2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分解析幾何1-10-專項訓練【含答案】

解幾拉檔策略優(yōu)化解析幾何是高考的必考題型，一選一墳一大題是常態(tài)，解題講究套路與策略.策略不對會導致運算煩瑣難以為繼.所以優(yōu)化解題策略尤為重要.策略優(yōu)化主要體現(xiàn)在兩個方面:方法的選擇和運算的優(yōu)化.下面結(jié)合實例具體談談策略優(yōu)化的作用和操作問題.一、識別模式,擇優(yōu)定法解題失敗的原因,往往是由審題不清、方法不當所致,因此，仔細審題、識別模式、擇優(yōu)定法,是順利解題的先決條件.模式就是在學習數(shù)學的過程中,所積累的知識經(jīng)驗經(jīng)過加工.得出有長久保存價值或典型結(jié)構(gòu)與典型類型.如果將其有意識地記憶下來,當遇到一個新問題時,我們先辨認出它屬于哪一類基本模式,再聯(lián)想一個已經(jīng)解決了的問題,以此為索引，在記憶中提取出相應的方法來加以解決,這就是模式識別的解題策略.模式的識別直接關(guān)系到整個解題過程的優(yōu)劣,所以解題前的模式識別顯得尤為重要.【[例1】(1)如圖1,已知拋物線是曲線上兩點,且=1\*GB3①求中點的軌跡方程;=2\*GB3②求證：直線過定點.（2）如圖2，已知，直線，是上一點，射線交橢圓于點，又點在上.且滿足.當點在上移動時,求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.由例1(1)已知條件的結(jié)構(gòu)看,宜用一般法,即在直角坐標系下設點和直線方程：而由于例1(2)中四點共線，故不僅可用例1(1)的方法解決，也可以用極坐標法處理，且用極坐標法更簡捷。對于“模式”我們要用辯證的觀點看待。首先，要積極積累（要把類型，范例和方法作為一個整體來積累，類型是模式的骨架，范例是模式的血肉，方法是模式的靈魂，三者缺一不可）。其次，要自覺使用(熟能生巧)。最后,要努力突破.模式只是提供了一個相對穩(wěn)定的樣本,既非萬能，又非一成不變,遇到一個新的、更深刻的或非常規(guī)的問題時,我們還需要轉(zhuǎn)化或分解問題,對模式加以重組，創(chuàng)新出更多或更高層次的模式，逐漸進入得心應手的境界一一“沒有模式就是最好的模式”再看一例：【[例2】已知點,是橢圓上兩個動點，且，求面積的最大值。解析：解法1：設，，則,整理得.由得，即,則,故，解得或.過定點(0,1)；過定點(0,-3)【評注】本題關(guān)注到點A,B地位等同，又如設直線PA,PB的方程求解均很煩瑣，故從所給問題的模式，自然設直線AB的方程為可使運算大大簡化.解法2：平移坐標原點到點處，設由得聯(lián)立方程得整理得令得，所以即.所以過定點,還原坐標,即直線AB過定點以下過程略.【評注】解法2的齊次化變換恰到好處，使問題立即轉(zhuǎn)向題設條件，避免了煩瑣運算。二、布列方程,緊扣條件不注意對條件的充分利用，思維跳檔，急于求成,導致丟失分數(shù),是中學生解題的通病.所以要想解題能順利進行，在仔細審題的前提下，還必須自然地把題目中所描述的幾何關(guān)系用圖象充分顯示出來,把已知的點和方程在圖象中直觀地標明,并自然合理地把方程布列清楚，真正做好有效“翻譯”。下面我們對上述例1的第1題進行分析.【分析】對于例首先，顯示圖象,如圖1;其次,由于點A,B在曲線上,且地位等同，故可設并有=1\*GB3①=2\*GB3②由是AB的中點,又是所求動點,故應設并有=3\*GB3③=4\*GB3④又由于,故=5\*GB3⑤上述每一步都是自然地給出，不用費很多心思,而且具有很好的“對稱性”,為下一步的運算化簡帶來很大的方便.而例1(2)如選用極坐標法,則只要把直角坐標方程自然地轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可,而且,你會驚奇地發(fā)現(xiàn),幾乎不需要運算,即可得出答案.請看:如圖2：以橢圓中心O為極點，OF為極軸，則橢圓的極坐標方程為直線的極坐標方程為.所給的制約條件化為圖2從而所求軌跡的極坐標方程化為兩邊同時除以即得軌跡方程為所以即三、挖掘美因，對偶運算解析幾何問題往往由于所給問題有很好的對稱和對等性,使得其代數(shù)運算式也有很好的對偶與對等，如果能充分利用其內(nèi)在的這些美學因素，必將使運算更為自然并有規(guī)可循(學生在解題時往往不去注意和發(fā)現(xiàn)這些美學因素，隨意亂算，盲目性很大，人為造成運算煩瑣而難以繼續(xù)。