2022年 數(shù)學(xué)高考題新高考Ⅰ卷

PAGE1一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（2022·新高考Ⅰ卷1題）若集合M＝{x｜x＜4}，N＝{x｜3x≥1}，則M∩N＝（）A.{x｜0≤x＜2} B.xC.{x｜3≤x＜16} D.x解析：D法一（直接法）因?yàn)镸＝{x｜x＜4}，所以M＝{x｜0≤x＜16}；因?yàn)镹＝{x｜3x≥1}，所以N＝x｜x≥13.所以M∩N法二（特取法）觀察選項(xiàng)進(jìn)行特取，取x＝4，則4∈M，4∈N，所以4∈（M∩N），排除A、B；取x＝1，則1∈M，1∈N，所以1∈（M∩N），排除C.故選D.2.（2022·新高考Ⅰ卷2題）若i（1－z）＝1，則z＋z＝（）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：D因?yàn)閕（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故選3.（2022·新高考Ⅰ卷3題）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CB＝（）A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n解析：B法一因?yàn)锽D＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故選B.法二（作圖法）如圖，利用平行四邊形法則，合成出向量CB，由圖易知CA（即向量m）的系數(shù)為負(fù)數(shù)，排除A、C、D，故選B.4.（2022·新高考Ⅰ卷4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3解析：C如圖，由已知得該棱臺(tái)的高為157.5－148.5＝9（m），所以該棱臺(tái)的體積V＝13×9×（140＋140×180＋180）×106＝60×（16＋37）×106≈60×（16＋3×2.65）×106＝1.437×109≈1.4×109（m3）5.（2022·新高考Ⅰ卷5題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）A.16 B.C.12 D.解析：D從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C72＝21（種）取法，取得的2個(gè)數(shù)互質(zhì)的情況有（2，3），（2，5），（2，7），（3，4），（3，5），（3，7），（3，8），（4，5），（4，7），（5，6），（5，7），（5，8），（6，7），（7，8），共14種，根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為1421＝26.（2022·新高考Ⅰ卷6題）記函數(shù)f（x）＝sinωx＋π4＋b（ω＞0）的最小正周期為T.若2π3＜T＜π，且y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)3π2，A.1 B.3C.52 解析：A因?yàn)?π3＜T＜π，所以2π3＜2πω＜π，解得2＜ω＜3.因?yàn)閥＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)3π2，2中心對(duì)稱，所以b＝2，且sin3π2ω＋π4＋b＝2，即sin3π2ω＋π4＝0，所以3π2ω＋π4＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以13π4＜3π2ω＋π4＜19π4，所以3π2ω＋π4＝7.（2022·新高考Ⅰ卷7題）設(shè)a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln0.9，則（A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.a＜c＜b解析：C法一設(shè)u（x）＝xex（0＜x≤0.1），v（x）＝x1－x（0＜x≤0.1），w（x）＝－ln（1－x）（0＜x≤0.1），則當(dāng)0＜x≤0.1時(shí)，u（x）＞0，v（x）＞0，w（x）＞0.①設(shè)f（x）＝ln[u（x）]－ln[v（x）]＝lnx＋x－[lnx－ln（1－x）]＝x＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），則f'（x）＝1－11－x＝xx－1＜0在（0，0.1]上恒成立，所以f（x）在（0，0.1]上單調(diào)遞減，所以f（0.1）＜0＋ln（1－0）＝0，即ln[u（0.1）]－ln[v（0.1）]＜0，所以ln[u（0.1）]＜ln[v（0.1）]，又函數(shù)y＝lnx在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以u(píng)（0.1）＜v（0.1），即0.1e0.1＜19，所以a＜b.②設(shè)g（x）＝u（x）－w（x）＝xex＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），則g'（x）＝（x＋1）ex－11－x＝（1－x2）ex－11－x（0＜x≤0.1），設(shè)h（x）＝（1－x2）ex－1（0＜x≤0.1），則h'（x）＝（1－2x－x2）ex＞0在（0，0.1]上恒成立，所以h（x）在（0，0.1]上單調(diào)遞增，所以h（x）＞（1－02）×e0－1＝0，即g'（x）＞0在（0，0.1]上恒成立，所以g（x）在（0，0.1]上單調(diào)遞增，所以g（0.1）＞0×e0＋ln（1－0）＝0，即g（0.1）＝u（0.1）－w（0.1法二由已知，a－c＝0.1e0.1＋ln（1－0.1）.