《機(jī)械制圖與CAD》課件-第6章

第6章兩立體相交（相貫線）6.1平面立體與曲面立體相交6.2兩曲面立體相交6.3多個(gè)立體相交機(jī)器零件通常是由多個(gè)立體組合而成的。相貫線就是指立體與立體表面相交所產(chǎn)生的交線，如圖6－1箭頭所指的部分就是兩立體表面相交的相貫線。研究相貫線的投影作圖是完成零件形狀表達(dá)的重要基礎(chǔ)。圖6－1進(jìn)氣閥殼體和三通管的相貫線

6.1平面立體與曲面立體相交

平面立體與曲面立體相交，其相貫線是平面立體上參與相貫的各平面與曲面立體表面相交而得到的各段截交線的組合，各段截交線的連接點(diǎn)則是平面立體的棱線與曲面立體表面的貫穿點(diǎn)，因此求平面立體與曲面立體的相貫線，就轉(zhuǎn)化為求截交線和貫穿點(diǎn)的問題。

【例6－1】求四棱柱與圓柱相交的相貫線（圖6－2）。圖6－2四棱柱與圓柱相交解（1）空間及投影分析。如圖6－2所示，四棱柱與圓柱相貫，相貫線為左右對(duì)稱的兩段封閉圖形，因此只需分析左半部分的相貫線。四棱柱的四個(gè)棱面（前后兩個(gè)正平面、上下兩個(gè)水平面）分別與圓柱面相交。其中前后兩個(gè)正平面與圓柱的軸線平行，截交線是圓柱體的兩條素線；上下兩個(gè)水平面與圓柱的軸線垂直，截交線為兩段圓弧。將這些截交線連接起來即為所求相貫線。（2）投影作圖。相貫線的水平投影重影在圓弧ace（bdf）上，側(cè)面投影則重影在四棱柱的側(cè)面投影（矩形）上。利用點(diǎn)的投影規(guī)律，作出相貫線的正面投影。

圖6－3是圓柱體中間貫穿一方形孔的情況。其相貫線仍可看成四棱柱和圓柱相交，相貫線形狀和求法同上例。其主視圖和俯視圖上的虛線表示四棱柱孔的上下兩個(gè)棱面、前后兩個(gè)棱面的積聚性投影。圖6－3圓柱體上穿長方形孔

【例6－2】求作六棱柱與圓錐相交的相貫線（圖6－4）。

圖6－4六棱柱與圓錐相貫解(1)空間及投影分析。圓錐穿過六棱柱頂面，因此六棱柱的頂面與圓錐面相交于一個(gè)圓，即為第一條相貫線；六棱柱的六個(gè)棱面平行于圓錐的軸線，與圓錐相交，其截交線是雙曲線，所以相貫線是由六段雙曲線組成封閉的空間曲線，即為第二條相貫線。第一條相貫線為水平圓，水平投影反映實(shí)形（圖中已畫出），正面投影和側(cè)面投影重影為一直線段。第二條相貫線，由于六棱柱的水平投影具有積聚性，故相貫線的水平投影重影在六棱柱各棱面的水平投影上，只需求出相貫線的正面投影和側(cè)面投影。圖6－4六棱柱與圓錐相貫（2）投影作圖。

①求特殊點(diǎn)。由水平投影中正六邊形的外接圓，確定出雙曲線的最低點(diǎn)Ⅰ（1，1′，1″）（即結(jié)合點(diǎn)）；由水平投影中正六邊形的內(nèi)切圓，定出雙曲線的最高點(diǎn)Ⅱ（2，2′，2″），然后利用緯圓法求得Ⅰ、Ⅱ的其余投影，如圖6－4所示。

②求一般點(diǎn)。在雙曲線的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間，用緯圓法（或素線法）可求出一般點(diǎn)Ⅲ的正面投影3′和側(cè)面投影3″。③光滑連接并判別可見性。相貫線左右、前后對(duì)稱，故其正面投影和側(cè)面投影均可見，分別光滑連接正面投影1′3′2′、側(cè)面投影1″3″2″。

