激光束傳輸與變換(第二講)

激光束傳輸與變換第二講思考題：

當(dāng)一束在空氣中傳播的平面光波經(jīng)焦距為f的透鏡聚焦后在相距透鏡為L(zhǎng)1的距離處通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)2、折射率為n2的介質(zhì)時(shí)，試確定光束焦點(diǎn)位置？第二部分高斯光束第一章高斯光束第二章高斯光束的衍射第三章高斯光束的傳輸與變換第四章光束整形與激光組束第一章高斯光束

本章以光的電磁理論為基礎(chǔ),導(dǎo)出有關(guān)高斯光束的幾種形式: 基模高斯光束 高階模高斯光束 橢圓高斯光束 偏心高斯光束 矢量高斯光束并討論它們的場(chǎng)分布特點(diǎn)以及傳輸規(guī)律。本講的主要內(nèi)容 1.1電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程 1.2平面電磁波 1.3球面波和任意簡(jiǎn)諧波§1.1電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程光的經(jīng)典電磁理論：

已達(dá)到了相當(dāng)完善的地步

解釋了許多重要的光學(xué)現(xiàn)象 諸如光的反射和折射、光的干涉、衍射、偏振、光的雙折射等現(xiàn)象.

一些光學(xué)分支的經(jīng)典理論基礎(chǔ) 如激光、傅里葉光學(xué)、集成光學(xué)、非線性光學(xué)等學(xué)科.

不足:不能解釋如原子光譜、黑體輻射、光電效應(yīng)等光學(xué)現(xiàn)象。

研究高斯光束的理論基礎(chǔ):經(jīng)典電磁理論比較簡(jiǎn)單、直觀。并把高斯光束與平面波及球面波相對(duì)照、相比較。本節(jié)內(nèi)容

麥克斯韋方程組

物質(zhì)方程

邊值關(guān)系

能量密度和能流密度

波動(dòng)方程1.麥克斯韋方程組在有介質(zhì)存在的普遍情況下：式中:E――電場(chǎng)強(qiáng)度矢量D――電位移矢量

H――磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量B――磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量

――自由電荷密度j――自由電荷的電流密度該方程組對(duì)于物理性質(zhì)連續(xù)的空間各點(diǎn)都成立。(1.1.1)2.物質(zhì)方程物質(zhì)方程是介質(zhì)在電磁場(chǎng)的作用下發(fā)生傳導(dǎo)、極化和磁化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述。最簡(jiǎn)單的是靜止或緩慢運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的各向同性介質(zhì)，在弱場(chǎng)作用的情況下，物質(zhì)方程取如下形式:2.物質(zhì)方程式中

――電導(dǎo)率

――介電常數(shù)

――磁導(dǎo)率一般在光頻情況下，各種介質(zhì)的磁導(dǎo)率

都近似地等于真空的磁導(dǎo)率

0。

(1.1.2)3.邊值關(guān)系

確定場(chǎng)在兩種媒質(zhì)交界面上的分布微分形式已不在適用麥克斯韋方程組的積分形式在極限的情況下可以得到：3.邊值關(guān)系式中:n――界面法線方向上的單位矢量，方向從介質(zhì)1指向介質(zhì)2,

f――界面上自由電荷密度(1.1.3)3.邊值關(guān)系第一式說(shuō)明：電位移矢量在界面法線方向上有躍變。

第二式說(shuō)明：磁感應(yīng)強(qiáng)度在界面法線方向是連續(xù)的。3.邊值關(guān)系

第三式說(shuō)明：電場(chǎng)的切線分量在界面兩側(cè)是連續(xù)的。第四式說(shuō)明：磁場(chǎng)的切線分量在界面兩側(cè)是連續(xù)的（只有在沒(méi)有面電流的條件下才成立，一般均能滿足這個(gè)條件）以上四式統(tǒng)稱為邊值條件，它們也適用于真空與介質(zhì)的交界面。4.能量密度和能流密度由麥克斯韋方程組(1.1.1)的第二式和第四式可得在滿足物質(zhì)方程(1.1.2)的情況下，有(1.1.6)

(1.1.7)

4.能量密度和能流密度電磁場(chǎng)的能量密度為電磁場(chǎng)的能流密度（也叫坡印廷矢量）為(1.1.8)

(1.1.9)

4.能量密度和能流密度由(1.1.6)～(1.1.9)式可獲得能量守恒的微分形式在絕緣介質(zhì)(

=0)的情況下反映能量守恒的(1.1.6)式是直接從麥克斯韋方程組導(dǎo)出的，無(wú)論物質(zhì)方程(1.1.2)是否成立，它總是正確的。(1.1.10)

(1.1.11)

5.波動(dòng)方程在各向同性的均勻介質(zhì)中，介電常數(shù)

和磁導(dǎo)率

是與時(shí)間和空間位置無(wú)關(guān)的常數(shù)。由麥克斯韋方程組(1.1.1)可得到E和H分別滿足微分方程

(1.1.13)