如上述例1(1)的五個方程有很好的對稱與對等性,如果充分利用它，化簡過程就會自然流暢.由于點A、點在問題中的地位等同,故與與地位等同,從而在消元時要么同時消,要么同時消不可能消去或否則將破壞和的整體性而陷入僵局).對于先消還是先消也要比較分析.由=1\*GB3①=2\*GB3②式知消要開方，根式不好處理，而消只需直接代換，即把=1\*GB3①=2\*GB3②式代人=3\*GB3③式即有=6\*GB3⑥注意到=4\*GB3④式有的整體,所以=6\*GB3⑥式需要配方，即把=4\*GB3④式代入就很自然,即=7\*GB3⑦對照=7\*GB3⑦式和=5\*GB3⑤式知道,自然要消去，故=5\*GB3⑤兩邊乘4，再把=1\*GB3①=2\*GB3②式代入也就很自然了，即=8\*GB3⑧由于從而有將此式代入=7\*GB3⑦式即得軌跡方程為.回顧例1（1）的整個消元代換過程，我們清楚地看到，每一步都是自然和必然的，也沒有一點挖空心思，且代換過程自然流暢有一種舒心的感覺.其指導思想就是：美學準則下的日標意識和整體思想.一步一等一回頭,兼顧條件、瞄準日標，隨時調(diào)整運算方向,少走運分彎路.所以在教學中要教育學生增強目標意識、優(yōu)化運算策略，改變學生過去那種不顧目標、瞎撞亂碰、隨意亂算、中途擱淺、半途而廢的局面。利用美學思想不僅可使運算具有目標性,而且還可優(yōu)化解題過程.例如一條直線過曲線對稱軸上的一定點，則直線與曲線的兩個交點對曲線而言具有對等性，即兩交點具有相同地位和性質(zhì),從而使圖形構(gòu)成“對稱",使算式構(gòu)成“對偶”,如果我們在運算中能及時發(fā)掘這些規(guī)律，則可使解題過程更加簡化.如例1(1)的第二問“求證:直線AB過定點”這個問題,根據(jù)上述思想,立即可斷定此定點必在軸上（因為點A和點B相對于拋物線的對稱軸地位等同），并進一步可斷定其定點正好是在AB垂直于x軸時，即,與x軸均成（關(guān)于軸成對稱），故立即知定點必為，因此，以下只需證明過點的動直線與曲線的兩交點與頂點的連線,互相垂直（為定角）即可，而這是非常容易的事。如設直線方程為,代入拋物線方程,得因為由于與參數(shù)無關(guān).所以,從而證明了上述結(jié)論.這樣證明與常規(guī)法證明相比較其優(yōu)越性顯而易見.如果找們注意到故則還可把方程轉(zhuǎn)化為齊次型.下面給出拋物線的一般情形:【[例3】已知拋物線是曲線上兩點,且求證：直線過定點.【解析】設直線.則由得令得因為所以從而，所以，直線AB過定,點.【評注】此法將拋物線方程轉(zhuǎn)化為齊次型，利用快速完成求證。引申當直角頂點不在原點時,代人運算將很煩瑣,但我們作平移:把直角頂點移到坐標原點,問題將大大簡化.請看：定理過拋物線上一點作互相垂直的直線QA,QB交曲線于A,B兩點,則過AB的直線必過定點.【解析】如圖1,已知則.即即于是整理得(令得因為所以，所以,所以直線AB過定,點.還原坐標,得定點為即定點為.【評注】整理齊次化后思路清晰，運算簡捷，同時我們也看出當直角定點Q變動時，其斜邊AB的定點G也跟著變動,且點隨點在拋物線上移動的軌跡將是一條與原拋物線張口大小相同的拋物線.四、中心正交,轉(zhuǎn)化齊次對于中心角為直角的問題,我們可以避開常規(guī)的直線與曲線的消元解方程組,利用直線方程把曲線方程轉(zhuǎn)化為齊次型二次方程,進而轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程,再由韋達定理典速求解.定理直角三角形的直角頂點在中心，斜邊的端點在圓雉曲線上,則中心在斜邊上的射影軌跡是圓(下以橢圓為例進行證明).【例4】若的直角定點O在橢圓的中心，交橢圓于兩點，求證:點在斜邊上的射影的軌跡是圓.【解析】解法1齊次法如圖1,設直線聯(lián)立方程即可得即令可得即因為，所以所以.設中心到直線AB的距離為d,則故所求的軌跡方程是圓.【評注】本解法對手文曲線也同樣適用.由手本定理涉及的中心角為直角,故我們還可以利用三角函數(shù)的定義,產(chǎn)生新解法,請看解法2:解法2參數(shù)法如圖1,設則存在點.由于點A，B在橢圓上，則有，即由此可得在中，設則,所以可見是一個定值.所以中心在斜邊上的射影點的軌跡是圓.【評注】本性質(zhì)也可以另一種形式出考題,如：引申已知橢圓上兩點，，記直線AB的方程為，集合求集合的面積.【答案】集合的面積五、抓住零元,優(yōu)化設線根據(jù)題設條件特點,選用恰當?shù)闹本€和圓雉曲線方程是強化求簡意識的重要手段.