備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第8節(jié)-函數(shù)與方程

第8節(jié)函數(shù)與方程1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象,了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系.2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點,了解函數(shù)零點存在性定理,并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解的步驟.1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義:使的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

(2)三個等價關(guān)系:方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸.

函數(shù)的零點不是一個點,而是一個實數(shù).該實數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).2.函數(shù)零點存在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得,這個c也就是方程f(x)=0的解.

函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)且單調(diào),而且f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)上有且僅有一個零點.3.二分法對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.

用二分法求方程的近似解應(yīng)具備兩個條件,一是方程對應(yīng)的函數(shù)在零點附近連續(xù)不斷,二是該零點左、右的函數(shù)值異號.4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1,0),(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)2101.若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)一定有零點.特別是,當(dāng)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)時,它僅有一個零點.2.由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a,b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0,如圖所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點的充分不必要條件.1.若函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1] D.[1,+∞)2.(必修第一冊P155習(xí)題T2改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下的x,f(x)對應(yīng)值表:x1234f(x)136.13615.552-3.9210.88x567f(x)-52.488-232.06411.238由表可知函數(shù)f(x)存在零點的區(qū)間有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.(必修第一冊P155習(xí)題T4改編)函數(shù)f(x)=3x+2x的零點所在的區(qū)間是()A.(1,2) B.(0,1)C.(-1,0) D.(-2,-1)4.函數(shù)f(x)=x+1A.(-1,0),(1,0) B.-1,1C.(-1,0) D.-1函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用1.函數(shù)f(x)=log2x-1xA.(0,12) B.(12,1) C.(1,2)2.已知函數(shù)h(x)=ex與g(x)=x2-8x,兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)3.已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=[x]為取整函數(shù),若x0是方程lnx=2x的一個解,則g(x0A.1 B.2 C.3 D.44.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)+3x+m的零點在區(qū)間(0,1]上,則實數(shù)m的取值范圍為()A.(-4,0)B.(-∞,-4)∪(0,+∞)C.(-∞,-4]∪(0,+∞)D.[-4,0)確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在性定理首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.若函數(shù)圖象連續(xù)不間斷,則直接使用函數(shù)零點存在性定理判斷.(2)求兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)范圍及方程的根的范圍的方法兩函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象,其交點的橫坐標(biāo)是函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(同理,方程f(x)-g(x)=0的根就是函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點),因此可以借助函數(shù)零點存在性定理判斷函數(shù)零點所在區(qū)間.函數(shù)零點個數(shù)的確定方法一解方程法已知函數(shù)f(x)=x+1,A.3 B.2 C.0 D.4方法二數(shù)形結(jié)合法(1)已知f(x)=-x2-2A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象的交點共有()A.10個 B.9個 C.8個 D.7個判斷函數(shù)y=f(x)零點個數(shù)的常用方法(1)方程轉(zhuǎn)化法:令f(x)=0,則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù).(2)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.一般地,涉及與函數(shù)的性質(zhì)(周期性、奇偶性等)有關(guān)的零點個數(shù)判斷,指數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等零點個數(shù)判斷常用此法.[針對訓(xùn)練]1.函數(shù)f(x)=ex|lnx|-2的零點個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.(2021·浙江瑞安中學(xué)高三模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(x+2)=f(-x),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+1),則函數(shù)y=f(x)-x3的零點個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.53.函數(shù)f(x)=-1+lnx,函數(shù)零點的應(yīng)用角度一已知函數(shù)零點或方程根的個數(shù),求參數(shù)取值范圍已知函數(shù)f(x)=ex-A.(0,1] B.[1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,1]1.形如g(x)=f(x)-m的含參數(shù)函數(shù)零點問題可轉(zhuǎn)化為f(x)=m求解.2.根據(jù)含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、抽象函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題,若能夠?qū)?shù)分離,則常分離參數(shù)后求解,若分離參數(shù)后的不含參數(shù)的函數(shù)圖象能夠作出,則作出函數(shù)圖象后利用數(shù)形結(jié)合思想求解.角度二求函數(shù)的零點的和函數(shù)f(x)=11-A.2 B.4 C.6 D.8求函數(shù)的多個零點(或方程的根以及直線y=m與函數(shù)圖象的多個交點橫坐標(biāo))的和時,常借助函數(shù)的性質(zhì)(如函數(shù)本身關(guān)于點的對稱、直線的對稱等)求和.角度三二次函數(shù)的零點分布問題已知方程x2-mx-m+3=0.(1)若方程不相等的兩根都在[-4,0]內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍;(2)若方程不相等的兩根都小于5,求實數(shù)m的取值范圍;(3)若一根大于1,一根小于1,求實數(shù)m的取值范圍.若二次方程的根在一個區(qū)間上,則要考慮方程判別式Δ≥0,方程對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的對稱軸在該區(qū)間內(nèi),以及區(qū)間端點函數(shù)值的符號和開口方向;若二次方程的根在兩個區(qū)間上,則只需要考慮區(qū)間端點的函數(shù)值符號和開口方向.[針對訓(xùn)練]1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|·(x+1),若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)k的值為(