張量分析基礎(chǔ)

舉幾個(gè)熟悉的例子。如果一點(diǎn)的應(yīng)力是靜水壓力狀態(tài)，則有。在塑性力學(xué)中需要偏應(yīng)力表達(dá)，可把球量部分從一點(diǎn)應(yīng)力中分解出來得到，即。在特征值問題中，我們可得到：，這里利用了克氏符號(hào)的指標(biāo)置換功能。各向同性線彈性體的本構(gòu)方程的一種形式為：。笛卡爾坐標(biāo)系中單位基矢量的叉積滿足：（1.1.8）把以上9個(gè)等式統(tǒng)一寫成：（按1,2,3循環(huán)取值）（1.1.9）式中為引進(jìn)的置換符號(hào)（或稱Ricci符號(hào)），其定義為：（1.1.10）置換符號(hào)有3個(gè)自由指標(biāo)，所以共有27個(gè)分量。置換符號(hào)的指標(biāo)不取相同值且按順序排列，取值為１，即。如果指標(biāo)不取相同值且按逆序排列，取值為。順序排列每置換一次，置換符號(hào)變號(hào)，對(duì)應(yīng)著逆序排列，逆序排列的指標(biāo)再置換一次，置換符號(hào)再次變號(hào)，又成為順序排列。如果指標(biāo)中有兩個(gè)以上指標(biāo)取相同值則為非序排列，置換符號(hào)取值為零。利用克氏符號(hào)定義（1.1.4）和置換符號(hào)定義（1.1.9），作混合積：（1.1.11）所以，置換符號(hào)的值是三個(gè)任意基矢量、和的混合積。置換符號(hào)的最重要性質(zhì)在于任意兩個(gè)指標(biāo)調(diào)換都使置換符號(hào)變號(hào)，即置換符號(hào)有關(guān)于任意兩個(gè)指標(biāo)的反對(duì)稱性質(zhì)。利用置換符號(hào)的反對(duì)稱性質(zhì)，可以改寫矩陣的行列式和矢量的叉積展開式為代數(shù)形式。表示行列式的展開式。令為矩陣[]的行列式，則：（1.1.12）利用行列式兩行互換變號(hào)的性質(zhì)，例如相當(dāng)于把1、2行換行，再把2、3行換行得到，推廣行列式換行變號(hào)以及兩行相等行列式為零的性質(zhì)，得：（1.1.13）利用行列式兩列互換變號(hào)以及兩列相等行列式為零的性質(zhì)，有：（1.1.14）利用愛因斯坦求和約定直接展開，容易證明，并利用（1.1.13）得：（1.1.15）可以把行列式換行、換列以及任意兩行或兩列相等時(shí)的性質(zhì)，均利用置換符號(hào)來表達(dá)。將（1.1.13）展開成行列式的形式，即有：（1.1.16）在（1.1.14）中令為矩陣[]的行列式，其行列式的值為1，也展開成行列式的形式：（1.1.17）把（1.1.16）和（1.1.17）兩式相乘得：（1.1.18）上式表示有個(gè)等式。在張量表達(dá)和運(yùn)算中，引進(jìn)了兩個(gè)重要符號(hào)，即克氏符號(hào)和置換符號(hào)，它們之間具有一些非常有用的關(guān)系，由（1.1.18）式，如果為矩陣[]的行列式則有：（1.1.19）置換符號(hào)的第三個(gè)指標(biāo)為啞標(biāo)時(shí)，容易得到：（1.1.20）上式的左端有4個(gè)自由指標(biāo)，則右端是取四個(gè)指標(biāo)的排列順序按照“前前后后-內(nèi)內(nèi)外外”的規(guī)則可得。由上式推論：（1.1.21）（1.1.22）置換符號(hào)可用于表示矢量叉積的展開式。令三個(gè)矢量的關(guān)系為，其中每個(gè)矢量可有基矢量表為、、，根據(jù)矢量的叉積公式，其行列式表示為：（1.1.23）利用置換符號(hào)，容易推得叉積的解析形式為：（1.1.24）第二節(jié)坐標(biāo)變換當(dāng)討論笛卡爾張量時(shí)，所謂坐標(biāo)變換，是指由一個(gè)直角坐標(biāo)系變?yōu)榱硪粋€(gè)直角坐標(biāo)系。這種變換，可藉由對(duì)舊坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)、反射來達(dá)到。對(duì)平移這類變換將不去研究，而反射變換的結(jié)果，是把一個(gè)右手系變?yōu)樽笫窒?。下面僅研究坐標(biāo)系繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換。取空間一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過O點(diǎn)取三個(gè)互相垂直的單位矢量、、為坐標(biāo)系的基矢量，建立笛卡爾坐標(biāo)系。