記f（x）＝xex＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），則f'（x）＝（x＋1）ex＋1x－1＝（x2－1）ex+1x－1，記g（x）＝（x2－1）ex＋1，則g'（x）＝（x2＋2x－1）ex，因?yàn)?＜x≤0.1，所以x2＋2x－1＜0，ex＞0，即g'（x）＝（x2＋2x－1）ex＜0，所以g（x）在（0，0.1]上單調(diào)遞減，g（x）＜g（0）＝0，又x－1＜0，所以f'（x）＞0，即f（x）在（0，0.1]上單調(diào)遞增，則f（x）＞f（0）＝0，即a－c＞0，a＞c.又ab＝0.9e0.18.（2022·新高考Ⅰ卷8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A.18，814C.274，64解析：C如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長(zhǎng)為a，高為h，依題意，得36π＝43πR3，解得R＝3.由題意及圖可得解得h法一所以正四棱錐的體積V＝13a2h＝132l2－l418×l26＝l4182－l218（3≤l≤33），所以V'＝49l3－l554＝19l34－l26（3≤l≤33），令V'＝0，得l＝26，所以當(dāng)3≤l＜26時(shí)，V'＞0；當(dāng)26＜l≤33時(shí)，V'＜0，所以函數(shù)V＝l4182－l218（3≤l≤33）在[3，26）上單調(diào)遞增，在（26，33]上單調(diào)遞減，又當(dāng)l＝3法二因?yàn)?≤l≤33，所以該正四棱錐的體積V＝13a2h＝132l2－l418×l26＝l4182－l218＝72×l236·l236·2－l218≤72×l236＋l法三如圖，設(shè)OO'＝x.在Rt△OO'A中，由勾股定理，得O'A＝9－x2，所以正四棱錐的體積V＝13O'P·S正方形ABCD＝23（3＋x）（9－x2）.在Rt△O'AP中，由勾股定理，得（3＋x）2＋（9－x2）＝l2，即x＝l2－186.因?yàn)?≤l≤33，所以－32≤x≤32.因?yàn)閂（x）＝23（－x3－3x2＋9x＋27），所以V'（x）＝2（－x2－2x＋3）.易得V（x）在－32，1上單調(diào)遞增，在1，32上單調(diào)遞減，所以V（x）max＝V（1）＝643.因?yàn)閂－32＝274＜V二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.（多選）（2022·新高考Ⅰ卷9題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則（）A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°解析：ABD如圖①，連接B1C.因?yàn)镈A1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直線BC1與DA1所成的角為90°，所以A正確.如圖②，連接B1C.因?yàn)锽C1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1?平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正確.如圖③，連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O，連接BO，A1B.易證A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO為直線C1B與平面BDD1B1所成的角，易知∠C1BO＝30°，所以C錯(cuò)誤.如圖④，因?yàn)镃1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正確.故選A、B、D.10.（多選）（2022·新高考Ⅰ卷10題）已知函數(shù)f（x）＝x3－x＋1，則（）A.f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f（x）有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)（0，1）是曲線y＝f（x）的對(duì)稱中心D.直線y＝2x是曲線y＝f（x）的切線解析：AC因?yàn)閒（x）＝x3－x＋1，所以f'（x）＝3x2－1，令f'（x）＝3x2－1＝0，得x＝±33.由f'（x）＝3x2－1＞0得x＞33或x＜－33；由f'（x）＝3x2－1＜0得－33＜x＜33.所以f（x）＝x3－x＋1在33，＋∞，－∞,-33上單調(diào)遞增，在－33，33上單調(diào)遞減，所以f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確.因?yàn)閒（x）的極小值f33＝333－33＋1＝1－239＞0，f（－2）＝（－2）3－（－2）＋1＝－5＜0，所以函數(shù)f（x）在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.因?yàn)楹瘮?shù)g（x）＝x3－x的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)f（x）＝x3－x＋1的圖象，函數(shù)g（x）＝x3－x的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱且g（0）＝0，所以點(diǎn)（0，1）是曲線f（x）＝x3－x＋1的對(duì)稱中心，故C正確.