四川省德陽市廣漢市2024-2025學年九年級上學期1月期末數學試題（解析版）

2024—2025學年度上期期末教學質量監(jiān)測九年級數學試卷（全卷滿分：150分，答卷時間：120分鐘）一、選擇題：（每小題3分，共36分，每小題給出四個答案中，只有一個答案符合題目要求．）1.的絕對值是（）A.2025 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查絕對值，理解絕對值的定義是正確解答的關鍵．根據絕對值的定義進行計算即可．【詳解】解：的絕對值是，故選：A．2.下列說法正確的是（）A.成語“水中撈月”所描述的事件，是隨機事件B.自然現象中，“太陽從東方升起”是必然事件C.“廣漢明天降雨的概率為”，表示廣漢明天一定會降雨D.若某抽獎活動的中獎概率為，則抽獎100次必中獎1次【答案】B【解析】【分析】本題考查了事件的分類，隨機事件是在隨機試驗中，可能出現也可能不出現，而在大量重復試驗中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機事件(簡稱事件)；不可能事件是概率論中把在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件，不可能事件的概率為0；必然事件，在一定的條件下重復進行試驗時，有的事件在每次試驗中必然會發(fā)生，這樣的事件叫必然發(fā)生的事件，簡稱必然事件．必然事件發(fā)生的概率為1，但概率為1的事件不一定為必然事件；確定性事件包括必然事件和不可能事件，根據概念即可求解．【詳解】解：A、成語“水中撈月”所描述的事件是不可能事件，原選項錯誤，不符合題意；B、自然現象中，“太陽東方升起”是必然事件，正確，符合題意；C、“廣漢明天降雨的概率為”，表示廣漢明天降雨的可能性較大，不一定會降雨，故原選項錯誤，不符合題意；D、若抽獎活動的中獎概率為

，則抽獎次未必中獎次，故原選項錯誤，不符合題意；故選：B．3.在以下“綠色食品、響應環(huán)保、可回收物、節(jié)水”四個標志圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據中心對稱圖形的概念解答即可．【詳解】A、不是中心對稱圖形．故錯誤；