④完成立體上的輪廓線。圓錐的主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線和左視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線貫入六棱柱中，貫入部分不畫其輪廓線。

【例6－3】求作三棱柱與半球相交的相貫線（圖6－5）。

（1）空間及投影分析。組成三棱柱的三個(gè)棱面與圓球相交，其截交線都是圓，故相貫線是由三段圓弧組成的空間曲線。由于三個(gè)棱面垂直于H面，因此三棱柱的水平投影具有積聚性，故相貫線的水平投影與之重合，只需求其正面投影和側(cè)面投影。棱面R是正平面，故與圓球相交的正面投影反映實(shí)形，側(cè)面投影積聚為一直線段；棱面P、Q是鉛垂面，故其圓弧的正面投影與側(cè)面投影均是橢圓弧。因棱面P和Q左右對(duì)稱于半球的軸線，故與圓球相交的圓弧的側(cè)面投影重合。圖6－5三棱柱與半球相交解（2）投影作圖。

①求棱面R與球面的交線。將棱面R擴(kuò)大，使其水平投影與半球水平投影外形線相交于點(diǎn)n。在正面投影中，以o′為圓心,以mn為半徑畫圓，該圓與棱線相交，得到交點(diǎn)1′、2′。1′2′圓弧即為棱面R與半球交線（圓弧）的正面投影。其側(cè)面投影與棱面a″c″重合。②求棱面P、Q與球的交線

a.求特殊點(diǎn)：B棱線的貫穿點(diǎn)Ⅲ的側(cè)面投影3″是B棱線的側(cè)面投影b″與半球左視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線的投影的交點(diǎn)，繼而可作出3、3′。正面投影中可見與不可見的分界點(diǎn)Ⅳ、Ⅴ(即半球主視圖轉(zhuǎn)向素線的點(diǎn)),可作輔助正平面PH3求得4′、5′，對(duì)應(yīng)作出側(cè)面投影4″、5″；相貫線上的最高點(diǎn)(即相貫線上離球頂最近的點(diǎn))Ⅵ、Ⅶ點(diǎn)，可首先在水平投影中自o分別向ab、bc引垂線得交點(diǎn)6、7，再作輔助正平面PH2求得6′、6″、7′、7″，如圖6－5（b）所示。

b.求一般點(diǎn)。為使所畫曲線準(zhǔn)確，在適當(dāng)位置處，再求若干一般點(diǎn)，如圖6－5(b)所示的Ⅷ、Ⅸ。

c.光滑連接并判別可見性。相對(duì)某一投影面來說，兩立體表面上都可見的點(diǎn)才可見，否則為不可見。因棱面R的正面投影不可見，故圓弧1′2′畫成細(xì)虛線。4′、5′是棱面交線正面投影可見與不可見的分界點(diǎn)，即橢圓弧3′6′4′、3′7′5′可見，畫成粗實(shí)線；橢圓弧4′8′1′、5′9′2′不可見，畫成細(xì)虛線。側(cè)面投影因相貫線左右對(duì)稱，故畫成粗實(shí)線。用光滑曲線連接正面投影1′8′4′6′3′、3′7′5′9′2′。側(cè)面投影重合為一段橢圓弧，亦光滑連接且可見。

d.完成立體輪廓線。如圖6－5所示，半球的主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線畫至其終止點(diǎn)4′、5′處，左視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線畫至AC棱面與3′處，全部可見。將棱線A、B、C的正面投影和側(cè)面投影畫至各自的終點(diǎn)處。注意正面投影圖中，部分被半球遮住的為不可見（參看放大圖）。

