希爾伯特的“物理學(xué)基礎(chǔ)”

縮并形式——即關(guān)于里奇張量(Riccitensor)——的畢安基恒等式(Bianchiidentity)[注六]。

諾特定理(Noether'stheorem)的雛形[注七]。

而對(duì)我們來(lái)說(shuō)更有興趣的物理上的結(jié)果則主要包括：

引力理論的作用量為K+L，其中K為曲率標(biāo)量(現(xiàn)代符號(hào)為R)，L為物質(zhì)場(chǎng)的作用量，對(duì)希爾伯特來(lái)說(shuō)特指為米理論中的電磁作用量。

引力場(chǎng)方程為√g(Kμν—?Kgμν)=—?(√gL)/?gμν，其中Kμν為里奇張量(現(xiàn)代符號(hào)為Rμν)，gμν為度規(guī)張量，g為度規(guī)張量的行列式。

這兩個(gè)物理上的結(jié)果正是后來(lái)在史學(xué)界引發(fā)爭(zhēng)議乃至風(fēng)波的核心所在。如前所述，包含這兩個(gè)結(jié)果的論文雖是1916年3月31日發(fā)表的，但由于明確標(biāo)注了曾在1915年11月20日的會(huì)議上作過(guò)報(bào)告，而關(guān)于那次報(bào)告，又一度并無(wú)足夠詳盡的其它資料可供研究，因此早期的史學(xué)家便將這篇論文中的結(jié)果視為是希爾伯特不遲于1915年11月20日所得到的。與之相比，愛(ài)因斯坦最早得到正確的引力場(chǎng)方程是在1915年11月25日，那一天他向普魯士科學(xué)院(PrussianAcademy)報(bào)告了正確的場(chǎng)方程，并隨即以“引力場(chǎng)方程”(TheFieldEquationsofGravitation)為題發(fā)表在了普魯士科學(xué)院的會(huì)議報(bào)告(Sitzungsberichte)中。這一時(shí)間比希爾伯特作報(bào)告的日子晚了五天。因此，一些早期的史學(xué)家認(rèn)為希爾伯特先于愛(ài)因斯坦就得到了廣義相對(duì)論場(chǎng)方程。

不過(guò)，對(duì)于多數(shù)其他人來(lái)說(shuō)，希爾伯特的論文其實(shí)并未引起太大反響，這也許是因?yàn)椤缜八觥雎?tīng)他1915年11月20日?qǐng)?bào)告的大都是數(shù)學(xué)家，對(duì)物理學(xué)話題相對(duì)隔膜。而當(dāng)希爾伯特的論文正式發(fā)表時(shí)，不僅愛(ài)因斯坦關(guān)于引力場(chǎng)方程的最早的短文早已發(fā)表，就連他有關(guān)廣義相對(duì)論的著名長(zhǎng)篇綜述“廣義相對(duì)論基礎(chǔ)”(TheFoundationofGeneralTheoryofRelativity)也已問(wèn)世。另外一個(gè)可能的原因則是愛(ài)因斯坦研究廣義相對(duì)論所用的數(shù)學(xué)對(duì)當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家來(lái)說(shuō)雖有些另類(lèi)，但比起希爾伯特的數(shù)學(xué)來(lái)卻可能還算是略顯“通俗”的，從而更容易被接受。由于希爾伯特的論文未引起太大反響，因此關(guān)于希爾伯特是否先于愛(ài)因斯坦得到廣義相對(duì)論場(chǎng)方程一事，很多人即便風(fēng)聞過(guò)消息，對(duì)細(xì)節(jié)也大都知之不詳。這方面的一個(gè)例子，是印度裔美國(guó)科學(xué)史學(xué)家梅拉(JagdishMehra,1937)所提到的。1974年，梅拉在有關(guān)這一話題的著作《愛(ài)因斯坦、希爾伯特與引力理論》(Einstein,Hilbert,andtheTheoryofGravitation)的序言中提到，他之所以研究這一課題，并撰寫(xiě)這一著作，是因?yàn)樾傺览麛?shù)學(xué)及物理學(xué)家維格納(EugeneWigner,1902-1995)曾風(fēng)聞過(guò)希爾伯特先于愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)廣義相對(duì)論場(chǎng)方程的說(shuō)法，并向他尋求證實(shí)。維格納不僅是數(shù)學(xué)及物理學(xué)家，而且曾在哥廷根大學(xué)做過(guò)希爾伯特的助手，連他都不知道此事的細(xì)節(jié)，其他人就更可想而知了。