將該坐標(biāo)系繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到一個(gè)新坐標(biāo)系，新坐標(biāo)系的基矢量為、、。由于空間中每一個(gè)矢量都可表示成坐標(biāo)系基矢量的線性組合，因此新坐標(biāo)系的基矢量可寫成：（1.2.1）上式可以寫成：（1.2.2）是新坐標(biāo)系基矢量的分量，也決定了新坐標(biāo)系對(duì)舊坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換程度，稱為變換系數(shù)。為了確定變換系數(shù)，用同時(shí)點(diǎn)乘上式，有：（1.2.3）由于基矢量都是單位矢量，所以變換系數(shù)的每個(gè)元素是相應(yīng)的新、舊坐標(biāo)系基矢量夾角的方向余弦?？梢园雅f坐標(biāo)系向新坐標(biāo)系的變換寫成矩陣形式：（1.2.4）考察新坐標(biāo)系兩個(gè)基矢量的點(diǎn)積：（1.2.5）所以，變換系數(shù)矩陣的9個(gè)元素并不完全獨(dú)立，為了清楚起見，將（1.2.5）的最后一個(gè)等式展開為矩陣形式：（1.2.6）由此可知，變換系數(shù)矩陣為正交矩陣，正交矩陣的每行元素的平方和等于1，兩行對(duì)應(yīng)元素的乘積之和等于0。由正交矩陣有：（1.2.7）所以變換系數(shù)的逆陣為其轉(zhuǎn)置矩陣，則有舊坐標(biāo)系的基矢量在新坐標(biāo)系的分解式：（1.2.8）展開其對(duì)應(yīng)的矩陣形式為：（1.2.9）則新坐標(biāo)系向舊坐標(biāo)系的變換系數(shù)矩陣是舊坐標(biāo)系向新坐標(biāo)系變換系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置。同理，利用基矢量的關(guān)系式容易得到：（1.2.10）上式的最后一個(gè)等式相當(dāng)于把（1.2.6）式左端兩個(gè)矩陣交換位置。旋轉(zhuǎn)變換情況的新坐標(biāo)系保持右手系，把基矢量代入后簡單運(yùn)算，可有：（1.2.11）因此變換系數(shù)矩陣的行列式等于1。在反射變換情況時(shí)，新坐標(biāo)系為左手系，此時(shí)變換系數(shù)矩陣的行列式為－1?，F(xiàn)在考慮當(dāng)坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，任意矢量的分量所服從的變換規(guī)律，對(duì)于矢量，它在原、新坐標(biāo)系中分別表為：，（1.2.12）對(duì)以上兩式的兩邊都點(diǎn)乘有：（1.2.13）（1.2.14）比較這兩個(gè)等式，有：（1.2.15）若用點(diǎn)乘矢量在新舊坐標(biāo)系的兩個(gè)形式，則有：（1.2.16）（1.2.17）所以有：（1.2.18）觀察可以發(fā)現(xiàn)，新舊坐標(biāo)系之間矢量分量的變換關(guān)系與基矢量的變換關(guān)系是相同的，這意味著新舊坐標(biāo)系的相對(duì)位置一旦確定，容易得到矢量分量的變換規(guī)則。第三節(jié)笛卡爾張量我們已經(jīng)知道，矢量在物理意義上與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，但在具體處理矢量時(shí)，矢量的分量與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，矢量的分量服從固定的變換規(guī)律，由此給出矢量的新定義。在三維空間中，當(dāng)?shù)芽栕鴺?biāo)系發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換，基矢量按（1.2.2）式進(jìn)行變換，任意三個(gè)數(shù)的集合在新舊坐標(biāo)系服從（1.2.15）建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，則這樣所確定的三個(gè)數(shù)的集合為矢量。在數(shù)學(xué)意義上，這個(gè)定義關(guān)注一組三個(gè)數(shù)的坐標(biāo)變換關(guān)系，而不是這組數(shù)的集合的物理意義?？