材料力學(xué)公式總結(jié)

材料力學(xué)重點(diǎn)及其公式

材料力學(xué)的任務(wù)〔1〕強(qiáng)度要求；〔2〕剛度要求；〔3〕穩(wěn)定性要求。

變形固體的根本假設(shè)［1）連續(xù)性假設(shè)；〔2〕均勻性假設(shè)；［3［各向同性假設(shè)；〔4〕小變形假設(shè)。

外力分類：外表力、體積力；靜載荷、動(dòng)載荷。

內(nèi)力：構(gòu)件在外力的作用下，內(nèi)部相互作用力的變化量，即構(gòu)件內(nèi)部各局部之間的因外力作用而引起的

附加相互作用力

截面法：〔1〕欲求構(gòu)件某一截面上的內(nèi)力時(shí)，可沿該截面把構(gòu)件切開成兩局部，棄去任一局部，保存另

一局部研究［2）在保存局部的截面上加上內(nèi)力，以代替棄去局部對(duì)保存局部的作用?！?〕根據(jù)平衡條

件，列平衡方程，求解截面上和內(nèi)力。

應(yīng)力：P=lim"=更正應(yīng)力、切應(yīng)力。變形與應(yīng)變：線應(yīng)變、切應(yīng)變。

桿件變形的根本形式〔1）拉伸或壓縮；〔2〕剪切；〔3〕扭轉(zhuǎn)；〔4〕彎曲；〔5〕組合變形。

靜載荷：載荷從零開始平緩地增加到最終值，然后不再變化的載荷。

動(dòng)載荷：載荷和速度隨時(shí)間急劇變化的載荷為動(dòng)載荷。

失效原因：脆性材料在其強(qiáng)度極限外破壞，塑性材料在其屈服極限久時(shí)失效。二者統(tǒng)稱為極限應(yīng)力理

H=—M=—=MM

想情形。塑性材料、脆性材料的許用應(yīng)力分別為：小,勺，，強(qiáng)度條件：

,等截面桿八

軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形：桿件在軸向方向的伸長(zhǎng)為：△/=《―/,沿軸線方向的應(yīng)變和橫截面上的應(yīng)

力分別為0=2=1橫向應(yīng)變?yōu)椋骸?=華=竺心，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系為：

/AAhh

￡=-外。

胡克定律：當(dāng)應(yīng)力低于材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即。=氏，這就是胡克定律。E為彈

性模量。將應(yīng)力與應(yīng)變的表達(dá)式帶入得：△/=士NI

EA

靜不定：對(duì)于桿件的軸力，當(dāng)未知力數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅利用靜力平衡方程無法解出全部未知

力。

圖軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形幾何關(guān)系一圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)二0牛。物理關(guān)系——胡克定律

.Gyp=GpM力學(xué)關(guān)系7=]2金[4=]夕2G黑=92aA圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力：

TTT

rmax=—/?=—;圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件：rmax=^-<[r],可以進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許

可載荷。

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形：（P=[看；等直桿：。二V

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件：8'=半=/，d1ax二乒<切']

dxGlp.GIp

彎曲內(nèi)力與分布載荷q之間的微分關(guān)系/0=4。）；絲垃=以。；等華L/E）

axdxdx~dx

Q、M圖與外力間的關(guān)系

a）梁在某一段內(nèi)無載荷作用，剪力圖為一水平直線，彎矩圖為一斜直線。

b）梁在某一段內(nèi)作用均勻載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線.

c）在梁的某一截面。絲3=Q（X）=0,剪力等于零,彎矩有一最大值或最小值。

dx

d]由集中力作用截面的左側(cè)和右側(cè)，剪力Q有一突然變化，彎矩圖的斜率也發(fā)生突然變化形成一個(gè)轉(zhuǎn)

折點(diǎn)。

梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件4皿=智V[M，"naxVH

W

提高彎曲強(qiáng)度的措施：梁的合理受力（降低最大彎矩Mma、，合理放置支座,合理布置載荷，合理設(shè)計(jì)截

面形狀

塑性材料：口』=k],上、下對(duì)稱，抗彎更好，抗扭差。脆性材料：口/V[5],采用T字型或上

下不對(duì)稱的工字型截面。

等強(qiáng)度梁：截面沿桿長(zhǎng)變化，恰使每個(gè)截面上的正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力，這樣的變截面梁稱為等強(qiáng)度梁

