探秘二維材料：電子結(jié)構(gòu)解析與新物理效應(yīng)洞察

一、引言1.1研究背景與意義在材料科學(xué)和凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，二維材料的出現(xiàn)為科研工作者打開了一扇全新的大門。自2004年曼徹斯特大學(xué)Geim小組成功分離出單原子層的石墨烯以來，二維材料因其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)，迅速成為了研究的焦點(diǎn)，掀起了一場全球性的研究熱潮。二維材料，作為電子僅可在兩個(gè)維度的非納米尺度（1-100nm）上自由運(yùn)動(dòng)的材料，展現(xiàn)出了與傳統(tǒng)三維材料截然不同的特性。這些特性的根源在于其原子級別的厚度和獨(dú)特的晶體結(jié)構(gòu)，使得電子的運(yùn)動(dòng)、相互作用以及與外界的耦合方式都發(fā)生了顯著變化。從晶體結(jié)構(gòu)來看，二維材料家族豐富多樣。石墨烯是由碳原子按sp^2雜化軌道組成的二維納米材料，其結(jié)構(gòu)為簡單的平面六邊形，每個(gè)碳原子與周圍三個(gè)碳原子通過共價(jià)鍵相連，形成了穩(wěn)定的蜂窩狀晶格。這種結(jié)構(gòu)賦予了石墨烯諸多優(yōu)異的性能，如高載流子遷移率，其電子遷移率可達(dá)2\times10^5cm^2/(V\cdots)，這使得石墨烯在高速電子學(xué)領(lǐng)域具有巨大的應(yīng)用潛力；高導(dǎo)熱系數(shù)，能夠高效地傳導(dǎo)熱量，在熱管理領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用前景；高透光率，在可見光范圍內(nèi)的透光率高達(dá)97.7%，使其在透明導(dǎo)電電極等光電器件中具有獨(dú)特的優(yōu)勢。過渡金屬二硫族化合物（TMDs）的化學(xué)式為MX_2（M代表過渡金屬元素，如Ti、Nb、Ta、Mo、W等；X代表硫?qū)僭?，如S、Se、Te），其基本結(jié)構(gòu)單元為X-M-X三明治結(jié)構(gòu)，層內(nèi)的X-M通過強(qiáng)的共價(jià)鍵或離子鍵耦合，層間的X-X通過弱的范德瓦耳斯相互作用耦合。根據(jù)單胞中X-M-X三明治單元的數(shù)目及MX_6多面體配位方式的不同，可分為1T相（八面體配位，三方結(jié)構(gòu)）、1T′相（畸變八面體配位，單斜結(jié)構(gòu)）、Td相（畸變八面體配位，正交結(jié)構(gòu)）、2H相（三角棱鏡配位，六方結(jié)構(gòu)）和3R相（三角棱鏡配位，菱方結(jié)構(gòu)）等多種結(jié)構(gòu)。不同的結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了TMDs具有豐富的物理性質(zhì)，例如，單層二硫化鉬（MoS_2）具有直接帶隙，約為1.8eV，這使其在光電器件如光電探測器、發(fā)光二極管等方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值；而多層MoS_2則具有間接帶隙，其光學(xué)和電學(xué)性質(zhì)與單層時(shí)有所不同。黑磷具有類似于石墨烯的層狀結(jié)構(gòu)，但原子并不是都位于一個(gè)平面內(nèi)，而是呈現(xiàn)出高低起伏的近似六方晶體結(jié)構(gòu)，層與層之間靠范德華作用相互耦合。這種結(jié)構(gòu)使得黑磷具有明顯的各向異性，在不同方向上的電學(xué)、光學(xué)和熱學(xué)性質(zhì)存在差異。例如，黑磷在Armchair方向和Zigzag方向上的載流子遷移率不同，這為其在各向異性器件中的應(yīng)用提供了可能。同時(shí)，黑磷的能隙隨層數(shù)的變化而變化，從單層的約0.3eV到塊體的約0.1eV，這種可調(diào)節(jié)的能隙特性使其在半導(dǎo)體器件領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。六方氮化硼（h-BN）的結(jié)構(gòu)類似于層狀的石墨，因此又稱為“白石墨烯”，其晶體結(jié)構(gòu)為平面六邊形，由硼原子和氮原子交替排列組成。與石墨烯不同的是，h-BN具有較大的帶隙，約為5.2eV，是一種寬帶隙絕緣體。這種特性使得h-BN在高溫、高頻電子器件以及絕緣襯底等方面具有重要的應(yīng)用，例如，可作為石墨烯器件的絕緣襯底，以提高器件的性能和穩(wěn)定性。二維材料的這些獨(dú)特性質(zhì)，使其在眾多領(lǐng)域展現(xiàn)出了巨大的應(yīng)用潛力。在高速電子器件領(lǐng)域，基于二維材料的高載流子遷移率和原子級厚度等特性，有望實(shí)現(xiàn)更小尺寸、更高性能的晶體管，從而推動(dòng)集成電路的發(fā)展，延續(xù)摩爾定律。例如，石墨烯晶體管的理論截止頻率可達(dá)到太赫茲級別，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過傳統(tǒng)硅基晶體管，這為實(shí)現(xiàn)高速、低功耗的芯片提供了可能。在光電器件方面，二維材料的強(qiáng)的光-物質(zhì)相互作用和可調(diào)的光學(xué)性質(zhì)，使其在光電探測器、發(fā)光二極管、激光等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用前景。以過渡金屬二硫族化合物為例，其在可見光和近紅外光范圍內(nèi)具有良好的光吸收和發(fā)射特性，可用于制備高性能的光電探測器和發(fā)光二極管。在能源存儲領(lǐng)域，二維材料的大比表面積和獨(dú)特的電子結(jié)構(gòu)，使其在電池電極材料和超級電容器等方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。例如，石墨烯作為電池電極材料，能夠提高電池的充放電速率和循環(huán)壽命；二維過渡金屬氧化物等材料在超級電容器中表現(xiàn)出較高的比電容，有望實(shí)現(xiàn)高效的能量存儲和快速的充放電。二維材料還為基礎(chǔ)凝聚態(tài)物理研究提供了絕佳的平臺，許多新奇的物理效應(yīng)在二維材料中被發(fā)現(xiàn)和研究。量子霍爾效應(yīng)和量子反常霍爾效應(yīng)等現(xiàn)象在二維材料中得以被系統(tǒng)性觀測研究，這些效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)不僅深化了人們對量子力學(xué)的理解，也為未來量子器件的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。二維極限下聲子、電子、自旋、能谷等之間的相互作用也被深刻認(rèn)知，為探索新型量子材料和量子調(diào)控提供了新的思路。例如，在二維磁性材料中，發(fā)現(xiàn)了嚴(yán)格二維極限下的長程磁有序態(tài)的穩(wěn)定存在，證實(shí)了各向異性和長程相互作用在低維長程序的形成及穩(wěn)定過程中的作用，進(jìn)一步明確了Mermin-Wagner原理的適用條件。二維磁性材料結(jié)合了二維材料在器件小型化、集成化方面的優(yōu)勢，以及磁性材料在自旋探測和操控方面的優(yōu)勢，在高密度、低功耗自旋電子學(xué)發(fā)展中具有光明的前景。對二維材料電子結(jié)構(gòu)及新物理效應(yīng)的理論研究具有至關(guān)重要的意義。通過理論計(jì)算和模擬，可以深入理解二維材料的電子結(jié)構(gòu)與物理性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示其獨(dú)特性質(zhì)的物理根源。這不僅有助于解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，還能夠?yàn)閷?shí)驗(yàn)研究提供理論指導(dǎo)，加速新型二維材料的設(shè)計(jì)和開發(fā)。理論研究還可以預(yù)測二維材料在不同條件下可能出現(xiàn)的新物理效應(yīng)，為實(shí)驗(yàn)探索提供新的方向和目標(biāo)，推動(dòng)凝聚態(tài)物理和材料科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。1.2二維材料概述二維材料，作為材料科學(xué)領(lǐng)域的新興明星，其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和優(yōu)異的性能使其在眾多領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力。從定義上講，二維材料是指電子僅可在兩個(gè)維度的非納米尺度（1-100nm）上自由運(yùn)動(dòng)的材料，這種特殊的維度限制賦予了它們與傳統(tǒng)三維材料截然不同的物理性質(zhì)。二維材料的分類豐富多樣。按照化學(xué)成分來劃分，可分為碳基二維材料，如石墨烯，其由碳原子按sp^2雜化軌道組成，具有獨(dú)特的電學(xué)、力學(xué)和熱學(xué)性能；二維過渡金屬硫族化合物，如二硫化鉬（MoS_2）、二硒化鎢（WSe_2）等，化學(xué)式為MX_2（M代表過渡金屬元素，X代表硫族元素），展現(xiàn)出豐富的物理性質(zhì)；二維金屬有機(jī)框架材料，其由金屬離子與有機(jī)配體通過配位鍵連接而成，具有高比表面積和可調(diào)節(jié)的孔結(jié)構(gòu)，在氣體吸附、分離和催化等領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用價(jià)值。按照結(jié)構(gòu)特征，二維材料可分為單層二維材料，僅包含一個(gè)原子層厚度，原子間通過強(qiáng)共價(jià)鍵相互作用，如單層石墨烯、單層二硫化鉬等，展現(xiàn)出許多獨(dú)特的物理性質(zhì)，如石墨烯的高載流子遷移率和零帶隙特性，單層二硫化鉬的直接帶隙特性；少層二維材料則由幾個(gè)原子層堆疊而成，層間通過范德華力相互作用，其性質(zhì)介于單層和塊體材料之間，且隨著層數(shù)的變化，材料的電學(xué)、光學(xué)等性質(zhì)也會發(fā)生相應(yīng)的改變，如多層二硫化鉬的間接帶隙特性。按照物理性質(zhì)，二維材料又可分為導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體，這種分類方式與材料的電子結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，不同類型的二維材料在電子器件、光電器件等領(lǐng)域有著各自獨(dú)特的應(yīng)用。接下來詳細(xì)分析幾種典型二維材料的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。石墨烯，作為二維材料的代表，其結(jié)構(gòu)猶如由碳原子編織而成的蜂窩狀平面網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)碳原子通過sp^2雜化與周圍三個(gè)碳原子形成強(qiáng)共價(jià)鍵，鍵長約為0.142nm，這種獨(dú)特的結(jié)構(gòu)賦予了石墨烯極高的穩(wěn)定性和優(yōu)異的力學(xué)性能，使其能夠承受較大的拉伸應(yīng)力。從電子結(jié)構(gòu)角度來看，石墨烯的價(jià)帶和導(dǎo)帶在K點(diǎn)相交，形成零帶隙的線性色散關(guān)系，電子在其中表現(xiàn)出類似無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的行為，這使得石墨烯具有極高的載流子遷移率，室溫下可達(dá)2\times10^5cm^2/(V\cdots)，是電子學(xué)領(lǐng)域極具潛力的材料。黑磷的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出類似于褶皺的蜂窩狀，磷原子通過共價(jià)鍵相互連接形成層狀結(jié)構(gòu)，層間通過較弱的范德華力相互作用。與石墨烯不同的是，黑磷的原子平面并非完全平整，而是存在一定的起伏，這種起伏結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了黑磷具有明顯的各向異性。