蘇教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)(全冊知識點(diǎn)梳理及?？碱}型鞏固練習(xí))

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解全等三角形及其對應(yīng)邊、對應(yīng)角的概念；能準(zhǔn)確辨認(rèn)全等三角形的對應(yīng)元素.2．掌握全等三角形的性質(zhì)；會用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算，解決某些實(shí)際問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個全等形的周長相等，面積相等.要點(diǎn)二、全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.要點(diǎn)三、對應(yīng)頂點(diǎn)，對應(yīng)邊，對應(yīng)角1.對應(yīng)頂點(diǎn)，對應(yīng)邊，對應(yīng)角定義兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角.對應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，∠C和∠F是對應(yīng)角.2.找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法（1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（2）全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對應(yīng)角；（5）有對頂角的，對頂角一定是對應(yīng)角；（6）兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應(yīng)邊（或角一對最短的邊），要點(diǎn)四、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等；要點(diǎn)詮釋：全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.【典型例題】類型一、全等形和全等三角形的概念1、請觀察下圖中的6組圖案，其中是全等形的是___________.形翻折后得到另一個圖形的6）是將其中一個圖形旋轉(zhuǎn)180°再平移得到的2）（3）形狀相同，但大小不等.【總結(jié)升華】是不是全等形，既要看形狀是否相同，還要看大小是否相等.【變式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面內(nèi)的合同三角形分為真正合同三角形與鏡面→A1環(huán)繞時(shí)，若運(yùn)動方向相同，則稱它們是真正合同三角形(如圖1)，若運(yùn)動方向相反，則稱它們是鏡面合同三角形(如圖2)，兩個真正合同三角形都可以在平面內(nèi)通過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合，兩個鏡面合同三角形要重合，則必須將其中一個翻轉(zhuǎn)180°,下列各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是()提示：抓住關(guān)鍵語句，兩個鏡面合同三角形要重合，則必須將其中一個翻轉(zhuǎn)180°,B答案中的兩個三角形經(jīng)過翻轉(zhuǎn)180°就可以重合，故選B；其它三個選項(xiàng)都需要通過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合.類型二、全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角2、（2016春新疆期末）如圖，△ABC≌△AEF，那么與∠EAC相等的角是()【答案】B【解析】∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC=∠EAF，∴∠BAC-∠CAF=∠EAF-∠CAF，【總結(jié)升華】全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對應(yīng)位置上容易確定出對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角.類型三、全等三角形性質(zhì)EBC=90°,由垂直的定義即可得到DB⊥AC．【答案與解析】解1）∵△ABD≌△EBC，∵△ABD≌△EBC，對應(yīng)角相等．也考查了平角的定義與垂直的定義，熟記性質(zhì)與定義是解題的關(guān)鍵．在兩個全等三角形中，相等的角是對應(yīng)角，相等的邊是對應(yīng)邊3）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角平分線分別相等，其中真命題的個數(shù)有()A.3個B.2個C.1個D.0個提示1）形狀相同、大小相等的兩個三角形是全等形，而原說法沒有指出大小相等這一點(diǎn)，故（1）錯誤2）在兩個全等三角形中，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，而非相等的角是對應(yīng)角，相等的邊是對應(yīng)邊，故（2）錯誤3）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)∠3＝28∶5∶3，∠α的度數(shù)是__________.【思路點(diǎn)撥】（1）由∠1，∠2，∠3之間的比例關(guān)系及利用三角形內(nèi)角和可求出∠1，∠2，∠3的度數(shù)2）由全等三角形的性質(zhì)求∠EBC，∠BCD的度數(shù)3）運(yùn)用外角求∠α的度數(shù).【答案】∠α=80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，設(shè)∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°,x＝5°即∠1＝140°,∠2＝25°,∠3＝15°∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2=∠ABE，∠3=∠ACD∴∠α=∠EBC+∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°+30°=80°的性質(zhì)來解決問題.見“比例”設(shè)未知數(shù)x是比較常用的解題思路.等于()=180°,x＝10°.又因?yàn)椤鱉NC≌△ABC，所以∠N=∠ABC＝50°,CN＝CB，所以∠N=∠CBN＝50°,∠ACB=∠MCN＝100°,∠BCN＝180°-50°-50°=80°,=20°：80°=1：4.蘇教版八年級上冊數(shù)學(xué)【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】一、選擇題①全等三角形的周長相等②全等三角形的對應(yīng)角相等③全等三角形的面積相等④面積相等的兩個三角形全等2.（2016春哈爾濱校級月考）如圖，△ABC≌△ADE，若∠B=80°,∠C=30°,∠DAB：∠DAC=4：3，則∠EFC的度數(shù)為()A．30°B．40°C．70°D．