假設(shè)直線y＝2x是曲線y＝f（x）的切線，切點(diǎn)為（x0，y0），則f'（x0）＝3x02－1＝2，解得x0＝±1.若x0＝1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），但點(diǎn)（1，1）不在直線y＝2x上，若x0＝－1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，1），但點(diǎn)（11.（多選）（2022·新高考Ⅰ卷11題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，過點(diǎn)B（0，－1）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（）A.C的準(zhǔn)線為y＝－1 B.直線AB與C相切C.｜OP｜·｜OQ｜＞｜OA｜2 D.｜BP｜·｜BQ｜＞｜BA｜2解析：BCD如圖，因?yàn)閽佄锞€C過點(diǎn)A（1，1），所以1＝2p，解得p＝12，所以C：x2＝y(tǒng)的準(zhǔn)線為y＝－14，所以A因?yàn)閤2＝y(tǒng)，所以y'＝2x，所以y'｜x＝1＝2，所以C在點(diǎn)A處的切線方程為y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，又點(diǎn)B（0，－1）在直線y＝2x－1上，所以直線AB與C相切，所以B正確；設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線PQ的方程為y＝kx－1，由y＝kx－1，x2＝y(tǒng)得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4＞0，得k＞2或k＜－2，所以｜OP｜·｜OQ｜＝x12＋y12·x22＋y22＝（x1｜BP｜·｜BQ｜＝x12＝x12＝（＝x＝6＝6＝6＝（k2+1）2＝k2＋1＞5＝｜BA｜2，所以D正確.故選12.（多選）（2022·新高考Ⅰ卷12題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的定義域均為R，記g（x）＝f'（x）.若f32－2x，g（2＋x）均為偶函數(shù)，A.f（0）＝0 B.g－12C.f（－1）＝f（4） D.g（－1）＝g（2）解析：BC法一（轉(zhuǎn)化法）因?yàn)閒32－2x為偶函數(shù)，所以f32－2x＝f32+2x，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝32對(duì)稱，f32－2×54＝f32+2×54，即f（－1）＝f（4），所以C正確；因?yàn)間（2＋x）為偶函數(shù)，所以g（2＋x）＝g（2－x），函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，因?yàn)間（x）＝f'（x），所以函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)32，0對(duì)稱，所以g（x）的周期T＝4×2－32＝2，因?yàn)閒（－1）＝f（4），所以f'（－1）＝－f'（4），即g（－1）＝－g（4）＝－g（2），所以D不正確；因?yàn)閒32－2＝f32+2，即f－12＝f72，所以f'－12＝－f'72，所以g－12＝－g72＝－g2×2－1法二（特例法）因?yàn)閒32－2x，g（2＋x）均為偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝32對(duì)稱，函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.取符合題意的一個(gè)函數(shù)f（x）＝1（x∈R），則f（0）＝1，排除A；取符合題意的一個(gè)函數(shù)f（x）＝sinπx，則f'（x）＝πcosπx，即g（x）＝πcosπx，所以g（－1）＝πcos（－π）＝－π，g（2）＝πcos2π＝π，所以g（－1）≠g（2），排除三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.（2022·新高考Ⅰ卷13題）1－yx（x＋y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為（解析：（x＋y）8展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以1－yx（x＋y）8的展開式中x答案：－2814.（2022·新高考Ⅰ卷14題）寫出與圓x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一條直線的方程.解析：法一如圖，因?yàn)閳Ax2＋y2＝1的圓心為O（0，0），半徑r1＝1，圓（x－3）2＋（y－4）2＝16的圓心為A（3，4），半徑r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以兩圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線l1的方程為x＝－1.②另一條公切線l2與公切線l1關(guān)于過兩圓圓心的直線l對(duì)稱.易知過兩圓圓心的直線l的方程為y＝43x，由x＝－1，y＝43x，得x＝－1，y＝－43，由對(duì)稱性可知公切線l2過點(diǎn)－1,-43，設(shè)公切線l2的方程為y＋43＝k（x＋1），則點(diǎn)O（0，0）到l2的距離為1，所以1＝k－43k2+1，解得k＝724，所以公切線l2的方程為y＋43＝724（x＋1），即7x－24y－25＝0.