在電學(xué)性質(zhì)方面，黑磷在Armchair方向和Zigzag方向上的載流子遷移率存在顯著差異，這為其在各向異性電子器件中的應(yīng)用提供了可能。黑磷具有一定的固有能隙，且能隙大小隨層數(shù)的變化而變化，從單層的約0.3eV逐漸減小到塊體的約0.1eV，這種可調(diào)節(jié)的能隙特性使其在半導(dǎo)體器件領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值，可用于制備高性能的晶體管、光電探測器等。過渡金屬二硫族化合物（TMDs）的結(jié)構(gòu)則較為復(fù)雜，其基本結(jié)構(gòu)單元為X-M-X三明治結(jié)構(gòu)，其中M為過渡金屬原子，X為硫族原子。以二硫化鉬（MoS_2）為例，在單層MoS_2中，鉬原子位于中間層，兩側(cè)被硫原子包圍，層內(nèi)原子通過強(qiáng)共價(jià)鍵相互作用，而層間則通過較弱的范德華力相互連接。這種結(jié)構(gòu)使得TMDs具有豐富的物理性質(zhì)，不同的過渡金屬和硫族原子組合以及不同的堆疊方式會導(dǎo)致材料的電學(xué)、光學(xué)和磁學(xué)性質(zhì)發(fā)生顯著變化。例如，MoS_2在單層時(shí)具有直接帶隙，約為1.8eV，而在多層時(shí)則轉(zhuǎn)變?yōu)殚g接帶隙，這一特性使其在光電器件領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如可用于制備高性能的光電探測器、發(fā)光二極管等。這些典型二維材料的獨(dú)特結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定了它們各自獨(dú)特的物理性質(zhì)，為其在電子學(xué)、能源、傳感器等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。隨著對二維材料研究的不斷深入，更多具有新穎結(jié)構(gòu)和優(yōu)異性能的二維材料將被發(fā)現(xiàn)和開發(fā)，為解決實(shí)際問題提供更多的可能性。1.3研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢自2004年石墨烯被成功分離以來，二維材料的研究經(jīng)歷了飛速的發(fā)展，已成為材料科學(xué)和凝聚態(tài)物理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。在早期階段，研究主要集中在石墨烯的制備和基本性質(zhì)的探索上。通過機(jī)械剝離法獲得的石墨烯展現(xiàn)出了高載流子遷移率、高導(dǎo)熱系數(shù)等優(yōu)異性能，其獨(dú)特的零帶隙線性色散關(guān)系，使得電子在其中表現(xiàn)出類似無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的行為，這一發(fā)現(xiàn)激發(fā)了科研人員對二維材料的濃厚興趣。隨著研究的深入，其他二維材料如過渡金屬二硫族化合物（TMDs）、黑磷、六方氮化硼等也逐漸進(jìn)入人們的視野。在二維材料的電子結(jié)構(gòu)研究方面，理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)表征都取得了顯著的進(jìn)展。理論計(jì)算方面，基于密度泛函理論（DFT）的第一性原理計(jì)算方法被廣泛應(yīng)用于預(yù)測二維材料的電子結(jié)構(gòu)、晶體結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)。通過這些計(jì)算，科研人員深入了解了二維材料中電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、電子-聲子相互作用以及電子-電子相互作用等，為解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和設(shè)計(jì)新型二維材料提供了重要的理論依據(jù)。例如，通過第一性原理計(jì)算，研究人員發(fā)現(xiàn)了單層二硫化鉬（MoS_2）具有直接帶隙，這一理論預(yù)測隨后被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，為MoS_2在光電器件中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。實(shí)驗(yàn)表征方面，掃描隧道顯微鏡（STM）、角分辨光電子能譜（ARPES）等先進(jìn)技術(shù)被用于直接觀測二維材料的電子結(jié)構(gòu)和原子結(jié)構(gòu)。STM能夠在原子尺度上觀察材料的表面形貌和電子態(tài)密度，為研究二維材料的表面特性提供了重要手段；ARPES則可以測量材料中電子的能量和動(dòng)量分布，直接獲取電子的能帶結(jié)構(gòu)信息，有助于深入理解二維材料的電子結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)。在新物理效應(yīng)的探索方面，二維材料也展現(xiàn)出了獨(dú)特的魅力。量子霍爾效應(yīng)和量子反?；魻栃?yīng)等在二維材料中被系統(tǒng)性觀測研究。量子霍爾效應(yīng)是指在強(qiáng)磁場下，二維電子氣中的電子運(yùn)動(dòng)受到量子化的限制，導(dǎo)致霍爾電阻出現(xiàn)量子化的臺階，這一效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)為量子計(jì)量學(xué)提供了重要的基礎(chǔ)。量子反?；魻栃?yīng)則是在沒有外加磁場的情況下，通過材料的內(nèi)稟磁性和電子結(jié)構(gòu)的相互作用，實(shí)現(xiàn)了量子化的霍爾電阻，這一效應(yīng)的實(shí)現(xiàn)為未來低能耗電子器件的發(fā)展提供了新的方向。二維材料中的超導(dǎo)、拓?fù)?、?qiáng)關(guān)聯(lián)等新奇物理效應(yīng)也受到了廣泛的關(guān)注。在一些二維材料中，通過施加壓力、摻雜等手段，可以誘導(dǎo)出超導(dǎo)現(xiàn)象，研究這些超導(dǎo)材料的超導(dǎo)機(jī)制和臨界溫度，對于理解高溫超導(dǎo)現(xiàn)象具有重要的意義。二維材料中的拓?fù)湎嗪屯負(fù)浣^緣體的研究也取得了重要進(jìn)展，拓?fù)浣^緣體具有獨(dú)特的表面態(tài)，其中的電子具有無散射的輸運(yùn)特性，這為未來量子計(jì)算和自旋電子學(xué)的發(fā)展提供了潛在的應(yīng)用前景。目前，二維材料的研究仍然面臨著諸多挑戰(zhàn)。在材料制備方面，雖然已經(jīng)發(fā)展了多種制備方法，如機(jī)械剝離法、化學(xué)氣相沉積法（CVD）、分子束外延法（MBE）等，但如何制備高質(zhì)量、大面積、層數(shù)可控且缺陷少的二維材料仍然是一個(gè)亟待解決的問題。機(jī)械剝離法雖然能夠制備出高質(zhì)量的二維材料，但產(chǎn)量較低，難以滿足大規(guī)模應(yīng)用的需求；CVD法可以制備大面積的二維材料，但存在雜質(zhì)和缺陷較多、生長過程難以精確控制等問題；MBE法雖然能夠精確控制材料的生長，但設(shè)備昂貴，制備過程復(fù)雜，產(chǎn)量也較低。在理論研究方面，雖然第一性原理計(jì)算等方法在二維材料的研究中發(fā)揮了重要作用，但對于一些復(fù)雜的多體相互作用問題，如強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系中的電子-電子相互作用、電子-聲子相互作用等，現(xiàn)有的理論方法仍然存在一定的局限性，需要進(jìn)一步發(fā)展和完善。在應(yīng)用研究方面，二維材料與現(xiàn)有半導(dǎo)體工藝的兼容性問題、器件的穩(wěn)定性和可靠性問題等也需要深入研究和解決。展望未來，二維材料的研究將朝著以下幾個(gè)方向發(fā)展。在材料設(shè)計(jì)方面，通過理論計(jì)算和高通量實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，將加速新型二維材料的設(shè)計(jì)和發(fā)現(xiàn)。利用機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能技術(shù)，可以對大量的材料數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)測，從而快速篩選出具有潛在應(yīng)用價(jià)值的二維材料，并指導(dǎo)其制備和性能優(yōu)化。在異質(zhì)結(jié)構(gòu)和器件研究方面，二維材料與其他材料的復(fù)合和集成將成為研究的重點(diǎn)。通過構(gòu)建二維材料異質(zhì)結(jié)構(gòu)，如二維材料與二維材料之間的范德瓦耳斯異質(zhì)結(jié)、二維材料與三維材料的復(fù)合結(jié)構(gòu)等，可以實(shí)現(xiàn)材料性能的協(xié)同優(yōu)化和新物理效應(yīng)的產(chǎn)生，為制備高性能的電子器件、光電器件、傳感器等提供新的途徑。在多學(xué)科交叉研究方面，二維材料將與物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域進(jìn)行深度融合，開拓新的應(yīng)用領(lǐng)域。例如，在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，二維材料的生物相容性和獨(dú)特的物理性質(zhì)使其在藥物輸送、生物成像、疾病診斷等方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值；在能源領(lǐng)域，二維材料在電池、超級電容器、太陽能電池等方面的應(yīng)用研究也將不斷深入，有望為解決能源問題提供新的解決方案。二維材料的研究具有廣闊的前景，將為推動(dòng)科技進(jìn)步和社會發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。二、二維材料電子結(jié)構(gòu)的理論研究方法2.1第一性原理計(jì)算第一性原理計(jì)算，作為理論研究二維材料電子結(jié)構(gòu)的重要基石，基于量子力學(xué)原理，從最基本的物理定律出發(fā)，無需借助任何經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，便能對材料的原子結(jié)構(gòu)、電子結(jié)構(gòu)以及各種物理性質(zhì)進(jìn)行精確計(jì)算和深入分析。這種計(jì)算方法能夠深入揭示材料內(nèi)部電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、電子與電子之間的相互作用以及電子與原子核之間的相互作用，為理解二維材料的獨(dú)特性質(zhì)提供了關(guān)鍵的理論支持。在二維材料的研究中，第一性原理計(jì)算被廣泛應(yīng)用于預(yù)測材料的晶體結(jié)構(gòu)、電子能帶結(jié)構(gòu)、態(tài)密度、光學(xué)性質(zhì)、力學(xué)性質(zhì)等，為新型二維材料的設(shè)計(jì)和開發(fā)提供了重要的理論依據(jù)。接下來將詳細(xì)介紹第一性原理計(jì)算中常用的密度泛函理論和平面波贗勢方法。2.1.1密度泛函理論（DFT）密度泛函理論（DensityFunctionalTheory，DFT）作為量子力學(xué)中用于研究多電子體系電子結(jié)構(gòu)的重要方法，在二維材料電子結(jié)構(gòu)計(jì)算領(lǐng)域占據(jù)著核心地位。其基本原理基于Hohenberg-Kohn定理，該定理為DFT奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。Hohenberg-Kohn第一定理指出，對于一個(gè)處于外部勢場中的多電子體系，其基態(tài)能量是電子密度的唯一泛函。這意味著，只要確定了電子密度，就能唯一確定體系的基態(tài)能量。