第7章量子力學的矩陣形式與表象變換

第7章量子力學的矩陣形式與表象變換§7.1量子態(tài)的不同表象，幺正變換§7.2力學量（算符）的矩陣表示

§7.3量子力學的矩陣形式

§7.4Dirac

符號

海森堡（Werner

Heisenberg，1901年－1976年），德國著名物理學家，量子力學的創(chuàng)立人。他于20世紀20年代創(chuàng)立的量子力學，可用于研究電子、質(zhì)子、中子以及原子和分子內(nèi)部的其它粒子的運動，從而引發(fā)了物理界的巨大變化，開辟了20世紀物理時代的新紀元。為此，1932年，他獲得諾貝爾物理獎，成為繼愛因斯坦和波爾之后的世界級的偉大科學家。其主要貢獻為：提出了量子力學的矩陣形式、提出測不準原理和S矩陣理論?！?.1量子態(tài)的不同表象，幺正變換1.直角坐標系及其變換設有直角坐標系x1x2，其基矢為e1,e2，即任一矢量在坐標系中展開為Ox1x2x′2x′1θθe1e2e′1AA1A2A′2A′1e′2若有另一直角坐標系x1’x2’，其基矢為e1’,e2’，即任一矢量A在坐標系中的展開為同一矢量A在兩個坐標系中展開之間的關(guān)系時則表示成矩陣形式是或?qū)懗煽梢姡?/p>

同一矢量在兩個坐標系中的表示之間的關(guān)系通過一變換矩陣聯(lián)系在一起，變換矩陣的矩陣元是兩個坐標系基矢間的標積。變換矩陣的性質(zhì)：

(1)變換矩陣R是真正交矩陣(properorthogonalmatrix)(2)

變換矩陣R是幺正矩陣(unitarymatrix)2.

表象及其變換任何一個量子態(tài)可以抽象成Hilbert空間中的一個矢量。體系的任何一組對易力學量完全集F的共同本征態(tài)可構(gòu)成此態(tài)空間的一組正交歸一完備的基矢，稱為F表象。每選擇一組展開基矢，態(tài)空間便有了一種描述方式，就說是選取了一組表象。同時，將一個矢量方程向某組基矢投影，便意味著進入了相應的（由該基矢所表示的）表象。表象的改變意味著狀態(tài)空間中基矢的改變，表象變換是一種幺正變換，選擇不同基矢去描述同一體系，得到全部的物理結(jié)論都應當相同。作為基矢的態(tài)矢量的集合必須是完備的。常見的表象有：坐標表象、動量表象和能量表象。任一量子態(tài)Ψ的展開則一組數(shù)（a1,a2,…）就稱為Ψ在F表象中的表示若有另一組力學量完全集F′則量子態(tài)Ψ在F’中的展開為則式中為F′

表象和F表象基矢的標積。矩陣形式同一量子態(tài)在不同表象表示間的關(guān)系F表象：量子態(tài)表象變換的矩陣形式可以證明：即表象變換時幺正變換。證明：說明§7.2力學量（算符）的矩陣表示1.矢量的矩陣表示平面上一矢量A逆時針轉(zhuǎn)動θ角后變成矢量B,則令(1)代入(2)得x1x2ABθ表示沿逆時針方向把矢量旋轉(zhuǎn)θ的操作x1x2Re1θθ

e2Re2寫成矩陣形式分別用e1,e2點乘得則第一列是e1經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后在坐標系各基矢方向的投影；第二列是e2經(jīng)旋轉(zhuǎn)后在基矢上的投影。矢量逆時針操作的矩陣表示2.力學量的矩陣表示設量子態(tài)ψ經(jīng)算符L的運算變成量子態(tài)φ，即在F表象中，F(xiàn)表象的基為上式可寫成兩邊同乘ψ*j，取標積得矩陣形式就是算符L在F

表象中的表示。該表示的第n列元素為表示基矢ψn

經(jīng)算符L作用后在各基矢上的投影。例題一維諧振子坐標x,動量p和Hamilton量H在能量表象中的矩陣表示則能量表象中坐標和動量的矩陣表示為力學量在不同表象間表示的變換F表象：F′表象：因為則即而為從F→F′的幺正變換矩陣比較量子態(tài)ψF表象F′表象力學量L或?qū)懗珊啙嵭问狡渲惺菑腇→F′表象的幺正變換矩陣?！?.3

量子力學的矩陣形式7.3.1Schr?dinger

方程在F表象中波函數(shù)表示為代入到方程(1)得左乘Ψj求標積得或這就是F表象中的薛定諤方程能量本征方程的矩陣形式在F表象中波函數(shù)表示為代入本征方程得兩邊左乘Ψj求標積得上述方程有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即久期方程通過解上述一元N次方程可求出能量本征值Ei，將每一個Ei代入到上述的N元一次方程組，就可求出對應的一組{ai}，排成列矩陣就是本征值Ei對應的本征態(tài)；若上述久期方程有重根，則能級有簡并。7.3.2平均值力學量的平均值特例：若L=F，則7.3.3