③還有一條公切線l3與直線l：y＝43x垂直，設(shè)公切線l3的方程為y＝－34x＋t，易知t＞0，則點(diǎn)O（0，0）到l3的距離為1，所以1＝｜t｜－342＋(-1）2，解得t＝54或t＝－54（法二根據(jù)題意，精確作出兩圓（需用到尺規(guī)），由圖形可直觀快速看出直線x＝－1是兩圓的一條公切線，經(jīng)驗(yàn)證符合題意.答案：x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0（答案不唯一）15.（2022·新高考Ⅰ卷15題）若曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是.解析：因?yàn)閥＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.設(shè)切點(diǎn)為A（x0，（x0＋a）ex0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意得，切線斜率kOA＝y(tǒng)'｜x＝x0＝（x0＋a＋1）ex0＝（x0＋a）ex0x0，化簡(jiǎn)，得x02＋ax0－a＝0.因?yàn)榍€y＝（x＋a）ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，所以關(guān)于x0的方程x02＋ax0－a＝0有兩個(gè)不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－答案：（－∞，－4）∪（0，＋∞）16.（2022·新高考Ⅰ卷16題）已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為12.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，｜DE｜＝6解析：法一如圖，連接AF1，DF2，EF2，因?yàn)镃的離心率為12，所以ca＝12，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因?yàn)椋麬F1｜＝｜AF2｜＝a＝2c＝｜F1F2｜，所以△AF1F2為等邊三角形，又DE⊥AF2，所以直線DE為線段AF2的垂直平分線，所以｜AD｜＝｜DF2｜，｜AE｜＝｜EF2｜，且∠EF1F2＝30°，所以直線DE的方程為y＝33（x＋c），代入橢圓C的方程x24c2＋y23c2＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則x1＋x2＝－8c13＝43－8c132－4×－32c213＝48c13＝6，解得c＝138，所以a＝2c＝134，所以△ADE的周長(zhǎng)為｜AD｜＋｜AE｜＋｜DE｜＝法二如圖，連接AF1.因?yàn)閑＝12，所以a＝2c，所以△AF1F2為等邊三角形.故DE是AF2的垂直平分線.連接EF2，DF2，則｜AE｜＝｜EF2｜，｜AD｜＝｜DF2｜，所以△ADE的周長(zhǎng)為｜DE｜＋｜AE｜＋｜AD｜＝｜DE｜＋｜EF2｜＋｜DF2｜＝4a.又因?yàn)椤螮F1F2＝∠F2AO，所以cos∠EF1F2＝ba＝32.設(shè)EF1＝x，則在△EF1F2中，由余弦定理，得（2c）2＋x2－2·（2c）·x·32＝（2a－x）2，解得x＝64－3c.同理，設(shè)DF1＝y(tǒng)，則在△DF1F2中，由余弦定理，得（2c）2＋y2＋2·（2c）·y·32＝（2a－y）2，解得y＝64+3c，所以x＋y＝4813c＝6，解得c＝138答案：13四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（2022·新高考Ⅰ卷17題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，Snan是公差為（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：1a1＋1a2＋…解：（1）法一因?yàn)閍1＝1，所以S1a1又Snan是公差為所以Snan＝1＋（n－1）×1因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，所以SnSn－Sn－1＝n+23（n≥2整理得SnSn－1＝n所以S2S1×S3S2×…×Sn－1Sn－2×SnSn－所以Sn＝n（n+1)(n+2）又S1＝1也滿足上式，所以Sn＝n（n+1)(n+2）6則Sn－1＝（n－1）n所以an＝n（n＝n（n+1）2（又a1＝1也滿足上式，所以an＝n（n+1）2（n∈法二因?yàn)閍1＝1，所以S1a1又Snan是公差為所以Snan＝1＋（n－1）×1所以Sn＝n+23a因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n+23an－n+13a所以n+13an－1＝n－13an所以anan－1＝n所以a2a1×a3a2×…×an－1an－2×anan－1＝所以an＝n（n+1）2（又a1＝1也滿足上式，所以an＝n（n+1）2（n∈（2）證明：因?yàn)閍n＝n（n+1）2，所以1an所以1a1＋1a2＋…＋1an＝2［1－12＋12－118.