80°相等的邊是對應(yīng)邊；⑶全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角平分線分別相等，其中真命題的個數(shù)有()A.3個B.2個C.1個D.0個5.（2014秋紅塔區(qū)期末）如圖，已知△ACE≌△DFB，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是()6.如圖，△ABE≌△ACD,AB＝AC,BE＝CD,∠B＝50°,∠AEC＝120°,則∠DAC的度數(shù)為A.120°B.70°C.60°D.50°二、填空題9.如圖，△ABC≌△ADE，則，AB=,∠E=∠；若∠BAE＝120°,∠BAD＝40°,10.（2014梅列區(qū)質(zhì)檢）如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°,則∠ACA′的度數(shù)為三、解答題13.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°,△ABC≌△DFC，你能判斷DE與AB互相垂直嗎？說出你的理由.14.（2014秋無錫期中）如圖，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°,∠B=50°,BF=2，求∠DFE（1）寫出圖中一對全等的三角形，并寫出它們的所有對應(yīng)角；含有x或y的代數(shù)式表示）（3）∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請找出這個規(guī)律.【答案與解析】一.選擇題【解析】①②③是正確的；【解析】∵∠B=80°,∠C=30°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°,∵△ABC≌△ADE，°【解析】只有（3）是正確的命題；4.【答案】A；【解析】解：∵△ACE≌△DFB，∠1=∠2，③正確；∵∠A=∠D，6.【答案】B；【解析】由全等三角形的性質(zhì)，易得∠BAD=∠CAE＝10°,∠BAC＝80°,所以∠DAC=70°.二.填空題7.【答案】70°;=86°,∴∠GFD=∠AFB=86°,∵△ABC≌△ADE，∠B=24°,∴∠D=∠B=24°,°-40°=80°;10.【答案】30°;【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∵∠BCB′=∠A′CB′-∠A′CB，∴∠ACA′=∠ACB-∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′=30°.故答案為：30°.11.【答案】40°;12.【答案】平行；【解析】由全等三角形性質(zhì)可知∠B=∠D，所以AB∥CD.三.解答題∵△ABC≌△DFC∴∠A=∠D，∠B=∠CFD，又∵∠ACB＝90°∴∠B+∠A＝90°,而∠AFE=∠CFD∴∠AFE+∠A＝90°,即DE⊥AB.14.【解析】解：∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°,∵△ABC≌△DEF，15.【解析】°-2x，∠2＝180°-2y；（3）規(guī)律為：∠1+∠2＝2∠A．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】2．能把證明角相等或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A=∠A'，AB＝A'B'，∠B=∠B'，則△ABC≌△A'B'C'.兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.'，則△ABC≌△A'B'C'.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.【典型例題】【思路點(diǎn)撥】通過已知條件證明∠DAC=∠C，∠CBF=∠ADG，則可證△DAE≌△BCF【答案與解析】∴∠DAC=∠C∴∠CBF=∠ADG在△DAE與△BCF中∴△DAE≌△BCF（ASA）【總結(jié)升華】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個三角形；(2)證明這兩個三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等．【答案】又∵∠1+∠3=∠2+∠4＝90°,∠3=∠4∴∠1=∠2也構(gòu)造出了2AD．利用三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.【答案與解析】∴△ABD≌△ECD．【總結(jié)升華】證明邊的大小關(guān)系主要有兩個思路1）兩點(diǎn)之間線段最短2）三角形的兩題目中有中線，倍長中線，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形是一種重要方法．∥DF,求證：△ABC≌△DEF．【答案與解析】∴△ABC≌△DEF（SAS【總結(jié)升華】本題考查利用“邊角邊”定理來證明三角形全等，注意等量加等量，和相等.其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有()A.1組B.2組C.3組D.4組解：第①組滿足SSS，能證明△ABC≌△DEF．第②組滿足SAS，能證明△ABC≌△DEF．第③組滿足ASA，能證明△ABC≌△DEF．第④組只是SSA，不能證明△ABC≌△DEF．所以有3組能證明△ABC≌△DEF．類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用【答案與解析】三個小石凳在一條直線上∴∠B=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）【總結(jié)升華】對于實(shí)際應(yīng)用問題，首先要能將它化成數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識去解決.由【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】一、選擇題≌△CDF，則添加的條件不能為()④BDF≌CDE，其中正確的有().A.1個B.2個C.3個D.4個則∠BCF=().A.150°B.40°C.80°D.90°5.根據(jù)下列條件能唯一畫出△ABC的是()°∠A＝30°,∠B＝60°,∠C＝90°現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD()二、填空題使△ABC≌△CDA．°.12.把兩根鋼條AA',BB'的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗三、解答題1【答案與解析】一.選擇題在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF（SAS故此選項(xiàng)錯誤；在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS故此選項(xiàng)錯誤；D、當(dāng)∠1=∠2，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（ASA故此選項(xiàng)錯誤；【解析】用倍長中線法；【解析】證△ABE≌△CDF，△ADE≌△BCF；條件．二.填空題形全等判定定理ASA得△ABC≌△EDC9.【答案】∠EAB=∠FAC；【解析】答案不唯一.【解析】可證△ADB≌△CDB≌△CDE.三.解答題13.