平行線的判定、性質(zhì)復習教案 人教版(教案)

平行線的判定、性質(zhì)

第課時

由平行線的畫法，引出平行線的判定公理(同位角相等，兩直線平行).由公理推出：

內(nèi)錯角相等，兩直線平行.同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行，這兩個定理.

本節(jié)的重點是：平行線的判定公理及兩個判定定理.一般的定義與第一個判定定理是等

價的.都可以做判定的方法.但平行線的定義不好用來判定兩直線相交還是不相交.這樣，

有必要借助兩條直線被第三條直線截成的角來判定.因此，這一個判定公理和兩個判定定理

就顯得尤為重要了.它們是判斷兩直線平行的依據(jù)，也為下一節(jié)，學習平行線的性質(zhì)打下了

基礎.

本節(jié)內(nèi)容的難點是：理解由判定公理推出判定定理的證明過程.學生剛剛接觸用演繹推

理方法證明幾何定理或圖形的性質(zhì)，對幾何證明的意義還不太理解.有些同學甚至認為從直

觀圖形即可辨認出的性質(zhì)，沒必要再進行證明.這些都使幾何的入門教學困難重重.因此，

教學中既要有直觀的演示和操作，也要有嚴格推理證明的板書示范.創(chuàng)設情境，不斷滲透，

使學生初步理解證明的步驟和基本方法，能根據(jù)所學知識在括號內(nèi)填上恰當?shù)墓砘蚨ɡ?

平行線的性質(zhì)，是學生在已學習相交線、平行線的定義，平行線的判定基礎上來學習的,

同時它是后面研究平行四邊形的性質(zhì)重要理論依據(jù)，在教材中起著承上啟下的作用。能用平

行線的性質(zhì)進行簡單的推理和計算。理解平行線的判定方法和性質(zhì)區(qū)別。

點擊一：平行線的概念

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線

注意：()平行線特指在同一平面內(nèi)的具有特殊位置關系的額兩條直線，特殊在這兩條直線沒

有交點()今后遇到線段、射線平行時，特指線段、射線所在直線平行

點擊二：兩條直線的位置關系

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只有兩種：相交；平行

點擊三：平行線的基本性質(zhì)：

平行公理：經(jīng)過已知直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

點擊四：平行線的判定方法

同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

另外，平行于同一直線的兩條直線互相平行.垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

針對練習：

.在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關系可能是（）

.平行或相交.垂直或相交；.垂直或平行.平行、垂直或相交

.下列說法正確的是（）

.經(jīng)過一點有一條直線與已知直線平行

.經(jīng)過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行

.經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線平行

.經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

.在同一平面內(nèi)有三條直線，若其中有兩條且只有兩條直線平行，則它們交點的個數(shù)為（）

個個個個

.下列說法正確的有（）

①不相交的兩條直線是平行線;②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系有兩種；

③若線段與沒有交點,則〃;④若〃〃，則與不相交.

個個個個

.過一點畫已知直線的平行線，則（）

.有且只有一條.有兩條；.不存在.不存在或只有一條

.在同一平面內(nèi)叫做平行線.

.若〃〃，則〃，理由是.

.在同一平面內(nèi)，若兩條直線相交，則公共點的個數(shù)是;?若兩條直線平行，則公共點的個數(shù)是.

.同一平面內(nèi)的三條直線，其交點的個數(shù)可能為.

.直線同側有三點，若過的直線和過的直線都與平行，則，?三點,理論根據(jù)是.

.如圖所示，已知//平分N,試說明〃.

.如圖所示，已知直線和分別相交于，且°,試說明〃.

答案：

.不相交的兩條直線平行于同一條直線的兩條直線平行個個個或個或個或個.在

一條直線上過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.解:?.?平分/,

AZZ,

又

.-.ZZ,

解

.?.NN。/,

點擊五：平行線的性質(zhì)：

兩直線平行，同位角相等.兩直線平行，內(nèi)錯角相等.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線.

