考向35 離心率的多種妙解方式（十四大經(jīng)典題型）

考向35離心率的多種妙解方式經(jīng)典題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式經(jīng)典題型二：圓錐曲線的定義經(jīng)典題型三：利用正弦定理經(jīng)典題型四：利用余弦定理經(jīng)典題型五：內(nèi)切圓問題經(jīng)典題型六：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)經(jīng)典題型七：利用最大頂角經(jīng)典題型八：基本不等式經(jīng)典題型九：已知范圍經(jīng)典題型十：經(jīng)典題型十一：中點(diǎn)弦經(jīng)典題型十二：坐標(biāo)法經(jīng)典題型十三：四心問題經(jīng)典題型十四：利用雙曲線漸近線的斜率（2022·全國·高考真題（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.（多選題）（2022·全國·高考真題（理））雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為B，所以，因?yàn)椋栽陔p曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)椋栽陔p曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，若分別在左右支，因?yàn)椋遥栽陔p曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．2、利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．3、利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．5、利用判別式建立不等關(guān)系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．二、函數(shù)法：1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；2、通過確定函數(shù)的定義域；3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．三、坐標(biāo)法：由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．經(jīng)典題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式1．（2022·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是（

）A．或 B． C． D．或2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對稱，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A，兩點(diǎn)，若的周長為16，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上一點(diǎn)，且，若的面積為4，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．5．（2022·河南省葉縣高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，為右支上一點(diǎn)，與軸切于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，若為直角三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型二：圓錐曲線的定義6．（2022·四川·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，，過右焦點(diǎn)且不與x軸垂直的直線交C的右支于A，B兩點(diǎn)，若，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．8．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（文））已知是橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是E上的一點(diǎn)，若，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于不同的兩點(diǎn)、.若為正三角形，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型三：利用正弦定理10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．12．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．經(jīng)典題型四：利用余弦定理13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．14．（2022·河北廊坊·高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在上，則的離心率為________.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型五：內(nèi)切圓問題16．（2022·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率______．17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，是右支上的一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則的離心率為________．18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，P為曲線上一點(diǎn)，，的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的4倍.若該雙曲線的離心率為e，則___________.19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線分別為其左?右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為1，則該雙曲線的離心率為___________.20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，的左右焦點(diǎn)記為，，直線l過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記l與雙曲線的交點(diǎn)為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為______．21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)F為雙曲線的左焦點(diǎn)，A為直線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過原點(diǎn)O作的垂線交于點(diǎn)B，且B恰為線段的中點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率大小為_________．經(jīng)典題型六：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當(dāng)取最大值時(shí)，，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，23．（2022·江蘇·常熟中學(xué)高二階段練習(xí)）對于以，為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線，設(shè)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，，分別為它們的離心率.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．24．（2022·重慶一中高二期中（文））已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最小值是______.25．（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，它們的離心率分別為，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且．若，則_______26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，則的最小值是__________．27．