性質(zhì)與器件及電路的尺寸大小無關。在任一時刻,集總參數(shù)電路中流過任一點的電流及任兩點的電壓是與空間位置無關的確定值。1.1電路與電路模型采用集總參數(shù)電路模型是有條件的。嚴格來說,實際電路中的能量損耗及電場、磁場儲能是連續(xù)分布的,因此反映電磁性質(zhì)的電路參數(shù)應是分布參數(shù)。但是,當電路的器件及電路各項尺寸遠小于電路工作的電磁波的波長時,電路參數(shù)的分布性對電路性能的影響很小,因此,可采用集總參數(shù)電路模型。若電路尺寸不是遠小于其工作時電磁波的波長,例如遠距離輸電網(wǎng)絡、微波電路等,則電路中的電流和電壓與器件及電路的尺寸大小以及空間位置有關,對這種電路需用電磁場理論或分布參數(shù)電路理論進行分析研究。

本書只介紹分析集總參數(shù)電路模型的理論和方法。如無特別說明,書中所指電路均為集總參數(shù)電路模型。本書不涉及實際電路設備的模型化方法,它們將在有關專業(yè)課中講述。1.2電路變量描述電路工作狀態(tài)的物理量有電流、電壓、電荷、磁通、能量和功率。其中,最基本的是電流和電壓,利用電流和電壓可計算電路中的能量和功率。電流和電壓的參考方向是重要的基本概念。1.2.1

電流帶電粒子(電荷)的定向移動形成了電流。電流的大小用電流強度衡量,電流強度簡稱為電流,用符號i

表示,定義為單位時間內(nèi)通過導體橫截面的電荷量,即dqi(t)＝—（1-1）dt大小和方向都不隨時間變化的電流稱為恒定電流或直流電流,可用符號

I表示。在國際單位制中,電流的單位是安培(簡稱為安,符號為A);電荷的單位是庫侖(簡稱為庫,符號為C);時間的單位是秒(符號為s)。在信息工程領域,電路中的電流一般較小,常用毫安(mA)作單位,1mA=10-3A。1.2電路變量

規(guī)定正電荷移動的方向為電流的方向。在復雜電路中,電流的方向不易直觀確定;在交流電路中,電流的方向隨時間而變化,不便在電路圖中標出。因此,為求解電路方便,須預先規(guī)定電流的參考方向。電流的參考方向是人為假定的電流方向,在圖中用箭頭表示,如圖1-1所示。

圖1-1電流的參考方向1.2電路變量

在規(guī)定的電流參考方向下,電流是代數(shù)量,求解的結果可能為正也可能為負。若為正,則說明電流實際方向與參考方向相同;若為負,則說明電流實際方向與參考方向相反。圖1-1中,若求得i=-2A,則說明電流的實際方向是由b

指向a;若求得

i

(t)=2

sintA,則說明電流值是隨時間正負交變的,即電流實際方向隨時間交變,在其為正值的時間內(nèi),其實際方向由a

指向b,當其值為負時,實際方向由b

指向a

。

電流的參考方向和其帶有正（或負）號的代數(shù)值一起給出了電流的完整解答,既給出了電流的大小,又指明了電流每一時刻的實際方向。只有數(shù)值而無參考方向的電流是無意義的,因此求解電路前一定要先假定電流的參考方向。參考方向可以任意假定,一旦假定,求解過程中就不要再改變。1.2電路變量1.2.2

電壓電荷在電路中的流動伴隨著能量的交換。單位正電荷由a點移到

b

點所發(fā)生的能量變化(獲得或失去的能量)稱為這兩點間的電壓,用符號u表示,即dEu(t)＝—（1-2）dq式中,dq

為由a

到b

的電荷;dE

是該電荷所發(fā)生的能量變化;u

是這兩點間的電壓。在國際單位制中,電壓u

的單位是伏特(簡稱為伏,符號為V),能量E的單位是焦耳(簡稱為焦,符號為J),電荷q

的單位是庫侖。

若正電荷由a

到b

時能量增加,則

b點電位高于a

點電位;反之,則b

點電位低于a

點電位。習慣上將電位降落的方向規(guī)定為電壓的方向,即電壓的方向由高電位指向低電位。

大小和方向都不隨時間變化的電壓稱為恒定電壓或直流電壓,可用符號U

表示。1.2電路變量在復雜電路或交流電路中,電壓的實際方向不易或不便標出。如同電流參考方向的引入,為求解電路方便,也須在電路中預先設定電壓的參考方向。電壓的參考方向是人為假定的電壓方向,在圖中用箭頭或“+”、“-”號表示,如圖1-2所示,其中“+”、“-”分別表示假定的高、低電位端,箭頭方向由假定的高電位指向低電位。電壓參考方向還可用雙下標表示,如