【解析】證明：∵∠1=∠2，∴△ABC≌△ADE（SAS1∴∠B＝902∠A∴△DBF≌△ECD（SAS）∴∠BFD=∠CDE∴∠EDF＝180°-∠BDF-∠CDE＝180°-(∠BDF+∠BFD）=∠B＝90∴∠ACF+∠BAC＝90°,∠ABE+∠BAC＝90°,（三角形內(nèi)角和定理）∠ACF=∠ABE（等式性質(zhì)）1-2∠A.∴△ACQ≌△PBA（SAS）∴∠Q=∠BAP（全等三角形對應(yīng)角相等）∴∠Q+∠QAF＝90°,（垂直定義）∴∠BAP+∠QAF＝90°,（等量代換）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】2．能把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等．【要點(diǎn)梳理】三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”''＝BC，則△ABC≌△A'B'C'．1.全等三角形判定4——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論．2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等．要點(diǎn)三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件一邊一角對應(yīng)相等兩角對應(yīng)相等兩邊對應(yīng)相等可選擇的判定方法2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．【典型例題】【答案與解析】∴△ABD≌△ACE（SSS））．【總結(jié)升華】把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì).要證∠BAD=∠CAE，先找出這兩個角所在的三角形分別是△BDA和△CAE，然后證這兩個三角形全等．△ABC≌△DEF，還需添加一個條件是．解：理由是：∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS【答案與解析】∴△ADC≌△CEB（AAS線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出【答案與解析】∵∠CBH+∠BCH=∠ACE+∠BCH＝90°∴∠CBH=∠ACE∴△ACE≌△CBHAAS）【總結(jié)升華】正確作出垂線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．【變式】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°,D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°,∠EDF1易證S△DEFS△CEF況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明．【答案】°ECADB∵∠MDE+∠EDN=∠NDF+∠EDN＝90°,S∴S△DEFS.△CEF△CEF∴S△DEF△CEF- 1S類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用【答案與解析】則∠A+∠1=90°,∠C+∠2=90°,），,【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，仔細(xì)觀察圖形求出∠A=∠C【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如圖，∠A=∠D，∠B=∠E，BF＝CE，下列結(jié)論錯誤的是()A.△BAC≌FEDB.△BDA≌FCEC.△DEC≌CADD.△BAC≌FCE下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是()4．下列判斷中錯誤的是()A.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等B.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C.有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等D.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等5．（2015滕州市校級模擬）如圖，在下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是()6．如圖，點(diǎn)A在DE上，AC＝CE，∠1=∠2=∠3，則DE的長等于()二、填空題AEEB=∠E6）∠C=∠F從這六個條件中選取三個條件可判定△ABC與△DEF全等的方法共有_________種.三、解答題燈塔A和燈塔B的距離相等，試問輪船航行時(shí)是否偏離預(yù)定航線，請說明理由．.【答案與解析】一、選擇題3.【答案】C；選項(xiàng)C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)正確；∴△ABD≌△ACD（SSS故本選項(xiàng)錯誤；∴△ABD≌△ACD（SAS故本選項(xiàng)錯誤；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本選項(xiàng)正確；【解析】可證∠BAC=∠E，∠BCA=∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB.二、填空題∴∠BEC=∠AEC=90°,可證△AEH≌△CEB．【解析】三個角對應(yīng)相等不能判定三角形全等.【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.三、解答題解：此時(shí)輪船沒有偏離航線．,∴此時(shí)輪船沒有偏離航線．∴∠CDE=∠F,∠CDA+∠BAD＝18011E∴∠ADE=∠F,∠EDAE在△ADE與△AFE中∴△ADE≌△AFE（AAS）在△DCE與△FBE中，∴△DCE≌△FBE（ASA）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】2．能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定兩個直角三角形全等.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角要點(diǎn)二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時(shí)必須在兩個三角形前加上“Rt”.【典型例題】1、判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“×”,全等的注明理（4）一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等．()【解析】理解題意，畫出圖形，根據(jù)全等三角形的判定來判斷.【變式】下列說法中，正確的畫“√”；錯誤的畫“×”,并舉出反例畫出圖形.（1）一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．()（2）有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等．()（3）有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等．