5.波動(dòng)方程只要給定了電荷密度

和電流密度j的空間分布以及它們隨時(shí)間的變化,就可通過(guò)這組方程求出電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H的運(yùn)動(dòng)行態(tài)。5.波動(dòng)方程在絕緣介質(zhì)中，波動(dòng)方程有最簡(jiǎn)單的形式這組方程是我們下面討論各種電磁波，包括平面波、球面波、以及高斯光束的基本出發(fā)點(diǎn)。(1.1.15)

§1.2平面電磁波平面電磁波的一般特性：波的表達(dá)式、波矢、相速、以及偏振特性等。本節(jié)內(nèi)容

單色平面波

等相面和相速

平面波的偏振態(tài)

光強(qiáng)1.單色平面波

可以證明方程(1.1.15)的一組特解為：

(1.2.1)式滿足波動(dòng)方程的必要條件是(1.2.1)

(1.2.6)

1.單色平面波上式還可以寫成k是波矢的大小，

p稱為相速(

p=c/n),可以證明：(1.2.7)

(1.2.8)

1.單色平面波根據(jù)(1.2.7)式，考慮到電場(chǎng)、磁場(chǎng)、波矢的正交性，（1.2.8）式中的第一式可以寫成電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)不是孤立存在的.(1.2.9)

2.等相面和相速

在時(shí)間不變時(shí)，相位因子等于某個(gè)常數(shù)的點(diǎn)在空間構(gòu)成一個(gè)曲面，這個(gè)曲面叫等相面(波陣面)。波在傳播過(guò)程中最前邊的等相面叫波前。2.等相面和相速(1.2.1)式所表示的平面波，它的等相面方程為式中

是一個(gè)常數(shù)。這是一個(gè)以k為法線,到原點(diǎn)距離等于(

t+

0-

)/|k|的平面方程。(1.2.10)

2.等相面和相速把等相面方程(1.2.10)對(duì)時(shí)間t微商，如果沿著k方向r的增量為drk,則可以得到等相面沿法線方向的傳播速度

p正是(1.2.7)式中的相速。(1.2.11)

3.平面波的偏振態(tài)假設(shè)平面波沿z軸方向傳播，無(wú)論電場(chǎng)還是磁場(chǎng)都與傳播方向z軸垂直，即E和H在x-y平面中。在一個(gè)平面中的矢量總可以用兩個(gè)獨(dú)立的分量來(lái)表示，則沿z軸方向傳播的波可表示為:(1.2.15)

3.平面波的偏振態(tài)

電場(chǎng)的軌跡方程：式中

=

2-

1。(1.2.16)

3.平面波的偏振態(tài)在x-y平面上(1.2.16)式所表示的電場(chǎng)的軌跡是一個(gè)橢圓，稱為橢圓偏振光。當(dāng)Ex0=Ey0,

=(m+1/2)

（m是整數(shù)），(1.2.16)式所表征的曲線變成一個(gè)圓，稱為圓偏振光；當(dāng)Ex0=Ey0,

=m

(m是整數(shù))，(1.2.16)式所表征的曲線退化成一條直線，稱為線偏振光。4.光強(qiáng)利用平面波電場(chǎng)與磁場(chǎng)的關(guān)系(1.2.9)，能量密度表達(dá)式(1.1.8)可變成

能流密度表達(dá)式(1.1.9)可變成平均能量密度為(1.2.21)

(1.2.18)

(1.2.17)

4.光強(qiáng)平均能流密度為式中c是真空中的光速，n是介質(zhì)的折射率，

t是介質(zhì)中光速。(1.2.24)

4.光強(qiáng)在各向同性介質(zhì)中，光速

t與相速

p是相同的。在各向異性介質(zhì)中，一般情況下，無(wú)論是方向還是大小，光速都與相速不同。這時(shí)，光速定義為平均能流密度與平均能量密度之比。在光學(xué)上常把平均能流密度的大小叫做光強(qiáng)。4.光強(qiáng)在只考慮光的相對(duì)強(qiáng)弱時(shí)，光強(qiáng)可以寫成因此，電場(chǎng)與其復(fù)共軛的乘積就可以表示光強(qiáng)，而不必再去積分求平均值。(1.2.25)

§1.3球面波和任意簡(jiǎn)諧波為了簡(jiǎn)單，本節(jié)只討論球面標(biāo)量波和任意簡(jiǎn)諧標(biāo)量波。在空間不存在電荷和電流的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量都可以從方程(1.1.15)導(dǎo)出，滿足波動(dòng)方程：

式中E是電場(chǎng)的一個(gè)直角坐標(biāo)分量。(1.3.1)

本節(jié)內(nèi)容

球面波

任意簡(jiǎn)諧波

波包和群速

程函方程與光線方程1.球面波首先把波動(dòng)方程(1.3.1)中的拉普拉斯算符

2用球坐標(biāo)系的變量來(lái)表示。假設(shè)我們研究的場(chǎng)是點(diǎn)波源發(fā)出的，則這樣的場(chǎng)在空間的分布對(duì)于

角及

角都是對(duì)稱的。這時(shí)波動(dòng)方程(1.3.1)可以寫成

(1.3.3)