uab

表示a

點與b

點間的電壓,其參考方向由a

點指向

b點。

圖1-2電壓的參考方向1.2電路變量在規(guī)定的電壓參考方向下,電壓是代數(shù)量,求解的結果若為正值,則電壓實際方向與參考方向相同;若為負值,則電壓實際方向與參考方向相反。電壓的參考方向和其代數(shù)值一起給出了電壓的完整解答。因此,求解電路前一定要先選定電壓的參考方向。電壓和電流的參考方向可獨立選擇,也可關聯(lián)考慮。如圖1-3所示有兩種選法:圖1-3(a)中電流和電壓參考方向相同,稱為關聯(lián)參考方向;圖1-3(b)中電流和電壓參考方向相反,稱為非關聯(lián)參考方向。采用關聯(lián)參考方向時,可只標出電流或電壓的參考方向而暗示著另一變量的參考方向。

圖1-3關聯(lián)參考方向和非關聯(lián)參考方向1.2電路變量1.2.3

功率若正電荷通過一段電路后能量有所增加或降低,則說明該段電路的元件提供或吸收了電能。元件吸收或提供電能的速率稱為功率,用符號p

表示。功率可由電流和電壓計算。設一段電路(二端電路)如圖1-3(a)所示,其中方框表示某種元件或某些元件的組合。該段電路的電流和電壓采用關聯(lián)參考方向,這意味著我們假定正電荷由高電位流向低電位,即假定該段電路的元件吸收電能。在

t時刻的微小時間段dt

時間內(nèi),由

a點移到

b

點的正電荷為dq=i

(t)dt;這些正電荷失去(該段電路元件吸收)的電能為dE=u(t)dq=u(t)i

(t)dt,則t

時刻該電路吸收的功率為

dEu(t)i

(t)dtp(t)＝—＝————————=u(t)i

(t)

（1-3）dtdt

1.2電路變量上式表明,關聯(lián)參考方向下,一段電路在任一時刻t吸收的功率等于該時刻其電流和電壓的乘積。若求p(t)為正值,則說明該段電路在這一時刻確實吸收功率;若求得p(t)為負值,則說明該段電路在這一時刻實際上是供出功率。若二端電路的電流和電壓采用非關聯(lián)參考方向,如圖1-3(b)所示,則意味著我們假定該段電路是供出功率的。可推得其供出的瞬時功率等于其電流和電壓的乘積,即(1-3)式為采用非關聯(lián)參考方向時計算二端電路所提供瞬時功率的計算公式。若求得p(t)為正值,則該段電路確實是供出功率;否則,是吸收功率。

國際單位制中,功率的單位為瓦特(簡稱為瓦,符號為W),1瓦=1焦/秒=1伏·

安。將二端電路的功率在一段時間內(nèi)積分,便可求得該電路在這段時間內(nèi)吸收或產(chǎn)生的電能。

1.2電路變量

例1-1二端電路如圖1-4(a)所示。⑴若u=2V,I=-0.5A,求該二端電路的功率。⑵若電流和電壓波形如圖1-4(b)所示,求該二端電路在0~1s時間內(nèi)吸收的電能。圖1-4例1-1題圖1.2電路變量解⑴p＝ui＝2×（-0.5）＝-1W由于電路中

u、i

的參考方向為非關聯(lián)參考方向且其乘積為負值,因此該二端電路實際吸收了1W的功率。

解⑵當電路中u、i

為非關聯(lián)參考方向時,該電路吸收的功率可表示為p=-ui,因此有

p(t)=-ui=-(t)×(-1)=tW該二端電路在0～1s時間內(nèi)吸收的電能為

11

E[0,1]=∫p(t)dt=

∫tdt=0.5J

001.3基爾霍夫定律電路中,各元件的電流要受到基爾霍夫電流定律的約束,各元件的電壓要受到基爾霍夫電壓定律的約束。這兩種約束與元件的特性無關,只由元件的互聯(lián)方式確定,稱為拓撲約束?；鶢柣舴螂妷汉碗娏鞫山y(tǒng)稱為基爾霍夫定律,是分析和求解電路的基本依據(jù)。首先介紹幾個有關電路的術語。支路:電路中每個二端元件稱為一條支路。有時為簡化電路,也將由一些元件組合而成的一段二端電路(如串聯(lián)的電阻)看做一條支路。例如,圖1-5中有6條支路。節(jié)點:電路中支路的連接點稱為節(jié)點。例如,圖1-5中有4個節(jié)點(①②③④)?；芈?電路中由支路構成的閉合路徑稱為回路。例如,圖1-5中有7個回路,支路1、2、3構成一個回路;支路1、2、4、5構成另一個回路等。圖1-5電路的支路、節(jié)點、回路示例1.3基爾霍夫定律1.3.1