()【思路點(diǎn)撥】從已知條件只能先證出Rt△ADE≌Rt△CBF，從結(jié)論又需證Rt△CDE≌Rt△ABF.【答案與解析】∴在Rt△ADE與Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE=∠BAF樣從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，從而證出題目.（2）△CDE是不是直角三角形？并說明理由．DD12C是直角三角形．【答案與解析】解1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°,∴∠4+∠5=90°,∴∠DEC=90°,≌Rt△BEC得，∠3=∠4，從而得出∠4+∠5=90°,則△CDEA35E42CB∴△CDE是直角三角形．【總結(jié)升華】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，做題時(shí)要結(jié)合圖形，在圖形上找條件．（1）求證：△ABC≌△DCB；【答案】證明1）因?yàn)椤螦=∠D=90°,所以△ABC和△DCB都是直角三角形，,∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴△OBC是等腰三角形.【答案與解析】∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC＝90°.∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA＝90°,∴△DBC≌△ECA（AAS∴△CDB≌△AEC（HL）個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.下列命題中，不正確的是()A.斜邊對應(yīng)相等的兩個等腰直角三角形全等B.兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等C.有一條邊相等的兩個等腰直角三角形全等D.有一條直角邊和斜邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等BC于F，則圖中全等直角三角形的對數(shù)為()A.1B.2C.3D.4的是()A.△ABE≌△ACFB.點(diǎn)D在∠BAC的平分線上以下給出的條件適合的是()二、填空題7.如圖，E、B、F、C在同一條直線上，若∠D=∠A＝90°,EB＝FC，AB＝DF．則ΔABC≌9.判定兩直角三角形全等的各種條件1）一銳角和一邊2）兩邊對應(yīng)相等3）兩銳角對應(yīng)相等.其中能得到兩個直角三角形全等的條件是__________.12.如圖所示的網(wǎng)格中（4×4的正方形），∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝_________.三、解答題14.求證：有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個銳角三角形全等．【答案與解析】一.選擇題【解析】C選項(xiàng)如果是一個等腰三角形的腰和另一個等腰三角形的底邊對應(yīng)相等，這是肯定不全等.【解析】Rt△ABD≌Rt△ACE；Rt△BEO≌Rt△CDO；Rt△AEO≌Rt△ADO；Rt△ABF≌Rt△ACF；Rt△BEC≌Rt△CDB；Rt△BFO≌Rt△CFO.3.【答案】A；=4－3＝1.正確；B選項(xiàng)：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF＝DE故點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，正確；C選項(xiàng)：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS正確.5.【答案】A；6.【答案】A；≌Rt△CDG，求出GC的長，即為EF的長，然后利用三角形的面積公式解答即可二.填空題8.【答案】3．Rt△BOD≌Rt△COE（ASA∴全等的直角三角形共有3對.11.【答案】45°;12.【答案】270°;【解析】∠1+∠6=∠2+∠5=∠3+∠4＝90°,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=270°.三.解答題13.【解析】,求證：△ABC≌△ABC∴Rt△ABD≌Rt△ABD(HL)∴∠B=∠B(全等三角形對應(yīng)角相等)∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)15.【解析】證明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE＝90°.∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL,,,∴△BFG≌△DEG（AAS【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3．會作角的平分線，了解角的平分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，會利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)判定一般三角形判定直角三角形兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等性質(zhì)備注性質(zhì)備注（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路邊為角的對邊已知一邊一角邊為角的鄰邊已知兩角已知兩角找夾角的另一邊找夾邊的另一角要點(diǎn)三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.2.角的平分線的判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.要點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法：可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).【典型例題】類型一、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形并證明你的結(jié)論.AEF△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，這樣就把BE、CF與EF線段轉(zhuǎn)化到了△BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.∴△EDG≌△EDF（SAS）∴△FDC≌△GDB(SAS)【總結(jié)升華】有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線可考慮倍長中線法（或倍長過中點(diǎn)的線段）.【答案】∴△AEC≌△BEF（SAS∴AC＝BF，∠A=∠FBE全等三角形對應(yīng)邊、角相等）又∵∠ACB=∠ABC，∠DBC=∠ACB+∠A，∠FBC=∠ABC+∠A．:::,,,::(2)．作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形【答案與解析】::::∠BAD=∠C，:△AEH≤△CFG（AAS）:質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定等知識點(diǎn)．