1.球面波設(shè)U(r,t)=rE(r,t),代入(1.3.3)式，結(jié)果有該方程的一個(gè)特解為(1.3.4)

(1.3.5)

1.球面波滿足該特解的必要條件是從(1.3.5)式可得到電場(chǎng)為該式表示波源位于坐標(biāo)原點(diǎn)，向外發(fā)散的球面波。(1.3.6)

(1.3.7)1.球面波

等相面方程為

是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)t不變時(shí)，上式表示一個(gè)半徑為r=(

t+

0-

)/k的球面。(1.3.8)

1.球面波方程(1.3.3)的另一個(gè)特解為它表示一個(gè)向原點(diǎn)收斂的球面波。(1.3.9)

1.球面波球面波的相速可從等相面方程(1.3.8)對(duì)時(shí)間的微商獲得該式表明，在各向同性的介質(zhì)中，球面波的相速與平面波的相速大小相等。(1.3.10)

2.任意簡(jiǎn)諧波對(duì)于一個(gè)圓頻率為

的標(biāo)量時(shí)間簡(jiǎn)諧波可認(rèn)為是波動(dòng)方程的一個(gè)特解。其形式為式中A(r)是振幅，g(r)是r的標(biāo)量函數(shù)。(1.3.11)

(1.3.12)

2.任意簡(jiǎn)諧波一般來(lái)說(shuō)，(1.3.12)式所表征的波其等相面和等振幅面是不一致的，這將導(dǎo)致在同一個(gè)等相面上各點(diǎn)的振幅不同。因此，稱這種波為非均勻波。非均勻波的等相面方程為式中

為常數(shù)。(1.3.13)

2.任意簡(jiǎn)諧波等相面沿其法線的傳播速度為任意簡(jiǎn)諧波的空間部分和時(shí)間部分可以分開(kāi)寫成式中U是空間變量的標(biāo)量函數(shù)。(1.3.15)(1.3.16)

2.任意簡(jiǎn)諧波將上式代入波動(dòng)方程(1.3.11)，可得到U所滿足的赫姆霍茲方程(1.3.17)

2.任意簡(jiǎn)諧波

這個(gè)方程與波動(dòng)方程是等價(jià)的。

對(duì)于空間變量和時(shí)間變量可分離的函數(shù)，其空間部分應(yīng)滿足這個(gè)方程。

這個(gè)方程是我們后面討論各種形式高斯光束的出發(fā)點(diǎn)。3.波包和群速任何一個(gè)波E(r,t)都可以看成是不同頻率的單色波的疊加式中a

是相應(yīng)于頻率為

的單色波的振幅。（1.3.18)

3.波包和群速考慮兩個(gè)平面單色波的疊加，假設(shè)它們都沿z軸方向傳播，振幅相同，頻率和波數(shù)略有不同，則它們的疊加為式中（1.3.20）

(1.3.21)

3.波包和群速(1.3.20)式可以看成是頻率為

、波數(shù)為

k、沿z軸方向傳播的平面波。然而這個(gè)波的振幅不是常量，而是隨時(shí)間t和位置z在0到2a之間變化，產(chǎn)生拍現(xiàn)象。振幅函數(shù)好象是一個(gè)調(diào)制波。3.波包和群速3.波包和群速

各等振幅面的傳播速度－群速度為

在更普遍的情況下，考慮一個(gè)由許多沿z方向傳播的單色波疊加組成的一維波群(1.3.22)

(1.3.23)

3.波包和群速如果這些單色波的振幅在

-(

/2)

+(

/2)內(nèi)顯著不為零，則(1.3.23)式可寫成其中(1.3.24)

(1.3.25)

3.波包和群速為了計(jì)算方便，假設(shè)傅里葉振幅為一個(gè)常數(shù)a

=a，則(1.3.25)式的積分結(jié)果為

(1.3.27)

3.波包和群速振幅最大的條件為:群速度可選定為振幅最大值的等值面的傳播速度。從(1.3.28)式求得(1.3.28)

(1.3.29)

3.波包和群速群速和相速的關(guān)系為式中

是波長(zhǎng)。所有各量都是對(duì)平均頻率

（或平均波數(shù)

k）來(lái)說(shuō)的。(1.3.30)

4.程函方程與光線方程

在各向同性介質(zhì)中，簡(jiǎn)諧電磁波的表達(dá)式為式中：

E0(r)－－電場(chǎng)的振幅,H0(r)--磁場(chǎng)的振幅。

k0－－

真空中的波數(shù)。

(r)－－空間標(biāo)量函數(shù)，稱為程函數(shù)。它對(duì)應(yīng)幾何光學(xué)中的光程。(1.3.31)

4.程函方程與光線方程把(1.3.31)式代入麥克斯韋方程組(1.1.1)的第二式和第四式(當(dāng)電流j=0時(shí))，可獲得程函方程它是光線理論的一個(gè)基本方程。(1.3.36)

4.程函方程與光線方程如果r是一條光線上某個(gè)代表點(diǎn)的位置矢量，s是從它上面