2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分數(shù)列211-220-專項訓練【含答案】

2/2···，累加得，所以例3【拓展提升】【提示】4.商式可積，遞推累乘例4【變式訓練】1.【解析】.故.2.【解析】，故3.【答案】例4.【拓展提升】1.【答案】【解析】由已知得用此式減去已知式得當時，，即又，所以，將以上個式子相乘，得【評注】把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法（逐商相乘法)求解.2.【解析】,，得.二、一階遞歸，通項探求例1【拓展提升】【答案】【解析】兩邊平方得令，則，即①②②-①得故，進而得，即，所以從而令，即則即，.解得，即的最大值為.三、二階遞歸，通項探求例1【變式訓練】【解析】解法1：待定系數(shù)——疊加法由，得，且.則數(shù)列是以為首項，為公比的等比的等比數(shù)列，把代入，得：把以上各式相加，得所以.解法2：特征根法數(shù)列的特征方程是不妨設(shè)兩根為，，則.又，于是得故.2.【解析】（1）因為，所以，所以，因為，，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由，得.例1.【拓展提升】【解析】（1）解法1：由韋達定理知:，，所以，整理得.令，則所以是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列的首項為所以，即所以①當時，，變?yōu)?整理得.所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，其首項為.所以，于是數(shù)列的通項公式為.②當時，整理得所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，其首項為，所以，于是數(shù)列的通項公式為.解法2：由韋達定理知:，，所以，，特征方程的兩個根為.①當時，通項，由，，得解得.故.②當時，通項，由，，得解得，.故.（2）若，，則，此時.由第（1）問的結(jié)果得，數(shù)列的通項公式為，所以的前項和為，，以上兩式相減，整理得，所以.四、一次分式遞歸，通項探求例1【變式訓練】【解析】（1）由，得，則.又由得，即，故是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以.（2）當時，，，因為，所以，.從而，即.五、二次整式遞歸，通項探求例2【拓展提升】1.【解析】由已知得累加得.又，則，即是單調(diào)遞增數(shù)列，則，故的整數(shù)部分為2.2.【解析】，，，（由題意可知取正號），，.因此是公差為2的等差數(shù)列，即，從而可得六、二次分式遞歸，通項探求例1【變式訓練】【解析】由得，（合分比定理）令，則，，，所以.則，.所以.九、三角函數(shù)數(shù)列例2【變式訓練】【解析】由于，故，，，故，，兩式相減得故.第二章數(shù)列求和，十大技巧一、利用公式求和例2【變式訓練】【答案】【解析】.例7【拓展提升】【解析】（1）因為，，，由題意得，解得，所以.（2）.當為偶數(shù)時，.當為奇數(shù)時，，所以（或）二、錯位相減求和例3【變式訓練】1.【答案】2.【答案】例4【變式訓練】【解析】由題意得，所以，所以.記.①②①+②得，因為，所以.所以.故當時，對任意自然數(shù)都有.三、通項裂項求和例1【變式訓練】【答案】B.四、倒序相加求和例2【變式訓練】1.【解析】設(shè)①將①式右邊反序得②又因為，，所以①+②得.故.2.【答案】例2.【拓展提升】【答案】.五、奇偶分類求和例1【變式訓練】1.【答案】2.【答案】A例2【變式訓練】【答案】（1），（2）例5【變式訓練】【答案】1830.【解析】當時，，當時，，則，故，所以【評注】本題中，.六、分組雙重求和例1.【變式訓練】【解析】設(shè)，由等比數(shù)列的性質(zhì)得若，則，由對數(shù)的運算性質(zhì)得，故.七、通項分析求和例1【變式訓練】【答案】八、分拆重組求和例1【變式訓練】【答案】例2【變式訓練】【解析】九、絕對值項求和例1【變式訓練】【解析】（1）當時，；當時，，故.（2）由可知當時.當時，.當時，.當時.所以例1【拓展提升】【答案】十、三角數(shù)列求和例1【變式訓練】【答案】C【解析】易知的最小正周期是14，且有，，因此，；結(jié)合周期性可知中為零的個數(shù)是，所以正數(shù)的個數(shù)是86，故選，例2【拓展提升】1.