點擊六：平行線的距離

同時垂直于兩條平行線并且夾在兩條平行線間的線段的長度叫做平行線的距離。

注意：夾在兩條平行線間的線段必須是和這兩條平行線垂直，否則不叫兩條平行線的距離

針對練習：

.如圖1,已知直線、相交于點，平分N,N。,則/的度數(shù)等于().

0°0°0°0°

.如果兩條平行直線被第三條直線所截得的個角中有一個角的度數(shù)已知，則().

()只能求出其余個角的度數(shù)()只能求出其余個角的度數(shù)

()只能求出其余個角的度數(shù)()只能求出其余個角的度數(shù)

.一學員在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的

角度可能是()

()第一次向左拐，第二次向右拐

()第一次向右拐，第二次向左拐

()第一次向右拐，第二次向右拐

()第一次向左拐，第二次向左拐__________

.如圖〃,N,N,則N()J

()()()()--------

.如圖，已知〃，直線/分別交、于點、，平分N,若N。,則/的度數(shù)是().

()°()°()°()°

T1

**?*■*-----0/

C

7F~~GD-'2iB

.一個合格的彎形管道，經(jīng)兩次拐彎后保持平行(即〃)，如果/。,那么N的度數(shù)是.

.如圖，直線。被直線/所截，a//h,如果/。，那么/度.

c

—b

.如圖，直線〃，直線C與。，力相交，若N。，則N.

.如圖所示，直線〃，則N度.

.小明到工廠去進行社會實踐活動時，發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖所示的零件，工人師傅告

訴他：〃，N。，N。,小明馬上運用已學過的數(shù)學知識得出了/的度數(shù)，聰明的你一定知

道乙

.如圖，直線匕均與c相交，形成N,N,…,/共個角，請?zhí)钌夏阏J為適當?shù)囊粋€條件:，

使得?！ㄉ?/p>

答案：

O..O..O

類型之一：平行線的判定

例：如圖，由/=/,可以判斷

解析：從圖形可以先猜想出可能是〃，也可能是〃，但是我們發(fā)現(xiàn)和與題目的已知條件無

關，這是一種對圖形的認識，那么怎么才能構造出我們判斷平行的條件呢？這就需要對/、

N進行等量代換.顯然/=/=/,所以〃故選

點評：在練習中看圖、識圖是一種能力，會大大提高解題的速度.當然，這道題目還有

別的證明方法，三個判定定理都可以證出此題.

例、完成下面的推理，并在括號中寫出相應的根據(jù)如下圖所示

?.?/=/(已知)

；?〃()

又；/=/(已知)

；.〃()

???〃0

解析：圖中N和/沒有直接給出，所以應自己畫出輔助線，如下圖此時就可以看一看/和

/是什么關系的角，不難看出它們是一對內(nèi)錯角.

解：內(nèi)錯角相等，兩直線平行

同位角相等，兩直線平行

如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

點評：在幾何中經(jīng)常要添加輔助線來幫助解題，本題中的輔助線是比較簡單的.

例、如圖，若/=/,N與/互補，試說明〃〃.

解析：要說明〃〃.由判定公理可知，必須存在相關的角的關系.因此有/=/,N與

/互補，從圖形中不難發(fā)現(xiàn).同位角和內(nèi)錯角之間的聯(lián)系，因此只需確定它們的相等關系即

可.

方法一：?.?是一條直線

，/與N互補

.?.N+N=°

與N互補（已知）

.*.z+z=°

???〃（同位角相等，兩直線平行）

又

...〃（同位角相等，兩直線平行）

二〃〃（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

方法二：???與相交

；./=/（對頂角相等）

；./=/（已知）

.*.Z=Z

與N互補（已知）且/與N互補（令B補角）

；./+/=/+/

.*.Z=Z

.*.Z=Z

???〃（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

又：/=/（已知）

〃（同位角相等，兩直線平行）

二〃〃（平行公理推論）

點評：一題多解是提高幾何能力的一種重要手段，要嘗試使用多種方法解題，遷移到生

活中呢？就是要多角度地去觀察、分析、解決問題.

