江西省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

江西省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：90分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高一年級(jí)一、選擇題（每題5分，共20分）要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=2x-3，若f(2a+1)=5，則a的值為：A.1B.2C.3D.42.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是：A.y=x^2B.y=2xC.y=-xD.y=x^33.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z的幾何意義是：A.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上B.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上C.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y=x的直線上D.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y=-x的直線上4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=25，S10=100，則第15項(xiàng)a15的值為：A.25B.30C.35D.405.下列不等式中，正確的是：A.2x+3>5B.2x-3<5C.2x+3<5D.2x-3>56.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值為M，則M的值為：A.1B.2C.3D.4二、填空題（每題5分，共20分）要求：將答案填入空格中。1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖象開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)，則a的值為______。2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，若a1+a2+a3=9，則a1的值為______。3.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為______。4.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為m，則m的值為______。5.若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=25，S10=100，則第15項(xiàng)a15的值為______。6.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z的虛部為______。三、解答題（每題10分，共20分）要求：解答下列各題，寫出必要的文字說明、證明過程或計(jì)算過程。1.已知函數(shù)f(x)=(x-1)^2+2，求函數(shù)f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸和開口方向。2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=3，求前10項(xiàng)的和S10。四、證明題（每題10分，共20分）要求：證明下列各題，寫出必要的文字說明、證明過程或計(jì)算過程。1.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b，有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。2.證明：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(a1+an)/2，其中a1為首項(xiàng)，an為第n項(xiàng)。五、計(jì)算題（每題10分，共20分）要求：進(jìn)行計(jì)算，寫出必要的文字說明、證明過程或計(jì)算過程。1.計(jì)算定積分∫(x^2-2x)dx，從x=1到x=3。2.已知函數(shù)g(x)=2x^3-3x^2+x+1，求g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。六、應(yīng)用題（每題10分，共20分）要求：結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，解答下列各題，寫出必要的文字說明、證明過程或計(jì)算過程。1.一輛汽車從靜止開始加速，加速度a(t)=2t（m/s^2），求汽車在前5秒內(nèi)所行駛的距離。2.某商店舉行促銷活動(dòng)，顧客購買商品滿100元可享受9折優(yōu)惠。某顧客購買了價(jià)值500元的商品，計(jì)算該顧客實(shí)際支付的金額。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：由f(2a+1)=5，代入函數(shù)f(x)=2x-3，得2(2a+1)-3=5，解得a=1。2.C解析：函數(shù)y=-x為一次函數(shù)，斜率為負(fù)，因此在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減。3.C解析：由|z-1|=|z+1|，可知z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，即z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y=x的直線上。4.D解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，S10-S5=5d，得100-25=5d，解得d=15。由S5=25，得a1+4d=25，代入d=15，解得a1=5。因此a15=a1+14d=5+14*15=40。5.C解析：將不等式2x+3<5變形，得2x<2，即x<1。6.B解析：由f(x)=x^2-4x+4，可得f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值出現(xiàn)在端點(diǎn)x=3，代入得M=f(3)=3^2-4*3+4=1。二、填空題1.a=-2解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,c-b^2/4a)。由頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)，得-1/2a=1，解得a=-2。