從數(shù)學(xué)角度來看，設(shè)體系的哈密頓量為H，電子密度為\rho(r)，則體系的基態(tài)能量E_0可表示為E_0=E[\rho(r)]，其中E[\rho(r)]是關(guān)于電子密度\rho(r)的泛函。這一結(jié)論的重要性在于，將原本復(fù)雜的多電子波函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的電子密度問題。在傳統(tǒng)的量子力學(xué)方法中，多電子波函數(shù)依賴于3N個(gè)變量（N為電子數(shù)，每個(gè)電子包含三個(gè)空間變量），而電子密度僅僅是三個(gè)空間變量的函數(shù)，大大降低了計(jì)算的復(fù)雜性。Hohenberg-Kohn第二定理進(jìn)一步證明，通過將體系能量關(guān)于電子密度進(jìn)行最小化，就能夠得到體系的基態(tài)能量。即當(dāng)\rho(r)取到使E[\rho(r)]最小的電子密度分布時(shí)，所對應(yīng)的能量就是體系的基態(tài)能量。這為求解多電子體系的基態(tài)能量提供了具體的方法。在實(shí)際應(yīng)用中，DFT通常通過Kohn-Sham方法來實(shí)現(xiàn)。Kohn-Sham方法的核心思想是將復(fù)雜的多體問題簡化為一個(gè)沒有相互作用的電子在有效勢場中運(yùn)動(dòng)的問題。具體來說，Kohn-Sham方程可表示為：\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V_{eff}(r)\right]\psi_i(r)=\epsilon_i\psi_i(r)其中，-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2是動(dòng)能算符，V_{eff}(r)是有效勢場，它包含了外部勢場V_{ext}(r)、電子-電子庫侖相互作用的Hartree勢V_{H}(r)以及交換相關(guān)勢V_{xc}(r)，即V_{eff}(r)=V_{ext}(r)+V_{H}(r)+V_{xc}(r)。\psi_i(r)是Kohn-Sham軌道波函數(shù)，\epsilon_i是相應(yīng)的本征能量。交換相關(guān)勢V_{xc}(r)描述了電子之間的交換作用和相關(guān)作用，是Kohn-Sham方法中最難處理的部分。目前，科學(xué)家們提出了多種近似方法來逼近精確的交換相關(guān)泛函。其中，局域密度近似（LocalDensityApproximation，LDA）是最簡單的近似求解方法。LDA假設(shè)體系中某點(diǎn)的交換相關(guān)能密度只與該點(diǎn)的電子密度有關(guān)，并且等于均勻電子氣在相同密度下的交換相關(guān)能密度。雖然LDA在一些情況下能夠給出較為合理的結(jié)果，但它也存在一定的局限性，例如對于非均勻體系的描述不夠準(zhǔn)確。廣義梯度近似（GeneralizedGradientApproximation，GGA）則在LDA的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，考慮了電子密度的梯度信息。GGA認(rèn)為交換相關(guān)能不僅與電子密度有關(guān)，還與電子密度的梯度有關(guān)，從而在一定程度上提高了對非均勻體系的描述精度。然而，無論是LDA還是GGA，都無法完全精確地描述電子之間的交換相關(guān)作用，對于一些復(fù)雜的體系，仍然需要進(jìn)一步發(fā)展更精確的近似方法。在二維材料的研究中，DFT被廣泛應(yīng)用于計(jì)算材料的電子結(jié)構(gòu)。以石墨烯為例，通過DFT計(jì)算可以得到其獨(dú)特的能帶結(jié)構(gòu)。在石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)中，價(jià)帶和導(dǎo)帶在K點(diǎn)相交，形成零帶隙的線性色散關(guān)系，這使得電子在其中表現(xiàn)出類似無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的行為，與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果高度吻合。這種計(jì)算結(jié)果不僅解釋了石墨烯高載流子遷移率的物理根源，還為其在高速電子學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。對于過渡金屬二硫族化合物（TMDs），如二硫化鉬（MoS_2），DFT計(jì)算揭示了其在單層和多層情況下的不同能帶結(jié)構(gòu)。單層MoS_2具有直接帶隙，而多層MoS_2則具有間接帶隙。這一計(jì)算結(jié)果為MoS_2在光電器件中的應(yīng)用提供了重要的理論依據(jù)，例如在光電探測器中，單層MoS_2的直接帶隙特性使其能夠更有效地吸收光子并產(chǎn)生光生載流子。在二維材料與襯底或其他材料形成的異質(zhì)結(jié)構(gòu)研究中，DFT計(jì)算可以深入分析界面處的電子結(jié)構(gòu)和相互作用。通過計(jì)算界面處的電荷密度分布、電子態(tài)密度等信息，可以了解界面處的電子轉(zhuǎn)移、化學(xué)鍵形成等情況，為優(yōu)化異質(zhì)結(jié)構(gòu)的性能提供理論指導(dǎo)。例如，在石墨烯與氮化硼形成的異質(zhì)結(jié)構(gòu)中，DFT計(jì)算發(fā)現(xiàn)界面處存在一定程度的電荷轉(zhuǎn)移，這種電荷轉(zhuǎn)移會影響異質(zhì)結(jié)構(gòu)的電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)。盡管DFT在二維材料電子結(jié)構(gòu)計(jì)算中取得了顯著的成果，但它仍然存在一些局限性。對于弱相互作用體系，如范德瓦爾斯力主導(dǎo)的體系，DFT的傳統(tǒng)近似方法往往難以準(zhǔn)確描述。這是因?yàn)榉兜峦郀査沽κ且环N長程相互作用，而LDA和GGA等近似方法主要適用于描述短程相互作用。為了解決這一問題，科學(xué)家們發(fā)展了半經(jīng)驗(yàn)的色散矯正方法（DFT-D），通過引入額外的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)來描述范德瓦爾斯力。也有一些新開發(fā)的非局域混合交換關(guān)聯(lián)泛函（Hybridexchange-correlationfunctional），如vdW-DF，用于近似實(shí)現(xiàn)對范德瓦爾斯力的描述。對于半導(dǎo)體的能隙計(jì)算，DFT的傳統(tǒng)方法通常會低估能隙值。這是由于DFT在處理電子-電子相互作用時(shí)存在一定的近似，導(dǎo)致對能隙的計(jì)算不夠準(zhǔn)確。為了更準(zhǔn)確地計(jì)算半導(dǎo)體的能隙，一般采用考慮了多體作用的GW方法。其中，G表示格林函數(shù)（GreenFunction），W表示屏蔽參數(shù)。GW方法通過對電子自能的修正，能夠更準(zhǔn)確地描述電子之間的相互作用，從而提高能隙的計(jì)算精度。2.1.2平面波贗勢方法（PWPM）平面波贗勢方法（Plane-WavePseudopotentialMethod，PWPM）是基于密度泛函理論的一種重要計(jì)算方法，在二維材料的電子結(jié)構(gòu)計(jì)算中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。其原理緊密結(jié)合了平面波基組和贗勢的概念，為高效準(zhǔn)確地求解Kohn-Sham方程提供了有力的手段。在晶體體系中，電子的波函數(shù)需要滿足一定的邊界條件和周期性條件。根據(jù)布洛赫定理，晶體中電子的波函數(shù)可以表示為布洛赫波的形式，即\psi_{k}(r)=e^{ik\cdotr}u_{k}(r)，其中k是電子的波矢，u_{k}(r)是具有晶體平移周期性的周期函數(shù)。平面波是自由電子氣的本征函數(shù)，具有標(biāo)準(zhǔn)正交化和能量單一性的特點(diǎn)，對任何原子都適用且等同對待空間中的任何區(qū)域，不需要修正重疊誤差。因此，在平面波贗勢方法中，單粒子軌道波函數(shù)可以用平面波基展開為：\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{G}\varphi(G)e^{i(K+G)\cdotr}其中，\frac{1}{\sqrt{N}}是歸一化因子，N是原胞的數(shù)目，G是原胞的倒格矢，K是第一Brillouin區(qū)的波矢，\varphi(G)是展開系數(shù)。在實(shí)際計(jì)算中，由于計(jì)算資源的限制，不可能使用無限多個(gè)平面波來展開波函數(shù)，因此需要確定一個(gè)截?cái)嗄蹺_{cut}。給定截?cái)嗄蹺_{cut}=\frac{\hbar^2(G+K)^2}{2m}，對G的求和可以限制在(G+K)^2/2\leqE_{cut}的范圍內(nèi)，即要求用于展開的波函數(shù)的能量小于E_{cut}。通過合理選擇截?cái)嗄?，可以在保證計(jì)算精度的前提下，有效地減少計(jì)算量。在求解Kohn-Sham方程時(shí)，原子核產(chǎn)生的勢場項(xiàng)在原子中心是發(fā)散的，波函數(shù)變化劇烈，需要采用大量的平面波展開，這會導(dǎo)致計(jì)算成本變得非常大。為了解決這個(gè)問題，引入了贗勢的概念。贗勢是一種只作用于系統(tǒng)價(jià)電子的有效勢，它通過對原子核和內(nèi)層電子的復(fù)雜相互作用進(jìn)行有效近似，將原子核和內(nèi)層電子的作用簡化為一個(gè)相對簡單的勢場。這樣，在計(jì)算中就可以用較少的平面波數(shù)來描述價(jià)電子的波函數(shù)，從而大大降低計(jì)算成本。贗勢的構(gòu)造基于以下原理：在原子的外層，價(jià)電子感受到的勢場主要由原子核和內(nèi)層電子的靜電作用以及電子之間的交換和相關(guān)作用構(gòu)成。通過對這些作用進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕坪蛿M合，可以得到一個(gè)能夠準(zhǔn)確描述價(jià)電子行為的贗勢。贗勢的引入使得平面波基組能夠更有效地描述晶體中的電子波函數(shù)，同時(shí)也保證了計(jì)算結(jié)果的可靠性。在平面波贗勢方法中，常用的贗勢類型包括模守恒贗勢（Norm-ConservingPseudopotential）和超軟贗勢（Ultra-SoftPseudopotential）。模守恒贗勢要求贗波函數(shù)和全電子波函數(shù)在原子核附近的漸近行為相同，以保證在計(jì)算一些物理量時(shí)的準(zhǔn)確性。超軟贗勢則通過引入投影算子，進(jìn)一步放寬了對波函數(shù)的限制，使得在較低的截?cái)嗄芟乱材塬@得較好的計(jì)算結(jié)果，從而顯著降低了計(jì)算量。平面波贗勢方法在二維材料的計(jì)算中具有諸多優(yōu)勢。由于平面波基組的簡單性和通用性，它適用于各種類型的二維材料體系，無論是簡單的碳基二維材料如石墨烯，還是結(jié)構(gòu)復(fù)雜的過渡金屬二硫族化合物等。平面波贗勢方法能夠方便地利用快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)，實(shí)現(xiàn)能量、力等物理量在實(shí)空間和倒空間的快速轉(zhuǎn)換。這使得在計(jì)算過程中可以根據(jù)具體情況選擇在更方便的空間中進(jìn)行計(jì)算，從而提高計(jì)算效率。在計(jì)算哈密頓量中的動(dòng)能項(xiàng)的矩陣元時(shí)，在倒空間中只有對角元非零，這比在實(shí)空間中計(jì)算大大減少了工作量。以二維材料二硫化鉬（MoS_2）的計(jì)算為例，通過平面波贗勢方法可以準(zhǔn)確地計(jì)算其電子結(jié)構(gòu)。在計(jì)算過程中，首先確定合適的截?cái)嗄芎挖I勢類型。對于MoS_2，通常選擇超軟贗勢來描述鉬原子和硫原子的原子勢。通過調(diào)整截?cái)嗄埽缭诮財(cái)嗄転?00eV時(shí)，可以得到收斂較好的計(jì)算結(jié)果。計(jì)算得到的MoS_2的能帶結(jié)構(gòu)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及其他高精度計(jì)算方法的結(jié)果具有良好的一致性。