6.2兩曲面立體相交

6.2.1利用積聚性求相貫線

【例6－4】已知兩圓柱體軸線正交，求其相貫線的投影（圖6－6）。

解

(1)空間及投影分析。兩圓柱的軸線垂直相交，因此相貫線是一條封閉的空間曲線，且前后和左右對(duì)稱。

由于小圓柱面的水平投影具有積聚性（積聚為一個(gè)圓），相貫線的水平投影便重影在該圓上；同理，相貫線的側(cè)面投影重影在大圓柱的一段圓弧上，于是本問題就歸結(jié)為已知相貫線的水平投影和側(cè)面投影，求作它的正面投影。圖6－6軸線正交的兩圓柱體相貫（2）投影作圖。

①求特殊點(diǎn)。如圖6－6(a)所示，在相貫線的水平投影上，確定出最左Ⅰ、最右Ⅱ、最前Ⅲ、最后Ⅳ點(diǎn)的投影1、2、3、4，再在相貫線的側(cè)面投影上相應(yīng)地作出1″、2″、3″、4″。根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，作出1′、2′、3′、4′。顯然，Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ分別也是相貫線上的最高、最低點(diǎn)。②求一般點(diǎn)。如圖6－6（b）所示，在相貫線的側(cè)面投影上，取左右對(duì)稱的一般點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ投影5″、6″，根據(jù)投影規(guī)律，在相貫線的水平投影上作出5、6，繼而作出5′、6′。依照此方法，可作出若干一般點(diǎn)的投影。

③光滑連接并判別可見性。相貫線的正面投影，前半部分1′5′3′6′2′可見，畫粗實(shí)線；后半部分與前半部分重合，無需畫出。零件中最常見的是軸線垂直相交的兩圓柱體（孔）相貫，它們相貫線一般有三種形式：

（1）兩個(gè)圓柱體相貫。如圖6－7(a）所示，相貫線是上下對(duì)稱的兩條封閉的空間曲線。

（2）圓柱體與圓柱孔相貫。如圖6－7(b）所示，主視圖和左視圖上的虛線部分是圓柱孔的輪廓素線投影。

（3）圓柱孔與圓柱孔相貫。如圖6－7(c）所示，其相貫線是上下對(duì)稱的兩條封閉的空間曲線，還有用細(xì)虛線表示的轉(zhuǎn)向輪廓素線的投影。圖6－7圓柱與圓柱相貫

【例6－5】求圖6－8所示的兩圓柱相貫的相貫線。圖6－8軸線正交的兩個(gè)圓柱體相貫

解（1）空間及投影分析。兩圓柱的軸線正交，直立圓柱的水平投影具有積聚性（圓），相貫線的水平投影必然重影在該圓上；同理，相貫線的側(cè)面投影也積聚在大圓柱的圓?。ü膊糠郑┥?。因此相貫線的水平投影和側(cè)面投影已知，只需求出其正面投影。（2）投影作圖。

①求特殊點(diǎn)。如圖6－8所示，Ⅰ、Ⅲ位于直立小圓柱體的主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線上，Ⅱ、Ⅴ位于其左視圖的轉(zhuǎn)向輪廓素線上，Ⅳ、Ⅵ位于水平圓柱的主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線上。根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，由這些點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影，便可以求出其正面投影1′、2′、3′、4′、5′、6′。

②求一般點(diǎn)。由點(diǎn)Ⅶ、Ⅷ的水平投影7、8，根據(jù)投影關(guān)系求出側(cè)面投影7″、8″，以及正面投影7′、8′。③光滑連接并判別可見性。Ⅰ、Ⅶ、Ⅱ、Ⅷ、Ⅲ位于兩圓柱的前半部分，相對(duì)于正面投影，1′、3′是可見性分界點(diǎn)，故1′7′2′8′3′用粗實(shí)線畫出，3′4′5′6′1′用虛線畫出。連接時(shí)注意，在1′、3′處相貫線的投影與直立小圓柱的主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線相切，在4′、6′處相貫線的投影與水平圓柱的主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線相切（參看圖6－8放大圖）。