B、是中心對稱圖形．故正確；

C、不是中心對稱圖形．故錯誤；

D、不是中心對稱圖形．故錯誤．

故選B．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．4.關于二次函數，下列說法正確的是（）A.函數圖象的開口向下 B.函數圖象的頂點坐標是C.該函數有最大值，最大值是5 D.當時，y隨x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數特征．由拋物線的表達式和函數的性質逐一求解即可．【詳解】解：對于，∵，故拋物線開口向上，故A錯誤；頂點坐標，故B錯誤；該函數有最小值，最小值是5，故C錯誤；當時，y隨x的增大而增大，故D正確，故選：D．5.已知關于x的一元二次方程的一個根，則方程的另一根是（）A.3 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解，一元二次方程根與系數的關系，將代入原方程可求出a的值，進而可得出原方程為，設另一根為，利用根與系數的關系可得出關于的方程，解之即可求出的值．【詳解】解：把代入原方程得：，解得：，∴原方程為．設另一根為，則，∴，∴方程的另一根為3．故選：A6.如圖，A、B是上的兩點，，C是的中點，則四邊形是（）A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】C【解析】【分析】此題考查了等邊三角形的判定和性質，菱形的判定和圓周角定理，連接，根據同弧或等弧所對的圓周角相等得到，則有，證明和都是等邊三角形，由四邊相等的四邊形是菱形即可求解，解題的關鍵是熟練掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等及等邊三角形的判定與性質，菱形的判定方法．【詳解】解：如圖，連接，∵是弧的中點，∴；又∵，∴，∵，∴和都是等邊三角形，∴，∴四邊形是是菱形，故選：C．7.如圖，將繞點B順時針旋轉角，得到，此時點A，點B，點在一條直線上，若，則旋轉角=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查旋轉變換的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．先根據角度的和差得出，再利用旋轉變換的性質求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，即旋轉角．故選：D．8.電影《志愿軍：雄兵出擊》于2024年國慶檔上映，該電影講述了中國人民志愿軍抗美援朝的故事，一上映就獲得全國人民的追捧．據不完全統計，某市第一天票房約200萬元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達728萬元，將增長率記作x，則方程可以列為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設平均每天票房的增長率為x，根據三天后累計票房收入達728萬元，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設平均每天票房的增長率為x，故第一天為：200第二天為：第三天為：三天累計為：．故選：C9.一個圓錐的底面直徑是8，母線長是9，則圓錐側面展開圖的圓心角度數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．首先求得圓錐的底面周長，即扇形的弧長，然后根據弧長的計算公式即可求得圓心角的度數．【詳解】解：圓錐的底面周長是：，設圓心角的度數是，則，解得：．故側面展開圖的圓心角的度數是．故選：A．10.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，連接，P為拋物線對稱軸上動點，則當的周長取最小值時，點P坐標是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題重點考查一次函數的圖象與性質、二次函數的圖象與性質、運用待定系數法求函數解析式、軸對稱-最短路線問題的求解等知識與方法，正確地求出直線的解析式是解題的關鍵．由拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，求得，，，再求出該拋物線的對稱軸為直線，連結交直線于點L，連結，當點P與點L重合時，的周長，此時的周長的值最小，可求得直線的解析式為，進而求得當的周長取最小值時，點的坐標為，于是得到問題的答案．【詳解】解：拋物線，當時，，當時，則，解得，，∴，，，∴該拋物線的對稱軸為直線，連接交直線于點L，連接，∵點A與點B關于直線對稱，∴當點P與點L重合時，的周長，此時的周長的值最小，設直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，當時，，∴當的周長的值最小時，點P的坐標為，故選：B11.如圖，的圓心M在一次函數位于第一象限中的圖象上，與y軸交于C、D兩點，若與x軸相切，且，則半徑是（）A.5或 B.5或 C.6或 D.6或【答案】C【解析】【分析】如圖，設與軸相切于，連接，過點作于，連接，設，根據切線的性質及垂徑定理可得，，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案．【詳解】解：如圖，設與軸相切于，連接，過點作于，連接，∵的圓心M在一次函數位于第一象限中的圖象上，∴設，∵與軸相切于，，∴軸，，，∵，，∴，在中，，即，解得：，，∴或，∴半徑是或6，故選：C．【點睛】本題考查一次函數圖形上點的坐標特征、切線的性質、垂徑定理及勾股定理，熟練掌握垂徑定理，正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵．12.在“點燃我的夢想，數學皆有可能”數學創(chuàng)新設計活動中，“智多星”小豪設計了一個數學探究活動，對正奇數從小到大按如下規(guī)律進行操作：，，，……其操作規(guī)則為：正奇數9在第3個括號中從左到右的第2個數，記為；正奇數19在第4個括號中從左到右的第4個數，記為，按此規(guī)律：正奇數2025記為，則m與n的和是（）A.65 B.66 C.67 D.68【答案】D【解析】【分析】本題考查了數字的變化規(guī)律，找出數字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題；根據題意可以發(fā)現題目中的數據都是奇數，從第一組開始，每組中的奇數都是奇數個．再根據2025是第個奇數，從而即可得出2025是第45組第個數，即得出答案．詳解】解：由題意可知：第一組有1個奇數，第二組有2個奇數，第三組有3個奇數，…，則第m組有個奇數，∴前m組共有個奇數．∵2025是第個奇數，且，∴2025在第45組，即；∵前44組共有個奇數，∴2025是第45組第個數，即．∴．故選：D．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．