（2022·新高考Ⅰ卷18題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA（1）若C＝2π3，求（2）求a2＋解：（1）因?yàn)閏osA1+sinA所以cosA1+sinA所以cosA1+sinA所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，所以cos（A＋B）＝sinB，所以sinB＝－cosC＝－cos2π3＝因?yàn)锽∈0，π3，所以B（2）由（1）得cos（A＋B）＝sinB，所以sinπ2-(A＋B）＝sinB，且0＜所以0＜B＜π2，0＜π2－（A＋B）＜所以π2－（A＋B）＝B，解得A＝π2－2由正弦定理得a＝si＝si＝si＝co＝（＝4＝4cos2B＋2cos2B－5≥＝42－5，當(dāng)且僅當(dāng)cos2B＝22時(shí)取等號(hào)所以a2＋b2c19.（2022·新高考Ⅰ卷19題）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22.（1）求A到平面A1BC的距離；（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.解：（1）設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1的體積為4，所以VA-A1BC＝13S△ABC×AA又△A1BC的面積為22，VA-A1BC＝13S△A1所以h＝2，即點(diǎn)A到平面A1BC的距離為2.（2）取A1B的中點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥A1B，因?yàn)槠矫鍭1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC，又AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC，因?yàn)锳A1∩AE＝A，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC，BA，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，由（1）知，AE＝2，所以AA1＝AB＝2，A1B＝22，因?yàn)椤鰽1BC的面積為22，所以22＝12×A1B×BC，所以BC＝2所以A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），E（0，1，1），則BD＝（1，1，1），BA＝（0，2，0），設(shè)平面ABD的法向量為n＝（x，y，z），則n·BD令x＝1，得n＝（1，0，－1），又平面BDC的一個(gè)法向量為AE＝（0，－1，1），所以cos＜AE，n＞＝AE·n｜AE｜·｜設(shè)二面角A-BD-C的平面角為θ，則sinθ＝1－cos所以二面角A-BD-C的正弦值為3220.（2022·新高考Ⅰ卷20題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有99％的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，P（B｜A）P（①證明：R＝P（A｜②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A｜B），P（A｜B）的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R的估計(jì)值.附：K2＝n（P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解：（1）K2＝200×（40×90－所以有99％的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）①證明：R＝P（B｜由題意知，證明P（B｜A左邊＝P（AB）右邊＝P（AB）左邊＝右邊，故R＝P（A｜②由調(diào)查數(shù)據(jù)可知P（A｜B）＝40100＝25，P（A｜B）＝10100且P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝35，P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝9所以R＝2535×21.（2022·新高考Ⅰ卷21題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：x2a2－y2a2－1＝1（a＞1）上，直線l交C于P，Q（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝22，求△PAQ的面積.解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程得4a2－1a化簡(jiǎn)得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，故雙曲線C的方程為x22－y2由題易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程并整理得（2k2－1）x2＋4kbx＋2b2＋2＝0，故x1＋x2＝－4kb2k2－1，xkAP＋kAQ＝y(tǒng)1－1x1－2＋y化簡(jiǎn)得2kx1x2＋（b－1－2k）（x1＋x2）－4（b－1）＝0，故2k（2b2+2）2k2－1＋（b－1－2k）整理得（k＋1）（b＋2k－1）＝0，又直線l不過點(diǎn)A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1.故直線l的斜率為－1.（2）不妨設(shè)直線PA的傾斜角為θ0<θ＜π2，由題意知∠PAQ＝所以tan∠PAQ＝－tan2θ＝2tanθtan2解得tanθ＝2或tanθ＝－22（舍去由y1－1x1－所以｜AP｜＝3｜x1－2｜＝43同理得x2＝10+423，所以｜AQ｜＝3｜x2－2｜＝因?yàn)閠an∠PAQ＝22，所以sin∠PAQ＝22故S△PAQ＝12｜AP｜｜AQ｜sin∠PAQ＝12×43（2－122.