2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)與平面向量211-220-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

其中顯然不共線，由平面向量基本定理，可設(shè),則有因?yàn)?所以即若是的內(nèi)心,則故或必要性得證.還可進(jìn)一步得到以下結(jié)論.若是的重心，則故若是的外心，則故若是非直角三角形)的垂心，則故【證明】如圖四點(diǎn)共圓).同理，有:因此只需證先證四點(diǎn)共圓和為的補(bǔ)角；四點(diǎn)共圓和為的補(bǔ)角),所以待證式成立.同理可證連等式成立,原命題得證.【評注】該證明可謂一箭四雕.需要提醒的是,這里只探求了三角形內(nèi)心向量形式的必要條件,充分性并未證明.3.外心在銳角三角形中,是外心,則有:從而又故4.垂心當(dāng)垂心在內(nèi)部時(shí)，有以下結(jié)論.(1)是的垂心.[證明]由得故同理,故是的垂心.(2)是的垂心.[證明]因?yàn)榇剐腍在內(nèi)部,四點(diǎn)共圓,如圖所以所以同理所以(3)是的垂心.[證明]即同理可證故是的垂心.四、”四心”軌跡的向量特征形式在中是不同于三角形頂點(diǎn)的一點(diǎn),內(nèi)角所對的邊分別為(1)則點(diǎn)的軌跡過內(nèi)心.(2)若則點(diǎn)的軌跡過垂心.(3)若則點(diǎn)的軌跡過重心(4)若則點(diǎn)的軌跡過外心.(5)設(shè)為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),為的內(nèi)心,則內(nèi)心的坐標(biāo)為五、”四心”軌跡向量形式的證明在中,是不同于三角形頂點(diǎn)的一點(diǎn).(1)若則點(diǎn)的軌跡過內(nèi)心.[證明]因?yàn)樗砸韵侣?(2)若則點(diǎn)的軌跡過垂心. [證明]從而以下略.(3)若則點(diǎn)的軌跡過重心.[證明]其中為外接圓的半徑.以下略.(4)若則點(diǎn)的軌跡過外心.[證明]如圖,設(shè)為外心,則,設(shè)則所以三點(diǎn)共線.以下略.注：為定值（5）設(shè)為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),為的內(nèi)心則內(nèi)心的坐標(biāo)為[證明]是的內(nèi)心其中是的三邊，詳見內(nèi)心的充要條件的證明.。則六、三角形重心的坐標(biāo)形式及推廣設(shè)為內(nèi)一點(diǎn),則為的重心為任意點(diǎn))特別地：為的重心.推廣：為邊形的重心.直角坐標(biāo)形式下的三角形重心公式:若點(diǎn)與原點(diǎn)重合,則重心坐標(biāo)為舉例如下.若的三邊中點(diǎn)分別為則的重心的坐標(biāo)為。該題答案為七、三角形歐拉線的由來及證明三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一條直線上,這條直線稱為三角形的歐拉線.【例1】在中,已知分別是三角形的外心、重心、垂心,求證：三點(diǎn)共線且[解析]證法1:平面幾何法I如圖,分別是的垂心、重心、外心，連結(jié)作的外接圓，直徑為BOD，再連結(jié)DC,則(1)(2).因?yàn)闉榈拇剐?所以(3)(4.)由(1)(3)可知,由(2)(4)可知,故四邊形為平行四邊形,所以因?yàn)榕c分別是的中點(diǎn),所以即作邊上的中線連結(jié)設(shè)交于點(diǎn)因?yàn)樗砸虼思吹闹匦?故的垂心、重心和外心三點(diǎn)共線,直線即是歐拉線?！驹u注】也可將垂心，外心作為已知條件,證明中線與的交點(diǎn)為重心.證法2:平面幾何法=2\*ROMANII設(shè)分別為的垂心、重心、外心，如圖，連結(jié)并廷長交于點(diǎn),則可知為的中點(diǎn).連結(jié)OD，又因?yàn)闉橥庑?所以連結(jié)并延長交于點(diǎn)因?yàn)闉榇剐?，所以所?有由于為重心,則連結(jié)并延長交于點(diǎn)則可知為的中點(diǎn).同理得所以有.連結(jié)有且有.因?yàn)樗杂窒鄿p可得所以有所以.又所以又所以所以即三點(diǎn)共線.證法3:向量法設(shè)分別為的垂心、重心、外心.(1)先證明:若為外心,為垂心,則如圖，作直徑連結(jié)有故故是平行四邊形，從而故(2)再證明:若為外心為重心,則.因?yàn)槭堑闹匦?，所以即由此可得反之亦?證明討程略.所以所以三點(diǎn)共線.證法4:向量坐標(biāo)法以為原點(diǎn),所在的直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)分別為的中點(diǎn),則有:易知可設(shè)則所以因?yàn)?，所以?所以,故O,G,H三點(diǎn)共線,且.證法5:向量點(diǎn)乘法如圖，O為外心，G為重心，H為垂心。因?yàn)?