例、如圖所示，直線、、、相交于點、、、，Z=Z,Z+Z=°.試判定：

（）〃；（）〃

解析：根據(jù)已知條件和圖形，要判定兩直線平行，必須從角的關系（相等或互補）來考慮應

用哪一種判定方法.

解：（）???/+/=。（鄰補角）

/+/=。（已知）

.??/=/（等量代換）

...〃（同位角相等，兩直線平行）

（）???/=/（對頂角相等）

/=/（已知）

??./=/（等量代換）

...〃（同位角相等，兩直線平行）

類型之二：平行線的性質(zhì)

例：已知：如圖，〃，N。，則/的度數(shù)是（）

圖

解析：本題主要考查平行線特征的應用，觀察圖形可知/的同位角與/是對頂角，所以

zz.

解：選.

【點評】本題是一道比較簡單的試題，解決問題的關鍵是根據(jù)平行線的特征以及對頂角的性

質(zhì)，找出N和2的關系.

例：如圖，，直線平分N,N。，則N.

解析:根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，得NN。,所以N。。。.

根據(jù)直線平分N,得N。，再根據(jù)，可得NN。.

解:填。.

【點評】本題主要是兩直線平行同旁內(nèi)角相等，以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等性質(zhì)的應

用.

例：如圖，，若/。，Z°,則有/度.

解析:要求/的度數(shù)，可過點作，根據(jù)，可得，這樣可借助平行線的性質(zhì)找到/與/和/

之間的關系.從而求出/的度數(shù).

解:作，因為，所以，

所以NN。，ZZ,所以NNN。。。.

【點評】當所求的角和兩已知平行線沒有直接關系時，可通過添加平行線，借助平行線

的性質(zhì)解決.

例:已知:如圖，，/。，則N/的度數(shù)是（）

ooo

圖

解析：要求NN的度數(shù)，因為已知N。，為了得到//與的關系，可過點作的平行線.

解：過點作，因為，所以，

所以NN。，ZZ°,

所以NNN。，

所以/。，所以/。。。，

所以NN。。。.

選.

【點評】當圖形中有兩條平行線，且涉及到兩直線外的角的計算問題時.，往往需要作構

造平行線.

例：已知：如圖，直線〃，直線分別交，于點，，/的平分線與N的平分線相交于點.

說明：Z0.

圖

解析:根據(jù)〃，可得到N/。，根據(jù)、分別是N和/的平分線，可得N/。，進而/。.

解：因為〃，所以NN。.

又因為/的平分線與N的平分線相交于點，

所以N’N,Z-S-Z.

22

所以N/工(ZZ)°.

2

因為//N。，所以/J

【點評】本題在求解過程中，用到三角形的內(nèi)角和等于。這一性質(zhì).

類型之三：平行線的判定與性質(zhì)再實際生活中的應用

一、在合理用料中的應用

例：如圖，一塊不規(guī)則的木料，只有一邊成直線，木工師傅為了在此木料

上截出有一組對邊平行的一塊木板，用角尺在處畫了一條直線，然后又在

處用角尺畫了一條直線，畫完后用鋸沿，鋸開就截出了一塊有一組對邊平

行的木料，你認為這樣做有道理嗎？并說明你的理由。

【解析】這樣做有道理。根據(jù)角尺結構的特點可知，Z=Z=°,即N+圖

/=。，所以〃（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）。所以木工師傅這樣做是有

道理的。

二、在“拐彎”中的應用

例：一位學員在廣場上練習汽車駕馭，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次

拐彎的角度可能是。

.先向左拐。，再向右拐。.先向右拐。，再向左拐。

.先向右拐°,再向左拐。.先向左拐°,再向左拐。

【解析】如圖，由題意：汽車兩次拐彎后行駛方向相同，說明不但要求〃，Cc

而且方向朝同一方向，怎樣才能使〃呢？則應滿足平行的條件（同位角相等；AD

內(nèi)錯角相等；或同旁內(nèi)角互補）。因此可先將四個選項的圖形準確地畫出來，B圖

再觀察判斷。故選（）.