疾煜率剑海?.3.1）該式表明三個(gè)分量、、和分量、、所確定的是完全相同的一個(gè)矢量，每組分量都唯一決定了該矢量的大小和方向，這個(gè)解析定義與原來矢量的概念是等價(jià)的。這樣定義的矢量也稱為一階張量。二階張量是矢量的推廣，在三維空間中，當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生變換時(shí)，一組9個(gè)有序數(shù)的集合遵照以下轉(zhuǎn)換關(guān)系進(jìn)行變換：（1.3.2）則這九個(gè)有序數(shù)的集合稱為二階張量，其中的每個(gè)元素稱為二階張量的分量。二階張量是常用的一個(gè)張量，例如彈性力學(xué)中的應(yīng)力張量、應(yīng)變張量，剛體力學(xué)中的慣性矩張量，這些張量在概念上突出了它們的力學(xué)意義，而這里張量的數(shù)學(xué)概念是定義了一組有序數(shù)在坐標(biāo)變換時(shí)滿足一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，因此強(qiáng)調(diào)了張量的普遍性。我們注意到，二階張量有兩個(gè)自由指標(biāo)，需要進(jìn)行兩次坐標(biāo)變換?？疾烊我鈨蓚€(gè)矢量和的一種乘積，它們?cè)谠?、新坐?biāo)系中的分量分別為和以及和，這種新的乘積為：，（1.3.3）兩個(gè)矢量的乘法運(yùn)算原來有點(diǎn)積和叉積，分別得到一個(gè)標(biāo)量和一個(gè)矢量（3個(gè)分量），而上式又引進(jìn)一種新的矢量乘法運(yùn)算，稱為并矢，由于矢量并矢含有兩個(gè)自由指標(biāo)，應(yīng)該有9個(gè)分量，所以并矢既不是標(biāo)量也不是矢量，事實(shí)上，它是一個(gè)二階張量，利用矢量的變換規(guī)則，有：（1.3.4）上式表明并矢是二階張量，類似地，也可求得：（1.3.5）仿照二階張量的定義，可以推廣定義二階以上的高階張量。例如，在三維空間中，當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生變換時(shí)，三階張量的分量變換規(guī)則是：（1.3.6）或存在反變換：（1.3.7）則滿足這種關(guān)系的有序數(shù)的集合為三階張量。顯然，三個(gè)矢量的并矢是三階張量，共有27個(gè)分量。一般地，在三維空間中，階張量有個(gè)自由指標(biāo)，共有個(gè)分量。確定一組數(shù)的集合是否為張量可以根據(jù)張量的定義，還有確定張量的另一種方法，稱為商法則，以二階張量為例說明商法則。若9個(gè)分量與任何一個(gè)矢量按一對(duì)指標(biāo)求和后能構(gòu)成另一個(gè)矢量，即：（1.3.8）則9個(gè)分量的集合必為一個(gè)二階張量。證明如下，根據(jù)假設(shè)，在新坐標(biāo)系中，上式依然成立：（1.3.9）已知和均為矢量，滿足坐標(biāo)變換關(guān)系，所以，（1.3.10）將兩式相減得：（1.3.11）上式中有一個(gè)自由指標(biāo)，代表三個(gè)等式，由于的任意性，得到：（1.3.12）這證明是一個(gè)二階張量。類似的證明可以推廣商法則到高階張量，例如，若為二階張量，為一階張量，當(dāng)式：（1.3.13）成立，則是一個(gè)三階張量。由于上面定義張量的前提是在笛卡爾直角坐標(biāo)系之間變換，這種張量稱為笛卡爾張量。更普遍的張量將在第二章中討論。我們看到，張量的階數(shù)就是指標(biāo)的個(gè)數(shù)，矢量稱為一階張量，標(biāo)量沒有自由指標(biāo)，稱為零階張量。張量的表示，除了上面已經(jīng)采用的分量記法外，還采用張量的實(shí)體記法。與矢量類似，可以把張量表示成各個(gè)分量與基矢量的組合，例如二階張量可以表示為：（1.3.14）那么，前面提到的矢量并矢可表為：（1.3.15）當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，張量實(shí)體不因坐標(biāo)變換而變化，即張量實(shí)體是坐標(biāo)變換的不變式，從而構(gòu)成一個(gè)與坐標(biāo)系無關(guān)的張量實(shí)體，這是物理規(guī)律在不同坐標(biāo)系成立的形式要求。