但在轉(zhuǎn)而探討歷史細(xì)節(jié)之前，有關(guān)希爾伯特那篇論文還有其它一些東西值得評(píng)述。

在希爾伯特的論文中，除上述結(jié)果外，還提出了一個(gè)有趣的觀點(diǎn)，那就是引力場(chǎng)的作用量對(duì)于度規(guī)張量的10個(gè)分量和電磁勢(shì)的4個(gè)分量分別作變分，一共可以得到14個(gè)方程(即10個(gè)引力場(chǎng)方程與4個(gè)電磁場(chǎng)方程)，但由于縮并形式的畢安基恒等式共有4個(gè)，因此其中有4個(gè)方程是不獨(dú)立的。希爾伯特對(duì)這一結(jié)果作出了自己的詮釋?zhuān)J(rèn)為這意味著4個(gè)電磁場(chǎng)方程可以作為10個(gè)引力場(chǎng)方程的推論，從而表明電磁理論可以從引力理論中得到[注八]。而依據(jù)希爾伯特當(dāng)時(shí)所認(rèn)同的電磁觀，電磁理論乃是物質(zhì)理論的基礎(chǔ)，因此電磁理論可以從引力理論中得到，也就意味著全部的物理學(xué)都可以歸并為引力理論。希爾伯特將自己那篇有關(guān)引力理論的論文取名為“物理學(xué)基礎(chǔ)”，就在一定程度上體現(xiàn)了這一詮釋。在論文的末尾，他甚至充滿樂(lè)觀地展望道：

通過(guò)本文所確立的基本方程式，我相信最深層的、目前還隱藏著的原子內(nèi)部過(guò)程也將得到解釋。尤其是將所有物理常數(shù)普遍約化為數(shù)學(xué)常數(shù)必定是可能的……物理學(xué)在原則上變成像幾何那樣的科學(xué)——這毫無(wú)疑問(wèn)是公理化方法的最高成就。

這種樂(lè)觀憧憬也是刻在其墓碑上的希爾伯特的畢生信念“我們必須知道，我們必將知道”(Wirmüssenwissen.Wirwerdenwissen)的一個(gè)生動(dòng)寫(xiě)照。

當(dāng)然，我們現(xiàn)在知道(希爾伯特本人在不久之后也意識(shí)到了)，希爾伯特的上述看法是完全錯(cuò)誤的，因?yàn)榭s并形式的畢安基恒等式并不意味著電磁理論可以從引力理論中得到。從現(xiàn)代觀點(diǎn)來(lái)看，4個(gè)縮并形式的畢安基恒等式的存在使得10個(gè)引力場(chǎng)方程中只有6個(gè)是獨(dú)立的，從而在求解度規(guī)張量時(shí)必須添加4個(gè)坐標(biāo)條件，僅此而已。這一點(diǎn)實(shí)際上是與廣義協(xié)變性一脈相承的，因?yàn)楹笳咭馕吨?chǎng)方程及其解允許對(duì)4個(gè)時(shí)空坐標(biāo)作任意變換，從而只有在添加4個(gè)坐標(biāo)條件后才能得到確定的解。這一切絲毫不意味著從引力理論中可以得到電磁理論，更談不上能將全部的物理學(xué)歸并為引力理論(后者還進(jìn)一步假定了本身也是錯(cuò)誤的電磁觀)，及支持希爾伯特論文末尾那些天馬行空般的想象。此外，正確的引力場(chǎng)方程與縮并形式的畢安基恒等式一同確保了協(xié)變形式的能量動(dòng)量守恒定律，而能量動(dòng)量守恒定律——視具體的物質(zhì)體系而定——蘊(yùn)含了物質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程的全部或部分信息，這在如今也已是眾所周知的結(jié)論了，前者在現(xiàn)代廣義相對(duì)論教材中更是往往作為引力理論所需滿足的條件，及推導(dǎo)引力場(chǎng)方程的捷徑來(lái)用?？上г谠缙谘芯恐校瑹o(wú)論愛(ài)因斯坦還是希爾伯特都未能清楚地看到這些。愛(ài)因斯坦早年走過(guò)的許多彎路(包括一度以為廣義協(xié)變性無(wú)法普遍成立)，以及希爾伯特的上述錯(cuò)誤都與之不無(wú)關(guān)系。當(dāng)然，這絕不能作為后人苛責(zé)他們的理由，在黑暗中探索的前輩們所面臨的困難是我們這些事后諸葛無(wú)法直接體驗(yàn)的，愛(ài)因斯坦本人對(duì)此有過(guò)精辟的評(píng)論：