④完成立體輪廓線。直立小圓柱的主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線畫至1′、3′；水平圓柱的主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線畫至4′、6′，其中一部分被直立小圓柱遮住，用虛線畫出。

【例6－6】結(jié)合上例求軸線偏交的兩相貫圓柱體的相貫線（圖6－9）。

兩圓柱體軸線偏交，相貫線形狀發(fā)生了變化，但相貫線的求法和作圖步驟與上例相同。圖6－9中所示的點(diǎn)都是特殊點(diǎn)，這些點(diǎn)決定著相貫線的范圍、可見性、投影形狀等。如Ⅰ、Ⅱ是最高點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是最低點(diǎn)，Ⅴ、Ⅵ是最左點(diǎn)，Ⅶ、Ⅷ是最右點(diǎn)。此外從有積聚性的水平投影可直接得到最前點(diǎn)Ⅸ、Ⅹ,從有積聚性的側(cè)面投影直接求得最后點(diǎn)Ⅺ、Ⅻ。作圖過程略。圖6－9軸線偏交的兩圓柱體相貫解綜合以上相貫線作圖方法，求解相貫線投影的一般步驟可總結(jié)如下：

(1)分析兩個(gè)立體的形狀、大小和相對(duì)位置，并分析相貫線大致形狀及其投影性質(zhì)；

(2)求相貫線的特殊點(diǎn)（最左、最右、最前、最后、最低、最高六個(gè)點(diǎn)，包括相對(duì)投影面的可見性分界點(diǎn)）；

(3)求一般點(diǎn);

(4)依次光滑連接相貫線上各點(diǎn)的同面投影，并判別可見性；

(5)補(bǔ)畫完整立體表面的輪廓線投影。6.2.2利用輔助平面法求相貫線

用輔助平面法求相貫線的基本原理是：作一輔助截切平面，使該輔助截切平面與兩回轉(zhuǎn)體都相交，求出截切平面與兩回轉(zhuǎn)體的截交線，截交線的交點(diǎn)就是兩立體表面的共有點(diǎn)，即相貫線上的點(diǎn)。同時(shí)由于該點(diǎn)也在輔助截切平面上，故輔助平面法也稱“三面共點(diǎn)法”。

為了簡化作圖，選擇輔助截切平面時(shí)，應(yīng)使輔助截切平面與兩相交立體表面所產(chǎn)生的截交線最為簡單，如圓、直線等。輔助平面盡可能選擇為特殊位置平面，如投影面的平行面，如圖6－10所示。圖6－10選擇輔助平面

(a)水平面；(b)過圓錐體錐頂?shù)恼矫?/p>

【例6－7】求作圓柱與圓錐相交的相貫線（圖6－11(a)）。

（1）空間及投影分析。由圖6－10可知，圓柱與圓錐相交的相貫線是一條前后對(duì)稱的封閉空間曲線。由于圓柱體在側(cè)面投影上具有積聚性（圓），故相貫線的側(cè)面投影必重影在該圓上，其正面投影和水平投影就需要利用輔助平面法求得。為了使輔助平面與圓柱面、圓錐面相交得到的截交線同時(shí)最簡單，只有選擇水平面和過錐頂?shù)恼矫?。圖6－11圓柱與圓錐相貫解（2）投影作圖（圖6－11(a)）。