基爾霍夫電流定律基爾霍夫電流定律(KCL,Kirchhoff’sCurrentLaw):在集總參數(shù)電路中,任一時刻,流入任一節(jié)點的支路電流之和等于流出該節(jié)點的支路電流之和。即任一時刻,與任一節(jié)點相連的所有支路電流的代數(shù)和為零,用數(shù)學式表達為∑i(t)=0（1-4）上式稱為節(jié)點電流方程或KCL方程。對任一節(jié)點均可列出一個KCL方程,它是對連接到該節(jié)點的所有支路電流的一個約束條件。注意求和時不能漏掉與該節(jié)點相連的任一支路電流。代數(shù)求和是指流入(指向)該節(jié)點的支路電流與流出(背離)該節(jié)點的支路電流取不同的正負號。例如,對圖1-6中的節(jié)點a,若流出該節(jié)點的電流取正號,則該節(jié)點的KCL方程為-i

1–i

2

+

i3

+i

4

=0

(1-5)1.3基爾霍夫定律求解電路時,根據(jù)電流的參考方向列方程,即上式中各電流前的正負號取決于其參考方向是背離還是指向該節(jié)點。由于在參考方向下各電流均是代數(shù)量,因此把它們代入方程時,應注意保留其正負號。圖1-6中,若已知i1=5A,i2=-4A,i4=

-7A,將之代入式(1-5),有-5-(-4)+

i3

+(-7)=0可求得i3=8A圖1-6基爾霍夫電流定律的說明1.3基爾霍夫定律基爾霍夫電流定律是電荷守恒規(guī)律的體現(xiàn)。電荷既不能創(chuàng)造也不能消滅。在集總參數(shù)電路中,節(jié)點只是理想導體的連接點,它不會積累電荷。因此,在任一時刻,流入某一節(jié)點的電荷必等于流出該節(jié)點的電荷,即流入的電流等于流出的電流。電路中由一封閉的曲線包圍的部分稱為一個閉合面,或稱為廣義節(jié)點,如圖17中虛線所示。基爾霍夫電流定律也適用于集總參數(shù)電路中的任一閉合面。即任一時刻,流入任一閉合面的支路電流之和等于流出該閉合面的支路電流之和。例如,對圖1-7中的閉合面,有i1+i2+i3=0。只需列出閉合面內(nèi)部所有節(jié)點的KCL方程,再將它們相加,便可證明上述結論。圖1-7基爾霍夫電流定律用于閉合面

1.3基爾霍夫定律1.3.2

基爾霍夫電壓定律基爾霍夫電壓定律(KVL,Kirchhoff’sVoltageLaw):在集總參數(shù)電路中,任一時刻,任一回路的所有支路電壓代數(shù)和為零。用數(shù)學式表達為∑u(t)=0（1-6）上式稱為回路電壓方程或KVL方程。對任一回路均可列出一個KVL方程,它是對組成該回路所有支路的電壓的一個約束條件。注意求和時不能漏掉該回路中的任一支路電壓。圖1-8基爾霍夫電壓定律的說明1.3基爾霍夫定律式(1-6)是代數(shù)求和式,各項電壓前冠有正號或者負號。任意選定回路的繞行方向后,支路電壓參考方向與回路繞行方向一致時取正號,相反時取負號。例如,對圖1-8中的回路1,若選定回路繞行方向為順時針方向,則該回路的KVL方程為-u1

+u2–u3-u4

=0

(1-7)由于參考方向下各電壓均是代數(shù)量,因此代入方程時應注意保留其正負號。圖1-8中,若已知u1=6V,u2=-2V,u4=-5V,將之代入(1-7)式,有-6+(-2)-u3

-(-5)=0可求得

u3

=-3V

基爾霍夫電壓定律是集總參數(shù)電路中能量守恒規(guī)律的體現(xiàn)。單位正電荷從某點出發(fā),沿一回路繞行一周回到原出發(fā)點,其能量變化為零。這說明單位正電荷沿途獲得的能量總和與失去的能量總和相等。用電壓來描述就是回路中的電位升之和等于電位降之和,即回路中所有電壓的代數(shù)和為零。1.3基爾霍夫定律基爾霍夫電壓定律不僅適用于由支路構成的回路,也適用于不完全由支路構成的假想回路。圖1-8中,節(jié)點a、c之間并未直接接有支路,但我們可假想a、c間接有一阻值為無窮大的電阻支路,故仍可將節(jié)點序列abcd看做一個回路,其KVL方程為u2–u3-uac