將答案填寫在答題卡相應橫線上．）13.點關于原點的對稱點坐標是_______．【答案】【解析】【分析】根據原點對稱的兩個點的坐標分別互為相反數計算即可．本題考查了原點對稱，熟練掌握對稱的特點是解題的關鍵．【詳解】解：點關于原點的對稱點坐標是．故答案為：．14.在一次數學測試中，張老師發(fā)現第一小組6位學生的成績（單位：分）分別為：85，78，90，72，●，75，其中有一位同學的成績被墨水污染，但知道該小組的平均分為80分，則該小組成績的中位數是_________．【答案】【解析】【分析】根據平均數的定義先求得被墨水污染的同學的成績數據，再根據中位數的定義即可求得答案．【詳解】設被墨水污染的同學的成績?yōu)椋鶕}意，得．解得．將這組數據按從小到大的順序排列為：，，，，，．這組數據的個數為偶數，所以這組數據的中位數．故答案為：．【點睛】本題主要考查平均數和中位數的定義，牢記求平均數和中位數的方法是解題的關鍵．15.如圖，在平面直角坐標系中，已知正六邊形的頂點C，F在x軸上，邊長，坐標原點O與正六邊形的中心重合，則點A的坐標為______．【答案】【解析】【分析】此題考查了正多邊形的性質，勾股定理，含角直角三角形的性質，等邊三角形的性質和判定，解題的關鍵是掌握以上知識點．過點A作軸交x軸于點G，連接，首先求出，得出，進而得出，再求出，根據勾股定理得出，證明出是等邊三角形，求出，進而求解即可．【詳解】解：過點A作軸交x軸于點G，連接，如圖所示，∵多邊形是正六邊形，∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∵點O是正六邊形的中心，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴點A的坐標為，故答案為：16.在初中數學文化節(jié)游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規(guī)則是：在九宮格中，除了已經填寫的三個數之外的每一個方格中，填入一個數，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了九宮格的知識，根據九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等的規(guī)律，觀察九宮格中數的排列特征建立方程是解決問題的關鍵．設九宮格中最中間的數為x，第1行中間的數為y，第3行最右邊的數為z，建立方程，求得，即可計算m值．【詳解】解：設九宮格中最中間的數為x，第1行中間的數為y，第3行最右邊的數為z，∵第1列中間的數與第2行的最右邊的數重合，∴解得：；同理：，解得：；同理：，解得：；∴．故答案為：51．17.若二次函數的圖象與x軸有兩個公共點，且關于y的不等式組，至少有3個整數解，則符合條件的所有整數a的和為______．【答案】【解析】【分析】此題考查了拋物線與x軸的交點，以及解一元一次不等式組，根據題意得到關于a的不等式是解本題的關鍵．表示出不等式組的解集，由不等式組至少有兩個整數解確定出a的取值范圍，再根據二次函數的圖象與x軸有兩個公共點，由判別式求出a的取值范圍，然后由a為整數，確定出a的值，進而求和，即可得出結論．【詳解】解：不等式組，解①得，解②得，∴不等式組的解集為：，∵不等式組，至少有3個整數解，∴，解得，∵二次函數的圖象與x軸有兩個公共點，∴，解得，∴，∵a為整數，∴，，0，1，∵，∴符合條件的所有整數a的和為，故答案為：．18.如圖，點C在上，直徑，，垂足為D，點E是的內心，，點F在線段上，，則______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了圓周角定理、勾股定理、角平分線的性質定理、三角形內心、矩形的判定與性質、等面積法等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．連接、、、，作于M，于H，于G，于N，由圓周角定理得出，由勾股定理得出，，由等面積法得出，由勾股定理得出，由角平分線的性質定理得出，結合，求出，由題意得出，證明四邊形為矩形，得出，推出，再由得出，再由勾股定理計算即可得解．【詳解】解：如圖，連接、、、，作于M，于H，于G，于N，，∵為直徑，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∵點E是的內心，∴平分，平分，平分，∵，，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴四邊形矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題：（本大題共7個小題，共計90分．解答應寫出文字說明、證明過程或推理步驟）．19.（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本題主要考查了實數混合運算，解一元二方程，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）先計算零指數冪和負整數指數冪及立方根，化簡二次根式，絕對值，再計算加減即可；（2）利用因式分解法求解方程即可．【詳解】解：（1）原式；（2）或解得：，．20.三星堆遺址已有5000年歷史，是迄今為止在中國境內發(fā)現的范圍最大、延續(xù)時間最長、文化內涵最豐富的古城、古國、古文化遺址．2023年三星堆新博物館“古蜀之眼”開館后，向全國游客掀開了它神秘的面紗，“三星堆文化”再次引起全市廣大市民的關注，為了解某校九年級學生對“三星堆文化”知識的了解程度，從中隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果分為了四類，A．不了解：B．了解很少；C．基本了解；D．很了解；根據調查結果，繪制出如圖所示的兩幅不完全統計圖，請根據圖中信息，解答下列問題：（1）本次共調查______名學生，條形統計圖中______；（2）若該校初三共有學生300名，則該校約有多少名學生不了解“三星堆文化”；（3）調查結果中，該校九年級（2）班學生中了解程度為“很了解”的同學恰好是兩名男生、三名女生，現準備從其中隨機抽取兩人去市里參加“三星堆文化”知識競賽，用樹狀圖或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．【答案】（1）60，18（2）60（3）【解析】【分析】本題主要考查樹狀圖，列表法，概率的定義，條形統計圖，扇形統計圖等知識；（1）根據了解很少的有24人，占，即可求出總人數，用總人數分別減去其他各項的人數即可求出結果；（2）利用300乘以不了解“三星堆文化”的人所占比例即可求出；（3）根據題意列出表格，找出所有種可能的結果和一男生一女生的結果數，再根據概率的定義求出結果即可．【小問1詳解】解：∴本次共調查60名學生；∴條形統計圖中，故答案為：60，18；【小問2詳解】解：答：該校約有60名學生不了解“三星堆文化”．【小問3詳解】解：列表如下：

