電路理論基礎(chǔ)（第三版） 課件 第8章 相量法基礎(chǔ)

第八章相量法基礎(chǔ)

正弦電流電路是應(yīng)用很廣的一類電路,相量法是分析正弦電流電路的基礎(chǔ)。本章主要介紹正弦電壓和電流的三要素、有效值及相量表示,基爾霍夫定律的相量形式,元件伏安特性的相量形式等。8.1正弦電壓和電流8.2正弦量的相量表示8.3基爾霍夫定律的相量形式8.4電路元件伏安特性的相量形式8.1正弦電壓和電流

正弦交流電的應(yīng)用極為廣泛。工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中普遍使用的電源是發(fā)電廠送出的正弦交流電;發(fā)送電臺廣播信號、電視信號、無線電通信信號所采用的載波也大多是高頻或超高頻正弦波。

按照正弦規(guī)律變化的電壓和電流分別稱為正弦電壓和正弦電流。正弦電流、電壓等按正弦規(guī)律變化的物理量簡稱為正弦量。正弦量可用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表示,本書中一般采用余弦函數(shù)表示正弦量。

當線性電路中所有的激勵源均為同一頻率的正弦交流電源時,若電路是穩(wěn)定的,則電路進入穩(wěn)態(tài)后,電路中各電流和電壓都是與電源同頻率的正弦量,此時的電路稱為正弦電流電路或正弦交流電路,簡稱交流電路。

正弦電流電路的分析是電路理論的一個重要內(nèi)容,正弦電流電路的分析方法也是分析非正弦電流電路及對線性電路進行頻域分析的基礎(chǔ)。8.1正弦電壓和電流

圖8-1所示表示正弦電流電路中的一條支路,該支路電流在指定的參考方向下的數(shù)學表達式為i=Imcos（ωt+θ

i）

（8-1）圖8-1正弦電流電路中的一條支路式中,Im是正弦電流i在變化過程中可達到的最大值,稱為電流i的振幅或幅值;ωt+θi是正弦電流i的瞬時相角,簡稱相角或相位,單位為弧度(rad)或度(°)。8.1正弦電壓和電流

瞬時相角是隨時間而變化的,它反映了正弦量的變化進程。相角每變化2π弧度,正弦量就經(jīng)過了一個周期的循環(huán)。相角隨時間而變化的速度為ω,即其中,ω稱為正弦量的角頻率,單位為弧度/秒(rad/s)。ω反映著正弦量變化的快慢。正弦量的周期T(變化一周所需時間)及頻率f(每秒變化的周數(shù))也反映了正弦量的變化快慢。它們的關(guān)系為其中,周期T的單位為秒(s);頻率f的單位為赫茲(Hz),簡稱赫。無線電工程中,常采用千赫茲(kHz)、兆赫茲(MHz)、吉赫茲(GHz)為頻率的單位,它們之間的換算關(guān)系如下：1kHz=103Hz,1MHz=10?Hz,1GHz=10?Hz我國供電系統(tǒng)交流電的頻率為50Hz。8.1正弦電壓和電流 (8-1)式中,θi

為正弦電流在時間為零時的相角,稱為初相角或初相位。初相位一般在主值范圍取值,即|θi|≤π。初相角與計時起點的選擇有關(guān)。在分析正弦電流電路時要確定一個計時起點,計時起點一旦確定,電路中各正弦電流和電壓的初相位也就確定了。圖8-2(a)、(b)、(c)所示分別為θi=0、θi>0及θi<0三種情況下正弦電流i

的波形圖。為方便起見,作正弦量波形圖時,常以ωt為橫軸坐標。圖8-2正弦電流的波形(a)θi=0;(b)θi>0;(c)θi<08.1正弦電壓和電流

正弦量的振幅、初相位及角頻率一旦確定,其變化規(guī)律就完全確定了,因此將振幅、初相位和角頻率稱為正弦量的三要素。

在正弦電流電路的分析中,常要比較同頻率正弦量的相位,計算它們的相位差。設(shè)兩個同頻率正弦電壓分別為u1=Um1cos(ωt+θ1),u2=Um2cos(ωt+θ2)則u1與u2的相位差為φ=(ωt+θ1)-(ωt+θ2)=θ1-θ2可見,同頻率正弦量在任何時刻的相位差等于其初相位之差。相位差一般也在主值范圍取值,即|φ|≤π。