=0

(1-8)也可將adcd看做一個回路,可得KVL方程為u1＋u4

-uac

=0

(1-9)利用假想回路的KVL方程可求出任兩節(jié)點間的電壓。例如,由(1-8)、(1-9)式求得uac

=u2-u3或uac=u1+u4。由(1-7)式知u1+u4=u2-u3。由此例可見,集總參數(shù)電路中兩點間的電壓等于這兩點間任一條路徑上的支路電壓之代數(shù)和,它是單值的,與計算路徑無關。這正是基爾霍夫電壓定律之實質(zhì)所在。1.3基爾霍夫定律在電路中指定某一點作為參考電位點(即零電位點),則其余各點相對于該參考點的電壓稱為各點的電位。如圖1-9電路中,若以d點作為參考電位點,則ua、ub、uc、ue

分別表示a、b、c、e各點的電位。電路中某兩點的電壓等于該兩點的電位之差。圖1-9中,有uab

=ua-ub

事實上,對abda假想回路列出KVL方程,便可推得上式。圖1-9電位的概念將(1-4)式與(1-6)式比較可見,該兩式在形式上是相似的,這種一一對應出現(xiàn)的事物稱為對偶事物。認識事物的對偶性,可使我們在研究問題時舉一反三,由此及彼,提高效率。對偶現(xiàn)象在電路中普遍存在。如前所述,(1-4)式及(1-6)式是對偶方程,式中對應的變量電流和電壓是對偶變量。該兩個方程所描述的KCL及KVL是對偶定律。在今后的學習中我們還會逐漸認識電路的其他對偶現(xiàn)象。電路中的對偶現(xiàn)象通?？赏ㄟ^其數(shù)學描述的相似性表現(xiàn)出來。換言之,數(shù)學表達的相似性揭示了事物間的對偶性。1.3基爾霍夫定律例1-2電路如圖1-10所示,已知u2=10V,u5=-3V,u6=16V,

u8

=9V,

i3=-2A,i4=6A,i8=3A,求uab和i7。解

從a點出發(fā),依次通過第2、5、8、6號支路,到達b點,這4條支路構成a、b兩點間的一條路徑,uab等于這4條支路電壓的代數(shù)和,即uab=u2

-u5

-u8

+u6=10-(-3)-9+16=20V圖1-10例1-2題圖在電路中做一封閉的曲線,如圖1-10中虛線所示。由該閉合面的KCL方程得i7=-i3

+i4

-i8=-(-2)+6-3=5A

1.4電阻電路的元件本書所指的電路均為電路模型。電路模型由各種理想元件構成。理想元件簡稱為元件,它們具有嚴格的數(shù)學定義,每種元件反映著電路中的某種物理現(xiàn)象。電路元件分為無源元件和有源元件兩大類。若某一元件接在任意電路中,從最初時刻到任意時刻所吸收的總能量不為負,或者說從最初時刻到任意時刻總的來看,它不對外提供能量,則稱為無源元件;反之,則稱為有源元件。

電路中若不含儲能元件(如電感、電容等),則稱為電阻性電路(簡稱電阻電路)。電阻電路沒有記憶功能,電路中的電流、電壓關系均為代數(shù)方程,每時刻的響應僅與該時刻的激勵有關。構成電阻電路的元件主要有電阻元件、獨立源、受控源及理想運算放大器。1.4電阻電路的元件1.4.1

電阻元件一個二端元件,若其端電流i和端電壓u

的關系為一代數(shù)方程,則稱之為電阻元件。根據(jù)其u、i

關系方程是否是線性方程及是否與時間t有關,電阻元件可分為線性電阻與非線性電阻,時變電阻與非時變電阻。本書內(nèi)容僅涉及非時變電阻,這里先介紹非時變線性電阻,非線性電阻將在第13章介紹。非時變線性電阻應用廣泛,簡稱為電阻元件,它是滿足歐姆定律的二端元件。電阻元件的電路符號如圖1-11(a)所示。在關聯(lián)參考方向下,其端電壓u(t)和端電流i

(t)的關系(稱為伏安特性或ui

特性)為u(t)=Ri(t)(1-10)式中,R為正的常數(shù),稱為電阻元件的電阻。ui

特性可用圖1-11(b)表示,它是過原點且斜率為R

的直線。(1-10)式可改寫為i(t)=Gu(t)(1-11)其中,G=1/R,稱為電導。(1-10)式和(1-11)式是歐姆定律的兩種數(shù)學表達式。1.4電阻電路的元件國際單位制中,電阻的單位是歐姆(簡稱歐,符號為Ω),1歐姆=1伏特/1安培。電導的單位為西門子(簡稱西,符號為S)。電導反映了電阻元件導電能力的大小。

(1-10)式和(1-11)式是關聯(lián)參考方向下電阻元件ui特性的數(shù)學表達式。若采用圖1–12所示的非關聯(lián)參考方向,則其ui

特性應改寫為u(t)=-Ri(t)(1-12)i(t)=-Gu(t)(1-13)