（2022·新高考Ⅰ卷22題）已知函數(shù)f（x）＝ex－ax和g（x）＝ax－lnx有相同的最小值.（1）求a；（2）證明：存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f（x）和y＝g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.解：（1）f'（x）＝ex－a，g'（x）＝a－1x①若a≤0，f'（x）＞0在R上恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增，即f（x）無最小值；②若a＞0，當(dāng)x∈（－∞，lna）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（lna，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.∴f（x）在x＝lna處取得最小值f（lna）＝a－alna.當(dāng)x∈0，1a時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈1a，＋∞時(shí)，g'（x）＞0，g∴g（x）在x＝1a處取得最小值g1a＝1＋ln又f（x）與g（x）有相同的最小值，∴a－alna＝1＋lna，a＞0.設(shè)h（a）＝alna＋lna－a＋1，a＞0，則h'（a）＝1a＋lna令φ（a）＝h'（a），則φ'（a）＝－1a2＋1a＝a－1當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，φ'（a）＜0，h'（a）單調(diào)遞減.當(dāng)a∈（1，＋∞）時(shí)，φ'（a）＞0，h'（a）單調(diào)遞增.∴h'（a）在a＝1處取得最小值h'（1）＝1＞0，則當(dāng)a＞0時(shí)，h'（a）＞0恒成立，h（a）單調(diào)遞增.又h（1）＝0，∴a＝1.（2）證明：由（1）得f（x）＝ex－x，g（x）＝x－lnx，且f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，f（x）min＝g（x）min＝1.當(dāng)直線y＝b與曲線y＝f（x）和y＝g（x）共有三個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，設(shè)三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則f（x1）＝f（x2）＝g（x2）＝g（x3）＝b.∵f（x）＝ex－x，g（x）＝x－lnx＝elnx－lnx＝f（lnx），∴f（x1）＝f（x2）＝f（lnx2）＝f（lnx3）.由于x2≠x1，x2≠lnx2，所以x2＝lnx3，x1＝lnx2，則f（lnx2）＝elnx2－lnx2＝x2－lnx2＝x2－x1f（lnx3）＝elnx3－lnx3＝x3－lnx3＝x3－x2上述兩式相減得x1＋x3＝2x2，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.前沿?zé)狳c(diǎn)——新高考數(shù)學(xué)考情分析2024年新高考真題（含考情分析）及高考最新動(dòng)向?qū)崟r(shí)更新請(qǐng)掃碼獲取縱觀近年來新高考數(shù)學(xué)試題，試題貫徹落實(shí)了高考改革的總體要求，實(shí)施“德智體美勞”全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，充分發(fā)揮考試的引導(dǎo)作用.試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、重視理性思維、堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.通過設(shè)計(jì)真實(shí)問題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；穩(wěn)步推進(jìn)改革，科學(xué)把握必備知識(shí)與關(guān)鍵能力的關(guān)系，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的高考考查要求.一、突出主干知識(shí)、筑牢能力基礎(chǔ)以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷為例，對(duì)各試題所考查的主干知識(shí)分析如下：題型題號(hào)各試題所考查的知識(shí)點(diǎn)分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷單選題1集合的交集運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法及幾何意義2復(fù)數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)由集合間的關(guān)系求參數(shù)3向量垂直、數(shù)量積運(yùn)算分層隨機(jī)抽樣、計(jì)數(shù)原理4由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)5橢圓的離心率問題由直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)6圓的切線問題由