(2)若∠B＋2∠DGA＝180°,請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明.【答案】∴△AHD≌△AMD.∴∠DMB=∠B.∴∠AHD+∠B＝180.（3）.利用截長(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形CCHD到∠APB=60°,又點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上，得到∠ABP=30°,得到直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果．等證得結(jié)論．于F，得到等腰三角形，然后通過三角形全等證得結(jié)論．【答案與解析】:△ABC是等邊三角形，∠APB=∠ABC，:::△ADP是等邊三角形，:∠1=∠2，PA=PD，:△ABD≤△ACP，::::∠1=∠2，∴△ABD≌△ACP的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，截長補(bǔ)短作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【答案】∴△AED≌△ADC（SAS）（4）.在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段AEE【答案與解析】平分線的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定等知識點(diǎn)． 【答案與解析】在Rt△BEA和Rt△BEF中，則Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS全等的條件，使問題得以解決．平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類型二、全等三角形動態(tài)型問題6、在△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A，B兩點(diǎn)分別作l的垂（2）將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB相交于點(diǎn)D，請你探究直線l在如下位【答案與解析】證明1）∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC=∠CFB＝90°,∠1+∠2＝90°∵∠ACB＝90°,∴∠2+∠3＝90°∴∠1=∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中，∴△ACE≌△CBF（AAS）∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC=∠CFB＝90°,∠1+∠2＝90°∵∠ACB＝90°,∴∠2+∠3＝90°,∴∠1=∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中∴△ACE≌△CBF（AAS）證明同①.【總結(jié)升華】解決動態(tài)幾何問題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：(1)變化前的結(jié)論及說理過程對變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用；(2)圖形在變化過程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；(3)幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程，其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化.【探究展示】），然成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．【拓展延伸】【答案】∴∠BCF=135°,,∴△AME≌△ECF（SAS∴△AME≌△ECF（SAS°∴△AME≌△ECF（SAS【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.（2015春龍崗區(qū)期末）如圖，在△ABC與△DEF中，給出以下六個條件：以其中三個作為已知條件，不能判斷△ABC與△DEF全等的是()，其中正確的結(jié)論有()角形有()5.如圖，△ABC≌△FDE，∠C＝40°,∠F＝110°,則∠B等于()A.20°B.30°C.40°D.150°6.根據(jù)下列條件能畫出唯一確定的△ABC的是()°C.∠A＝60°,∠B＝45°,AB＝4D.∠C＝90°,AB＝AC＝6②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC=∠PCB.其中正確的有()圍成的圖形的面積S是()二.填空題△ACB全等，寫出所有滿足條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)．的周長為__________.距離是________.三.解答題17．如圖所示，已知在△ABC中，∠B＝60°,△ABC的角平分線AD、°.19.如圖：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4,求證：BE＋CF＞EF.②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍【答案與解析】【答案與解析】一.選擇題4.【答案】B；【解析】證△ADF≌△ABF，則∠ABF=∠ADF=∠ACB，所以FD∥BC.5.【答案】B；【解析】∠C=∠E，∠B=∠FDE＝180°-110°-40°=30°.8.【答案】A；1二.填空題，－，－）；10.【答案】45°;13.【答案】135°;1°-2(∠BAC+∠BCA）＝135°.【解析】證△ABC≌△CED.∵∠ABE=∠ABP+90°,∠CBP=∠ABP+90°,∴△ABE≌△CBP（SAS三.解答題17.【解析】,∴△AEO≌△AFO（SAS∵∠B＝60°,°-1°-2(∠BAC+∠BCA)°1°-60°)∴∠AOE=∠AOF=∠COF=∠DOC＝60°.,,,18.【解析】∴Rt△PBE≌Rt△PBD（HL）由（SAS）可證Rt△PEA≌Rt△PDC，∴∠PAE=∠PCD∵∠BAP+∠PAE＝180°°.19.【解析】∴△DBE≌△DNE（SAS）∴BE＋CF＞EF.∴△DAB≌△FAC，∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD．∵∠BAC=90°,∴△DAB≌△FAC，∴∠ABC=45°,∴∠ACF=45°,∵∠ACB=45°,∠AGC=90°-∠ACB，∴∠AGC=90°-45°=45°,∴△GAD≌△CAF，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即CF⊥BC．軸對稱與軸對稱圖形--知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過具體實(shí)例了解兩個圖形成軸對稱的概念，能找出對稱軸和對稱點(diǎn)．2．了解兩個圖形關(guān)于某直線成軸對稱和軸對稱圖形的聯(lián)系與區(qū)別，理解圖形成軸對稱的性質(zhì)，會畫一些簡單的關(guān)于某直線對稱的圖形．3．欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的軸對稱圖形，體會軸對稱在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用和文化價(jià)值.4.理解線段的垂直平分線的概念，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定，會畫已知線段的垂直平分線，能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決簡單的數(shù)學(xué)問題及實(shí)際問題．5．通過學(xué)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的對稱美，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對稱與軸對稱圖形1.軸對稱的定義把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，也叫做對稱點(diǎn).軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個圖形一定全等.2.軸對稱圖形的定義把一個圖形沿著某直線折疊，如果直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸.軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.3.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）對稱.要點(diǎn)二、軸對稱的性質(zhì)軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連被對稱軸垂直平分；成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱；成軸對稱的兩個圖形全等.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．【典型例題】類型一、判斷軸對稱圖形的對稱軸1、觀察下圖中的圖案，問這些軸對稱圖形，各有幾條對稱軸?【思路點(diǎn)撥】對于一個圖形的對稱軸一定要按定義全方位地去找或按照定義實(shí)際操作一下，否則就容易造成漏解或找不到對稱軸.【總結(jié)升華】這類圖形必須得認(rèn)真觀察、分析每個圖形的特征，最好能動手操作一下．【變式1】試說出下列圖形的對稱軸的條數(shù).（1）線段2）角3）平行線（兩條）.【答案】（1）線段沿著本身所在直線或沿著它的中垂線折疊，兩旁的部分能夠完全重合.故線段有兩（2）角沿著它的平分線所在直線對折，兩旁的部分能夠完全重合，故只有一條對稱軸，即角平分線所在直線；（3）兩條平行線，沿著和它們都平行且到它們距離相等的一條直線或沿著和它們都垂直的直線對折，兩旁的部分能夠重合．而和它們都垂直的直線有無數(shù)條故它的對稱軸有無數(shù)條．綜上，線段、角、兩條平行線的對稱軸分別是2條、l條、無數(shù)條．余小正方形中任選一個也涂上陰影，使得整個陰影部分組成的圖形成軸對稱圖形．那么符合條件的小正方形共有個．解：如圖所示，有3個使之成為軸對稱圖形．類型二、軸對稱的應(yīng)用2、如圖所示，在正方形中均勻地分布著一些數(shù)字，小明利用軸對稱的思想，用了一種非常巧妙的方法，迅速地將這組數(shù)字和求了出來，你也能試試嗎？【思路點(diǎn)撥】利用軸對稱圖形的對稱點(diǎn)位置上的兩數(shù)相加和為10來進(jìn)行簡便計(jì)算.【答案與解析】從數(shù)字組中可以看出，一條對角線上的數(shù)都是5，若把這條對角線當(dāng)作對稱軸，把正方形對折對折一下，對稱點(diǎn)位置的兩數(shù)之和都是10，如圖（2）所示.【總結(jié)升華】數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要的學(xué)習(xí)方法，在求一組有特殊規(guī)律的數(shù)字之和時(shí)，經(jīng)常會用到對稱的思想及其相關(guān)知識.坐標(biāo)．（2）直接利用平移的性質(zhì)得出各對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得a、b的值，再根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．【解析】【總結(jié)升華】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．值為().311）.軸對稱與軸對稱圖形--鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.（2016北京）甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，不是..軸對稱的是()2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P2，3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限上任一點(diǎn)，下列結(jié)論中錯誤的是()4.已知點(diǎn)P1（a1，5）與P2（2，b－1）關(guān)于x△BDC的周長是()150°,則∠AFE+∠BCD的大小是()A.150°B.300°C.210°D.330°二.填空題.9.如圖是一個經(jīng)過改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的黑色部分分別表示四個人球10.如圖，正三角形網(wǎng)格中，已有兩個小正三角形被涂黑，再將圖中其余小正三角形涂黑一個，使整個被涂黑的圖案構(gòu)成一個軸對稱圖形的方法有種．12.（2016富順縣校級模擬）平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在三.解答題分別在四個圖中各畫出一個與△ABC成軸對稱、頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且位置不同的三角形．【答案與解析】一.選擇題稱翻折，左右兩部分完全重合，只有D不是軸對稱圖形.【解析】對稱點(diǎn)為（－2，－3）.4.【答案】B；6.【答案】B；【解析】對稱軸兩邊的圖形全等，∠AFE+∠BCD＝2(∠AFC+∠BCF300°.二.填空題小于兩邊之和.，－【解析】關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)一樣，縱坐標(biāo)相反；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)一樣.9.【答案】3；【解析】解：如圖所示，則該球最后將落入的球袋是3號袋．【解析】選擇小正三角形涂黑，使整個被涂黑的圖案構(gòu)成一個軸對稱圖形，三.解答題13.【解析】14.【解析】15.【解析】∵∠AOB=30°,【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解線段的垂直平分線的概念，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定，會畫已知線段的垂直平分線，能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決簡單的數(shù)學(xué)問題及實(shí)際問題．2.