男1男2女1女2女3男1-（男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）男2（男2，男1）-（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）女1（女1，男1）（女1，男2）-（女1，女2）（女1，女3）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，女1）-（女2，女3）女3（女3，男1）（女3，男2）（女3，女1）（女3，女2）-從表中可以看出，一共有20種可能的結果，恰好抽中一男生一女生的情況有12種可能的結果，∴恰好抽中一男生一女生的概率為：．21.如圖所示的方格紙（格長為一個單位長度）中，的頂點坐標分別為，，．（1）將沿軸向左平移個單位，畫出平移后的，并直接寫出點，，的坐標；（2）將繞點順時針旋轉，畫出旋轉后的，并直接寫出點，的坐標；（3）在（2）的條件下，求點繞點旋轉到點所經過的路徑長（結果保留）．【答案】（1）作圖見解析，，，（2）作圖見解析，，，（3）【解析】【分析】本題考查作圖旋轉變換，平移變換，勾股定理、弧長公式等知識，解題的關鍵是掌握平移變換，旋轉變換的性質．（1）利用平移變換的性質分別作出、、的對應點，，即可；（2）利用旋轉變換的性質分別作出、、的對應點，，即可；（3）利用弧長公式求解即可．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；由圖可知，，，．【小問2詳解】解：如圖，（即）即為所求；由圖可知，，．【小問3詳解】解：在中，，．22.已知關于x的一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）設該方程的兩個實數根分別為，，且，求m的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，解一元一次方程，熟練掌握根的判別式和根與系數的關系是解題的關鍵．（1）直接根據根的判別式證明即可；（2）先根據根與系數的關系求出的值，再代入求解即可．【小問1詳解】證明：∵，∴恒成立，故無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根．【小問2詳解】解：，，代入可得：，解得．23.某文具店以每件10元的價格購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元．經過市場調查發(fā)現，該文具的每天銷售數量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：銷售單價x/元…121314…每天銷售數量y/件…363432…（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）若該文具店每天銷售這種文具獲利182元，則銷售單價為多少元？（3）設銷售這種文具每天獲利w（元），當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】（1），；（2）銷售單價應為17元；（3）當銷售單價為19元時，每天獲利最大，最大利潤是198元【解析】【分析】本題考查二次函數的應用，關鍵是根據利潤=單件利潤×銷售量列出函數解析式．（1）設y與x之間的函數關系式為（），然后用待定系數法求函數解析式；（2）依據利潤=單件利潤×銷售量列出方程，解答即可；（3）根據利潤=單件利潤×銷售量列出函數解析式，然后由函數的性質以及自變量的取值范圍求出函數最值．【小問1詳解】設y與x之間的函數關系式為（），由所給函數圖象可知：，解得：，故y與x的函數關系式為；∵銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元，∴；【小問2詳解】根據題意得：，解得：，，又∵，∴，答：銷售單價應為17元；【小問3詳解】∵，∴拋物線開口向下，∵對稱軸為直線，∴當時，w隨x的增大而增大，∴當時，w有最大值，．答：當銷售單價為19元時，每天獲利最大，最大利潤是198元．24.如圖，是圓的弦，是圓外一點，，交于點，交圓于點，且．（1）判斷直線與圓的位置關系，并說明理由；（2）若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）直線BC與圓O相切，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OB，由等腰三角形的性質分別證出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性質和對頂角可證得∠OBC=90o，即OB⊥BC,可判斷直線BC與圓O相切；（2）易證得△CPD為等邊三角形，則有∠OCB=60o,∠BOC=30o,用含30o角的直角三角形求得OA、BC的長，然后用公式求得△OBC的面積和扇形OBD的面積，相加即可解得陰影面積．【詳解】（1）直線BC與圓O相切，理由為：連接OB，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∵CP=CB，∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB∴∠CBP=∠APO，∵OA⊥OC，∴∠A+∠APO=90o，∴∠OBA+∠CBP=90o即∠OBC=90o，∴OB⊥BC，∴直線BC與圓O相切；（2）∵OA⊥OC，∠A=30o，OP=1∴OA=，∠APO=60o即∠CPB=60o，∵CP=CB，∴△PCB為等邊三角形，∴∠PCB=60o，∵∠OBC=90o，∴∠BOD=30o，∴BC=OB·tan30o=1，∴==，答:圖中陰影