任意力學量的本征方程算符L的本征方程將代入上述方程得左乘Ψj取標積得即上式就是力學量L的本征方程在F表象中的矩陣形式方程有非平庸解的條件是或?qū)懗扇舯硐罂臻g的維數(shù)為N，則上述方程有N個實根將每一個根代入(8)可得到相應的一組解寫成列矢形式這就是與本征值對應的本征矢在F表象中的表示。例題

已知在l=1的（L2,Lz）表象中(1)給出它們的本征值與本征態(tài)矢(2)

寫出(L2,Lz)表象到(L2,Lx)表象的變換矩陣S，并通過S矩陣

求出在(L2,Lx)表象中Lx，Ly，Lz的矩陣表示、本征值與本征態(tài)解：

(1)

Lx的本征方程即或?qū)懗煞匠逃蟹瞧接菇獾某湟獥l件是解得：將代入(1)得同理可得同理有（2）由Lx的三個本征矢量得到從(L2,Lz)到(L2,Lx)的表象變換矩陣S由變換公式可以得到在(L2,Lx)表象中算符、本征值和本征態(tài)§7.4Dirac符號§7.4Dirac符號保羅·狄拉克(PaulAdrieMaurice

Dirac1902~1984)量子力學的創(chuàng)建者之一。26歲時提出量子力學和量子電動力學的基本方程----狄拉克方程，因而獲得了1933年的諾貝爾物理獎。他預言了電子的反粒子-----正電子的存在，在量子統(tǒng)計、宇宙學甚至數(shù)學方面都有獨到的創(chuàng)造。主要著作有<量子力學原理>7.4.1右矢（ket)與左矢（bra）7.4.2

標積量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個Hilbert空間，空間中的任一矢量用來標記一個量子態(tài)Dirac符號的優(yōu)點：不涉及具體的表象；運算簡潔特別適合表象變換基矢的完備性條件離散譜連續(xù)譜應用7.4.3

態(tài)矢在具體表象中的表示在F表象中，任意態(tài)矢的展開式為則這組數(shù)就稱為態(tài)矢在F表象中的表示。列矢量的形式投影算符：由（3）得定義：投影算符(projectionoperator)則完備性關(guān)系（單位算符）坐標和動量表象中的完備性關(guān)系F表象中標積的計算則7.4.4

算符在具體表象中的表示設態(tài)經(jīng)過算符運算有在F表象中利用基矢的完備性有即其中分別是兩態(tài)矢在F表象中的表示，是力學量L在F表象中的表示矩陣形式力學量L的本征方程的矩陣表示本征方程在F表象中的表示即求解該方程就可得到力學量L的本征值。7.4.5

薛定諤方程薛定諤方程在F表象中的表示即矩陣形式力學量的平均值7.4.6

表象變換1.

態(tài)的表象變換設態(tài)Ψ在F表象和F’表象中的表示分別是則即式(20)的矩陣形式是或?qū)懗煽梢宰C明S是幺正變換，即證明：在F表象中2.

算符的表象變換算符L在F表象和F’表象中的矩陣元分別是則即幺正變換的性質(zhì)(1)幺正變換不改變算符的本征值證明:

設算符L在F表象中的本征方程為作表象變換F→F′,則即(2)幺正變換下矩陣的積不變3.連續(xù)譜表象----坐標表象與動量表象坐標表象動量表象態(tài)的表象變換算符在坐標表象中的表示算符在動量表象中的表示力學量的平均值（坐標表象中）力學量的平均值（動量表象中）坐標表象中的薛定諤方程即動量表象中的薛定諤方程即Review1.Dirac

符號態(tài)矢基矢力學量力學量的平均值內(nèi)積薛定諤方程完備性關(guān)系2.表象與表象變換F表象：態(tài)矩陣形式基矢矩陣形式力學量的矩陣表示：為一方陣，矩陣元為在自身表象中為單位矩陣，矩陣元就是其本征值F表象：F′表象：3.在具體表象中算符本征方程求解(1)寫出本征方程(2)寫出在具體表象中本征方程得矩陣形式(3)解久期方程就可得到力學量L的本征值，可以證明，本征值的個數(shù)就是上面的矩陣的維數(shù)。(4)將每一個本征值分別代入上面的方程，就可得到對應的本征函數(shù)。Appendix

矩陣與行列式的性質(zhì)一矩陣1.矩陣相等A=B，矩陣的對應元素分別相等2.矩陣加減A±B，矩陣的對應元素分別相加減3.矩陣的數(shù)乘kA,4.矩陣的乘法AB=C5.矩陣轉(zhuǎn)置：矩陣的行列互換6.方陣A的逆矩陣A-1