微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

第4頁(yè)共13頁(yè)第5頁(yè)共13頁(yè)緒論 21微積分在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的應(yīng)用 31.1用微積分的方法解決速度和加速度的問(wèn)題 31.2用微積分的方法解決變力做功的問(wèn)題 102微積分在熱學(xué)中的應(yīng)用 113微積分在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用 134微積分在電磁學(xué)中的應(yīng)用 17結(jié)束語(yǔ) 20參考文獻(xiàn) 20例1如圖，曲柄以均勻角速度饒定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).此曲柄借連桿使滑塊沿直線運(yùn)動(dòng).求連桿上點(diǎn)的軌道方程及速度.設(shè)解1)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，(1)(2)由三角形的正弦定理，有故得(3)由(1)得(4)由，得化簡(jiǎn)整理,得點(diǎn)的軌道方程為:2)要求點(diǎn)的速度,首先對(duì)(1),(2)分別求導(dǎo),得其中又因?yàn)閷?duì)該式兩邊分別求導(dǎo),得所以點(diǎn)的速度例2寬度為的河流，其流速與到河岸的距離成正比。在河岸處，水流速度為零，在河流中心處，其值為。一小船以相對(duì)速度沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對(duì)岸靠攏的地點(diǎn)。解以一岸邊為軸，垂直岸的方向?yàn)檩S，如圖建立坐標(biāo)系。所以水流速度為由河流中心處水流速度為，故，所以.當(dāng)時(shí)，，即(1)得.兩邊積分，有(2)由(1)-(2)，得，(3)同理，當(dāng)時(shí)，，即(4)其中為一常數(shù)。由(3)知，當(dāng)時(shí)，，代入(4)，得，于是.所以船的軌跡為船在對(duì)岸的靠攏地點(diǎn)，即時(shí)有圖1例3湖中有一小船,岸邊有人用繩子跨過(guò)離水面高為的滑輪拉船靠岸,如圖1所示，設(shè)繩的原長(zhǎng)為，以勻速率拉繩，求在任意位置處,小船的速度和加速度?！?〕圖1解小船可作為質(zhì)點(diǎn)并作一維運(yùn)動(dòng)，選取坐標(biāo)系如圖1所示，在任一位置處，繩長(zhǎng)，位置坐標(biāo)及高度(常數(shù))之間有如下關(guān)系:.(1)將(1)式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),有.(2)注意到（繩長(zhǎng)減小），則有.(3)將(2)式兩邊再對(duì)求導(dǎo)有注意到，為常數(shù)，則上式為即和表達(dá)式中的負(fù)號(hào)表示，的方向沿軸負(fù)向,且隨著小船向岸邊的運(yùn)動(dòng),速度和加速度的值越來(lái)越大,這與文獻(xiàn)〔1〕給出的結(jié)果相同。1.2用微積分的方法解決變力做功的問(wèn)題力學(xué)、熱力學(xué)基礎(chǔ)中經(jīng)常會(huì)有求變力作功的問(wèn)題.質(zhì)點(diǎn)在恒力作用下，沿直線產(chǎn)生位移過(guò)程中的功。但對(duì)一般情況，質(zhì)點(diǎn)沿曲線從運(yùn)動(dòng)到，且質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，作用于質(zhì)點(diǎn)上力的大小方向都可能不斷改變，要計(jì)算力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功，可將軌道曲線分成許多微分線段，稱為位移元，計(jì)算出在每一位移元上所做的元功，再對(duì)整個(gè)路徑上所有元功求和.由于極小，所以每一位移元都可看成直線段，而質(zhì)點(diǎn)所受力皆可視為恒力.這樣質(zhì)點(diǎn)所做的元功為變力所做的功就是全部元功的和，寫(xiě)成積分的形式就是：因此通過(guò)微積分的方法可以把物理問(wèn)題中變化的量轉(zhuǎn)化為不變的量，先求微元再求和的方法，從而求出變力在整個(gè)物理過(guò)程中做的總功，使看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.例1設(shè)力其中驗(yàn)證為保守力，并求出其勢(shì)能。解：為驗(yàn)證是否為保守力，將題設(shè)中力的表達(dá)式代入，得于是是保守力。故其勢(shì)能為2微積分在熱學(xué)中的應(yīng)用例11摩爾單原子理想氣體經(jīng)歷如圖2所示的循環(huán)過(guò)程,①求循環(huán)過(guò)程中的最低與最高溫度,②求循環(huán)過(guò)程的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。