①作特殊點(diǎn)。

a.最高點(diǎn)Ⅰ、最低點(diǎn)Ⅱ。如圖6－11（a）所示，1′、2′在圓柱和圓錐主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線的交點(diǎn)處，利用投影規(guī)律求出1、2。也可利用作通過錐頂?shù)恼矫媲蠼狻?/p>

b.最前點(diǎn)Ⅲ和最后點(diǎn)Ⅳ。過圓柱體軸線作水平面PV，與圓柱面相交得到最前、最后的轉(zhuǎn)向輪廓素線，與圓錐面相交得到水平圓，交點(diǎn)的水平投影即是3和4。由3、4分別作出3′、4′（相互重合）和3″、4″。

c.最右點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ。最右點(diǎn)可通過主視圖上兩立體的軸線交點(diǎn)向圓錐素線作垂線來確定輔助水平面RV的位置（在該位置上求得的相貫線點(diǎn)為相貫線的最右點(diǎn)，讀者可參考后面介紹的輔助球面法）。輔助截切平面RV截切圓柱體是兩條素線，截切圓錐體是水平圓，二者水平投影的交點(diǎn)為5、6，繼而求出5′、6′（相互重合）和5″、6″。②求一般點(diǎn)。作水平面SV，求出一般點(diǎn)Ⅶ點(diǎn)和Ⅷ點(diǎn)的三面投影（方法同最右點(diǎn)）。

③光滑連接并判別可見性。只有同時(shí)位于兩個(gè)立體可見表面上的相貫線，其投影才可見，可以判斷出：水平投影36154可見，47283不可見；正面投影1′5′3′7′2′可見，2′8′4′6′1′不可見，且與1′5′3′7′2′重合，如圖6－11(b)所示。

從上例可以看出，在許多情況下，輔助面的選擇可以是多種，具體使用時(shí)應(yīng)根據(jù)立體表面的幾何性質(zhì)及輔助面的選擇原則具體分析，以便作圖簡便，且使得作出的相貫線相對(duì)準(zhǔn)確。

【例6－8】兩圓柱軸線斜交，求其相貫線（圖6－12）。

（1）空間及投影分析。兩圓柱軸線斜交，具有平行于Ⅴ面的公共對(duì)稱平面，其相貫線為前后對(duì)稱的空間曲線。水平圓柱的側(cè)面投影具有積聚性（圓），相貫線的側(cè)面投影重影在該圓的一段公共圓弧上，故只需求出相貫線的正面投影和水平投影。本例宜選用正平面作為輔助平面。圖6－12兩圓柱斜交解（2）投影作圖。

①求特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。它們的投影可以根據(jù)轉(zhuǎn)向輪廓素線的投影對(duì)應(yīng)關(guān)系直接求出。其中,Ⅰ、Ⅱ是最高點(diǎn),也是最左和最右點(diǎn)；Ⅲ、Ⅳ是最低點(diǎn),也是最前和最后點(diǎn)。

②求一般點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ。采用正平面（如圖6－12平面PH）作為輔助截切平面截切兩圓柱，其截交線是兩對(duì)素線。正面投影中，兩對(duì)素線的交點(diǎn)5′、6′就是相貫線上的點(diǎn)，繼而求出其水平投影5、6。按照同樣方法可求得一系列的共有點(diǎn)。為使作圖準(zhǔn)確，可采用換面法將斜置圓柱進(jìn)行投影變換，使得斜置圓柱的新投影為圓，并具有積聚性。輔助正平面P在新投影面上的跡線為PH1，其位置可以根據(jù)y坐標(biāo)確定，這樣即可準(zhǔn)確求出與斜置圓柱體上相交的素線。

③光滑連接并判別可見性。相貫線的正面投影前后對(duì)稱，因此用粗實(shí)線畫出可見部分。水平投影中3、4為可見性分界點(diǎn)，右半段可見，左半段不可見。

【例6－9】求作圓錐臺(tái)與部分半球相貫的相貫線（圖6－13）。

（1）空間及投影分析。部分球體為1/4球前后對(duì)稱地切去兩塊而成，圓錐臺(tái)的軸線垂直于水平面，但不通過圓心，其相貫線是前后對(duì)稱的封閉空間曲線。因?yàn)榍蚺c圓錐臺(tái)的各面投影都沒有積聚性，故需用輔助平面法來求作相貫線的三面投影。根據(jù)輔助平面的選擇原則，只有選擇水平面以及通過錐臺(tái)軸線的正平面和側(cè)平面才能使截交線為圓或直線。圖6－13圓錐臺(tái)與部分半球相交解（2）投影作圖。