三、物理光學上的應用

例：如圖所示，潛望鏡中的兩個鏡子是平行放置的，光線經(jīng)過鏡子反射時，入射角等于反射

角（它們的余角有/=/,Z=Z）,請解釋為什么進入潛望鏡的光和

離開潛望鏡的光線是平行的？

【解析】因為鏡子是平行的，所以可以把它們看成是兩條平行線，根

據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以/=/,又因為/=/,/=/,

所以/=/=/=/,所以。一（/+/）=。一（/+/）,即/=/.根

據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，所以進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的。

點評：本題從平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等“出發(fā)，得出了

平行線，再利用平行線的條件“內(nèi)錯角相等，兩直線平行''判別兩直線平行。

四、解決與方向角有關的問題

例：如圖，在甲、乙兩地之間要修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走

向是北偏東。，如果甲、乙兩地同時開工，若干天后公路準確接通，乙地

所修公路的走向是什么？

【解析】因為正北方向的兩條直線是平行的，即〃，所以/=/（兩直線

平行，內(nèi)錯角相等）。又/=。，所以N=。，所以乙地開工的公路走向應

為南偏西。。

【點評】正確理解方向角的，利用平行線的性質(zhì)是解此題的關鍵。

基礎練習:

.直線a、b、c中，若a工b,b〃c,則a、c的位置關系是.

.如圖所示，點、、分別在、、上，若NN,則〃，若則〃.

.如圖所示，若則〃；若N2=,則〃"：理由是.

.如圖所示，若NN,則與的位置關系為.

.如圖，若。〃6,則Nl+N2=.

.如圖，Z1=Z2,則N3N4（填>,<,=）.

.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的度數(shù)之比是2:7,那么這兩個角的度數(shù)分別是.

.如圖，直線則NA+N3+NC=.

.如圖，AB〃CE>,直線EG交A8CD于E,G,EF平分/BEG,Zl=55,則N2=.

.在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關系可能是（）

（A）相交或垂直（）垂直或平行（）平行或相交（）不確定

如圖所示，下列條件中，能判斷直線的是（）

ozzozz

oz+z°（）ZZ

.如圖所示，下列推理中正確的數(shù)目有（）

①因為NN,所以〃.

②因為所以〃.

③因為N+/。，所以〃.

④因為N+N+N。，所以〃.

（）個（）個（）個（）個

.如圖，直線c與直線a,b相交，且?！╞,

③N3=N2中正確的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

.如圖，已知0E是NAOB的平分線，CD//OB,ZACD=40，則NCDE的度數(shù)為（)

A.160B.150C.140D.130

.如圖，直線AB〃CEA,AC.LCB,則圖中與NC鉆互余的角有(）

A.1個B.2個C.3個D.4個

.如圖所示，已知_L,±,ZZ?試確定直線與的位置關系，并說明理由.

.如圖所示，當/與/,N滿足條件時，可以判斷〃.

()在“”上填上一個條件；

()試說明你填寫的條件的正確性.

.如圖，點nE,尸分別在ABBC,AC上，且EF//AB,

下面寫出了說明“NA+NB+NC=180”的過程，請?zhí)顚懫渲械目崭?

因為。石〃AC,AB//EF（已知），所以N1=NC,Z3=NB（）

因為43〃EE（己知），所以N2=N4（）

又因為DE〃AC（已知），所以NA=N4=N2.

因為Nl+N2+N3=180,所以NA+NB+/C=180.

.如圖，已知AB〃CD,ZA-ZAMN,說明MN〃CD.