2.a1=2解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，a1+a2+a3=3a1+3d，代入a1+a2+a3=9，得3a1+3d=9，解得a1=2。3.實(shí)部為0解析：由|z-1|=|z+1|，可得z的實(shí)部為0，即z=bi（b為實(shí)數(shù)）。4.m=1解析：由f(x)=x^2-4x+4，可得f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值出現(xiàn)在頂點(diǎn)x=2，代入得m=f(2)=2^2-4*2+4=1。5.a15=40解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，S10-S5=5d，得100-25=5d，解得d=15。由S5=25，得a1+4d=25，代入d=15，解得a1=5。因此a15=a1+14d=5+14*15=40。6.虛部為0解析：由|z-1|=|z+1|，可得z的虛部為0，即z=ai（a為實(shí)數(shù)）。三、解答題1.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)，對(duì)稱軸為x=1，開口向上。解析：由f(x)=(x-1)^2+2，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)。因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為正，所以開口向上。對(duì)稱軸為x=1。2.S10=210解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，S10=10/2*(2a1+(10-1)d)，代入a1=2，d=3，得S10=10/2*(2*2+9*3)=210。四、證明題1.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b，有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。解析：展開(a+b)^2，得a^2+2ab+b^2，與右邊的表達(dá)式相同，所以等式成立。2.證明：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(a1+an)/2，其中a1為首項(xiàng)，an為第n項(xiàng)。解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，an=a1+(n-1)d，代入Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，得Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)=n(a1+an)/2，所以等式成立。本次試卷答案如下：四、證明題1.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b，有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。解析：左邊=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2（平方展開）右邊=a^2+2ab+b^2（直接相加）因?yàn)樽筮叺扔谟疫叄栽仁匠闪ⅰ?.證明：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(a1+an)/2，其中a1為首項(xiàng)，an為第n項(xiàng)。解析：由等差數(shù)列的定義，an=a1+(n-1)d，其中d為公差。前n項(xiàng)和Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+[a1+(n-1)d]。將上述等式兩邊同時(shí)乘以2，得2Sn=2a1+(2a1+2d)+(2a1+4d)+...+(2a1+2(n-1)d)。將2Sn中的每一項(xiàng)按等差數(shù)列重新排列，得2Sn=n[2a1+(2a1+2(n-1)d)]?；喌?Sn=n(2a1+2an-2d)。因?yàn)?d是公差的兩倍，可以提出公差，得2Sn=n(2a1+2an-2d)=n(2a1+2(an-a1))。進(jìn)一步化簡得2Sn=2n(a1+an)。最后，除以2得Sn=n(a1+an)/2，所以原等式成立。五、計(jì)算題1.計(jì)算定積分∫(x^2-2x)dx，從x=1到x=3。解析：首先對(duì)函數(shù)x^2-2x進(jìn)行不定積分，得∫(x^2-2x)dx=(1/3)x^3-x^2+C，其中C為積分常數(shù)。然后計(jì)算定積分，得∫(x^2-2x)dxfrom1to3=[(1/3)x^3-x^2]from1to3。代入上限和下限，得[(1/3)*3^3-3^2]-[(1/3)*1^3-1^2]=(1/3)*27-9-(1/3)*1+1。計(jì)算得9-9-1/3+1=2/3。所以定積分的值為2/3。2.已知函數(shù)g(x)=2x^3-3x^2+x+1，求g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。解析：首先求導(dǎo)數(shù)g'(x)=6x^2-6x+1。令g'(x)=0，解得x=(6±√(6^2-4*6*1))/(2*6)=(6±√(36-24))/12=(6±√12)/12=(6±2√3)/12?；喌脁=(3±√3)/6。檢查這兩個(gè)點(diǎn)是否在區(qū)間[0,2]內(nèi)，發(fā)現(xiàn)x=(3+√3)/6>1，不在區(qū)間內(nèi)，而x=(3-√3)/6≈0.283，在區(qū)間內(nèi)。因此，只需要計(jì)算端點(diǎn)和x=(3-√3)/6處的函數(shù)值。計(jì)算g(0)=2*0^3-3*0^2+0+1=1。計(jì)算g((3-√3)/6)=2*((3-√3)/6)^3-3*((3-√3)/6)^2+((3-√3)/6)+1?；喌胓((3-√3)/6)≈0.439。計(jì)算g(2)=2*2^3-3*2^2+2+1=16-12+2+1=7。比較這三個(gè)值，最大值為g(2)=7，最小值為g((3-√3)/6)≈0.439。六、應(yīng)用題1.一輛汽車從靜止開始加速，加速度a(t)=2t（m/s^2），求汽車在前5秒內(nèi)所行駛的距離。解析：由加速度a(t)=2t，知道速度v(t)=∫2tdt=t^2+C，其中C為積分常數(shù)。由于汽車從靜止開始，所以初始速度v(0)=0，代入得0=0^2+C，解得C=0。因此，速度v(t)=t^2。距離s(t)=∫v(t)dt=∫t^2dt=(1/3)t^3+D，其中D為積分常數(shù)。由于汽車從靜止開始，所以初始距離s(0)=0，代入得0=