一旦靈活選用恰當?shù)姆匠?就會大大簡化求解過程,豐富解題思想和方法.如在解答解析幾何綜合問題時，經(jīng)常要碰到過定點(a,0)的直線問題,容易想到用常規(guī)的點斜式法設直線方程為，從而在下面的運算中多處出現(xiàn)參數(shù)和使運算煩瑣，浪費時間和精力。如果廣義地理解直線斜截式方程的本質(zhì)，其方程簡潔的特征是直線所過的定點正好在軸上.那么，如果用對偶的思想去分析就會想到,當直線所過的定點是軸上的點時，就應該把直線方程寫成這不僅體現(xiàn)了方程的對偶性(與比較也使方程達到最簡,其根本問題是充分利用了"0”元素.【例5】已知過定點的直線交拋物線于A,B兩點,求為坐標原點)面積的最小值?！窘馕觥肯旅嬲故緝煞N解法以利比較.解法1如圖1,設直線方程為(常規(guī)設法)，與拋物線方程聯(lián)立.消去得=3\*GB3③（多處出現(xiàn))由于方程=3\*GB3③是關(guān)于的二次方程，故只能求出。又因為故必須求|AB|和|OC|。，這里運算量很大,中間過程已省略)所以我們發(fā)現(xiàn)最小值達不到，原因何在?問題出在直線方程的設法上.由于在設直線點斜式方程時,已經(jīng)把過點垂直于軸的直線給漏掉了,而這漏掉的直線恰巧是使得三角形面積達最小值的情形,顯得有些不完美.要補上后才可得.解法2假如我們注意到點在軸上,而設直線方程為,則與拋物線聯(lián)立消去后得=4\*GB3④容易算得,而此時的面積表達式可簡化為("化斜為直”)在時,三角形面積達最小值.[評注]通討兩種解法的比較，很容易發(fā)現(xiàn)兩種解法在觀念上完全不同.解法1是常規(guī)法,設線方法常規(guī)(點斜式),求三角形面積常規(guī)（底乘高),帶來的結(jié)果是參數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)多（見=3\*GB3③式）,運算煩瑣且不完備（出現(xiàn)最小值達不到的情況）.改進后的解法2是超脫常規(guī),抓住點斜式的本質(zhì).由于已知定點在軸上,故把直線設成2,不僅簡單(見=4\*GB3④式,參數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)少)，而且在假設直線方程時已經(jīng)把所有與拋物線有兩個交點的直線全部包括進去,做到了“設線"的完備性.同時,使得接下來的每步運算都相當簡捷.因此,對解析幾何中的各種基本方程要弄清內(nèi)涵，挖掘本質(zhì)，靈活運用，才能逐漸提高自己的科學思維能力和解題能力，促家綜合素質(zhì)的全面發(fā)展。為突出的優(yōu)越性，我們再舉一例直線和橢圓的相交問題，以加深印象?！纠?】如圖2，已知直線過橢圓的左焦點，與橢圓交于兩點，且滿足求直線的方程。通過上表的比較不難發(fā)現(xiàn)，兩種解法只是在設法上稍有區(qū)別，但其運算過程的繁簡差異是非常明顯的.解法1由于設線不合理，使得每一步運算都相當煩瑣,且易算錯;而解法2由于在設線上挖掘了點的特性,充分利用了“0”元素.改進了設線方法,使得每一步運算都非常簡捷,且正確率很高.因此，在數(shù)學解題教學中要有意識地培養(yǎng)思維的靈活性.六、面積計算,叉積為上【例7】已知直線與橢圓交于兩點，求的取值范圍?！窘馕觥拷夥?通法.設直線的方程為,聯(lián)立直線與補圓方程得,整理得.則$$解法2面積公式與柯西不等式配合.設下面給出一般情況下的面積公式與橢圓參數(shù)方程的配合.直線與橢圓交于兩點，求的取值范圍。設則【評注】這里用了兩招優(yōu)化:-是面積公式；二是三角函數(shù)的有界性.七、設而不求,整體代換"設而不求”是解析幾何運算的重要手段.首先,要明確計算的整體日標，善于排除中間過程的干擾.“設”是為了"架橋","不求“就是為了“求整體",抓矛盾的主要方面.例如點到直線的距離公式的推導.【例8】已知點直線求點到直線的距離.【解析】容易讓人想到過,點作直線與已知直線垂直(如圖1)，求出交點算距離，而問題是是否必須求出交點坐標？這是最終目標嗎？沒必要也不是最終目標，最終目標是求的長度，故如果設垂足為，則我們關(guān)心的式子是的整體，而不是點的坐標。列出垂直相關(guān)條件寫出距離式(3)如令則就有此時(3)式化為問題已轉(zhuǎn)化為求,故只要把代入（1）式即得所以,點到直線的距離就是且當時也成立.這里整體思想起了很大的作用,為了加深對整體思想的理解和認識,我們再看