答案：

.ale.//,//.//",/,同位角相等，兩直線平行.〃一180.=.40,

140.360.70....D.A.C.//,理由是：因為，，1,所以//。.又

因為NN,所以N—NN-N,即NN,所以〃.

.()ZZ+Z；()理由是：過點在/的內(nèi)部作一個角所以〃.又因為NN+/,

所以N/,所以〃，所以〃.

當堂檢測

一、選擇題:

.如圖所示，下列條件中，能判斷〃的是（）

,ZZ.ZZ;,ZZ.ZZ

（圖）（圖）

.如圖所示，如果NN,那么（）

////////

.如圖所示,能判斷〃的條件是（）

.ZZ.ZZ.ZZ.ZZ

.下列說法錯誤的是（）

.同位角不一定相等.內(nèi)錯角都相等

.同旁內(nèi)角可能相等.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

.不相鄰的兩個直角，如果它們有一邊在同一直線上，那么另一邊相互（）

.平行.垂直.平行或垂直.平行或垂直或相交

.如圖所示〃，則與/相等的角（N除外）共有（）

個個個個

（圖）（圖）（圖）

.如圖所示，已知〃是/的平分線?那么/等于（）

OOOO

.下列說法:①兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補;②同位角相等，兩直線平行;?③內(nèi)錯角相等，兩直線平

行;④垂直于同一直線的兩直線平行，其中是平行線的性質(zhì)的是（）

.①.②和③.④.①和④

.若兩條平行線被第三條直線所截，則一組同位角的平分線互相（）

.垂直.平行.重合.相交

.如圖所示〃平分則/為（

OOOO

.如圖所示〃，則////等于（）

OOOO

4-----------BD

CE3A

CDAGBBI)C

.如圖所示〃〃〃，則圖中與N相等的角（/除外）共有（),

個個個個

二、填空題:

.在同一平面內(nèi)，直線相交于，若〃，則與的位置關系是.

.在同一平面內(nèi)，若直線滿足_LL則與的位置關系是.

.如圖所示是的延長線，量得NNN.

（）由//可以判斷〃，根據(jù)是.

（）由/N可以判斷〃，根據(jù)是.

.如圖所示，如果〃，那么N°,或N°,根據(jù)是;如果NN,那么〃.根據(jù)是.

.如圖所示，一條公路兩次拐彎后和原來的方向相同，即拐彎前、后的兩條路平行,若第一次拐角

是。，則第二次拐角為.

（圖）（圖）（圖）

.如圖所示〃,N。,/:/,則/,/?.

三、訓練平臺：

.如圖所示，已知NN平分/，試說明〃.

.如圖所示，已知直線和分別相交于，且試說明〃.

.如圖所示〃,N。,/。,求/的度數(shù).

.如圖所示，己知〃,N。,/。,求N的度數(shù).

AB

.如圖所示,N。,/。,N。,求/的度數(shù).

四、提高訓練：

.如圖所示，己知直線，且則與平行嗎??為什么?

.如圖所示，把一張長方形紙片沿折疊，若N。,求/的度數(shù).

五、探索發(fā)現(xiàn)：

.如圖所示,請寫出能夠得到直線〃的所有直接條件.

\2

AB

c——

.如圖所示，已知〃，分別探索下列四個圖形中/與N,/的關系,，，請你從所得的四個關系中任

選一個加以說明.

P<_B/A/B卜\--------B

CDCDc2-------DP

0000

六、中考題與競賽題：

.如圖所示，直線被直線所截，現(xiàn)給出下列四個條件:?C

\_________a

①NN;②NN;③NN。;④NN.

其中能說明〃的條件序號為（）

________X5

.①②.①③.①④.③④---------b

.如圖所示，已知〃，直線分別交于平分/,

若N°,則乙

A----4^—BA-------

■—B

c/\D

-D

00

.如圖所示,已知直線被直線所截，若/N,?則

答案:

二、.相交.平等.()同位角相等，兩直線平行()?內(nèi)錯角相等，兩直線平行.NN兩直

線平行，同旁內(nèi)角互補內(nèi)錯角相等，兩直線平行°00

三、.解:?.?平分

AZZ,

又???//,

AZZ,

：.//.