相位差可反映同頻率正弦量變化進程之間的差別。8.1正弦電壓和電流

若相位差φ=θ1-θ2>0,則說明u1比u2在相位進程上超前了φ角度,簡稱u1超前u2。在這種情況下,u1的進程先于u2,u1比u2先到達最大值,先過零點等,波形如圖8-3(a)所示。

若相位差φ=θ1-θ2<0,則說明u1在相位上滯后于u2一個φ角度,簡稱u1滯后u2。

若相位差φ=θ1-θ2=0,則稱u1與u2同相位(簡稱同相)。這種情況下,兩個正弦量進程相同,同時到達最大值,也同時過零點,波形如圖8-3(b)所示。

若相位差φ=θ1-θ2=±π,則兩個正弦量相位差了半個周期,它們的正、負半周正好錯開,這種情況稱u1與u2反相,波形如圖8-3(c)所示。

若相位差φ=θ1-θ2=

,則兩個正弦量相位差了四分之一個周期,當其中一個到達最大值時,另一個到達零值。此種情況稱u1與u2正交,波形如圖8-3(d)所示。8.1正弦電壓和電流圖8-3同頻率正弦量的相位差(a)φ=θ1-θ2>0;(b)φ=θ1-θ2=0;(c)φ=θ1-θ2=±π;(d)φ=θ1-θ2=8.1正弦電壓和電流8.1正弦電壓和電流

由(8-5)式、(8-6)式可知,正弦量的振幅是其有效值的倍。因此,正弦電流、電壓又可表達為

i=Icos（ωt+θi）

u=Ucos（ωt+θu）

工程上提到的正弦量的大小一般是指有效值。例如,電網(wǎng)提供的(220V和380V)電壓、一般交流電器的額定電流和電壓、普通交流電壓表和交流電流表的讀數(shù)等都是指有效值。8.1正弦電壓和電流8.2正弦量的相量表示

正弦電流電路中的各電流和電壓都是同頻率的正弦量,分析電路時,直接對這些正弦量進行求導(dǎo)、積分、求和運算等是很不方便的。相量法是利用歐拉公式將正弦量與復(fù)變量聯(lián)系起來,將正弦量的求導(dǎo)、積分、求和運算等轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)變量的代數(shù)運算的方法,它簡化了正弦電流電路的計算。8.2正弦量的相量表示8.2.1

復(fù)數(shù)運算

復(fù)數(shù)A是復(fù)平面上的一個點,如圖8-4所示。由原點指向該點的向量是復(fù)數(shù)A的向圖8-4復(fù)數(shù)A的復(fù)平面表示量表示。復(fù)數(shù)A的直角坐標表達式為A=a1+ja2

（8-7）其中,a1、a2分別稱為A的實部和虛部；j=,稱為虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)A的極坐標表達式為A=a∠θ

（8-8）其中,a為圖8-4中向量的長度,稱為A的模,它總?cè)》秦撝?θ為向量與正實軸的夾角,稱為A的輻角。圖8-4復(fù)數(shù)A的復(fù)平面表示8.2正弦量的相量表示

例8-2已知A=-20-j40,B=13∠112.6°,求A+B和AB的極坐標形式。

解

B=13∠112.6°=13cos112.6°+j13sin112.6°=-5+j12

A+B=(-20-j40)+(-5+j12)=-25-j28=37.54∠-131.76°

A=-20-j40=44.72∠-116.6°

AB=44.72∠-116.6°×13∠112.6°=581.36∠-4°8.2正弦量的相量表示8.2.2正弦量的相量表示

以正弦電流為例,設(shè)i=Imcos(ωt+θi),根據(jù)歐拉公式,即(8-12)式,有（8-14）上式中,Re[]是取復(fù)數(shù)實部的運算。上式將正弦量與復(fù)指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來?？梢?用余弦函數(shù)表示的正弦量可表示為一復(fù)指數(shù)函數(shù)的實部,該復(fù)指數(shù)函數(shù)的復(fù)常數(shù)因子（）包含了正弦量的兩個要素：振幅和初相位。在正弦電流電路中,各電流及電壓的頻率與電源的頻率相同,這是已知的。因此,正弦電流電路中的電流和電壓由其振幅和初相位唯一確定,即由其對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)的復(fù)常數(shù)因子確定。

將(8-14)式中的復(fù)常數(shù)因子定義為正弦電流的振幅相量,記為定義正弦電流的有效值相量為（8-15）8.2正弦量的相量表示定義正弦電流的有效值相量為（8-16）顯然有