在能帶結(jié)構(gòu)中，清晰地顯示出單層MoS_2具有直接帶隙，約為1.8eV，這與實(shí)驗(yàn)測量值相符合。通過計(jì)算電子態(tài)密度，可以進(jìn)一步了解電子在不同能級上的分布情況，為深入理解MoS_2的電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)提供了重要依據(jù)。在研究二維材料與襯底的相互作用時(shí)，平面波贗勢方法也能發(fā)揮重要作用。以石墨烯與二氧化硅襯底的體系為例，通過該方法可以計(jì)算界面處的電荷密度分布、電子態(tài)密度等。計(jì)算結(jié)果表明，在界面處存在一定程度的電荷轉(zhuǎn)移，這會影響石墨烯的電子結(jié)構(gòu)和電學(xué)性能。通過分析這些計(jì)算結(jié)果，可以深入了解界面相互作用的機(jī)制，為優(yōu)化二維材料與襯底的組合提供理論指導(dǎo)。2.2緊束縛模型2.2.1模型構(gòu)建與原理緊束縛模型是凝聚態(tài)物理中用于研究晶格中電子行為的重要理論模型，在二維材料電子結(jié)構(gòu)的研究中占據(jù)著不可或缺的地位。其基本假設(shè)基于電子在原子附近的行為，認(rèn)為電子主要被原子核吸引，在原子軌道上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到相鄰原子核的弱相互作用。在二維材料的晶格中，原子按照特定的周期性排列，每個(gè)原子都有其對應(yīng)的原子軌道，電子在這些原子軌道之間的跳躍行為構(gòu)成了材料的電子結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)。從數(shù)學(xué)原理上看，緊束縛模型通過原子軌道線性組合（LCAO）的方法來構(gòu)建電子的波函數(shù)。以二維材料石墨烯為例，其晶格結(jié)構(gòu)為蜂窩狀，每個(gè)碳原子都有一個(gè)p_z軌道。假設(shè)每個(gè)碳原子的p_z軌道波函數(shù)為\varphi_{i}(r)，其中i表示第i個(gè)碳原子。那么，石墨烯中電子的波函數(shù)\psi_{k}(r)可以表示為這些原子軌道波函數(shù)的線性組合：\psi_{k}(r)=\sum_{i}e^{ik\cdotR_{i}}\varphi_{i}(r)其中，k是電子的波矢，R_{i}是第i個(gè)碳原子的位置矢量。通過這種方式，將電子的波函數(shù)用原子軌道波函數(shù)展開，從而可以描述電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。緊束縛模型的哈密頓量H包含兩部分：離散部分和耦合部分。離散部分描述了每個(gè)原子的能級，通常用\epsilon_{0}表示，它代表了電子在單個(gè)原子軌道上的能量。耦合部分則描述了電子在不同原子之間的跳躍行為，用t_{ij}表示，它表示電子從第i個(gè)原子跳到第j個(gè)原子的跳躍積分。對于最近鄰原子之間的跳躍，t_{ij}通常為非零值，而對于較遠(yuǎn)原子之間的跳躍，t_{ij}可以近似為零。哈密頓量H可以表示為：H=\sum_{i}\epsilon_{0}a_{i}^{\dagger}a_{i}-\sum_{i,j}t_{ij}a_{i}^{\dagger}a_{j}其中，a_{i}^{\dagger}和a_{i}分別是在第i個(gè)原子軌道上產(chǎn)生和湮滅一個(gè)電子的算符。通過求解哈密頓量的本征值問題，即H\psi_{k}(r)=E_{k}\psi_{k}(r)，可以得到電子的能量本征值E_{k}，也就是電子的能帶結(jié)構(gòu)。在石墨烯中，通過緊束縛模型計(jì)算得到的能帶結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出獨(dú)特的線性色散關(guān)系。在K點(diǎn)附近，電子的能量E_{k}與波矢k滿足E_{k}=\pm\gamma_{0}\sqrt{3+2\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}ka)\cos(\frac{3}{2}ka)+4\cos^{2}(\frac{3}{2}ka)}，其中\(zhòng)gamma_{0}是最近鄰原子之間的跳躍積分，a是晶格常數(shù)。這種線性色散關(guān)系使得石墨烯中的電子具有類似無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子的行為，從而導(dǎo)致了石墨烯高載流子遷移率等獨(dú)特的電學(xué)性質(zhì)。對于過渡金屬二硫族化合物（TMDs），如二硫化鉬（MoS_2），其緊束縛模型的構(gòu)建更為復(fù)雜。由于MoS_2的結(jié)構(gòu)包含過渡金屬原子和硫族原子，需要考慮不同原子軌道之間的相互作用。在MoS_2中，鉬原子的d軌道和硫原子的p軌道之間存在著較強(qiáng)的耦合作用。通過緊束縛模型，可以計(jì)算出MoS_2的能帶結(jié)構(gòu)，包括價(jià)帶和導(dǎo)帶的位置和形狀。計(jì)算結(jié)果表明，單層MoS_2具有直接帶隙，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和第一性原理計(jì)算結(jié)果相符合。緊束縛模型還可以用于研究MoS_2的光學(xué)性質(zhì)，通過計(jì)算電子的躍遷矩陣元，可以得到材料的吸收光譜和發(fā)射光譜等信息。緊束縛模型在描述二維材料電子結(jié)構(gòu)方面具有獨(dú)特的特點(diǎn)。它能夠直觀地體現(xiàn)電子在原子之間的跳躍行為，通過簡單的模型參數(shù)（如跳躍積分、原子能級等）就可以對材料的電子結(jié)構(gòu)進(jìn)行初步的分析和預(yù)測。與第一性原理計(jì)算相比，緊束縛模型的計(jì)算量相對較小，計(jì)算速度較快，適用于對大規(guī)模體系的初步研究和對物理機(jī)制的定性分析。它也存在一定的局限性，例如在處理電子-電子相互作用等多體問題時(shí)，緊束縛模型的近似程度較高，可能無法準(zhǔn)確描述一些復(fù)雜的物理現(xiàn)象。2.2.2與第一性原理計(jì)算的結(jié)合與互補(bǔ)緊束縛模型與第一性原理計(jì)算在二維材料的研究中各具優(yōu)勢，將二者有機(jī)結(jié)合能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ)，為深入理解二維材料的電子結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)提供更全面、更準(zhǔn)確的研究方法。第一性原理計(jì)算基于量子力學(xué)原理，從最基本的物理定律出發(fā)，無需借助任何經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，能夠精確地計(jì)算材料的電子結(jié)構(gòu)和各種物理性質(zhì)。它能夠準(zhǔn)確地描述電子之間的相互作用、電子與原子核之間的相互作用以及材料的晶體結(jié)構(gòu)等，為二維材料的研究提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。第一性原理計(jì)算的計(jì)算量通常較大，對于大規(guī)模的體系或復(fù)雜的多體問題，計(jì)算成本較高，計(jì)算時(shí)間較長。緊束縛模型則是一種基于經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)的方法，它通過對原子軌道的線性組合來描述電子的波函數(shù)，重點(diǎn)關(guān)注電子在原子之間的跳躍行為。緊束縛模型的計(jì)算量相對較小，計(jì)算速度較快，能夠快速地給出材料電子結(jié)構(gòu)的大致特征。它可以直觀地解釋一些物理現(xiàn)象背后的物理機(jī)制，為理解二維材料的性質(zhì)提供了直觀的物理圖像。緊束縛模型在處理電子-電子相互作用等多體問題時(shí)存在一定的局限性，其計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性依賴于模型參數(shù)的選取。將緊束縛模型與第一性原理計(jì)算相結(jié)合，可以充分發(fā)揮二者的優(yōu)勢。在研究復(fù)雜二維材料體系時(shí)，如二維材料的異質(zhì)結(jié)構(gòu)或含有缺陷的體系，首先可以利用第一性原理計(jì)算對體系進(jìn)行精確的計(jì)算，得到體系的精確電子結(jié)構(gòu)和各種物理性質(zhì)。通過第一性原理計(jì)算得到的結(jié)果，可以提取出緊束縛模型所需的參數(shù)，如跳躍積分、原子能級等。然后，利用這些參數(shù)構(gòu)建緊束縛模型，對體系進(jìn)行進(jìn)一步的分析和研究。以石墨烯與氮化硼（h-BN）形成的異質(zhì)結(jié)構(gòu)為例，第一性原理計(jì)算可以精確地計(jì)算出異質(zhì)結(jié)構(gòu)的界面處的電子結(jié)構(gòu)、電荷密度分布以及電子的能級等信息。通過對這些計(jì)算結(jié)果的分析，可以提取出石墨烯和h-BN原子之間的跳躍積分等參數(shù)。將這些參數(shù)代入緊束縛模型中，可以構(gòu)建出異質(zhì)結(jié)構(gòu)的緊束縛模型。利用該模型，可以進(jìn)一步研究電子在異質(zhì)結(jié)構(gòu)中的傳輸特性、光學(xué)性質(zhì)等。通過緊束縛模型的計(jì)算，可以直觀地理解電子在異質(zhì)結(jié)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)機(jī)制，例如電子在界面處的散射、隧穿等現(xiàn)象。與第一性原理計(jì)算結(jié)果相結(jié)合，可以更全面地理解異質(zhì)結(jié)構(gòu)的物理性質(zhì)。在研究二維材料中的缺陷時(shí)，第一性原理計(jì)算可以精確地計(jì)算出缺陷對材料電子結(jié)構(gòu)的影響，如缺陷能級的位置、缺陷對能帶結(jié)構(gòu)的擾動(dòng)等。利用這些計(jì)算結(jié)果，可以確定緊束縛模型中與缺陷相關(guān)的參數(shù)，如缺陷對原子能級的影響、缺陷與周圍原子之間的跳躍積分變化等。通過構(gòu)建包含缺陷的緊束縛模型，可以研究缺陷對材料電學(xué)、光學(xué)等性質(zhì)的影響機(jī)制。通過計(jì)算電子在缺陷周圍的跳躍路徑和概率，可以分析缺陷對載流子輸運(yùn)的散射作用，從而解釋材料電學(xué)性能的變化。在研究二維材料的光學(xué)性質(zhì)時(shí)，緊束縛模型可以與第一性原理計(jì)算相結(jié)合。第一性原理計(jì)算可以準(zhǔn)確地計(jì)算出材料的電子躍遷矩陣元等光學(xué)參數(shù)，而緊束縛模型可以通過計(jì)算電子在不同能級之間的躍遷概率，來解釋材料的吸收光譜和發(fā)射光譜等光學(xué)現(xiàn)象。通過二者的結(jié)合，可以更深入地理解二維材料的光-物質(zhì)相互作用機(jī)制。緊束縛模型與第一性原理計(jì)算的結(jié)合在研究復(fù)雜二維材料體系中發(fā)揮著重要的作用。二者的互補(bǔ)能夠?yàn)槎S材料的研究提供更全面、更深入的認(rèn)識，推動(dòng)二維材料在電子學(xué)、能源、傳感器等領(lǐng)域的應(yīng)用和發(fā)展。三、典型二維材料的電子結(jié)構(gòu)特性3.1石墨烯的電子結(jié)構(gòu)3.1.1線性狄拉克錐能帶結(jié)構(gòu)石墨烯作為二維材料的典型代表，其獨(dú)特的線性狄拉克錐能帶結(jié)構(gòu)使其展現(xiàn)出諸多優(yōu)異的物理性質(zhì)。從晶體結(jié)構(gòu)來看，石墨烯是由碳原子以sp^2雜化軌道組成的二維蜂窩狀晶格，每個(gè)碳原子與周圍三個(gè)碳原子通過共價(jià)鍵相連，形成了穩(wěn)定的六邊形結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)的周期性和對稱性對其電子結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。在研究石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，緊束縛模型是一種重要的理論工具。