在黑暗中探尋真理的那些能夠體味卻難以描繪的年月，那些強(qiáng)烈的渴望和在信心與疑慮之間的反復(fù)徘徊，直至突破后的明晰和領(lǐng)悟，都只有親身經(jīng)歷過(guò)的人才能知曉。

不過(guò)，希爾伯特將電磁理論乃至整個(gè)物理學(xué)歸并為引力理論的觀點(diǎn)雖然不正確，他的這一做法卻可以算是先于愛(ài)因斯坦走上了試圖統(tǒng)一引力與電磁的道路。當(dāng)然，在這點(diǎn)上他雖先于愛(ài)因斯坦，卻也絕非“第一人”，比如篤信電磁觀的米在他之前就曾做過(guò)類(lèi)似努力(參閱[注八])。希爾伯特本人則將這條道路的開(kāi)創(chuàng)歸功于德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(BernhardRiemann,1826-1866)，表示黎曼是“最早探索引力與光之間的理論關(guān)聯(lián)”的人(因?yàn)樵诶杪指逯杏幸黄接懸εc光的短文)，而他自己所得到的結(jié)果則是“對(duì)黎曼提出的問(wèn)題的簡(jiǎn)單且很令人驚訝的解答”。相比之下，愛(ài)因斯坦是二十世紀(jì)二十年代開(kāi)始才正式走上同樣道路的，不僅比黎曼、米、希爾伯特來(lái)得晚，也晚于德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾(HermannWeyl,1885-1955)、卡魯查(TheodorKaluza,1885-1954)等人——當(dāng)然，他較晚進(jìn)入這一“死胡同”對(duì)物理學(xué)來(lái)說(shuō)乃是不幸中的幸運(yùn)。

希爾伯特那篇論文的另一個(gè)值得評(píng)述的特點(diǎn)，是率先用最小作用量原理表述了正確的引力理論。希爾伯特以最小作用量原理為基本出發(fā)點(diǎn)(即視為公理)的做法，曾被奧地利物理學(xué)家泡利(WolfgangPauli,1900-1958)列為是妨礙物理學(xué)家接受他理論的兩大障礙之一(另一個(gè)障礙是采用了米理論)。不過(guò)從現(xiàn)代物理學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，希爾伯特的做法卻極具前瞻性。因?yàn)楝F(xiàn)代物理學(xué)上幾乎所有的基礎(chǔ)理論研究都是從最小作用量原理出發(fā)的[注九]。就連愛(ài)因斯坦本人，雖然曾在1916年5月24日給好友艾倫菲斯特(PaulEhrenfest,1880-1933)的信中表示不欣賞希爾伯特那“不必要地復(fù)雜迂回”的理論，在同年的10月卻開(kāi)始了沿這一方向的研究，并且在論文中改稱(chēng)希爾伯特的理論為“特別清晰的形式”?？磥?lái)外爾在晚年的回憶中把希爾伯特比喻為吹著迷人長(zhǎng)笛，引誘一大群老鼠跟隨他跳入數(shù)學(xué)長(zhǎng)河的人是頗為貼切的——就連愛(ài)因斯坦也擋不住誘惑地跟著他跳了一回。說(shuō)到這里，順便回過(guò)頭來(lái)評(píng)述一下本文開(kāi)頭所引述的愛(ài)因斯坦本人及其他物理學(xué)家的看法，即認(rèn)為廣義相對(duì)論如果沒(méi)有愛(ài)因斯坦，在非常長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)都無(wú)法由別人提出。我早年接觸到這一看法時(shí)，曾有過(guò)完全的認(rèn)同，因?yàn)橄駨V義相對(duì)論那樣復(fù)雜的理論，是不可能像發(fā)現(xiàn)牛頓引力定律那樣利用觀測(cè)線索來(lái)發(fā)現(xiàn)的(那樣的線索只能得到一部分后牛頓近似，而不可能反推出廣義相對(duì)論來(lái))，而純理論的探索則有太多的可能性，米等人的探索就是例子，甚至連愛(ài)因斯坦本人的探索，也走過(guò)了大量歧途，且最后的成功——如后文將要提到的——仍有一定的歪打正著之處。對(duì)于這樣的復(fù)雜理論，其他人完全獨(dú)立地提出一模一樣的理論似乎確實(shí)是不可思議的[注十]。不過(guò)，后來(lái)我的看法有了顯著改變，理由正是最小作用量原理。從最小作用量原理的角度講，只要有人想到了坐標(biāo)變換可以突破狹義相對(duì)論的限制(這當(dāng)然也不容易，但與創(chuàng)立整個(gè)廣義相對(duì)論相比還是容易得多的)，則度規(guī)張量的引入就是必然的，而度規(guī)張量及其低階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的最簡(jiǎn)單的標(biāo)量就是曲率標(biāo)量，這一數(shù)學(xué)事實(shí)也早晚會(huì)被注意到的。如果進(jìn)一步考慮到在現(xiàn)代物理研究中，對(duì)最小作用量原理的運(yùn)用越來(lái)越廣泛，對(duì)作用量的選取則呈現(xiàn)出窮舉性，即認(rèn)為凡未被基本原理所禁止的項(xiàng)都可以進(jìn)入作用量中，則曲率標(biāo)量的進(jìn)入——從而廣義相對(duì)論的發(fā)現(xiàn)——也幾乎是必然的。當(dāng)然，歷史只有一次，我的這種看法只能聊作談資而已。