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)7等差數(shù)列充要條件的判定半角公式8三角函數(shù)中和、差、倍角公式的應(yīng)用等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和及性質(zhì)多選題9樣本數(shù)字特征圓錐的體積、側(cè)面積和截面面積10以實(shí)際問題為背景考查對(duì)數(shù)大小比較直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的概念及性質(zhì)11抽象函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的極值及應(yīng)用12以正方體內(nèi)嵌入某幾何體考查對(duì)稱性、空間位置關(guān)系獨(dú)立事件的概率、二項(xiàng)分布模型填空題13計(jì)數(shù)原理向量的數(shù)量積、模14四棱臺(tái)的體積四棱臺(tái)的體積15三角函數(shù)中由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求ω范圍直線與圓的位置關(guān)系16雙曲線幾何性質(zhì)、平面向量三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答題17正弦定理、三角恒等變換正、余弦定理、三角恒等變換18線線平行的證明及由二面角求線段長(zhǎng)度等差數(shù)列、數(shù)列的奇偶項(xiàng)問題19利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式統(tǒng)計(jì)圖表、概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)交匯問題20等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n項(xiàng)和空間線面位置關(guān)系、二面角的正弦值21概率與數(shù)列的交匯問題直線與雙曲線的位置關(guān)系、定直線問題22以拋物線為背景，考查不等式及函數(shù)的最值以三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從上表可以看出，試題所考查知識(shí)范圍及思想方法90％以上都源于教材主干知識(shí)，由此在一輪復(fù)習(xí)備考中更應(yīng)重視必備知識(shí)的系統(tǒng)梳理、基本能力的逐點(diǎn)夯實(shí).二、注重試題情境創(chuàng)設(shè)、牢記育人宗旨1.關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)2023年新高考Ⅰ卷第10題以當(dāng)今社會(huì)熱點(diǎn)“噪聲污染問題”為背景命制試題，目的是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)、關(guān)注民生，用所學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)踐情境下的實(shí)際問題.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化2022年新高考Ⅱ卷第3題以中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景命制出以等差數(shù)列為考查點(diǎn)的試題，此類試題不但能考查學(xué)生的閱讀理解能力、直觀想象能力及知識(shí)運(yùn)用能力，而且還能以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）圖①是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)水平2021年新高考Ⅱ卷第4題以我國(guó)航天事業(yè)的重要成果北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境命制立體幾何問題，在考查學(xué)生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國(guó)社會(huì)現(xiàn)實(shí)與經(jīng)濟(jì)、科技進(jìn)步與發(fā)展，增強(qiáng)民族自豪感與自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2（1－cosα）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值2022年新高考Ⅰ卷第4題以我國(guó)的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景命制出以四棱臺(tái)體積公式為考查點(diǎn)的立體幾何試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重視能力考查、使素養(yǎng)評(píng)價(jià)科學(xué)有據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力的要求是數(shù)學(xué)“六大核心素養(yǎng)”的集中展示.要檢驗(yàn)學(xué)生核心素養(yǎng)高低，必須通過解決數(shù)學(xué)問題來體現(xiàn).（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體C.底面直