理解角平分線的畫法，掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段的軸對稱性1.線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.2.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；3.線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.要點(diǎn)二、角的軸對稱性1.角的軸對稱性（1）角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.（2）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（3）角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.（1）用符號語言表示角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（2）用符號語言表示角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.2.角平分線的畫法角平分線的尺規(guī)作圖1【典型例題】類型一、線段的軸對稱性故選B．容是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等．位置．最短，而這三條線段在一條直線上的時(shí)候最短.【答案與解析】見下圖邊之和大于第三邊的性質(zhì)推得所作的圖形符合條件，這是道綜合性的應(yīng)用問題.最短．類型二、角的軸對稱性【總結(jié)升華】將△DEB的周長用相等的線段代換是關(guān)鍵.的面積之比為()結(jié)論．而得到∠OPD=∠OPE，∠DPF=∠EPF．再證明△DPF≌△EPF，得到結(jié)論.【答案與解析】∴∠OPD=∠OPE，∴∠DPF=∠EPF．在△DPF與△EPF中，∴△DPF≌△EPF，∴DF＝EF.質(zhì)得到線段相等，是證明三角形全等的關(guān)鍵.全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明即可．【答案與解析】,:△ABD≤△CBD（SAS【答案】:::一.選擇題其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4∠BAD的度數(shù)為()A．65°B．60°C．55°D．45° A.①③B.②③C.①②D.①②③個三角形，則S△ABO△CAO等于()二.填空題7.在三角形紙片ABC中，∠C＝90°,∠A＝30°,AC＝3.折疊該紙片，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，9.已知如圖點(diǎn)D是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，下列說法其中正確的說法的序號是________________________.11．在數(shù)學(xué)活動課上，小明提出這樣一個問題：∠B=∠C＝90°,E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，∠CED＝35°,如圖，則∠EAB是多少度？大家一起熱烈地討論交流，小英第一個得出正確答案，是_______．三.解答題【答案與解析】一.選擇題2.【答案】B；3.【答案】A；∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°,4.【答案】C；=∠BAP，所以②正確.5.【答案】C；【解析】三角形角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，面積比就轉(zhuǎn)化為底邊的比.6.【答案】A；2∠B=∠C，所以∠B＝40°.二.填空題9.【答案】(2)(3)(4)；【解析】作EF丄AD于F，證△DCE≤△DFE（HL再證△AFE≤△ABE（HL可得∠FEB三.解答題13.【答案與解析】見下圖14.【答案與解析】:,::∵∠EDF+∠EAF＝180°,即∠2+∠3+∠4+∠EAF＝180°又∵∠1+∠2+∠3+∠EAF＝180°∴∠1=∠4【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直．2.掌握等腰三角形的判定定理．3.熟練運(yùn)用等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計(jì)算．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點(diǎn)詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為.要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．要點(diǎn)三、等腰三角形的判定要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【典型例題】類型一、等腰三角形中的分類討論1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,則頂角的度數(shù)為()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°【解析】由等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角，然而題目沒說是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答．(1)頂角為銳角如圖①,按題意頂角的度數(shù)為60°;(2)頂角為直角，一腰上的高是另一腰，夾角為0°不符合題意；(3)頂角為鈍角如圖②,則頂角度數(shù)為120°,故此題應(yīng)選D．等腰直角三角形和等腰鈍角三角形，故解此題按分類畫出相應(yīng)的圖形再作答.【變式】（2015杭州校級二模）等腰三角形有一個外角是100°,這個等腰三角形的底角【答案】50°或80°.解：①若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角，則此頂角為：180°-100°=80°,80°)÷2=50°;②若100°的外角是此等腰三角形的底角的鄰角，則此底角為：180°-100°=80°;故這個等腰三角形的底角為：50°或80°.故答案為：50°或80°.類型二、等腰三角形的操作題2、根據(jù)給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡，在圖中標(biāo)注分割后的角度）；并根據(jù)每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)才能完成以上作圖？（1）如圖①△ABC中，∠C＝90°,∠A＝24°；猜想：（2）如圖②△ABC中，∠C＝84°,∠A＝24°；猜想：慮.【答案與解析】猜想：∠A+∠B＝90°,猜想：∠B＝3∠A.【總結(jié)升華】對圖形進(jìn)行分割是近年來出現(xiàn)的一類新題型，主要考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況以及動手實(shí)踐能力，本類題目的答案有時(shí)不唯一.探究：如果折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么紙片中的∠B的度數(shù)是多少？