圖1-11線性電阻元件及其ui特性

圖1-12

u、i為非關聯(lián)參考方向1.4電阻電路的元件關聯(lián)參考方向下,電阻元件吸收的瞬時功率為p(t)=u(t)i(t),將(1-10)式或(1-11)式代入,電阻元件吸收的瞬時功率又可由下式計算:可見,任一時刻電阻吸收的功率非負,即電阻是無源元件而且是耗能元件。工程上選用電阻器件時,除要選擇合適的電阻值外,還要考慮其額定功率,若電阻器件工作時所消耗的功率大于其額定功率,就有可能因過熱而損壞。

若電阻元件的R→∞(G=0),則其電流恒為零,其伏安特性曲線與u軸重合,此時電阻元件相當于斷開的導線,稱為“開路”;若電阻元件的R=0(G→∞),則其端電壓恒為零,其伏安特性曲線與i軸重合,此時電阻元件相當于一段理想導線,稱為“短路”。

電阻元件伏安特性的兩種數(shù)學表達式(1-10)、(1-11)是對偶的,R

與G

是對偶參數(shù)。1.4電阻電路的元件1.4.2

獨立電源獨立電源又稱為激勵源,分為電壓源和電流源。獨立電源是有源元件。1.電壓源電壓源是理想的二端元件,其端電壓與其端電流無關,為一給定的恒定值(直流電壓源),或者為某一給定的時間函數(shù)(時變電壓源)。電壓源的符號如圖1-13(a)所示,其中虛線部分是電壓源連接的任意外電路。電壓源符號中,us(t)為電壓源的給定電壓函數(shù),u(t)為它的端電壓。若u(t)與us(t)的參考方向相同,則對于任意端電流i(t),電壓源的特性方程為u(t)=us(t)(1-15)在任一時刻t,電壓源的ui特性如圖1-13(b)所示,它是一條平行于i軸的直線,即任一時刻電壓源的端電壓均與其端電流無關。

直流電壓源也可用圖1-14所示符號表示,其中長橫線表示電壓參考方向的高電位端,短橫線表示參考方向的低電位端。1.4電阻電路的元件

圖1-13電壓源及其ui特性圖1-14直流電壓源電壓源有兩個特征:一是其端電壓為給定函數(shù)或常數(shù),與其端電流的大小無關;二是電壓源自身對其端電流沒有任何約束。若電壓源的端電壓和端電流取為非關聯(lián)參考方向,如圖1-13(a)所示,則其提供的瞬時功率為p(t)=u(t)i(t)(1-16)1.4電阻電路的元件由于電壓源允許i(t)為任意值,因此若i(t)為無窮大,則電壓源可供出無窮大的功率,即電壓源是無窮大的功率源。當然這種電源實際上是不存在的,在一定的條件下,電壓源可作為實際電源的近似模型;而在某些場合,實際電源則需采用理想電源及電阻等元件的組合作為其模型。由于電壓源的電流大小和方向都不受電壓源本身限制(在實際電路中,電壓源的電流可能與電壓反方向或者同方向),因此,由(1-16)式計算出來的p(t)可能為正也可能為負。換言之,電路中的電壓源有可能提供電能,也有可能消耗電能,這要視具體電路而定。在后一種情況下(如蓄電池充電),電壓源相當于負載。一個零值的電壓源其端電壓恒為零,相當于一條短路的支路。1.4電阻電路的元件2.電流源

電流源是理想的二端元件,其端電流與端電壓無關,為一恒定值(直流電流源)或者為某一給定的時間函數(shù)(時變電流源)。電流源的符號如圖1-15(a)所示。其中,虛線部分是電流源連接的任意外電路。電流源符號中is(t)為電流源的給定電流函數(shù)(直流電流源也可表示為Is),i(t)為電流源的端電流。若i(t)與is(t)的參考方向相同,則對于任意端電壓u,電流源的特性方程為i(t)=is(t)(1-17)在任一時刻t,電流源的ui特性如圖1-15(b)所示,它是一條平行于u軸的直線,即任一時刻電流源的端電流與其端電壓無關。電流源有兩個特征:一是其端電流為給定函數(shù)或常數(shù),與其端電壓無關;二是電流源自身對其端電壓沒有任何約束。1.4電阻電路的元件若電流源的端電壓和端電流取為非關聯(lián)參考方向,如圖1-15(a)所示,則其提供的瞬時功率也是由(1-16)式確定的。由于p(t)可為正也可為負,因此電流源在電路中也有供能和耗能兩種可能的工作狀態(tài)。理想電流源也是無窮大的功率源,在一定的條件下可作為實際電源的近似模型。一個零值的電流源其端電流恒為零,相當于一條開路的支路。圖1-15電流源及其ui特性電壓源和電流源是對偶元件,它們的對偶變量具有相同特點,其中一個對偶變量(電壓源的電壓和電流源的電流)為給定函數(shù),而另一個對偶變量(電壓源的電流和電流源的電壓)則不受元件本身約束。1.4電阻電路的元件例1-3電路如圖1-16所示,已知is(t)=3A,us(t)=5V,R=5Ω,求電壓源、電流源及電阻的功率pus、pis和pR。