用疊加法求彎曲變形：當(dāng)梁上有幾個(gè)載荷共同作用時(shí)，可以分別計(jì)算梁在每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形，

然后進(jìn)行疊加，即可求得梁在幾個(gè)載荷共同作用時(shí)的總變形。

簡(jiǎn)單超靜定梁求解步驟：(1)判斷靜不定度；〔2〕建立根本系統(tǒng)〔解除靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)部和外部多余約

束后所得到的靜定結(jié)構(gòu)〕；(3)建立相當(dāng)系統(tǒng)〔作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的根本系統(tǒng)〕；(4

〕求解靜不定問題。

二向應(yīng)力狀態(tài)分析一解析法

(Tv+<7V(T,-crv

(1)任意斜截面上的應(yīng)力baJ='o+ncos2dz-r人Jsin2a;

一巴

r=—-----sin2a+Tcosla

u2r)v

0m

[2]極值應(yīng)力正應(yīng)力：tg2a0=一一巴一,ax]二%±卜二%)2+蠟

%-巴bminj2V2

切應(yīng)力：依"1=吃』，7T=±J

7mmJ'

〔3〕主應(yīng)力所在的平面與剪應(yīng)力極值所在的平面之間的關(guān)系

7T7T

。與四之間的關(guān)系為：2%=2%+^,%=%+(,即：最大和最小剪應(yīng)力所在的平面與主平面的

乙I

夾角為45°

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合[1)外力向柏牛截面形心簡(jiǎn)化〔2〕畫內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面〔3)確定危險(xiǎn)點(diǎn)并建立

強(qiáng)度條件

按第三強(qiáng)度理論,強(qiáng)度條件為：a,-%&口]或<[a],對(duì)于圓軸,叱=2W,其強(qiáng)度

條件為：人<團(tuán)。按第四強(qiáng)度理論,強(qiáng)度條件為：

W

[(弓一6)2+(6-6)2+(a.-a,)2]<[cr],經(jīng)化簡(jiǎn)得出：Ver2+3r2<[cr],對(duì)于圓軸,其強(qiáng)

JM-+0.7572

度條件為：-——"------W匕］0

歐拉公式適用范圍〔1〕大柔度壓桿〔歐拉公式〕：即當(dāng)424,其中4=Jp時(shí)，b”攀［2

〕中等柔度壓桿〔經(jīng)驗(yàn)公式〕：即當(dāng)人工444，其中入二巴盧時(shí)，(rer=a-bA(3)小柔度壓桿

b

F

〔強(qiáng)度計(jì)算公式〕：即當(dāng)4<%時(shí)，5丁=凌w巴。

21

壓桿的穩(wěn)定校核〔1)壓桿的許用壓力：［尸］=之，［p］為許可壓力，凡，為工作平安系數(shù)。⑵壓桿的

穩(wěn)定條件：夕工［同

提高壓桿穩(wěn)定性的措施：選擇合理的截面形狀，改變壓桿的約束條件，合理選擇材料

=9S49jw

外力偶*卜Li矩計(jì)算公式〔P功率，n轉(zhuǎn)速〕

d'M⑸M⑸*)

彎矩、剪力和荷載集度之間的關(guān)系式dx‘一1

軸向拉壓桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式4〔桿件橫截面軸力內(nèi)，橫截面面積2,拉應(yīng)力為正)

朝向拉壓桿斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力計(jì)算公式〔夾角刁從￥軸正方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)至外法線的方位角為

oa

3=P.crcDi2a=-(14-cos2a)q=pjina=crcoyina=—mla

縱向變形和橫向變形〔拉伸前試樣標(biāo)距I,拉伸后試樣標(biāo)距II；拉伸前試樣直徑d,拉伸后試樣直徑dl

j垃=h-IM=d、-d

AZ

縱向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變一了,一彳泊松比，=一位

&=需0=曲

胡克定律

受多個(gè)力作用的桿件縱向變形計(jì)算公式」，￡4

承受軸向分布力或變截面的桿件，縱向變形計(jì)算公式

軸向拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算公式

同=?■

許用應(yīng)力n脆性材料q=5,塑性材料,=s

<5=土」x100%

延伸率/

~—xlOO%

截面收縮率A

剪切胡克定律〔切變模量G,切應(yīng)變g}『二G，

拉壓彈性模量E、泊松比以和切變模量G之間關(guān)系式2(1+V)

j=也

圓截面對(duì)圓心的極慣性矩〔a)實(shí)心圓’32

如口=史(］々)