【解析】（1）類比例題我們可以得到，所以，由換元法得：（2）.利用錯位相減法可得.2.【答案】【解析】因此.第四章和式放縮，奇彩異放二、數(shù)列和式之裂項放縮例5【拓展提升】【解析】所以.例9【變式訓練】1.【解析】2.【解析】例18【拓展提升】則，所以就有2.【解析】由于，因此，于是對任意的正整數(shù)，有：，即.3.【解析】（1）由于.于是，原命題得證.（2）裂項放縮：由于于是，原命題得證.等比放縮：注意到當時，有，于是有原式原命題得證.三、數(shù)列和式之放縮裂項例3【變式訓練】【解析】因為，所以由.(只將其中一個變成，進行部分放縮），得$，于是.例9【拓展提升】【解析】（1）由，得由于是正項數(shù)列，所以.當時，所以又，則，所以綜上，數(shù)列的通項，.（2）由于，則當時，有.所以，當時，又時，所以，對于任意的，都有.四、數(shù)列和式之單調(diào)放縮例2【變式訓練】【答案】2009.【解析】設(shè)，顯然單調(diào)遞減，則由的最大值，可得.例3.【變式訓練】【解析】（1）設(shè)則所以單調(diào)遞增，即是遞增數(shù)列.（2）由，得，整理得，，累加得要證原不等式成立，只需證：時，顯然成立：時，左邊所以原不等式成立.例3【拓展提升】【解析】（1）因為對任意的，點均在函數(shù)（且均為常數(shù)）的圖象上，所以得.當時，；當時，又因為為等比數(shù)列，所以，公比為，.（2）當時，，則，所以.下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立.①當時，左邊，右邊，因為，所以不等式成立；②假設(shè)當時不等式成立，即成立.則當時，左邊所以當時，不等式也成立由①②可得原不等式成立.另解：設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，由可得原不等式成立.五、不求通項之裂項放縮例1【變式訓練】由，得，則由，知，.累加得.綜上知成立.例5【變式訓練】【解析】由，得，則所以又所以.得則即，則所以，所以.綜上知待證不等式成立.例6【變式訓練】【解析】由題意知，則.所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，所以代入得所以，從而有例11【變式訓練】1.【解析】（1）當時，，得，當時，，所以，又，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，即當時，，，所以，所以顯然時也成立，故.（2）由題意知，對，只需要恒成立.記，當時，.當時數(shù)列遞增；當時數(shù)列遞減.易知或2時有是小項.綜上得.2.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以，由，得：，從而公比，所以.（2）由（1）知，所以又，所以對任意，等價于.因為在時單調(diào)遞增，所以所以，即.即的取值范圍為.九、數(shù)列和式之函數(shù)放縮例2【變式訓練】【解析】（1）由得，所以.（2）令，由得累加即得，即（3），即證明.證法1：用數(shù)學歸納法證明.當時，顯然成立；假設(shè)當時，則當時，下面證明即證明即證明，顯然成立，綜上可知原不等式成立.證法2：，即證明:，即證明，即證明，顯然成立.累加得即成立，所以原不等式成立.十三、數(shù)列和式之放縮等比例1【變式訓練】【提示】.例7【變式訓練】【解析】（前兩項不放縮）例8【拓展提升】【解析】用數(shù)學歸納法證明.當時顯然成立；假設(shè)當時成立，即，則當時，.成立.故成立.利用上述部分放縮的結(jié)論即用來放縮通項，可得則，所以，所以.【評注】證明時用到部分放縮，當然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮；證明不等式就直接使用了部分放縮的結(jié)論第五章通項放縮，配湊調(diào)整四、取倒裂項，累加消項例2【拓展提升】1.【解析】注意到，為了保證奇數(shù)列中最大，令，則數(shù)列的遞推公式為，可以用兩個思路研究思路1：利用迭代函數(shù)法研究數(shù)列的單調(diào)性變化考慮函數(shù)，圖象如下:因為，且，即，結(jié)合圖象知，即，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱知只需，則為數(shù)列的奇數(shù)項中的最大項，所以.思路2：直接利用不動點法求出通項