寫出你的計(jì)算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，則一定是等腰直角三角形.設(shè)∠B為x度∠1＝45°,∠2=∠A＝90°-xx＝30°.°-2x45°+90°-x＋180°-2x＝180°,x＝45°.綜上所述，∠B＝30°或45°.【思路點(diǎn)撥】【答案與解析】∴△CBD≌△EBD（SAS∵∠C=2∠A，∴∠A=∠F，∴△ABD≌△FBD（AAS角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．【答案】∵AD為中線,,,,AAEFBG∵AEEF,∴G∴BF.1【答案與解析】∵∠1=∠2，AE＝AE，∠AEB=∠AEF＝90°,∴△AEB≌△AEF（ASA）.1∵∠3＝90°-∠F=∠2，BC＝AC,∴Rt△BCF≌Rt△ACD（ASA）1留原有圖形的性質(zhì)，且使原來分散的條件相對集中，以利于問題的解決．1【答案】,..1【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】一.選擇題｜＋滿足條件的點(diǎn)P有()三角形的點(diǎn)E的位置共有()二.填空題7．已知一個等腰三角形的頂角為x度,則其一腰上的高線與底邊的夾角____________度（用含x的式子表示）.8.已知等腰三角形的兩邊長分別為2和3，則其周長為_________.則∠ADF＝__________°.n三.解答題明你的結(jié)論.AEEF°,則BCE__________；【答案與解析】一.選擇題x°-xxx2,因?yàn)椤螦DE+∠EDB+∠BDC＝180°,所以x＝452之和大于第三邊，構(gòu)不成三角形.∴△AEF的周長∴C△AEF個P點(diǎn)，則能找到4個E點(diǎn).二.填空題xx【解析】無論等腰三角形的頂角是銳角還是鈍角，一腰上的高線與底邊的夾角都是2.【解析】2或3都可能是腰，要分情況討論.°.【解析】AD＝FD，∠FAD=∠AFD＝70°,所以∠ADF＝40°.12.【答案】；∴∠BA1===37.5°;∴∠C1A3A2=18，75°,∠C2A4A3=9.375°,…,∴∠A=，n故答案為：．三.解答題所以，滿足條件的B的個數(shù)是∴△FDC≌△GDB(SAS)∴BE＋CF＞EF.（2）①α+β=180°.證明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．∴△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β,∵α+∠B+∠ACB＝180°,∴α+β=180°;②如圖：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，α+β=180°;【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識軸對稱、軸對稱圖形，理解軸對稱的基本性質(zhì)及它們的簡單應(yīng)用；2.了解線段、角的軸對稱性，并掌握與其相關(guān)的性質(zhì)；3.了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點(diǎn)在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．3.作軸對稱圖形連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對稱點(diǎn)，連接這些對稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.4.用坐標(biāo)表示軸對稱點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,－y點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y點(diǎn)（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為x,－y）.要點(diǎn)二、線段、角的軸對稱性1.線段的軸對稱性（1）線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.（2）線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；（3）線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線2.角的軸對稱性（1）角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.（2）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（3）角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.【典型例題】類型一、軸對稱的性質(zhì)與應(yīng)用正方形的頂點(diǎn)．在田字格上能畫出與△ABC成軸對稱，且頂點(diǎn)都在小正方形頂點(diǎn)上的三角形的個數(shù)共有個.△ANB、△EHF、△EFC都是符合題意的三角形，故答案為：4.【總結(jié)升華】本題考查了軸對稱的性質(zhì)；確定對稱軸然后找出成軸對稱的三角形是解題的關(guān)點(diǎn)．若△ABC的內(nèi)角∠A＝70°,∠B＝60°,∠C＝50°,則∠ADB+∠BEC+∠CFA=()A.180°B.270°C.360°D.480°∴∠ADB=∠APB，∠BEC=∠BPC，∠CFA=∠APC，∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC＝360°.2、茅坪民族中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的回到C處，請你在下圖幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？【答案與解析】【總結(jié)升華】靈活運(yùn)用對稱性解決生活中的最短距離問題．【變式】如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°,∠B=∠E＝90°,AB＝BC，AE＝DE，在°.是（14則這條平行于x軸的直線是()A.直線x1B.直線x3C.直線y1D.直線y3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可得A、C的連線與該條直線垂直，且兩點(diǎn)到此直線的距離相等，從而可以解出該直線．【解析】解：由題意可知，該條直線垂直平分線段AC【總結(jié)升華】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化一一對稱的性質(zhì)與運(yùn)用，解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察【答案】類型二、等腰三角形的綜合應(yīng)用如圖①,連接AP．∴S△ABPEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(1),2)△又∵S△ABPS△ACPS△ABC請寫出你的猜想，并加以證明：【解析】：（∵S△ABP△ACP△ABC（2）∵在△ACH中，∠A=30°,問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．∴∠F=∠B，∴∠F=∠FCE，,∴△DGB≌△EGF（AAS5、已知，如圖，∠1＝12°,∠2＝36