（2022·黑龍江·賓縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有相同焦點(diǎn)，且它們的離心率分別為，設(shè)點(diǎn)是與的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則的最小值為______.經(jīng)典題型七：利用最大頂角28．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：，點(diǎn)，是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．29．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)A，B是橢圓C：長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．30．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)、，使得，則的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．經(jīng)典題型八：基本不等式31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．32．（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．33．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.經(jīng)典題型九：已知范圍34．（2022·四川省南充市白塔中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．35．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．36．（2022·全國·高三開學(xué)考試（理））設(shè)，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若橢圓E上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十：37．（2022·江蘇·海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．38．（2022·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得，則該離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．39．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十一：中點(diǎn)弦40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，以這一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______．41．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則橢圓的離心率是______．42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為___________.43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為，點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，且，記雙曲線的離心率為，則______．44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是___________.經(jīng)典題型十二：坐標(biāo)法45．（2022·全國·高三開學(xué)考試）橢圓的上頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，AF延長線與橢圓交于點(diǎn)B，若，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．46．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的曲線C：的離心率滿足，A，B是x軸與曲線C的交點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的一點(diǎn)，延長PO交曲線C于另一點(diǎn)Q，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．47．（2022·湖南岳陽·高三階段練習(xí)）青銅器是指以青銅為基本原料加工而成的器皿?用器等，青銅是紅銅與其它化學(xué)元素（錫?錦?鉛?磷等）的合金.其銅銹呈青綠色，故名青銅.青銅器以其獨(dú)特的器形，精美的紋飾，典雅的銘文向人們揭示了我國古代杰出的鑄造工藝和文化水平.圖中所示為觚，飲酒器，長身，侈口，口底均成喇叭狀，外形近似雙曲線的一部分繞虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)而成的曲面.已知，該曲面高15寸，上口直徑為10寸，下口直徑為7.5寸.最小橫截面直徑為6寸，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．48．（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（理））已知是雙曲線的兩條漸近線，直線l經(jīng)過T的右焦點(diǎn)F，且，l交T于點(diǎn)M，交于點(diǎn)Q，若，則雙曲線T的離心率e的取值范圍為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十三：四心問題49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若△ABF1的重心為G，則橢圓C的離心率為________．50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知斜率為1的直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得的重心恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率______.51．（2022·全國·高三開學(xué)考試（文））瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”，直線與軸與雙曲線的兩條漸近線的三個(gè)不同交點(diǎn)構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心、重心、垂心所成集合，若的斜率為，則該雙曲線的離心率可是以是①，②，③，④，⑤.以上結(jié)論正確的是_______.52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在C的右支上，且點(diǎn)恰好為的外心，若，則C的離心率為__________.53．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是△的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是________．54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn).若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為_______________經(jīng)典題型十四：利用雙曲線漸近線的斜率55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，雙曲線兩條漸近線分別為，，過作直線的垂線，分別交，于、兩點(diǎn)．若，，成等差數(shù)列，且向量與同向，則雙曲線離心率的大小為_____________．56．（2022·上?！とA師大二附中高三階段練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為___________.57．（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若線段上存在點(diǎn)，使得線段與的一條漸近線的交點(diǎn)滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.58．（2022·江西南昌·高三階段練習(xí)）如圖，分別是雙曲線的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過作雙曲線的同一條漸近線的垂線，垂足分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率為____．59．