圖1-16例1-3題圖

解這是一個單回路電路,且回路中串有一個電流源,因此該回路各元件電流已知。設電流源及電阻的電壓分別為u1和u2,根據(jù)KVL可列出回路電壓方程:u1+us+u2=0解得u1=-us-u2=-us-isR=-5-3×5=-20Vpus=isus=3×5=15W(關聯(lián)參考方向,吸收15W)pis=isu1=3×(-20)=-60W(關聯(lián)參考方向,實際提供60W)pR=i2sR=32×5=45W(吸收45W)由該例結果可知,電路中各元件吸收的功率之和與供出的功率之和相等,即任一時刻,電路中的功率是平衡的。1.4電阻電路的元件例1-4電路如圖1-17所示,已知is(t)=2A,us(t)=5V,R=10Ω,求電壓源、電流源及電阻的功率pus、pis和pR。

圖1-17例1-4題圖

解電路中三個元件是并聯(lián)的,其中有一個電壓源,因此各元件電壓已知。設電壓源及電阻的電流分別為i1

和i2,根據(jù)KCL可列出節(jié)點電流方程:i1+i2=is

1.4電阻電路的元件解得

us5

i1＝is-i2

＝is-—=2-—＝1.5A

R10

pus=i1us=1.5×5=7.5W(關聯(lián)參考方向,吸收7.5W)pis=isus=2×5=10W(非關聯(lián)參考方向,提供10W)

u2s52pR

＝—＝—＝2.5W（吸收2.5W）

R10

可驗證電路中各元件的功率平衡。1.4電阻電路的元件1.4.3

受控源實際電路中存在著一條支路電流或電壓受另一條支路電流或電壓控制的現(xiàn)象。例如,圖1-18(a)所示是一個三極管,其集電極電流ic受基極電流ib的控制,有ic=βib,其中β為電流放大系數(shù);圖118(b)所示是它勵直流發(fā)電機示意圖,發(fā)電機的輸出電壓U與勵磁電流If成正比,有U=kIf,k為比例系數(shù);圖118(c)是一個場效應管,漏極電流id受柵源極電壓ugs的控制,有id=gmugs,其中gm為控制系數(shù)。受控源是人為定義的理想的控制元件,是構成實際電路中諸如三極管、場效應管等控制器件的電路模型的基本元件。圖1-18三極管、它勵發(fā)電機及場效應管示意圖1.4電阻電路的元件受控源由控制支路和被控支路構成,是二端口元件?？刂浦匪诙丝诜Q為輸入端口,被控支路所在端口為輸出端口。當控制變量為電路中某兩點間的電壓時(如圖1-18(c)中的ugs),不妨認為該兩點間接有一條阻值為無窮大的電阻支路,控制電壓是這條開路支路的電壓;當控制變量是電路中某條支路的電流時(如圖1-18(a)中的ib和圖1-18(b)中的If),不妨認為該支路中串聯(lián)有一條阻值為零的電阻支路,控制電流是這條短路支路的電流。在受控源的定義中,將控制支路規(guī)定為開路支路(當控制變量為電壓時)和短路支路(當控制變量為電流時)。當被控變量是控制變量的線性函數(shù)時,該受控源稱為線性受控源;否則稱為非線性受控源。本書只討論線性受控源(簡稱受控源)。根據(jù)控制量及被控量是電壓還是電流,有四種不同類型的受控源:電壓控制電壓源、電流控制電壓源、電壓控制電流源和電流控制電流源。1.4電阻電路的元件1.受控電壓源若受控變量是電壓,則稱為受控電壓源。根據(jù)控制量是電壓或電流,分為電壓控制電壓源(VCVS,Voltage-ControlledVoltageSource)及電流控制電壓源(CCVS,Current-ControlledVoltageSource),它們的符號分別如圖1-19(a)、(b)所示。受控源均采用菱形符號,以便與獨立源相區(qū)別。電壓控制電壓源輸出端口的特性方程為u2＝μu1式中,μ稱為轉移電壓比,是一個無量綱的常數(shù)。電流控制電壓源輸出端口的特性方程為u2=ri1式中,r