基于緊束縛近似，將電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)視為在原子勢場中的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)考慮相鄰原子之間的相互作用。在石墨烯中，每個(gè)碳原子有一個(gè)垂直于平面的p_z軌道，這些p_z軌道之間的相互作用形成了石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)。通過緊束縛模型計(jì)算，可以得到石墨烯的能量色散關(guān)系。在考慮最近鄰原子相互作用的情況下，石墨烯的能量色散關(guān)系為：E_{k}=\pm\gamma_{0}\sqrt{3+2\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}ka)\cos(\frac{3}{2}ka)+4\cos^{2}(\frac{3}{2}ka)}其中，\gamma_{0}是最近鄰原子之間的跳躍積分，a是晶格常數(shù)，k是波矢。從這個(gè)公式可以看出，在布里淵區(qū)的K點(diǎn)和K'點(diǎn)，價(jià)帶和導(dǎo)帶相交，形成了零帶隙的線性色散關(guān)系，即狄拉克錐結(jié)構(gòu)。在狄拉克錐附近，電子的能量與波矢呈線性關(guān)系，類似于相對論中的無質(zhì)量粒子，其有效質(zhì)量為零。這種獨(dú)特的能帶結(jié)構(gòu)使得石墨烯中的電子具有許多奇異的特性。由于電子的有效質(zhì)量為零，其在石墨烯中的運(yùn)動(dòng)速度接近光速，這導(dǎo)致了石墨烯具有極高的載流子遷移率。在室溫下，石墨烯的載流子遷移率可達(dá)2\times10^5cm^2/(V\cdots)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過傳統(tǒng)半導(dǎo)體材料，如硅的電子遷移率僅為1400cm^2/Vs。高載流子遷移率使得石墨烯在高速電子學(xué)領(lǐng)域具有巨大的應(yīng)用潛力，例如可用于制備高性能的晶體管，有望實(shí)現(xiàn)更高的開關(guān)速度和更低的功耗。線性狄拉克錐能帶結(jié)構(gòu)還賦予了石墨烯獨(dú)特的光學(xué)性質(zhì)。在光與石墨烯的相互作用中，由于狄拉克錐的存在，電子可以在價(jià)帶和導(dǎo)帶之間進(jìn)行高效的躍遷。在可見光到紅外光譜范圍內(nèi)，單層石墨烯僅具有2.3%的帶間吸收，這使得石墨烯具有良好的透光性，在透明導(dǎo)電電極等光電器件中具有重要的應(yīng)用。當(dāng)光的能量與狄拉克錐的能量匹配時(shí)，會發(fā)生共振吸收，導(dǎo)致光與石墨烯之間的相互作用增強(qiáng)。這種獨(dú)特的光學(xué)性質(zhì)還使得石墨烯在光電探測器、發(fā)光二極管等光電器件中具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。在量子霍爾效應(yīng)方面，石墨烯展現(xiàn)出了與傳統(tǒng)二維電子氣不同的反常量子霍爾效應(yīng)。當(dāng)石墨烯處于強(qiáng)磁場中時(shí)，其連續(xù)的能帶結(jié)構(gòu)會分裂為獨(dú)立的量子能級，即朗道能級。由于石墨烯的狄拉克錐能帶結(jié)構(gòu)，其朗道能級的分布與傳統(tǒng)半導(dǎo)體不同，導(dǎo)致霍爾電導(dǎo)率出現(xiàn)半整數(shù)的量子化平臺，即霍爾電導(dǎo)率為\pm4e^2/h(N+1/2)，其中N是朗道能級指數(shù)，e是電子電荷，h是普朗克常數(shù)。這種反常量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)，不僅深化了人們對量子力學(xué)的理解，也為石墨烯在量子器件中的應(yīng)用提供了新的方向。3.1.2載流子特性與輸運(yùn)性質(zhì)石墨烯的載流子特性和輸運(yùn)性質(zhì)是其電子結(jié)構(gòu)的重要體現(xiàn)，與線性狄拉克錐能帶結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在石墨烯中，載流子表現(xiàn)出獨(dú)特的行為，這使得石墨烯在電子學(xué)領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力。石墨烯的載流子具有高遷移率的特性。這主要源于其線性狄拉克錐能帶結(jié)構(gòu)，使得電子在其中運(yùn)動(dòng)時(shí)，有效質(zhì)量為零，如同無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子，能夠在晶格中自由移動(dòng)，受到的散射作用較小。實(shí)驗(yàn)測量表明，室溫下石墨烯的載流子遷移率可達(dá)2\times10^5cm^2/(V\cdots)，即使在存在一定雜質(zhì)和缺陷的情況下，遷移率仍然較高。這種高遷移率使得石墨烯在電子器件中能夠?qū)崿F(xiàn)高速的電子傳輸，為制備高性能的晶體管、集成電路等提供了可能。載流子的散射機(jī)制對石墨烯的輸運(yùn)性質(zhì)有著重要的影響。在石墨烯中，主要的散射機(jī)制包括聲子散射、雜質(zhì)散射和邊界散射等。聲子散射是由于晶格振動(dòng)產(chǎn)生的聲子與載流子相互作用，導(dǎo)致載流子的散射。在高溫下，聲子散射起主導(dǎo)作用，隨著溫度的升高，聲子的數(shù)量增加，散射概率增大，從而導(dǎo)致載流子遷移率下降。雜質(zhì)散射是由于石墨烯中存在的雜質(zhì)原子或缺陷對載流子的散射作用。雜質(zhì)的存在會破壞石墨烯的晶格周期性，產(chǎn)生散射中心，使載流子的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變。邊界散射則是載流子在石墨烯的邊界處與邊界相互作用而發(fā)生的散射。當(dāng)石墨烯的尺寸較小時(shí)，邊界散射的影響會更加明顯。通過優(yōu)化制備工藝，減少雜質(zhì)和缺陷的含量，以及控制石墨烯的尺寸和邊界條件，可以有效地降低散射概率，提高載流子遷移率。石墨烯的載流子還表現(xiàn)出獨(dú)特的量子特性。在低維體系中，量子效應(yīng)顯著，石墨烯中的載流子也不例外。例如，在石墨烯中可以觀察到量子霍爾效應(yīng)，這是由于在強(qiáng)磁場下，載流子的運(yùn)動(dòng)受到量子化的限制，形成了朗道能級。石墨烯的量子霍爾效應(yīng)具有獨(dú)特的性質(zhì)，其霍爾電阻呈現(xiàn)出精確的量子化平臺，這為量子計(jì)量學(xué)提供了重要的基礎(chǔ)。石墨烯中的載流子還存在Klein隧穿效應(yīng)，即電子能夠以100%的概率穿過比其能量更高的勢壘。這種效應(yīng)與石墨烯的狄拉克錐能帶結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，使得石墨烯在電子輸運(yùn)方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢。在實(shí)際應(yīng)用中，石墨烯的載流子特性和輸運(yùn)性質(zhì)還受到外部條件的影響。施加電場可以改變石墨烯的載流子濃度和遷移率。通過在石墨烯上施加?xùn)艠O電壓，可以調(diào)控石墨烯的費(fèi)米能級，從而改變載流子的濃度。隨著載流子濃度的變化，石墨烯的電導(dǎo)率和遷移率也會發(fā)生相應(yīng)的改變。溫度對石墨烯的載流子特性和輸運(yùn)性質(zhì)也有重要影響。在低溫下，聲子散射減弱，載流子遷移率會有所提高。而在高溫下，除了聲子散射增強(qiáng)外，還可能出現(xiàn)其他熱激發(fā)過程，進(jìn)一步影響載流子的輸運(yùn)。石墨烯的載流子特性和輸運(yùn)性質(zhì)使其在電子學(xué)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。在晶體管方面，高載流子遷移率使得石墨烯晶體管能夠?qū)崿F(xiàn)更高的開關(guān)速度和更低的功耗，有望推動(dòng)集成電路的發(fā)展。在傳感器領(lǐng)域，石墨烯對某些氣體分子具有特殊的吸附作用，會導(dǎo)致載流子濃度和遷移率的變化，從而可以用于制備高靈敏度的氣體傳感器。在量子器件方面，石墨烯的量子特性為量子比特、量子通信等領(lǐng)域的研究提供了新的材料選擇。3.2過渡金屬二硫族化合物（TMDCs）的電子結(jié)構(gòu)3.2.1能帶結(jié)構(gòu)與能隙特性過渡金屬二硫族化合物（TMDCs）作為二維材料家族的重要成員，其獨(dú)特的能帶結(jié)構(gòu)與能隙特性一直是研究的熱點(diǎn)。TMDCs的化學(xué)式為MX_2，其中M代表過渡金屬元素，如Mo、W、Ti等，X代表硫族元素，如S、Se、Te等。其晶體結(jié)構(gòu)通常由X-M-X三明治結(jié)構(gòu)單元通過范德華力堆疊而成，這種獨(dú)特的結(jié)構(gòu)賦予了TMDCs豐富多樣的物理性質(zhì)。從能帶結(jié)構(gòu)來看，TMDCs的能帶結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)的三維材料有著顯著的差異。以二硫化鉬（MoS_2）為例，在單層MoS_2中，其能帶結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出直接帶隙的特性，帶隙寬度約為1.8eV。這種直接帶隙的存在使得單層MoS_2在光電器件領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力，如可用于制備高性能的光電探測器、發(fā)光二極管等。從理論計(jì)算的角度分析，單層MoS_2的能帶結(jié)構(gòu)主要由鉬原子的d軌道和硫原子的p軌道相互作用形成。在布里淵區(qū)的K點(diǎn)，價(jià)帶頂和導(dǎo)帶底主要由這些軌道的電子態(tài)貢獻(xiàn)，從而形成了直接帶隙。當(dāng)層數(shù)增加時(shí)，MoS_2的能帶結(jié)構(gòu)會發(fā)生明顯的變化。多層MoS_2的能帶結(jié)構(gòu)逐漸從直接帶隙轉(zhuǎn)變?yōu)殚g接帶隙。對于三層MoS_2，其帶隙變?yōu)殚g接帶隙，帶隙寬度約為1.5eV。這是因?yàn)殡S著層數(shù)的增加，層間的相互作用增強(qiáng)，導(dǎo)致能帶結(jié)構(gòu)發(fā)生重整化，使得導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂不再位于布里淵區(qū)的同一高對稱點(diǎn)，從而形成了間接帶隙。這種能帶結(jié)構(gòu)隨層數(shù)的變化規(guī)律，為調(diào)控MoS_2的電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)提供了重要的手段。通過控制MoS_2的層數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)對其帶隙的精確調(diào)控，從而滿足不同應(yīng)用場景的需求。在光電器件中，根據(jù)所需的光吸收和發(fā)射波長，可以選擇合適層數(shù)的MoS_2來實(shí)現(xiàn)最佳的性能。缺陷對TMDCs的能隙也有著顯著的影響。在MoS_2中，硫空位是一種常見的缺陷類型。當(dāng)存在硫空位時(shí)，會在MoS_2的能隙中引入缺陷能級。這些缺陷能級的位置和性質(zhì)與硫空位的濃度和分布密切相關(guān)。通過第一性原理計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，硫空位的存在會導(dǎo)致MoS_2的能隙減小。當(dāng)硫空位濃度較低時(shí)，缺陷能級靠近導(dǎo)帶底，使得導(dǎo)帶電子更容易被激發(fā)，從而降低了能隙；當(dāng)硫空位濃度較高時(shí)，缺陷能級可能會與價(jià)帶頂或?qū)У装l(fā)生耦合，進(jìn)一步改變能隙的大小和性質(zhì)。這種缺陷對能隙的調(diào)控作用，為設(shè)計(jì)具有特定電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)的TMDCs材料提供了新的思路。