(大氣壓)(大氣壓)02442f圖2解①求最低與最高溫度,由圖2可以看出,,三點(diǎn)分別處在三條溫度不同的等溫線上,其中點(diǎn)的溫度(為氣體普適恒量)最低,點(diǎn)溫度最高，為求,利用理想氣體狀態(tài)方程(4)對(duì)微分，有(5)由圖2可得出過(guò)程的過(guò)程方程為(6)由(6)式得,代入(5)式中有(7)在最高溫度處,應(yīng)有,故由(7)式解出,代入(6)式,得,，從而求得最高溫度為‘.②求循環(huán)過(guò)程中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)由圖2看到,段為等壓壓縮階段,氣體放熱,段為等容吸熱階段,顯然點(diǎn)是放熱與吸熱的轉(zhuǎn)折點(diǎn),且.在段,溫度由點(diǎn)開(kāi)始逐漸升高,過(guò)點(diǎn)后溫度繼續(xù)升高,直到點(diǎn)溫度達(dá)到最高,在此之前由熱力學(xué)第一定律,因,故（吸熱）,過(guò)點(diǎn)之后,溫度降低,故有,所以只有在段才可能有(放熱),也就是說(shuō),只有在段才可能出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)(在該點(diǎn),之前,之后),現(xiàn)在求該轉(zhuǎn)折點(diǎn).由熱力學(xué)第一定律,注意到理想氣體有,(8)式中為定容摩爾熱容,為定壓摩爾熱空,對(duì)單原子理想氣體有令（8）式中。代入（6）式求得轉(zhuǎn)折點(diǎn)為.3微積分在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用在用積分求解物理問(wèn)題中涉及到積分元,積分變量,積分上下限如何確定等問(wèn)題,有時(shí)積分元或積分變量選得好,則計(jì)算就變得很方便和簡(jiǎn)單,否則就難于計(jì)算甚至求不出結(jié)果。在應(yīng)用微積分方法解物理問(wèn)題時(shí)，微元的選取非常關(guān)鍵，選的恰當(dāng)有利于問(wèn)題的分析和計(jì)算，其一要保證在所選取的微元內(nèi)能近似處理成簡(jiǎn)單基本的物理模型，以便于分析物理問(wèn)題；其二要盡量把微分元選取的大，這樣可使積分運(yùn)算更加簡(jiǎn)單，因?yàn)槲⒎趾头e分互為逆運(yùn)算，微分微的越細(xì)，越精確，但積分越繁瑣，計(jì)算工作量較大，所以還要在微分和積分這對(duì)矛盾之間協(xié)調(diào)處理.例1如圖1所示，計(jì)算半徑為，質(zhì)量為，密度均勻圓盤(pán)繞過(guò)圓心且與盤(pán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.[2]RRm圖3我們用微分的方法來(lái)求解.如圖1所示，把圓盤(pán)分成許多無(wú)限薄的圓環(huán)，圓盤(pán)的密度為，圓盤(pán)的厚度為，則半徑為，寬為的薄圓環(huán)的質(zhì)量為：薄圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為然后沿半徑積分得其中為圓盤(pán)體積，為圓盤(pán)質(zhì)量，故圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例2計(jì)算半徑為，質(zhì)量為的均勻球體繞任意直徑轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.方法一：任選一體積元，則該體積元可近似為一質(zhì)點(diǎn)，它到軸的距離為，繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圖4圖4所有微分元對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和即積分值就是要求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（如圖4）。方法二：如圖5，可以把任意選取的半徑為厚度為的薄球殼近似成球殼（球殼是沒(méi)有厚度的，薄球殼是有厚度的，盡管它的厚度趨于零），則它繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最后積分得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O圖6O圖6圖5方法三：如圖6，可以把任意選取的半徑為高度為的薄圓臺(tái)近似成薄圓盤(pán)，則它繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最后積分得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量從上面例子可以看出：微元的選取不唯一，在每一種微元里近似的物理模型是不同的，重積分遠(yuǎn)比一元積分麻煩.所以在分析物理問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分利用對(duì)稱性，選取適當(dāng)?shù)囊辉⒃?，使積分運(yùn)算簡(jiǎn)單；不管選取怎樣的微元，結(jié)果是相同的，都是問(wèn)題的精確解.由此看出，用微積分解題的神奇之處，由于微元無(wú)限趨近于零，使得有限范圍內(nèi)的近似到無(wú)限小范圍內(nèi)的精確，從而完成了問(wèn)題的精確求解.