在結(jié)束對(duì)希爾伯特那篇論文的介紹之前，還有一點(diǎn)我愿評(píng)述一下，那就是一些人(包括愛(ài)因斯坦)在評(píng)論希爾伯特的理論時(shí)，往往會(huì)指出該理論不如愛(ài)因斯坦的理論來(lái)得普遍，理由是希爾伯特采信了建立在電磁觀之上的米理論，從而使得物質(zhì)場(chǎng)被局限于電磁場(chǎng)，喪失了普遍性。與之相比，愛(ài)因斯坦在1915年11月25日首次得到正確的場(chǎng)方程時(shí)，在論文中明確表示：“除了要求它導(dǎo)出守恒定律外，我們無(wú)需對(duì)物質(zhì)場(chǎng)的能量張量作出其它假設(shè)”。這一評(píng)論所涉及的基本事實(shí)當(dāng)然是無(wú)可辯駁的，希爾伯特確實(shí)對(duì)米理論表現(xiàn)出了顯著青睞，甚至不惜以米的名字來(lái)命名公理。不過(guò)，我們也應(yīng)當(dāng)看到，將引力理論中的物質(zhì)場(chǎng)限定為電磁場(chǎng)，甚至特指為米理論，更多地只是一種觀念性的限制。希爾伯特的論文從理論框架上講其實(shí)是相當(dāng)普遍的，米理論雖然在公理中被提及，實(shí)質(zhì)地位卻是可有可無(wú)的，只要將作用量K+L中的物質(zhì)場(chǎng)部分L由僅僅描述米理論中的電磁場(chǎng)推廣為一般的物質(zhì)場(chǎng)，希爾伯特的理論框架無(wú)需任何修改就可以適用于更廣泛的情形。不僅如此，希爾伯特的理論框架還首次給出了能量動(dòng)量張量的一個(gè)全新的表達(dá)式：Tμν=(1/√g)?(√gL)/?gμν。這個(gè)表達(dá)式用泡利的話說(shuō)，是“只有在廣義相對(duì)論中才變得顯而易見(jiàn)的”。這個(gè)表達(dá)式自動(dòng)保證了能量動(dòng)量張量的對(duì)稱(chēng)性，從而有著獨(dú)特的優(yōu)越性。

當(dāng)我們?nèi)缃駚?lái)回顧希爾伯特的理論時(shí)，出于盡可能精確地還原歷史的目的，雖然毫無(wú)疑問(wèn)地需要指出他曾經(jīng)青睞過(guò)米理論，并將之列為公理這一事實(shí)，但卻不應(yīng)由此而忽視他的理論所具有的框架意義上的普適性。在歷史上，理論的框架比創(chuàng)始者所設(shè)想的更為宏大的情形并不鮮見(jiàn)，比如1954年楊振寧(ChenNingYang,1922-)和米爾斯(RobertMills,1927-1999)在提出著名的楊—米爾斯理論(Yang-Millstheory)時(shí)，就曾錯(cuò)誤地將理論中的規(guī)范變化設(shè)定為同位旋(isospin)變換，但這種歷史性的錯(cuò)誤并不能遮蔽他們理論所具有的框架意義上的普適性，也并不妨礙我們將提出非阿貝爾規(guī)范理論(non-Abeliangaugetheory)的榮譽(yù)歸于他們。同樣，對(duì)希爾伯特當(dāng)年的論文，我們也不應(yīng)該由于他所具有的觀念上的局限性或錯(cuò)誤，而減少應(yīng)該歸于他的榮譽(yù)——雖然希爾伯特的榮譽(yù)庫(kù)早就“不差錢(qián)”了。

以上就是對(duì)希爾伯特那篇論文的已不太