通過有意引入特定類型和濃度的缺陷，可以實(shí)現(xiàn)對TMDCs能隙的精確調(diào)控，從而開發(fā)出具有特殊功能的材料，如用于高效光催化的材料。3.2.2自旋-軌道耦合效應(yīng)在過渡金屬二硫族化合物（TMDCs）中，自旋-軌道耦合效應(yīng)是一個(gè)至關(guān)重要的物理現(xiàn)象，它對TMDCs的電子自旋特性和相關(guān)物理現(xiàn)象產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。自旋-軌道耦合效應(yīng)源于電子的自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量之間的相互作用，這種相互作用在TMDCs中由于過渡金屬原子的存在而變得尤為顯著。以二硫化鉬（MoS_2）為例，鉬原子具有較大的原子序數(shù)，其內(nèi)層電子的軌道角動(dòng)量與自旋角動(dòng)量之間存在較強(qiáng)的耦合作用。這種耦合作用通過電子之間的相互作用傳遞到外層電子，從而對MoS_2的電子結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響。在單層MoS_2中，自旋-軌道耦合效應(yīng)使得價(jià)帶發(fā)生分裂。理論計(jì)算表明，在布里淵區(qū)的K點(diǎn)，價(jià)帶頂由于自旋-軌道耦合效應(yīng)分裂為兩個(gè)子帶，分別對應(yīng)著不同的自旋方向。這種價(jià)帶分裂的現(xiàn)象導(dǎo)致了MoS_2具有獨(dú)特的自旋相關(guān)性質(zhì)。自旋-軌道耦合效應(yīng)還對MoS_2的谷電子學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生重要影響。在MoS_2中，K谷和K'谷是兩個(gè)具有特殊性質(zhì)的能谷，它們在動(dòng)量空間中是等價(jià)的，但具有相反的谷贗自旋。由于自旋-軌道耦合效應(yīng)，電子的自旋與谷贗自旋之間存在關(guān)聯(lián)，使得在K谷和K'谷中，電子的自旋極化方向不同。這種自旋與谷的耦合為實(shí)現(xiàn)基于谷自由度的量子比特和自旋-谷電子學(xué)器件提供了可能。通過施加外部電場或磁場，可以調(diào)控MoS_2中電子的自旋和谷狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)對信息的存儲和處理。在理論研究中，通過計(jì)算電子在不同能谷中的自旋極化率和自旋弛豫時(shí)間，可以深入了解自旋-軌道耦合效應(yīng)在谷電子學(xué)中的作用機(jī)制，為設(shè)計(jì)新型的谷電子學(xué)器件提供理論依據(jù)。在雙層MoS_2中，自旋-軌道耦合效應(yīng)與層間耦合相互作用，進(jìn)一步豐富了其物理性質(zhì)。層間耦合會影響電子在層間的傳輸和自旋狀態(tài)，而自旋-軌道耦合效應(yīng)則會對電子的自旋極化和谷狀態(tài)產(chǎn)生影響。通過改變層間的堆疊方式和層間距離，可以調(diào)控層間耦合的強(qiáng)度，進(jìn)而影響自旋-軌道耦合效應(yīng)在雙層MoS_2中的表現(xiàn)。在AB堆疊的雙層MoS_2中，層間耦合較強(qiáng)，自旋-軌道耦合效應(yīng)與層間耦合的相互作用會導(dǎo)致能帶結(jié)構(gòu)和自旋極化分布發(fā)生變化。通過第一性原理計(jì)算和緊束縛模型分析，可以深入研究這種相互作用對雙層MoS_2電子結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)的影響，為開發(fā)基于雙層MoS_2的新型自旋電子學(xué)器件提供理論支持。3.3黑磷的電子結(jié)構(gòu)3.3.1各向異性的能帶結(jié)構(gòu)黑磷作為一種具有獨(dú)特層狀結(jié)構(gòu)的二維材料，其電子結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出顯著的各向異性特征，這一特性在其能帶結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)得尤為明顯。從晶體結(jié)構(gòu)來看，黑磷由磷原子通過共價(jià)鍵相互連接形成層狀結(jié)構(gòu)，層間通過較弱的范德華力相互作用。在單層黑磷中，磷原子的排列并非完全平整，而是呈現(xiàn)出類似于褶皺的蜂窩狀結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)的不對稱性是導(dǎo)致黑磷電子結(jié)構(gòu)各向異性的重要原因。在黑磷的能帶結(jié)構(gòu)中，沿不同晶體方向的電子行為存在顯著差異。在Armchair方向和Zigzag方向上，能帶的色散關(guān)系和有效質(zhì)量都有所不同。通過第一性原理計(jì)算可以清晰地觀察到這種各向異性。在Armchair方向上，導(dǎo)帶和價(jià)帶的色散相對較緩，電子的有效質(zhì)量較大；而在Zigzag方向上，能帶的色散更為陡峭，電子的有效質(zhì)量較小。這意味著在Zigzag方向上，電子具有更高的遷移率，能夠更自由地運(yùn)動(dòng)。這種各向異性的能帶結(jié)構(gòu)使得黑磷在不同方向上展現(xiàn)出不同的電學(xué)性質(zhì)。在電子學(xué)應(yīng)用中，基于黑磷的場效應(yīng)晶體管，其載流子遷移率在不同方向上的差異會影響器件的性能。在設(shè)計(jì)電路時(shí)，需要充分考慮黑磷的各向異性，合理利用其在不同方向上的電學(xué)特性，以實(shí)現(xiàn)高性能的電子器件。黑磷的各向異性還體現(xiàn)在其光學(xué)性質(zhì)上。由于能帶結(jié)構(gòu)的各向異性，黑磷在不同方向上對光的吸收和發(fā)射也存在差異。在光電器件中，這種各向異性的光學(xué)性質(zhì)可以被用于實(shí)現(xiàn)偏振敏感的光探測器、發(fā)光二極管等。通過控制黑磷的晶體取向，可以調(diào)節(jié)光電器件對不同偏振方向光的響應(yīng)，從而提高器件的性能和應(yīng)用范圍。3.3.2層間相互作用對電子結(jié)構(gòu)的影響黑磷的層間相互作用是影響其電子結(jié)構(gòu)和材料整體性能的重要因素。黑磷的層狀結(jié)構(gòu)中，層與層之間通過范德華力相互耦合，這種弱相互作用雖然比層內(nèi)的共價(jià)鍵弱得多，但對電子結(jié)構(gòu)的影響卻不容忽視。從電子結(jié)構(gòu)的角度來看，層間相互作用會導(dǎo)致能帶結(jié)構(gòu)的變化。隨著層數(shù)的增加，層間的范德華力使得原子的電子云發(fā)生一定程度的重疊，從而影響電子的能級分布。通過第一性原理計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，多層黑磷的能帶結(jié)構(gòu)與單層黑磷相比，會發(fā)生明顯的重整化。在塊體黑磷中，由于層間相互作用的增強(qiáng)，導(dǎo)帶和價(jià)帶的位置和形狀都會發(fā)生改變，導(dǎo)致帶隙減小。研究表明，單層黑磷的帶隙約為2.0eV，而隨著層數(shù)的增加，帶隙逐漸減小，塊體黑磷的帶隙約為0.3eV。這種帶隙的變化對黑磷的電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生了重要影響。在電學(xué)方面，帶隙的減小使得黑磷的導(dǎo)電性增強(qiáng)，在半導(dǎo)體器件中的應(yīng)用需要考慮這種帶隙變化對器件性能的影響。在光學(xué)方面，帶隙的變化會導(dǎo)致黑磷對光的吸收和發(fā)射特性發(fā)生改變，在光電器件中，需要根據(jù)不同的應(yīng)用需求選擇合適層數(shù)的黑磷來實(shí)現(xiàn)最佳的光學(xué)性能。層間相互作用還會影響黑磷的載流子輸運(yùn)性質(zhì)。由于層間的耦合作用，載流子在層間的傳輸會受到一定的阻礙。在多層黑磷中，載流子在穿越不同層時(shí)，會與層間的原子發(fā)生相互作用，導(dǎo)致散射概率增加，從而降低了載流子的遷移率。這種層間相互作用對載流子輸運(yùn)的影響，在設(shè)計(jì)基于黑磷的電子器件時(shí)需要充分考慮，通過優(yōu)化層間相互作用，如通過摻雜、施加電場等方式，可以調(diào)控載流子的輸運(yùn)性質(zhì)，提高器件的性能。四、二維材料新物理效應(yīng)的理論研究4.1量子霍爾效應(yīng)4.1.1整數(shù)量子霍爾效應(yīng)與分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)量子霍爾效應(yīng)作為凝聚態(tài)物理領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容，在二維材料的研究中占據(jù)著關(guān)鍵地位。它主要分為整數(shù)量子霍爾效應(yīng)（IQHE）和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)（FQHE），這兩種效應(yīng)展現(xiàn)出了獨(dú)特的量子特性，為人們深入理解低維電子系統(tǒng)的行為提供了重要線索。整數(shù)量子霍爾效應(yīng)于1980年由德國物理學(xué)家克勞斯?馮?克利青（KlausvonKlitzing）在研究硅基金屬氧化物半導(dǎo)體場效應(yīng)晶體管（MOSFET）中二維電子氣的輸運(yùn)性質(zhì)時(shí)首次發(fā)現(xiàn)。在極低溫和強(qiáng)磁場條件下，當(dāng)電子被限制在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其橫向電阻（即霍爾電阻）會出現(xiàn)量子化的臺階，呈現(xiàn)出精確的量子化值，滿足R_{H}=\frac{h}{ne^{2}}，其中h是普朗克常數(shù)，e是電子電荷，n為整數(shù)，稱為填充因子。這種量子化的霍爾電阻與樣品的尺寸、雜質(zhì)等因素?zé)o關(guān)，表現(xiàn)出極高的穩(wěn)定性。整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)，不僅為量子計(jì)量學(xué)提供了一個(gè)精確的電阻標(biāo)準(zhǔn)，還為理解電子在強(qiáng)磁場下的量子行為提供了重要的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。從物理原理來看，整數(shù)量子霍爾效應(yīng)源于電子在磁場中的運(yùn)動(dòng)受到量子化的限制，形成了朗道能級。當(dāng)磁場強(qiáng)度變化時(shí)，朗道能級的填充情況發(fā)生改變，導(dǎo)致霍爾電阻出現(xiàn)量子化的臺階。在實(shí)驗(yàn)中，通過精確測量霍爾電阻的量子化平臺，可以實(shí)現(xiàn)對基本物理常數(shù)的高精度測量。分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)則是在1982年由崔琦（DanielTsui）、霍斯特?施特默（HorstSt?rmer）和亞瑟?戈薩德（ArthurGossard）在研究遷移率更高的二維電子氣時(shí)發(fā)現(xiàn)的。與整數(shù)量子霍爾效應(yīng)不同，分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)中霍爾電導(dǎo)呈現(xiàn)出分?jǐn)?shù)倍的量子化，例如\frac{1}{3}、\frac{2}{5}、\frac{5}{7}等分?jǐn)?shù)倍的基本電導(dǎo)量子e^{2}/h。這一發(fā)現(xiàn)突破了傳統(tǒng)理論的認(rèn)知，引發(fā)了科學(xué)界的廣泛關(guān)注。分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的出現(xiàn)源于電子之間的強(qiáng)相互作用，導(dǎo)致了具有分?jǐn)?shù)電荷的準(zhǔn)粒子的形成。這些準(zhǔn)粒子的行為既不同于傳統(tǒng)的費(fèi)米子，也不同于玻色子，而是遵循一種被稱為任意子的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。