①求特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。輔助正平面PH截球體與圓錐臺(tái)所得交線的交點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ，即為相貫線的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，如圖6－13所示。

輔助側(cè)平面RV截球體與圓錐臺(tái)所得交線的交點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ，即相貫線的最前點(diǎn)和最后點(diǎn)。截交線的側(cè)面投影反映實(shí)形，平面RV與圓錐臺(tái)的截交線的側(cè)面投影是圓錐臺(tái)的左視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線，平面RV與球體的截交線是以圓球主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線到其側(cè)垂軸線的距離為半徑的圓弧，它們的交點(diǎn)即3″、4″，然后作出3、4及3′、4′。②求一般點(diǎn)。在Ⅰ、Ⅱ的高度范圍內(nèi)，選取水平面QV為輔助平面，QV截球體與圓錐臺(tái)所得截交線分別是在水平面上反映實(shí)形的兩段圓弧，交點(diǎn)是Ⅴ、Ⅵ。依據(jù)此法可求出相貫線上的一系列點(diǎn)。

③依次光滑連接各點(diǎn)的同面投影，并判別可見性，完成相貫線的投影。

注意，側(cè)面投影中，圓錐臺(tái)的左視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線畫至3″、4″處。球體的左視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線有一部分被圓錐臺(tái)遮住，因此有一段圓弧是虛線。

【例6－10】求作圖6－14的圓柱與半球相交的相貫線。

(1)空間及投影分析。該相貫線為空間曲線。由于圓柱的軸線是鉛垂線，相貫線的水平投影與圓柱面的水平投影重合，故僅需求作其正面投影。圖6－14圓柱與半球相交解（2）投影作圖。

①求特殊點(diǎn)。由于相貫線的水平投影已知，故可確定特殊點(diǎn)的位置。如圖6－14（a）所示，包含圓柱軸線作正平面QH，可求得最左點(diǎn)Ⅰ（1，1′）及最右點(diǎn)Ⅱ（2，2′）；包含圓柱的左視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線作正平面RH、PH，可求得最前點(diǎn)Ⅲ（3，3′）和最后點(diǎn)Ⅳ（4，4′）。若采用輔助水平面截切圓柱和球，截交線為兩個(gè)圓，在一般情況下兩圓相交得兩點(diǎn)，在特殊情況下兩圓相切，切點(diǎn)必為相貫線上的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)。作圖時(shí)可從水平投影入手，根據(jù)兩圓相切，切點(diǎn)必在連心線上的原理，將點(diǎn)o1和o2連成一直線，此直線與圓柱面的水平投影（圓）交于5、6，即為最低點(diǎn)Ⅴ、最高點(diǎn)Ⅵ的水平投影，繼而可求出其正面投影。為了正確畫出相貫線，還要過球心作正平面T，即得半球主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線上的兩點(diǎn)Ⅶ（7，7′）和Ⅴ（8，8′），如圖6－14（b）所示。②求一般點(diǎn)。在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的適當(dāng)位置，作一系列水平面(如平面SV)，求出一般點(diǎn)Ⅸ（9，9′）、Ⅹ（10，10′）等。

③光滑連接并判別可見性。依次光滑連接各點(diǎn)的正面投影。由于圓柱的軸線位于球心之前，所以圓柱主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線上的1′、2′點(diǎn)為相貫線在正面投影的可見性分界點(diǎn)，因此用粗實(shí)線畫出兩點(diǎn)之前的相貫線的正面投影1′5′3′9′2′，用虛線畫出2′8′6′4′10′7′1′。

④完成立體表面輪廓線。連點(diǎn)時(shí)，應(yīng)注意圓柱與半球主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線上的連線(參看放大圖)。6.2.3輔助球面法