。振幅相量和有效值相量都簡稱為相量,根據(jù)相量符號是否有下標m加以區(qū)分。同理可定義正弦電壓及其他正弦量的相量。

相量是復(fù)數(shù),其運算與一般復(fù)數(shù)運算相同。每一相量都對應(yīng)著一個正弦量,這是其與一般復(fù)數(shù)的不同之處,因此在相量的符號上方加一個小圓點以示區(qū)別。相量也可用復(fù)平面的向量圖表示,稱為正弦量的相量圖。利用相量圖可直觀地看出各正弦量之間的相位關(guān)系。

由正弦量時間表達式可直接寫出它的相量,或由相量直接寫出與之對應(yīng)的正弦量的時間函數(shù)。8.2正弦量的相量表示8.2正弦量的相量表示8.3基爾霍夫定律的相量形式

分析正弦電流電路的依據(jù)仍是基爾霍夫定律及元件伏安特性方程這兩類約束條件。由于正弦電流電路中各電流和電壓都是同頻率的正弦量,因此可用相量表示。若能得到電路中各電流、電壓相量之間的約束方程,直接對相量方程求解,則可將正弦量的求解轉(zhuǎn)化為相量(復(fù)數(shù))的求解,使正弦電流電路的計算簡化。本節(jié)和下節(jié)將介紹正弦電流電路中兩類約束條件的相量形式。對電路中任一節(jié)點,基爾霍夫電流定律可表達為∑i（t）=0（8-18）在正弦電流電路中,將各正弦電流用其相量表示,可得8.3基爾霍夫定律的相量形式因為多個復(fù)數(shù)的實部之和等于這些復(fù)數(shù)先求和再取實部;又因為各電流頻率相同,可將

提到求和符號的外面,所以由于

不恒為零,所以有∑Im=0,∑I=0（8-19）

上式表明:在正弦電流電路中,任一節(jié)點所連接的所有支路電流的相量之代數(shù)和等于零。這是基爾霍夫電流定律的相量形式。

對電路中任一回路,基爾霍夫電壓定律可表達為∑u(t)=0（8-20）由于正弦電流電路中各電壓是同頻率的正弦量,同理可推得∑Um=0,∑U=0（8-21）8.3基爾霍夫定律的相量形式上式表明：在正弦電流電路中,沿任一回路選定的繞行方向,該回路中所有支路電壓的相量之代數(shù)和等于零。這是基爾霍夫電壓定律的相量形式。

將(8-18)式與(8-19)式、(8-20)式與(8-21)式比較可知,基爾霍夫定律的相量方程與它的時域方程具有相同的形式。

值得注意的是,(8-19)式和(8-21)式是復(fù)數(shù)方程,它表達的是支路電流相量及支路電壓相量所應(yīng)滿足的約束條件,不是振幅(或有效值)的約束條件。在正弦電流電路中,回路中各支路電壓或節(jié)點所連各支路電流的振幅(有效值)代數(shù)和一般并不為零,這是因為各正弦量波形之間存在相位差,一般不會在同一瞬時到達最大值。8.3基爾霍夫定律的相量形式圖8-8例8-5題圖及相量圖8.4電路元件伏安特性的相量形式

正弦電流電路中各元件的電壓和電流均為同頻率的正弦量,設(shè)二端元件電壓、電流及其相量分別為（8-22）

本節(jié)介紹各基本元件電壓相量與電流相量之間的關(guān)系,即元件伏安特性的相量形式。8.4電路元件伏安特性的相量形式8.4.1電阻元件

線性電阻元件滿足歐姆定律,在圖8-10(a)所示電流、電壓關(guān)聯(lián)參考方向下,其伏安特性為u（t）=Ri（t）（8-23）圖8-10電阻元件的正弦電壓與電流8.4電路元件伏安特性的相量形式

正弦電流電路中,將電阻的電壓和電流用(8-22)式表示,代入(8-23)式,有由復(fù)數(shù)運算規(guī)則可知,復(fù)數(shù)的實部乘以實常數(shù),等于該復(fù)數(shù)先乘實常數(shù)再取實部。因此,上式可寫做：可得U=RI,Um=Rim

（8-24）上式即電阻元件伏安特性的相量形式。該式又可寫做:U∠θu=RI∠θi,Um∠θu=RIm∠θi即（8-25）

由上式可見,正弦電流電路中,電阻的電壓和電流相位相同,它們的振幅(或有效值)之比等于R。圖8-10(b)、(c)所示分別給出了電阻電壓與電流的波形及相量圖。8.4電路元件伏安特性的