.-.zz°z,

,Z°

,Z°.Z°

四、.解:平行.

vzz,

又

,Z°

五、

.zz,zz,zz,zz,zz,zz,zz°zz°

.OZ°ZZ,

()NN4

OZZZ,

()NNN(說明略).

六、.

備選題：

.如圖，〃，點在的延長線上，若N。，則/的度數(shù)為（）

解：因為〃（已知）

所以//（兩直線平等，內(nèi)錯角相等）

又N°（已知）

所以N。一。。（鄰補角定義）圖1

所以N°,故選。

.如圖，已知N/,Z°,求/的度數(shù)。

解：因為//（已知）

所以〃（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

所以N+N°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

又因/。（已知）

所以/。一/。一。?！?/p>

.如圖，已知〃，Z°,Z°,則/的度數(shù)為。

解：過點作〃。

因為〃（已知）

所以（兩直線平行，同位角相等）

又〃

所以（兩直線平行，同位角相等）

ZZ（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

又//一/°一°°

所以N°

.如圖，直線〃，則

解：此題同例相仿，“畫一線豁然開朗

過點作〃。

因為〃（已知）

所以〃（平行于同一條直線的兩條直線平行）

所以（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

所以//+/。+。?！?/p>

.如圖，已知，，直線過點，且/.你能根據(jù)提供的條件求出/的度數(shù)嗎？

方法：利用NNN,由于N是平角，只需求出N；

方法：根據(jù)本題的特殊性，如果延長會得到一對對頂角，求/就轉化為求N的問題了，而

/與N是對頂角，所以問題得以解決.

解：方法一：因為J_（已知），

所以N（垂直的定義）.

又因為N（已知），所以///.

又因為直線過點，N是平角，即N,

所以

解法：反向延長并在線上任取點，

所以NN（對頂角相等）.圖

又因為直線過點，N是平角，

即N（平角的定義），所以

所以NNZ.

.已知：如圖所示，±,ZZ.ZZ.試判斷與的關系，并說明理由.

解：因為NN（已知），

所以〃（同位角相等，兩直線平行）.

所以兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

因為NN（已知），所以NN.

所以〃（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

所以N/（兩直線平行，同位角相等）.直定義）.

點撥：說明兩直線垂直，應該找直角.

課時作業(yè):

.如圖，RtZ\A8C中，ZACB=9Q°,OE過點C且平行于AB,若AB

ABCE=35°,則NA的度數(shù)為（）

.35°.45°.55°.65°答案：CDCE

.如圖，△ABC中，ZB,NC的平分線相交于點。，過。作。七〃8C,若BD+EC=5,

則。E等于（），

A

■■■■D/O\E

答案//\

.如圖，己知〃，N。，平分N,則N的度數(shù)是（）“

答案：

.如圖，直線截二平行直線、，則下列式子中一定成立的是

.ZZ.ZZ

.ZZ.ZZ

答案：

.如圖所示，AB//CD,Z=°,Z=°,則NE4B的度數(shù)為（）

o0OO

答案：

.一條公路兩次轉彎后又回到原來的方向（即4B〃CD,如圖）.

如果第一次轉彎時的NB=140°,那么，NC應是（）

.140°.40°.100°.180°

答案：A

.如圖，〃，直線分別交、于、兩點，若N=。，則/等于（）

.。答案:

.如圖，A3〃CD,點E在CB的延長線上，若NABE=60,則ZECD的度

數(shù)為（）

.120.100.60.20

答案:

.如圖，AB//CD,若N。，則N的度數(shù)是()

答案：

.學習了平行線后，小敏想出了過己知直線外一點畫這條直線

的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的(如圖0?())：