為了解釋分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，羅伯特?勞克林（RobertLaughlin）提出了著名的Laughlin波函數(shù)，成功地描述了電子間的相互作用以及分?jǐn)?shù)電荷準(zhǔn)粒子的形成機(jī)制。在分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)中，這些分?jǐn)?shù)電荷的準(zhǔn)粒子在低維系統(tǒng)中扮演著重要的角色，它們的存在使得系統(tǒng)具有獨(dú)特的拓?fù)湫再|(zhì)，為拓?fù)淞孔佑?jì)算等新興領(lǐng)域的發(fā)展提供了潛在的物理基礎(chǔ)。4.1.2二維材料中量子霍爾效應(yīng)的理論解釋與研究進(jìn)展二維材料中量子霍爾效應(yīng)的理論解釋涉及多個(gè)重要理論模型，這些模型從不同角度深入剖析了量子霍爾效應(yīng)的物理機(jī)制，為理解這一復(fù)雜的物理現(xiàn)象提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。Laughlin波函數(shù)是解釋分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的重要理論之一。勞克林提出的波函數(shù)描述了電子間的相互作用，成功地解釋了實(shí)驗(yàn)中觀察到的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)。該波函數(shù)基于多體波函數(shù)的概念，考慮了電子之間的庫侖相互作用和強(qiáng)磁場的影響。在強(qiáng)磁場下，電子的運(yùn)動(dòng)被限制在二維平面內(nèi)，形成了朗道能級。Laughlin波函數(shù)通過引入一種特殊的相位因子，描述了電子在朗道能級上的填充情況以及電子之間的關(guān)聯(lián)。對于填充因子為\frac{1}{m}（m為奇數(shù)）的分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)，Laughlin波函數(shù)可以表示為：\Psi_{L}(\{z_{i}\})=\prod_{1\leqi<j\leqN}(z_{i}-z_{j})^{m}\exp\left(-\frac{1}{4l_{B}^{2}}\sum_{i=1}^{N}|z_{i}|^{2}\right)其中，z_{i}是第i個(gè)電子的復(fù)坐標(biāo)，l_{B}=\sqrt{\frac{\hbar}{eB}}是磁長度，B是磁場強(qiáng)度，N是電子數(shù)。這個(gè)波函數(shù)表明，電子之間存在強(qiáng)烈的相互排斥作用，使得它們在空間中形成了一種特殊的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。在這種結(jié)構(gòu)中，電子的集體行為導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)電荷準(zhǔn)粒子的出現(xiàn)，從而解釋了分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)中霍爾電導(dǎo)的分?jǐn)?shù)倍量子化現(xiàn)象。Haldane模型則是用于描述整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的重要理論模型。該模型考慮了電子在周期性磁場中的運(yùn)動(dòng)，預(yù)測了量子霍爾效應(yīng)的存在。Haldane模型是在緊束縛模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，它引入了一個(gè)周期性的磁場，使得電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)受到磁場的調(diào)制。在Haldane模型中，電子的哈密頓量可以表示為：H=-t\sum_{\langlei,j\rangle,\sigma}c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma}-t'\sum_{\langle\langlei,j\rangle\rangle,\sigma}e^{i\phi_{ij}}c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma}+\epsilon_{0}\sum_{i,\sigma}n_{i\sigma}其中，t是最近鄰跳躍積分，t'是次近鄰跳躍積分，\langlei,j\rangle表示最近鄰格點(diǎn)對，\langle\langlei,j\rangle\rangle表示次近鄰格點(diǎn)對，c_{i\sigma}^{\dagger}和c_{i\sigma}分別是在格點(diǎn)i上產(chǎn)生和湮滅自旋為\sigma的電子的算符，\phi_{ij}是電子在次近鄰格點(diǎn)之間跳躍時(shí)獲得的相位，\epsilon_{0}是格點(diǎn)上的能量，n_{i\sigma}=c_{i\sigma}^{\dagger}c_{i\sigma}是電子數(shù)算符。通過對這個(gè)哈密頓量的求解，可以得到電子的能帶結(jié)構(gòu)和霍爾電導(dǎo)。在Haldane模型中，由于磁場的存在，電子的能帶發(fā)生了彎曲，形成了具有非零陳數(shù)的能帶。當(dāng)這些能帶被電子填滿時(shí)，就會出現(xiàn)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。CompositeFermion理論是解釋分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的另一個(gè)重要理論。該理論將分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)中的電子視為帶電的費(fèi)米子與磁場中的磁通量線結(jié)合形成的復(fù)合粒子。在強(qiáng)磁場下，電子會與磁通量線發(fā)生強(qiáng)烈的相互作用，形成一種新的準(zhǔn)粒子，即CompositeFermion。這種復(fù)合粒子的行為類似于普通的費(fèi)米子，但它們所感受到的有效磁場發(fā)生了變化。通過引入CompositeFermion的概念，可以將分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)中的復(fù)雜多體問題簡化為一個(gè)相對簡單的單粒子問題。在CompositeFermion理論中，填充因子為\frac{p}{q}（p和q為互質(zhì)的整數(shù)）的分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)可以看作是填充因子為p的CompositeFermion在有效磁場B^{*}下的整數(shù)量子霍爾態(tài)。這種理論在解釋分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的許多實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象方面取得了很大的成功，例如霍爾電導(dǎo)的分?jǐn)?shù)倍量子化、激發(fā)態(tài)的性質(zhì)等。近年來，二維材料中量子霍爾效應(yīng)的研究取得了顯著的進(jìn)展。在實(shí)驗(yàn)方面，隨著材料制備技術(shù)和測量技術(shù)的不斷進(jìn)步，科學(xué)家們能夠在更多種類的二維材料中觀察到量子霍爾效應(yīng)。在石墨烯中，由于其獨(dú)特的線性狄拉克錐能帶結(jié)構(gòu)，展現(xiàn)出了與傳統(tǒng)二維電子氣不同的量子霍爾效應(yīng)。石墨烯的量子霍爾效應(yīng)表現(xiàn)出半整數(shù)的量子化平臺，即霍爾電導(dǎo)率為\pm4e^{2}/h(N+1/2)，其中N是朗道能級指數(shù)。這一現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步豐富了量子霍爾效應(yīng)的研究內(nèi)容，也為石墨烯在量子器件中的應(yīng)用提供了新的方向。在理論研究方面，科學(xué)家們不斷拓展和深化對量子霍爾效應(yīng)的理解。通過理論計(jì)算和模擬，研究人員深入探討了量子霍爾效應(yīng)與材料的電子結(jié)構(gòu)、晶格結(jié)構(gòu)以及外部條件（如磁場、溫度等）之間的關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，量子霍爾效應(yīng)中的邊緣態(tài)對材料的電子輸運(yùn)性質(zhì)起著關(guān)鍵作用。這些邊緣態(tài)是材料邊界處形成的一維導(dǎo)電通道，電子在其中沿邊緣不受雜質(zhì)散射，從而保證了霍爾電導(dǎo)在樣品缺陷存在的情況下仍然保持穩(wěn)定。理論研究還關(guān)注量子霍爾效應(yīng)中的拓?fù)湫再|(zhì)，揭示了量子霍爾態(tài)與拓?fù)湫蛑g的深刻聯(lián)系。量子霍爾效應(yīng)引入了拓?fù)湫虻母拍?，物質(zhì)的相由拓?fù)洳蛔兞慷菍ΨQ性來區(qū)分。這一發(fā)現(xiàn)引發(fā)了對拓?fù)湎嗟难芯?，如量子自旋霍爾絕緣體、拓?fù)涑瑢?dǎo)體等，這些材料可能是未來新型量子技術(shù)的關(guān)鍵。4.2超導(dǎo)效應(yīng)4.2.1二維材料超導(dǎo)的機(jī)制探討在二維材料的研究領(lǐng)域中，超導(dǎo)效應(yīng)一直是備受關(guān)注的焦點(diǎn)。超導(dǎo)現(xiàn)象，即材料在特定溫度下電阻突然降為零且具有完全抗磁性的奇特性質(zhì)，在二維材料中展現(xiàn)出了獨(dú)特的機(jī)制和豐富的物理內(nèi)涵。電子-聲子相互作用在二維材料超導(dǎo)機(jī)制中扮演著關(guān)鍵角色。從微觀層面來看，電子在晶格中運(yùn)動(dòng)時(shí)，會與晶格振動(dòng)產(chǎn)生的聲子發(fā)生相互作用。當(dāng)電子經(jīng)過晶格時(shí)，會吸引周圍的正離子，使晶格發(fā)生畸變，形成一個(gè)局部的正電荷聚集區(qū)域。這個(gè)正電荷區(qū)域又會吸引其他電子，從而在電子之間產(chǎn)生一種間接的吸引作用。這種吸引作用如果足夠強(qiáng)，就能夠克服電子之間的庫侖排斥力，使電子兩兩配對形成庫珀對。庫珀對的形成是超導(dǎo)現(xiàn)象的核心，這些配對電子能夠在晶格中無阻礙地移動(dòng)，從而導(dǎo)致材料電阻為零。在傳統(tǒng)的金屬超導(dǎo)體中，電子-聲子相互作用是超導(dǎo)的主要機(jī)制，如鉛（Pb）、鈮（Nb）等金屬超導(dǎo)體，其超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度與電子-聲子耦合強(qiáng)度密切相關(guān)。在二維材料中，由于其原子級的厚度和獨(dú)特的晶體結(jié)構(gòu)，電子-聲子相互作用呈現(xiàn)出與三維材料不同的特點(diǎn)。二維材料的晶格振動(dòng)模式相對簡單，聲子的色散關(guān)系也與三維材料有所差異。在石墨烯中，由于其獨(dú)特的蜂窩狀晶格結(jié)構(gòu)，聲子的振動(dòng)模式主要包括面內(nèi)的縱向聲學(xué)模（LA）、橫向聲學(xué)模（TA）和面外的彎曲聲學(xué)模（ZA）。這些聲子模式與電子的相互作用強(qiáng)度和方式對石墨烯的超導(dǎo)機(jī)制有著重要影響。研究表明，在某些情況下，特定的聲子模式與電子的耦合能夠增強(qiáng)電子之間的配對作用，從而有利于超導(dǎo)態(tài)的形成。電子-電子相互作用也是影響二維材料超導(dǎo)的重要因素。在二維材料中，電子的密度和分布會對電子-電子相互作用產(chǎn)生顯著影響。當(dāng)電子密度較低時(shí)，電子之間的庫侖排斥力相對較弱，此時(shí)電子-聲子相互作用主導(dǎo)的超導(dǎo)機(jī)制可能較為明顯。隨著電子密度的增加，電子之間的庫侖排斥力增強(qiáng)，電子-電子相互作用的影響逐漸凸顯。