(b)空心圓3232

T

3Tp

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式〔扭矩T,所求點(diǎn)到圓心距離/-)4

TT

=—&n=---

圓截面周邊各點(diǎn)處最大切應(yīng)力計(jì)算公式4%

扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)%-無，6)實(shí)心圓*一寸(b)空心圓啊-a*)

T

薄壁圓管〔壁厚Ro/10,Ro為圓管的平均半徑〕扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式2喝6

77

很二西

圓軸扭轉(zhuǎn)角7與扭矩7；桿長(zhǎng)/、扭轉(zhuǎn)剛度GHp的關(guān)系式

8=

同一材料制成的圓軸各段內(nèi)的比矩不同或各段的直徑不同〔如階梯軸〕時(shí)或

|71

等直圓軸豌條件

塑性材料m=(°5~°句15；脆性材料m=3~1期【5

—=4⑸或⑼

扭轉(zhuǎn)圓軸的剛度條件

受內(nèi)壓圓筒形薄壁容器橫截面和縱截面上的應(yīng)力計(jì)算公式4<5,16

aa-a.

a--K-------+---K------cos2a-r,iin2a

平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面應(yīng)力的一般公式22

名一巴

T=---i-iin2a-l-Tcoi2a

-2,r

平面應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力

tan2.=—

主平面方位的計(jì)算公式

面內(nèi)最大切應(yīng)力

受扭圓軸外表某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力0!=T,0]=0,5

三向應(yīng)力狀態(tài)最大與最小正應(yīng)方=5,4*=5

_q-巧

三向應(yīng)力狀態(tài)最大切應(yīng)力J-2

……士一小弓=口)-V(q+RI5二口［-儀5+卬1弓=曰5-W5+5)1

廣義胡克XE律匕匕匕

°n=5

%=q-M5+5)

(=1-5

4=出K5-5一+(5-引’+<%一聞”

四種強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力丫2

一種常見的應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件%=J『+4'4同6"JJ+S?〈同

N4”

yc-------------Q=-----------

組合圖形的形心坐標(biāo)計(jì)算公式

任意截面圖形對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩與以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和的關(guān)系式

截面圖形對(duì)軸z和軸y的慣性半徑

平行移軸公式〔形心軸式與平行軸zl的距離為a,圖形面積為A)14=兀+『'

純彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算公式

橫力彎曲最大正應(yīng)力計(jì)算公式

甲」眩正」七甲=可心=史

矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數(shù)”一五2一6二x~642~32

x64232'"

幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式〔口2為中性軸一則的橫截面對(duì)中性軸z的靜矩，b為橫截

,一2

Txa>=

面在中性軸處的寬度〕.人

矩形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處2bh2A

工字形截面梁腹板上的彎曲切應(yīng)力近似公式

3勺

軋制工字鋼梁最大彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式/,S3)

4F,4死

圓形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處3(2/4)3A

^**1=2

圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處2?

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件/mu

幾種常見截面梁的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件

彎曲梁危險(xiǎn)點(diǎn)上既有正應(yīng)力。又有切應(yīng)力T作用時(shí)的強(qiáng)度條件“尸+4〃“1°1或

ati=+3/3=q

梁的撓曲線近似微分方程

峪肥=

梁的轉(zhuǎn)角方程公

梁的撓曲線方程T?！?…

軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作用時(shí)桿件截面底部邊緣和頂部邊緣處的正應(yīng)力計(jì)算公式

4MI_fjL土A?！?/p>

聯(lián)廠下可

展］=土/土絲

偏心拉伸〔壓縮〕'匕

彎扭組合變形時(shí)圓截面桿按第三和第四強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件表達(dá)式