所以又因?yàn)樗設(shè).G.H三點(diǎn)共線,且【評注】本例用平面幾何知識、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理都比較麻煩,而借用向量的坐標(biāo)形式，可將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算,這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起,從而很多對稱、共線、共點(diǎn)、垂直等問題的證明,都可轉(zhuǎn)化為熟悉的代數(shù)運(yùn)算.而證法5更是巧妙地利用了向量點(diǎn)乘,使運(yùn)算更加簡捷.八、與“四心"相關(guān)的高考真題【例2】已知是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的().A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【答案】B【解析】如圖，設(shè),兩者都是單位向量，易知四邊形AETF是菱形,故選【例3】已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn),如果,則必為的(.A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【答案】B【解析】,故選D.【例4】已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則是的().A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】由條件可推出,下同例3,故選D.【例5】設(shè)是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的(.A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】,由，故選D.【例6】已知外接圓的圓心為,兩條邊上的高的交點(diǎn)為,則實(shí)數(shù)【解析】如圖,作直徑BD,連結(jié)DA,DC,有,故,所以四邊形AHCD是平行四邊形,進(jìn)而又【評注】外心的向量表示可以完善為：在中,若為外心,為垂心,則,其逆命題也成立.【例7】已知向量滿足條件證:是正三角形.【解析】將兩邊平方得,同理,所以,從而是正三角形.反之,若點(diǎn)是正的中心,則顯然有且事實(shí)上,是所在平面內(nèi)一點(diǎn)且是正的中心.【例8】已知A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),是的重心,動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)一定為的.A.、AB邊上的中線的中點(diǎn)B.、AB邊上的中線的三等分點(diǎn)（非重心）C、AB邊的中點(diǎn)D、重心【答案】B【解析】取AB的中點(diǎn),則可得進(jìn)而得,即點(diǎn)為AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn),且點(diǎn)不過重心.故選B.【例9】若非零向量與滿足且,則為（）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形等邊三角形【答案】D【解析】非零向量與滿足,即的平分線垂直于BC,所以,,即,所以為等邊三角形.故選D.【例10】如圖,已知是的重心,過點(diǎn)作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),且月下,則?！敬鸢浮?【解析】由是的重心,知,得從而有.又M,N,G三點(diǎn)共線（點(diǎn)A不在直線MN上），于是存在,使得,且,則有，得，于是得?！纠?1】已知A,B,C是坐標(biāo)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足OP,求證:點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心.【解析】即設(shè),則,即因?yàn)榻?jīng)過的中點(diǎn),C,P,D三點(diǎn)共線,所以點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心.【例12】如圖,已知為的外心,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若,?！敬鸢浮?【解析】,從而為外接圓的半徑)?！纠?3】設(shè)是的外心,,則?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)，如圖，則【例14】設(shè)O,H分別為的外心和垂心,則?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)闉锽C的中點(diǎn)),又,所以因?yàn)闉锳C的中點(diǎn))，所以進(jìn)而易得【例15】設(shè)是的外心,且滿足,則的值是.A.B.C.【答案】A【解析】由題意知,移項(xiàng)并兩邊平方得,得注意到,得,于是故選.【評注】在中,已知,則當(dāng)n,m,p同號時(shí),為銳角三角形,,如圖1;否則為鈍角三角形,如圖2.【例16】已知是線段AB外一點(diǎn),.（1)