計(jì)算半徑為,質(zhì)量為的均勻分布球體繞任一直徑及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解在高等數(shù)學(xué)中對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,是微積分在物理學(xué)中的要應(yīng)用之一。對(duì)于空間形體,繞，，二軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣定義為(9)在(9)式中或?yàn)橘|(zhì)量元或體積元,或叫積分元。在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)式.為球體密度,一般為，，的函數(shù),在本題中因質(zhì)量均勻分布,故為常量?？紤]到對(duì)稱性(球心在原點(diǎn))應(yīng)有,只要求出其中一個(gè)如,則即可得到。對(duì)（9）式徽分,有,它表示質(zhì)量為的質(zhì)量元繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,是到軸的距離的平方,求出所有的,對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣,即得到整個(gè)球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在本題中,如用直角坐標(biāo)系,則有,則由（9）式有如用柱坐標(biāo)系,有則如用球坐標(biāo)系有有在該問(wèn)題中用球坐標(biāo)系,計(jì)算較為簡(jiǎn)便。然而,在物理學(xué)中,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,往往不是通過(guò)計(jì)算三重積分的方法來(lái)進(jìn)行的。如在本問(wèn)題中通常以圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（為圓板質(zhì)量,為圓板半徑）為基礎(chǔ),把球體看成是由許多薄圓板所組成,并把任一薄圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量記為，（10）其中為薄圓板質(zhì)量。如圖3所示,求出所有的薄圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和即得到整個(gè)球體繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由圖3看出,每一個(gè)薄圓板都繞同一軸線轉(zhuǎn)動(dòng),且,將此式代入（10）式，注意到,有。有時(shí)，常常選取薄球殼,計(jì)算也非常方便,如圖4所示,把球看作是聲許多薄球殼所組成,由于薄球殼上的每一點(diǎn)到球心的距離都相同,則每一球殼繞其球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，（11）且，將此代入（11）式有。RRyOdxyx圖3drdrROr圖44微積分在電磁學(xué)中的應(yīng)用物理學(xué)中有許許多多物理量，每個(gè)物理量都是為了定量描述某種物理現(xiàn)象和規(guī)律引入的，因此每個(gè)物理量都有明確的物理意義.物理學(xué)中物理量的同一種微分形式表示的物理意義是有差別的，注意區(qū)分這些物理量的物理意義，特別是有幾種物理意義的，更需要注意區(qū)別，一般來(lái)講，某個(gè)物理量的微分形式是和微小時(shí)間段或微小過(guò)程相關(guān)的，它表示的是一個(gè)微小變化量或微小過(guò)程量.若其微分形式是在某一時(shí)刻和其他微小量相關(guān)的，則表示一個(gè)微小量.例1如圖6所示,通有電流為的長(zhǎng)直導(dǎo)線附近有一三角形單匝線圈,線圈向右以勻速率運(yùn)動(dòng),求當(dāng)線圈在圖示位置時(shí),線圈內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。圖6圖6解由電磁感應(yīng)定律（30）可知,要計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),需要求出在該位置時(shí)穿過(guò)此線圈的磁通量,為求此磁通量,在線圈中選取一小面積元,穿過(guò)此面積元的磁通量為（31）由于此時(shí)計(jì)算的磁通量就是在圖示位置上的,雖然都為變量,但在很短的一瞬間，都可視為不變,這時(shí)對(duì)（31）式積分,有（32）將（32）式代入（30）式,注意到。有例2一個(gè)半徑為的球體內(nèi)，分布著電荷體密度式中是徑向距離，是常量。求空間的場(chǎng)強(qiáng)分布，并求與的關(guān)系。解：(1)由于在球體內(nèi)電荷是球?qū)ΨQ分布的，故產(chǎn)生的電場(chǎng)也是球?qū)ΨQ分布的，因此可用高斯定理求解。取與球面同心的球面作為高斯面。1)當(dāng)時(shí)，,而，(1)(2)由(1)=(2)，得方向?yàn)閺较蚍较颉?)當(dāng)時(shí)，由高斯定理,有,(3)(4)由(3)=(4)，得方向沿徑向