輔助球面法是利用球面作為輔助面求相貫線上的點(diǎn)。其基本原理為：任何回轉(zhuǎn)面與球面相交時(shí)，如果球心位于該回轉(zhuǎn)面的軸線上，則其相貫線必為垂直于回轉(zhuǎn)面軸線的圓；若回轉(zhuǎn)面的軸線平行于某一投影面，則該圓在該投影面上的投影是一垂直于軸線的直線段，該線就是球面與回轉(zhuǎn)面轉(zhuǎn)向輪廓素線的交點(diǎn)的連線，如圖6－15所示。圖6－15回轉(zhuǎn)體與圓球相交下面說明利用輔助球面求作兩曲面立體相貫線的條件和作圖方法。

圖6－16為軸線斜交且平行于Ⅴ面的兩圓柱相交(圖中未示出水平投影)。在求它們的相貫線時(shí)，可利用兩軸線的交點(diǎn)為球心，以適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作一輔助球（圖中以R為半徑的圓是輔助球面的正面投影），該球面與兩圓柱面的交線均為圓，且在Ⅴ面上的投影為相交的兩直線段，它們的交點(diǎn)1、2必為相貫線上點(diǎn)Ⅰ和點(diǎn)Ⅱ的正面投影，若改變輔助球面半徑的大小，則可得出相貫線上一系列的點(diǎn)，這種利用球面求作相貫線上點(diǎn)的方法就稱為輔助球面法。通常，凡兩個(gè)相交的曲面立體符合下列三個(gè)條件，即可采用輔助球面法求作相貫線：

(1)相交的兩曲面都是回轉(zhuǎn)面；

(2)兩回轉(zhuǎn)面的軸線相交；

(3)兩回轉(zhuǎn)面的軸線所決定的平面，即兩曲面立體的公共對(duì)稱面平行于某一投影面。由于上述條件，限制了它的應(yīng)用范圍。但在某些場合，用球面法比較簡單。但是必須注意，輔助球面的半徑大小有一個(gè)范圍。如圖6－16所示，如果取大于R1或小于R2的半徑作球面，都不能求出相貫線上的點(diǎn)，故以R1為半徑的球面稱為最大半徑球面，以R2為半徑的球面稱為最小半徑球面。通常，最大半徑球面是經(jīng)過兩曲面轉(zhuǎn)向輪廓素線的交點(diǎn)中距球心最遠(yuǎn)的一個(gè)。在圖6－16中，兩圓柱面主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線的兩個(gè)交點(diǎn)中，上面的一點(diǎn)距球心遠(yuǎn)，利用經(jīng)過此點(diǎn)的最大半徑球面求出3′。最小半徑球面應(yīng)是兩回轉(zhuǎn)面的內(nèi)切球中半徑較大的一個(gè)，最小半徑球面是與直立圓柱面相內(nèi)切的，利用這個(gè)輔助球面可求出4′。圖6－16球面法求斜交兩圓柱的相貫線

【例6－11】求圓柱與圓錐斜交的相貫線(圖6－17)。

解（1）空間分析。由于兩個(gè)曲面都是回轉(zhuǎn)面，它們的軸線相交且平行于V面，所以可采用輔助球面法求其相貫線。圖6－17圓柱與圓錐斜交（2）投影作圖。

①圓柱與圓錐主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線的交點(diǎn)2′、1′為相貫線上最高和最低點(diǎn)的正面投影。由1′、2′求得水平投影1、2（圖6－17（a））。

②求最大輔助球半徑和最小輔助球半徑。由球心投影到兩曲面主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線交點(diǎn)中最遠(yuǎn)的一點(diǎn)2′的距離R1即為球面的最大半徑。從球心投影向兩曲面主視圖轉(zhuǎn)向輪廓素線作垂線，垂線段中較長的一個(gè)R2就是球面的最小半徑，如圖6－17（b）所示。