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（文））過雙曲線（）的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與漸近線交于第一象限的一點(diǎn)P，為左焦點(diǎn)，直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率e為_______.1．（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．2．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．33．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·高考真題（理））設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題（理））已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是________________．7．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是_________．8．（2022·全國·高考真題（文））記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______________．9．（2021·全國·高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.10．（2021·浙江·高考真題）已知橢圓，焦點(diǎn)，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________.經(jīng)典題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式1．【答案】A【解析】是2和8的等比中項(xiàng)，或，當(dāng)時(shí)，方程為，表示橢圓，，離心率為，當(dāng)時(shí)，方程為，表示雙曲線，，離心率為，故選：A2．【答案】C【解析】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.故選：C．3．【答案】A【解析】由題可知，即，所以橢圓的離心率.故選：A.4．【答案】D【解析】由題意，雙曲線，可知，設(shè)，可得，又因?yàn)椋舻拿娣e為，所以，且，聯(lián)立方程組，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：D.5．【答案】B【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在軸的上方，因?yàn)檩S，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，得.由題意可知，且，則有，即，則，即，則.故選:B.經(jīng)典題型二：圓錐曲線的定義6．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則．又，所以，所以．又，所以，由，得，則，而，則，化簡得，所以．7．【答案】D【解析】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：因?yàn)椋?，所以，，由橢圓的定義可知，所以，所以，，，，由橢圓的定義可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的離心率是.故選：D.8．【答案】C【解析】由題意得：，則，由橢圓定義可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的離心率為.故選：C.9．【答案】B【解析】不妨設(shè)點(diǎn)、，則、，所以，，同理可得，由題意可得，即，所以，，因此，雙曲線關(guān)于軸對稱，故點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，將代入雙曲線方程可得，解得，則，由雙曲線的定義可得因?yàn)闉榈冗吶切?，則，即，則，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.經(jīng)典題型三：利用正弦定理10．【答案】B【解析】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B11．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．12．【答案】【解析】由已知，得，由正弦定理，得，所以．由橢圓的幾何性質(zhì)，知，所以且，所以且，即且，結(jié)合，可解得．故答案為：.經(jīng)典題型四：利用余弦定理13．【答案】D【解析】因?yàn)?，由橢圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因?yàn)椋?，所以由余弦定理可得，即，化簡可得，即，解得或（舍去?故選：D14．【答案】【解析】設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為Q，則三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又，所以在中，由余弦定理有：，即由橢圓定義可知，可得所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故答案為：15．【答案】D【解析】因?yàn)?，由橢圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理可得，即，化簡可得，即，解得或（舍去?故選：D經(jīng)典題型五：內(nèi)切圓問題16．【答案】【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)的面積為，的面積為，因?yàn)?，所以，，即，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，有.故答案為：17．【答案】【解析】設(shè)的內(nèi)切圓與，的切點(diǎn)分別為，，由切線長定理可知，，，又，所以由雙曲線的定義可知，所以，又，所以雙曲線的離心率為．故答案為：18．【答案】【解析】由題意，設(shè)，因?yàn)?，故，即，根?jù)雙曲線的定義有，故.所以的面積為.又，故.故內(nèi)切圓半徑滿足，解得.又的外接圓半徑滿足，故，由題意，即，所以，故，故，解得故答案為：19．【答案】3【解析】設(shè)的內(nèi)心為I，過I作軸于H.由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知：①.又②，③，由①②③得：.∴，故離心率.故答案為：320．【答案】【解析】由題意可知，，設(shè)雙曲線一條漸近線方程，則直線的方程，聯(lián)立方程組，消去可得，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，由三角形的面積可得，化簡可得①，又②，由①②解得，設(shè)直線的傾斜角為，過點(diǎn)作軸，垂足為，則，，在，，，整理可得，即，解得，（舍去）．故答案為：．21．【答案】【解析】如圖所示，設(shè)，由題意知，點(diǎn)在漸近線上，點(diǎn)在直線上，可得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且，所以，解得，所以，則，因?yàn)榈膬?nèi)切圓半徑為，所以，即，化簡得，即，所以離心率為.故答案為：.經(jīng)典題型六：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)22．【答案】A【解析】不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，，，．設(shè)，．．則，，∴，．因?yàn)椋?，即．∴，∴，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號．故選：A．23．【答案】D【解析】設(shè)橢圓方程是1，雙曲線方程是1，由定義可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，在△F1PF2中由余弦定理可得，（2c）2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2+2（a1+a2）（a1﹣a2）cos60°，即4c2＝a12+3a22，∴4，由柯西不等式得（1）（）≥（1）2＝（）2，即（）24，即，當(dāng)且僅當(dāng)e1，e2時(shí)取等號．故選D．24．【答案】【解析】不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，，設(shè)兩曲線的焦距為，設(shè)，，則，，所以，，，化為，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，則的最小值是.故答案為：.25．