2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)與平面向量121~130-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

（十七）余弦定理，多重使用【例72】在中，已知點(diǎn)在上,則的長為．的長為．【答案】【解析】先余用弦定理求的長．所以．又，所以．（十八）面積函數(shù)，兩弦相輔【例73】如圖，在中，已知內(nèi)角邊設(shè)內(nèi)角的面積為．（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值．【解析】（1)在中,且得.因?yàn)?所以,則,所以.(2)由(1)知,當(dāng)即時(shí)，取得最大值.【變式訓(xùn)練】如圖，已知在中，記.(1)求的解析式;(2)求的值域.【例74】如圖，在中，已知.設(shè)內(nèi)角的大小為，的面積為．（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值．【解析】(1)由得,則得,從而即.(2)解法1：由（1）得,得,所以.從而知的最大值為4．解法2：由，得，點(diǎn)的軌跡是圓，故的最大值在最高點(diǎn)處取到，如圖，從而知的最大值為4．【例75】如圖，在中，已知.設(shè)內(nèi)角的大小為，的面積為．（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值．【解析】（1），由得得,所以，得，從而所以(2)解法1：由(1)得,即,也即平方得,整理得所以化簡得從而知的最大值為4．解法2：柯西不等式法經(jīng)驗(yàn)證等號(hào)能取到.所以的最大值為4．【例76】如圖，在中，已知.設(shè)內(nèi)角的大小為，的面積為．（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值．【解析】（1）得則.由得,即,得,從而有,所以.（2）經(jīng)驗(yàn)證等亞能取到.所以的最大值為4．【例77】如圖，平面上有四點(diǎn)其中為定點(diǎn),為動(dòng)點(diǎn),滿足設(shè)與的而積分別為.（1），求角的值;（2）求的最大值.【解析】（1）因?yàn)?所以，得.（2）如圖,設(shè)，由余弦定理和柯西不等式得：由且，得，所以，從而,故所求最大值為.【例78】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知上的中線長為4，則面積的最大值為．【答案】【解析】如圖，取極端情況，即為正三角形．作上的中線交中線于點(diǎn)．易知$所以（十九）見切化弦，一用向量【例79】如圖，已知是的重心，且則實(shí)數(shù)的值為（）.A． B． C．3 D．2【答案】B【解析】由得,由得即，展開得即即,從而有整理得,所以故選.（二十）三線長度，統(tǒng)一模式【例80】中線長問題如圖,已知在中是的中點(diǎn),中線求的解析式．【解析】將延長至點(diǎn)使連結(jié)如圖．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)滿足對(duì)角線互相平分，所以四邊形是平行四邊形，故,則在中，由余弦定理得①，在中，由余弦定理得:②,①+②得即③．③式表明，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于其四條邊的平方和．由③式得即,這就是三角形的中線長定理．【評(píng)注】（1）作輔助線的方法:三角形中有中線,延長中線等中線.（2）平行四邊形判定法則為“三對(duì)一組平分線".三對(duì):兩組對(duì)邊分別平行;兩組對(duì)邊分別相等;兩組對(duì)角分別相等.一組:一組對(duì)邊平行且相等.平分線:對(duì)角線互相平分.滿足上述五個(gè)條件之一的四邊形即為平行四邊形.【例81】角平分線長問題如圖,已知在中是的平分線,求的解析式．【解析】先作輔助線確定方法有兩種.（?。┳鞔咕€.如圖，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足為則,于是①，又②，由①②兩式得③，③式就是三角形的角平分線定理.（ⅱ）作平行線.如圖,過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則于是則，從而同樣得到③式.在中，由余弦定理得:④.在中，由余弦定理得:⑤.由④+⑤和得:，即，該式即為斯特瓦爾特定理.易得⑥，止③式得即,即代入⑥式后化簡得⑦.⑦式是角平分線定理的一個(gè)推論,或者說是角平分線定理的另一種形式,即斯庫頓定理.于是有:故,這就是角平分線長的公式.【例82】高線長問題如圖，已知在中是上的高求的解析式.【解析】首先推導(dǎo)海倫公式.由余弦定理得,平方得,即.則于是①式中,為三角形的半周長.將①式開平方并代入得:②，這就是計(jì)算三角形面積的海倫公式.在本題中，由三角形面積公式得,將②式代入得.【例83】三線統(tǒng)一問題如圖，已知在中是邊上的點(diǎn),設(shè)求的解析式.【解析】由斯特瓦爾特定理得:故從而.這是前面3首例題的一個(gè)統(tǒng)一解.當(dāng)時(shí)就是的長;當(dāng)時(shí)就是中線長;當(dāng)時(shí)就是的長;當(dāng)時(shí),就是角平分線長;當(dāng)時(shí)其中,就是高線長.（二十一）范圍探求，極端原理【例84】在銳角中,已知?jiǎng)t的取值范圍為.【答案】【解析】可利用極端原理求解.在銳角中,作出兩個(gè)極端位置，如圖，易知.【例85】已知在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為則的取值范圍是.【答案】【解析】解法1：如圖1,當(dāng)角趨向于時(shí)的長趨向于，即的長趨向于1；如圖2,當(dāng)角趨向于時(shí)趨向于等腰直角三角形的長起向于.綜上知.解法2：由得從而,由得,則.（二十二）最大內(nèi)角，找準(zhǔn)邊長【例86】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且則最大內(nèi)角的度數(shù)是多少?【解析】將已知式兩邊分別相加、相減得，，因?yàn)樗裕驗(yàn)?，所以從而為最大?為最大角，所以,所以.【評(píng)注】各把其中兩邊分別表示為第三邊的函數(shù).第五章三角函數(shù)，生活應(yīng)用一、唯美扇形【例1】如圖,已知扇形的周長為,當(dāng)扇形的圓心角為多大時(shí),它的面積達(dá)到最大值?【解析】由題意知,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)達(dá)最大值此時(shí)【變式訓(xùn)練】已知扇形的面積為當(dāng)