③求最右點(diǎn)Ⅶ、Ⅷ。以o′為圓心，R2為半徑，作圓錐的內(nèi)切輔助球，即可求得7′(8′)，由7′、8′求出7、8（圖6－17（b））。④求一般點(diǎn)。如圖6－17（a）所示，以軸線交點(diǎn)的正面投影o′為圓心，取適當(dāng)半徑R(R2<R<R1)作圓。作出輔助球面與圓錐的交線圓A、B的正面投影a′、b′及輔助球面與圓柱的交線圓C的正面投影c′，則5′(6′)=a′∩c′，3′(4′)=b′∩c′，即為兩立體表面的共有點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的正面投影。其水平投影3、4及5、6可用圓錐面取點(diǎn)的方法求得。

⑤可通過圓柱軸做輔助正垂面，利用前面所學(xué)的換面法，求出相貫線上的最前、最后特殊點(diǎn)Ⅸ、Ⅹ，此處不再贅述。

⑥光滑連接各點(diǎn)，并判別可見性。圓柱和圓錐前后對(duì)稱，相貫線的正面投影前后重合，畫粗實(shí)線。相貫線的水平投影可見性的分界點(diǎn)為9、10，右半部分畫粗實(shí)線，左半部分畫虛線。6.2.4特殊情況相貫線

1. 相貫線為平面曲線

（1）兩個(gè)同軸回轉(zhuǎn)體相交時(shí)，其相貫線是圓，該圓垂直于公共軸線；當(dāng)公共軸線平行于某一投影面時(shí)，這個(gè)圓在該投影面上的投影變?yōu)橹本€（圖6－15）。

（2）當(dāng)兩個(gè)二次曲面同時(shí)相切于一球面時(shí)，相貫線是橢圓。若橢圓所在平面與投影面垂直，則相貫線在該投影面上的投影為一直線段。如圖6－18是兩個(gè)等直徑圓柱正交與斜交的相貫線的投影圖。圖6－19是同時(shí)切于一球面的圓柱與圓錐正交與斜交的相貫線投影圖。圖6－18直徑相等的兩個(gè)圓柱相交圖6－19切于同一球面的圓柱與圓錐相交

2.相貫線為直線

（1）軸線平行的兩圓柱相交，相貫線是直線（圖6－20）。

（2）兩共頂?shù)膱A錐相交，相貫線是直線（圖6－21）。圖6－20相交兩圓柱的軸線平行圖6－21相交兩圓錐共頂6.2.5影響相貫線形狀的因素

影響相貫線形狀的因素是兩曲面立體的形狀、大小及其相互位置。而影響相貫線投影的形狀，還有它們與投影面的相對(duì)位置。表6－1所示為兩立體的形狀及相對(duì)位置變化時(shí)對(duì)相貫線形狀的影響。表6－2所示為立體的形狀和相對(duì)位置相同而尺寸不同時(shí)，對(duì)相貫線形狀的影響。表6－1相貫線的形狀特征1表6－2相貫線的形狀特征2 6.3多個(gè)立體相交

前面介紹了兩個(gè)立體相交時(shí)相貫線的投影作圖方法。而實(shí)際上，零件往往是由多個(gè)立體相交而成。交線相對(duì)比較復(fù)雜，但其作圖方法還是與兩個(gè)立體相交的相貫線求法基本相同。

求多個(gè)立體相交時(shí)相貫線的步驟如下：

（1）進(jìn)行形體分析，弄清楚它們的形狀、大小和相對(duì)位置關(guān)系。

（2）判斷哪些立體之間有相貫線，初步分析其相貫線的范圍和趨勢，并分別作出兩兩之間的相貫線。

（3）注意相貫線的各結(jié)合點(diǎn)。

【例6－12】圖6－22所示為多個(gè)回轉(zhuǎn)體相貫的零件，求其相貫線。

解該零件的外表面交線系由三個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐分別相交而成。可將它們分解成兩兩相交，其