在這種情況下，電子之間的強(qiáng)相互作用可能會導(dǎo)致電子的集體行為發(fā)生變化，從而影響超導(dǎo)態(tài)的穩(wěn)定性和特性。在一些過渡金屬二硫族化合物（TMDs）中，如二硫化鉬（MoS_2），電子-電子相互作用與電子-聲子相互作用相互競爭，共同影響著材料的超導(dǎo)機(jī)制。自旋漲落也是二維材料超導(dǎo)機(jī)制中需要考慮的因素。在一些具有磁性的二維材料中，自旋漲落會對電子的配對和超導(dǎo)態(tài)的形成產(chǎn)生影響。自旋漲落是指材料中電子自旋的動(dòng)態(tài)變化，它可以通過與電子的相互作用，改變電子的能量和動(dòng)量分布。在某些情況下，自旋漲落能夠促進(jìn)電子之間的配對，形成具有特殊自旋結(jié)構(gòu)的庫珀對。在鐵基超導(dǎo)材料中，自旋漲落被認(rèn)為是超導(dǎo)機(jī)制的重要組成部分，它與電子-聲子相互作用共同作用，導(dǎo)致了超導(dǎo)態(tài)的出現(xiàn)。在二維鐵基超導(dǎo)材料中，研究自旋漲落與電子-聲子相互作用的協(xié)同效應(yīng)，對于理解其超導(dǎo)機(jī)制具有重要意義。二維材料的晶體結(jié)構(gòu)和晶格參數(shù)對超導(dǎo)機(jī)制也有著重要影響。不同的晶體結(jié)構(gòu)決定了電子的能帶結(jié)構(gòu)和聲子的振動(dòng)模式，從而影響電子-聲子相互作用和電子-電子相互作用。在黑磷中，其獨(dú)特的層狀結(jié)構(gòu)和各向異性的晶體結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致電子在不同方向上的運(yùn)動(dòng)和相互作用存在差異，進(jìn)而影響了其超導(dǎo)性質(zhì)。晶格參數(shù)的變化也會改變原子間的距離和相互作用強(qiáng)度，對超導(dǎo)機(jī)制產(chǎn)生影響。通過施加壓力或摻雜等方式改變二維材料的晶格參數(shù)，可以調(diào)控其超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度和超導(dǎo)特性。4.2.2典型超導(dǎo)二維材料的案例分析以石墨烯為例，作為二維材料的典型代表，其超導(dǎo)特性與電子結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在本征狀態(tài)下，石墨烯是零帶隙的半金屬，并不具備超導(dǎo)性。通過一系列的外部調(diào)控手段，石墨烯可以展現(xiàn)出超導(dǎo)特性。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)在石墨烯中引入堿金屬原子進(jìn)行摻雜時(shí)，能夠有效地調(diào)控其電子結(jié)構(gòu)，從而誘導(dǎo)出超導(dǎo)現(xiàn)象。在鉀摻雜的石墨烯中，鉀原子會向石墨烯的導(dǎo)帶中注入電子，改變石墨烯的費(fèi)米能級和電子態(tài)密度。理論計(jì)算表明，鉀原子在石墨烯晶格中形成有序的超晶格結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)促進(jìn)了電子配對和庫珀對的形成。在低溫下，這些庫珀對能夠在石墨烯中無阻礙地移動(dòng)，導(dǎo)致電阻降為零，實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)。實(shí)驗(yàn)測量發(fā)現(xiàn)，鉀摻雜石墨烯的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度約為5K，雖然這個(gè)溫度相對較低，但為石墨烯在超導(dǎo)領(lǐng)域的研究提供了重要的突破。通過進(jìn)一步優(yōu)化摻雜條件和制備工藝，有望提高石墨烯的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度，拓展其在超導(dǎo)電子學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。過渡金屬二硫族化合物（TMDs）中的一些材料也展現(xiàn)出了超導(dǎo)特性。以二硫化鉬（MoS_2）為例，其晶體結(jié)構(gòu)由硫原子和鉬原子組成的三明治結(jié)構(gòu)層通過范德華力堆疊而成。在單層MoS_2中，由于其特殊的電子結(jié)構(gòu)，具有直接帶隙，本身并不超導(dǎo)。通過施加電場、摻雜等手段，可以改變其電子結(jié)構(gòu)，從而誘導(dǎo)出超導(dǎo)現(xiàn)象。當(dāng)在MoS_2薄膜上施加電場時(shí)，電場會導(dǎo)致MoS_2中電荷分布的變化，產(chǎn)生電荷不平衡。這種電荷不平衡會促進(jìn)電子之間的相互作用，使得電子配對形成庫珀對。在一定的電場強(qiáng)度下，MoS_2會實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)轉(zhuǎn)變。實(shí)驗(yàn)研究表明，通過電場調(diào)控，MoS_2的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度可以達(dá)到一定的值。在摻雜方面，研究人員發(fā)現(xiàn)，向MoS_2中摻雜某些元素，如鉺（Er），可以引入額外的電子態(tài)，改變電子-聲子相互作用和電子-電子相互作用。摻雜鉺的MoS_2在低溫下表現(xiàn)出超導(dǎo)特性，其超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度和超導(dǎo)能隙等特性與摻雜濃度密切相關(guān)。通過深入研究MoS_2的超導(dǎo)特性與電子結(jié)構(gòu)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其超導(dǎo)機(jī)制涉及到電子-聲子相互作用、電子-電子相互作用以及摻雜引起的電子態(tài)變化等多個(gè)因素的協(xié)同作用。二維鈣鈦礦材料也是近年來超導(dǎo)研究的熱點(diǎn)之一。這些材料具有獨(dú)特的晶體結(jié)構(gòu)，通常由有機(jī)陽離子和無機(jī)陰離子組成的層狀結(jié)構(gòu)。以某種二維鈣鈦礦材料為例，其電子結(jié)構(gòu)具有一定的特點(diǎn)，在特定條件下可以實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)。研究發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)節(jié)有機(jī)陽離子和無機(jī)陰離子的種類和比例，可以調(diào)控材料的電子結(jié)構(gòu)和晶體結(jié)構(gòu)。在一些二維鈣鈦礦材料中，通過合理的調(diào)控，能夠增強(qiáng)電子-聲子相互作用，促進(jìn)電子配對形成庫珀對。實(shí)驗(yàn)測量表明，某些二維鈣鈦礦材料的超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度可以達(dá)到相對較高的值。通過第一性原理計(jì)算和實(shí)驗(yàn)研究相結(jié)合的方法，深入分析其超導(dǎo)特性與電子結(jié)構(gòu)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)材料的能帶結(jié)構(gòu)、電子態(tài)密度以及電子-聲子耦合強(qiáng)度等因素對超導(dǎo)機(jī)制起著關(guān)鍵作用。在這些二維鈣鈦礦材料中，電子在特定的能帶結(jié)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)，與晶格振動(dòng)產(chǎn)生的聲子相互作用，形成庫珀對，從而實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)。4.3光學(xué)非線性效應(yīng)4.3.1二階與三階光學(xué)非線性效應(yīng)在二維材料的光學(xué)性質(zhì)研究中，二階與三階光學(xué)非線性效應(yīng)展現(xiàn)出獨(dú)特的物理特性和重要的應(yīng)用價(jià)值。二階光學(xué)非線性效應(yīng)，源于材料對光場的二階響應(yīng)，其本質(zhì)是材料中的非線性極化強(qiáng)度與光場的二次方成正比。這種效應(yīng)主要包括二次諧波產(chǎn)生（SHG）、和頻產(chǎn)生（SFG）、差頻產(chǎn)生（DFG）等過程。二次諧波產(chǎn)生是二階光學(xué)非線性效應(yīng)中最為典型的現(xiàn)象之一。當(dāng)一束頻率為\omega的激光入射到具有二階光學(xué)非線性的二維材料中時(shí)，材料中的電子會在光場的作用下發(fā)生非線性振蕩，從而產(chǎn)生頻率為2\omega的光輻射，即二次諧波。從微觀機(jī)制來看，這是由于材料中電子云的分布在光場的作用下發(fā)生了畸變，導(dǎo)致電子的偶極矩與光場的平方相關(guān)，進(jìn)而產(chǎn)生了二次諧波。在一些過渡金屬二硫族化合物（TMDs）中，如二硫化鉬（MoS_2），由于其晶體結(jié)構(gòu)的對稱性破缺，具備二階光學(xué)非線性的條件。理論計(jì)算表明，單層MoS_2的二次諧波產(chǎn)生效率與材料的晶體結(jié)構(gòu)、電子能帶結(jié)構(gòu)以及光場的偏振方向密切相關(guān)。在實(shí)驗(yàn)中，通過精確控制光場的偏振方向和強(qiáng)度，可以實(shí)現(xiàn)對二次諧波產(chǎn)生效率的有效調(diào)控。和頻產(chǎn)生過程則涉及到兩束不同頻率的光（\omega_1和\omega_2）同時(shí)入射到二維材料中，在材料的非線性作用下，產(chǎn)生頻率為\omega_1+\omega_2的和頻光。這種效應(yīng)在光頻率轉(zhuǎn)換和光信號處理等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。在二維材料異質(zhì)結(jié)構(gòu)中，如石墨烯與二硫化鉬形成的范德瓦耳斯異質(zhì)結(jié)，由于兩種材料的電子結(jié)構(gòu)和光學(xué)性質(zhì)的差異，和頻產(chǎn)生過程可以表現(xiàn)出獨(dú)特的特性。理論研究表明，通過調(diào)整異質(zhì)結(jié)構(gòu)的層間耦合強(qiáng)度和界面特性，可以優(yōu)化和頻產(chǎn)生的效率和頻率選擇性。差頻產(chǎn)生是指兩束頻率為\omega_1和\omega_2（\omega_1>\omega_2）的光入射到二維材料中，產(chǎn)生頻率為\omega_1-\omega_2的差頻光。這一過程在紅外光探測和光通信等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用前景。在一些具有特定能帶結(jié)構(gòu)的二維材料中，差頻產(chǎn)生可以實(shí)現(xiàn)對紅外光的高效探測和頻率轉(zhuǎn)換。通過理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)二維材料的能帶結(jié)構(gòu)和電子態(tài)密度對差頻產(chǎn)生的效率和帶寬有著重要的影響。三階光學(xué)非線性效應(yīng)則是材料對光場的三階響應(yīng)，其非線性極化強(qiáng)度與光場的三次方成正比。主要包括三次諧波產(chǎn)生（THG）、四波混頻（FWM）、克爾效應(yīng)等。三次諧波產(chǎn)生是當(dāng)頻率為\omega的光入射到材料中時(shí)，產(chǎn)生頻率為3\omega的三次諧波。在二維材料中，由于其原子級厚度和獨(dú)特的電子結(jié)構(gòu)，三次諧波產(chǎn)生過程與傳統(tǒng)三維材料有所不同。在石墨烯中，由于其零帶隙的特性和高載流子遷移率，三次諧波產(chǎn)生的效率和光譜特性受到電子-光子相互作用的強(qiáng)烈影響。理論研究表明，通過調(diào)控石墨烯的費(fèi)米能級和光場的強(qiáng)度，可以實(shí)現(xiàn)對三次諧波產(chǎn)生的有效調(diào)控。四波混頻是指三束頻率分別為\omega_1、\omega_2和\omega_3的光在材料中相互作用，產(chǎn)生