是一個常量,與電阻的量綱相同,稱為轉移電阻。由受控電壓源輸出端的特性方程看,受控電壓源也具有與獨立電壓源相同的兩個特征:一是輸出支路的電壓與該支路電流無關;二是輸出支路的電流不受元件本身的約束。受控電壓源與獨立電壓源本質(zhì)的不同在于獨立電壓源的電壓是一給定的常數(shù)或獨立的時間函數(shù),它不受任何其他支路電流或電壓的影響;而受控電壓源的輸出電壓則受另一支路電壓或電流的控制,它是該支路電壓或電流的函數(shù),當控制變量為零時,它也將為零。1.4電阻電路的元件2.受控電流源若受控變量是電流,則稱為受控電流源。根據(jù)控制量是電壓或電流,分為電壓控制電流源(VCCS,Voltage-ControlledCurrentSource)及電流控制電流源(CCCS,Current-ControlledCurrentSource),它們的符號分別如圖1-19(c)、(d)所示。

圖1-19四種受控源(a)VCVS;(b)CCVS;(c)VCCS;(d)CCCS1.4電阻電路的元件

電壓控制電流源輸出端口的伏安特性方程為

i2=gu1式中,g是一個常量,與電導的量綱相同,稱為轉移電導。

電流控制電流源輸出端口的伏安特性方程為

i2=αi1式中,α稱為轉移電流比,是無量綱的常數(shù)。受控電流源與獨立電流源一樣,也有兩個特征:一是輸出支路的電流與該支路電壓無關,二是輸出支路的電壓不受元件本身的約束。但受控電流源與獨立電流源有本質(zhì)的區(qū)別,前者的輸出電流受另一支路變量的控制,后者的電流則是給定的常數(shù)或時間函數(shù)。1.4電阻電路的元件由于受控源輸入支路的電流、電壓變量總有一個為零,因此輸出支路的功率就是受控源的功率。設輸出支路的電流和電壓取為關聯(lián)參考方向,則受控源吸收的瞬時功率為p(t)=u2(t)i2(t)p(t)可能為正,也可能為負,因此受控源在電路中可能是吸收功率也可能是提供功率?？梢宰C明,受控源是有源元件。事實上,作為構成實際放大器件電路模型的核心元件,實際放大器件的有源性正是由受控源所體現(xiàn)的。雖然受控源與獨立源同是有源元件,但受控源不是激勵源,若一個電阻電路中沒有獨立源,只有受控源,則電路中的電流和電壓都將為零。四種受控源的特性方程都是線性代數(shù)方程,故可稱之為線性二端口電阻性元件。1.4電阻電路的元件例1-5電路如圖1-20所示,已知us=10mV,R1=1kΩ,R2=2kΩ。⑴求電壓uo和受控源的功率;⑵若電路中獨立電壓源的電壓為零,求受控源的功率。

圖1-20例1-5題圖

解⑴由電路可得

us10×10ˉ3

i1＝—＝———————=10μA

R1103

uo=-20i1R2=-20×10ˉ?×2×103=-0.4V

受控源吸收的功率為

p=20i1×uo=20×10ˉ?×(-0.4)=-8×10ˉ?W

即受控源實際供出80微瓦的功率。⑵若電路中us為零,則受控源的控制電流i1等于零,分析可知,電路中各元件的電流和電壓都為零,受控源的功率也為零。1.4電阻電路的元件1.4.4

運算放大器運算放大器簡稱運放,它是一種多端電子器件。運算放大器最初主要用于加減法、比例、微分、積分等運算電路中,其名稱由此而來。由于其優(yōu)良的特性,現(xiàn)已被廣泛應用于各種電子線路及控制系統(tǒng)中。運放的內(nèi)部構成及主要用途在電子線路課程中介紹,本課程主要介紹其電路模型。運放的電路符號如圖1-21(a)所示,它有“+”、“-”兩個輸入端、一個輸出端和一個接地端。運放工作時要接直流電壓源,因此運放還有兩個電源端。假設運放已接有適當?shù)碾娫?則在分析中不必再考慮電源問題,因此這兩個電源端未在圖中畫出。圖中,u+、u-分別為“+”、“-”輸入端對地電壓,稱為同相輸入和反相輸入電壓;uo為輸出端對地電壓,稱為輸出電壓;ud稱為差動輸入電壓,ud=u+-u-。

1.4電阻電路的元件運放的電壓轉移特性即uoud特性如圖1-21(b)所示。其中,Usat、-Usat分別為正、負飽和電壓,它們與運放所接的直流電源值有關。根據(jù)轉移特性可將運放的工作區(qū)分為線性區(qū)和飽和區(qū)。運放工作在線性區(qū)時具有放大作用,其開環(huán)放大倍數(shù)(開環(huán)增益)為

uoA＝—(1-18)ud實際運放的開環(huán)增益A可高達10?～10?。

圖1-21運算放大器及其轉移特性

1.4電阻電路的元件本書僅介紹運放工作在線性區(qū)時的電路模型。運放工作于線性區(qū)時,由于uo與ud成比例,因此從輸出端看,運放相當于一個電壓控制電壓源,再考慮到實際運放的輸出電阻不為零及輸入電阻不為無窮大,實際運放的電路模型可用圖1–22(a)表示。其中,Ri和Ro分別為運放的輸入和輸出電阻。通常實際運放的輸入電阻很大(為數(shù)兆歐到數(shù)百兆歐),輸出電阻很小(為數(shù)十歐到數(shù)百歐)。若近似認為Ri=∞,Ro=0,則運放的電路模型可簡化為如圖1-22(b)所示。圖1-22運算放大器的電路模型

