第4章 專題2 利用垂線段解決最值問題【2025中考數(shù)學(xué)第1輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理練 】(含解析)

第四章三角形專題二利用垂線段解決最值問題模型一垂線段最短如圖，已知直線l外一定點(diǎn)A和直線l上一動(dòng)點(diǎn)B，求點(diǎn)A，B之間距離的最小值．通常過點(diǎn)A作直線l的垂線AB，利用垂線段最短解決問題，即連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．1．如圖，P是Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，BC＝3，AC＝4，則線段EF長的最小值為eq\f(12,5)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))2．如圖，在△ABC中，AB＝10，△ABC的面積是25，P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，以PA和PC為一組鄰邊作平行四邊形APCQ，則線段AQ長的最小值是5．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))3．如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，P是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，以DP，CP為鄰邊作?DPCQ，連接PQ，則線段PQ長的最小值為2eq\r(3)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))4．如圖，在菱形ABCD中，P為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在邊CB上，CB＝2，∠BCD＝120°，則CP＋PM長的最小值為eq\r(3).eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))模型二“胡不歸”問題問題：A為直線l上一定點(diǎn)，B為直線l外一定點(diǎn)，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最?。忸}步驟：第一步：作角(過點(diǎn)A作∠NAP，使sin∠NAP＝k)；第二步：作垂直(構(gòu)造直角三角形，在Rt△APE中將kAP轉(zhuǎn)化為PE)；第三步：化折為直(使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂線段最短”轉(zhuǎn)化為求BF的長).5．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝3，P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP＋eq\f(1,2)PB長的最小值是eq\f(7\r(3),2)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))6．如圖，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋eq\f(\r(3),2)PD長的最小值為3eq\r(3)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4eq\r(3)，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則DP＋eq\f(\r(2),2)BP長的最小值為2eq\r(2)＋2eq\r(6).第四章三角形(解析版）專題二利用垂線段解決最值問題模型一垂線段最短如圖，已知直線l外一定點(diǎn)A和直線l上一動(dòng)點(diǎn)B，求點(diǎn)A，B之間距離的最小值．通常過點(diǎn)A作直線l的垂線AB，利用垂線段最短解決問題，即連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．1．如圖，P是Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，BC＝3，AC＝4，則線段EF長的最小值為eq\f(12,5)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))2．如圖，在△ABC中，AB＝10，△ABC的面積是25，P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，以PA和PC為一組鄰邊作平行四邊形APCQ，則線段AQ長的最小值是5．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))3．如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，P是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，以DP，CP為鄰邊作?DPCQ，連接PQ，則線段PQ長的最小值為2eq\r(3)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))4．如圖，在菱形ABCD中，P為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在邊CB上，CB＝2，∠BCD＝120°，則CP＋PM長的最小值為eq\r(3).eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))模型二“胡不歸”問題問題：A為直線l上一定點(diǎn)，B為直線l外一定點(diǎn)，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最?。忸}步驟：第一步：作角(過點(diǎn)A作∠NAP，使sin∠NAP＝k)；第二步：作垂直(構(gòu)造直角三角形，在Rt△APE中將kAP轉(zhuǎn)化為PE)；第三步：化折為直(使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂線段最短”轉(zhuǎn)化為求BF的長).5．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝3，P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP＋eq\f(1,2)PB長的最小值是eq\f(7\r(3),2)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))6．如圖，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋eq\f(\r(3),2)PD長的最小值為3eq\r(3)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