【答案】【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實(shí)軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，解得，，設(shè)，．則：在△中由余弦定理得，，化簡得：，該式可變成：．．又，解得，所以．故答案為：26．【答案】【解析】設(shè)橢圓方程是,雙曲線方程是,由定義可得,在中由余弦定理可得,即.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為.27．【答案】【解析】設(shè)橢圓方程是,雙曲線方程是由橢圓和雙曲線定義可得:即可求得:在中由余弦定理可得:即利用柯西不等式即即可得,故,當(dāng)且僅當(dāng)取等號.的最小值為故答案為:.經(jīng)典題型七：利用最大頂角28．【答案】A【解析】如圖：當(dāng)P在上頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，則，所以，即，，所以，則，所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選：A29．【答案】B【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由橢圓的對稱性得,所以，所以，所以橢圓的離心率，因?yàn)闄E圓的離心率.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，同理可得.綜合得.故選：B30．【答案】C【解析】連接，當(dāng)不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線、分別與圓切于點(diǎn)A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，連接，則，∴．又是上任意一點(diǎn)，則，又，∴，則由，得，又，∴．故選：C．經(jīng)典題型八：基本不等式31．【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形為矩形，，設(shè)，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B32．【答案】A【解析】由題意可設(shè)直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對稱性不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，即，則，，因?yàn)?，所以，所以，則，解得，故選：A.33．【答案】【解析】由對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號，∵直線l上存在點(diǎn)P滿足∴即，∴，即，所以，故橢圓離心率的最大值為.故答案為：.經(jīng)典題型九：已知范圍34．【答案】D【解析】易知點(diǎn)、、、，則線段的方程為，在線段上取一點(diǎn)，滿足，則，，，所以，，整理可得，由題意可知，關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，可得，可得，所以，.故選：D.35．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，即，結(jié)合可得，所以.故選：B.36．【答案】B【解析】設(shè)，由橢圓的方程可得，，，則，即，由P在橢圓上可得，所以，所以可得，所以，由，所以，整理可得：，，可得：.故選：B經(jīng)典題型十：37．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得,又由，即，即,設(shè)點(diǎn)，可得，則，解得，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，整理得，解得或，又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：C.38．【答案】A【解析】令，則根據(jù)橢圓的焦半徑公式可得，所以根據(jù)題意可得，整理可得，所以，因?yàn)镻在橢圓上，所以，即，因?yàn)椋?，即，解得，而橢圓離心率范圍為，故.故選：A39．【答案】D【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號成立，即，即，則，即.故選：D．經(jīng)典題型十一：中點(diǎn)弦40．【答案】【解析】設(shè)直線與橢圓交于，則.因?yàn)锳B中點(diǎn),則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.41．【答案】【解析】由題意可知直線AB的斜率為1．設(shè)，，∵線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，∴，解得，則，．又，，兩式相減可得，即.于是，解得，∴橢圓C的離心率．故答案為：42．【答案】【解析】設(shè)，，，，則①，②，是線段的中點(diǎn)，，，直線的方程是，，過點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，①②兩式相減可得，即，．故答案為：．43．【答案】【解析】解法一

由題意知，，則．設(shè)，，則兩式相減，得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．解法二

由題意知，，則．設(shè)直線的方程為，即，代入雙曲線方程，得．設(shè)，，結(jié)合為的中點(diǎn)，得．又，所以，整理得，所以，得，得．故答案為：44．【答案】【解析】設(shè)，，，在橢圓上，所以，，兩式相減，得，又為線段的中點(diǎn)，所以，即，即，所以.故答案為：經(jīng)典題型十二：坐標(biāo)法45．【答案】B【解析】，，則AF：，，滿足,消去得，，是它的一個(gè)解，另一解為，因?yàn)?，所以，所以，故，所以，所以．故選：B．46．【答案】A【解析】由解得，所以曲線C是橢圓．因橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則．因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，，，，由題意知，則，即，．故選：A．47．【答案】B【解析】依題意，該酒杯可近似看成雙曲線模型，建立直角坐標(biāo)系，并作出雙曲線如下：設(shè)均和軸垂直.則，，設(shè)雙曲線的方程為：，根據(jù)雙曲線經(jīng)過，可知，設(shè)的縱坐標(biāo)分別為，結(jié)合圖像可知，由可得：，，解得，根據(jù)可知，，解得，于是.故選：B48．【答案】B【解析】不妨設(shè)的方程為，設(shè)的方程為，，因?yàn)?，所以直線l的方程為：，由，即，由，即，因?yàn)椋杂?，故選：B經(jīng)典題型十三：四心問題49．【答案】【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩式相減得＋＝0.(*)因?yàn)椤鰽BF1的重心為G，所以故代入(*)式得，所以＝＝，即a2＝3b2，所以橢圓C的離心率e＝.故答案為：50．【答案】【解析】設(shè)，，坐標(biāo)分別為，因?yàn)榈闹匦那『檬亲鴺?biāo)原點(diǎn)，則，則，代入橢圓方程可得，其中，所以……①因?yàn)橹本€的斜率為，且過左焦點(diǎn)，則的方程為：，聯(lián)立方程消去可得：，所以，……②所以……③，將②③代入①得，從而.故答案為：51．【答案】①③⑤【解析】設(shè)直線的方程為，令，可得，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，與直線聯(lián)立，可得，.由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，當(dāng)、、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為，化為，；當(dāng)、、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為化為不成立；當(dāng)、、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為，化為，；當(dāng)、、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為，化為不成立；當(dāng)、、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為，化為，；當(dāng)、、依次為三角形的外心、重心、垂心，且它們依次位于同一條直線上，可得，即為化為不成立.故選：①③⑤.52．【答案】【解析】取的中點(diǎn)為C，連接BC、、，如圖所示：因?yàn)?，所以，又C為的中點(diǎn)，所以為等腰三角形且，因?yàn)辄c(diǎn)恰好為的外心，所以點(diǎn)在直線BC上，且，由雙曲線的定義知，則，所以為等邊三角形，則，