1.4電阻電路的元件由于實際運放的開環(huán)增益A很大,因此在工程計算時常常把實際運放近似看做理想運放。理想運放定義為Ri=∞,Ro=0,A=∞的運放,它是實際運放在一定條件下的近似。理想運放有兩個特點:一是由于輸入電阻無窮大,因此輸入電流為零,稱為輸入端虛斷路;二是由于開環(huán)增益A無窮大,而輸出電壓uo為有限值,因此由(1-18)式可知,輸入電壓ud為零,即兩個輸入端電位相等,稱為輸入端虛短路。由于理想運放的這兩個特點同時存在,無法用常規(guī)理想元件構成其電路模型,因此在電路分析時,將理想運放作為一個基本元件。理想運放的符號如圖1-23所示,它與實際運放的符號基本相似,只是在三角形內(nèi)加了一個“∞”符號以示區(qū)別。圖1-23理想運算放大器圖1-22運算放大器的電路模型

1.4電阻電路的元件分析含理想運放的電路時要充分利用虛斷路和虛短路這兩個特點。圖1-24所示是一個反相比例器電路。根據(jù)虛斷路特性,有i1=if

根據(jù)虛短路特性,有uab=0于是可得ui=i1R1

uo=-ifRf=-i1Rf

可求得該電路輸出電壓與輸入電壓之比(稱為閉環(huán)放大倍數(shù))為

uo-i1R1Rf

Au＝—＝——＝—

uii1R1R1圖1-24反相比例器電路圖1-22運算放大器的電路模型

1.5簡單的電路分析1.5.1

電阻串、并聯(lián)電路圖1-25所示為n個電阻的串聯(lián),串聯(lián)電路中各元件電流相等。根據(jù)KVL,有u=i(R1+R2+R3+…+Rn)=iR則有R=R1+R2+…+Rn

（1-19）

R

為n

個串聯(lián)電阻的等效電阻。若第k個電阻的電壓uk與總電壓u的參考方向相同,則有分壓公式：

Rk

uk＝

iRk＝——u

（1-20）

R

圖1-25電阻的串聯(lián)1.5簡單的電路分析可見,在電阻串聯(lián)電路中,當總電壓一定時,某個串聯(lián)電阻越大,分到的電壓越大。將(1-19)式兩邊同乘電流平方,得i2R=i2R1+i2R2+…+i2Rn(1-21)

即串聯(lián)電阻吸收的總功率等于各串聯(lián)電阻吸收的功率之和,且電阻值越大,吸收的功率也就越大。圖1-26所示為n個電阻的并聯(lián),并聯(lián)電阻的電壓相等。根據(jù)KCL,有則有(1-22)1.5簡單的電路分析其中,G為n個并聯(lián)電阻的等效電導;R為n個并聯(lián)電阻的等效電阻。若第k個電阻的電流ik及總電流i的參考方向如圖1-26所示,則有分流公式:Gk

ik＝—i

（1-23）

G

可見,在電阻并聯(lián)電路中,當總電流一定時,某個并聯(lián)電阻越小(電導越大),分到的電流就越大。將(1-22)式兩邊同乘電壓平方,得

（1-24）即并聯(lián)電阻吸收的總功率等于各并聯(lián)電阻吸收的功率之和,且電阻值越小,吸收的功率越大。若只有兩個電阻并聯(lián),即圖1-26中n為2,可推得等效電阻及分流公式為圖1-26電阻的并聯(lián)1.5簡單的電路分析例1-6電路如圖1-27所示,求等效電阻Rab及Rcd。解該電路無論從a、b端還是從c、d端看,都是電阻的串并聯(lián)結構,可求得Rab=R1+R3∥(R2+R4)=12ΩRcd=R2∥(R3+R4)=4Ω若電路中只有一個獨立源及若干電阻,且從電源端看進去電阻是串并聯(lián)連接，則可采用串、并聯(lián)等效變換及分流和分壓公式求解電路。一般的做法是先求出電源端的等效電阻,再求電源端的電流或電壓,然后用分流或分壓公式求各支路的電流或電壓。圖1-27例1-6題圖1.5簡單的電路分析例1-7電