如對(duì)二階張量，（1.3.16）聯(lián)系基矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系，上式與二階張量分量的坐標(biāo)變換關(guān)系完全等價(jià)?，F(xiàn)在觀察一下前面引進(jìn)的兩個(gè)重要符號(hào)－克氏符號(hào)和置換符號(hào)。根據(jù)定義有：（1.3.17）克氏符號(hào)服從坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，所以克氏符號(hào)是一個(gè)二階張量。因?yàn)橹挥袝r(shí)的元素為１，其余均為零，稱為單位張量。由于它的各個(gè)分量在坐標(biāo)變換時(shí)不變，所以是二階不變張量。置換符號(hào)也是一個(gè)三階張量。利用變換系數(shù)矩陣的行列式展開形式及行列式變行時(shí)的性質(zhì)，有：（1.3.18）置換符號(hào)滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，為三階張量，同時(shí)在坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，的各個(gè)分量保持不變，為三階不變張量。如果考察矢量和的叉積的分量形式，則有，聯(lián)系商法則，也可證置換符號(hào)是三階張量。對(duì)于反射變換的情況，置換符號(hào)的分量要變號(hào)，但張量實(shí)體保持不變，讀者可以嘗試證明。第四節(jié)張量代數(shù)張量代數(shù)指張量的加、減、乘、除遠(yuǎn)算，張量減法就是其加法，前面提到的商法則可視為張量的除法運(yùn)算，因此只討論加法和乘法運(yùn)算。張量加法必須在同階張量之間進(jìn)行，兩個(gè)張量相加就是各個(gè)分量相加，其和是同階張量，例如，兩個(gè)二階張量和之和：（1.4.1）同時(shí)，可以證明仍是二階張量。張量的乘法略為復(fù)雜，包括并乘、縮并、點(diǎn)乘三種運(yùn)算。前面介紹過兩個(gè)矢量的并矢是二階張量，其實(shí)就是矢量并乘，張量的并乘是矢量并矢的自然推廣，以兩個(gè)張量和的外積為例說明張量的并乘，定義為：（1.4.2）并乘的結(jié)果得到一個(gè)5階張量，即并乘張量的階數(shù)為因子張量階數(shù)之和，并乘的實(shí)體形式可表為。張量的另一種運(yùn)算稱縮并，縮并和并乘不同在于它不是在張量之間，而是在一個(gè)張量本身中進(jìn)行的。對(duì)二階以上的張量的縮并，就是對(duì)張量的某兩個(gè)指定的指標(biāo)求和，設(shè)有三階張量，在新坐標(biāo)系中有：（1.4.3）對(duì)后兩個(gè)指標(biāo)縮并，即使，縮并后得。如果進(jìn)行坐標(biāo)變換并令，利用變換系數(shù)的正交性質(zhì)，則上式成為：（1.4.4）這說明縮并后的為一階張量。因此，張量縮并后仍為張量，其階數(shù)比原張量階數(shù)減2。二階張量縮并后為標(biāo)量，是不依賴于坐標(biāo)系的不變量，例如，應(yīng)力張量縮并得到是應(yīng)力張量的第一不變量。張量的第三種乘法運(yùn)算是點(diǎn)乘，點(diǎn)乘是兩個(gè)張量先并乘再縮并的運(yùn)算。從概念上，張量點(diǎn)乘是矢量點(diǎn)積的推廣。張量的點(diǎn)乘運(yùn)算也須指明對(duì)哪對(duì)指標(biāo)進(jìn)行縮并，兩個(gè)張量點(diǎn)乘后會(huì)得到一個(gè)新的張量，以二階張量和三階張量的點(diǎn)乘為例，并乘后得，對(duì)第二和第三個(gè)指標(biāo)縮并，得三階張量：（1.4.5）如果在兩個(gè)張量并乘后再進(jìn)行兩次縮并，則稱為雙點(diǎn)積。張量有兩種雙點(diǎn)積，采用實(shí)體記法更方便一些，其并聯(lián)式為：（1.4.6）其串聯(lián)式為：（1.4.7）上例中的雙點(diǎn)積結(jié)果和并不是相同的一階張量。對(duì)二階及以上的高階張量，如果保持基矢量的排列順序不變，而對(duì)調(diào)張量分量兩個(gè)指標(biāo)的順序，則所得同階張量稱為原張量的轉(zhuǎn)置張量。例如，對(duì)四階張量（1.4.8）對(duì)調(diào)第1、3個(gè)指標(biāo)的轉(zhuǎn)置張量為：（1.4.9）式中上標(biāo)表示轉(zhuǎn)置?？紤]一個(gè)二階張量，存在唯一的二階轉(zhuǎn)置張量，對(duì)于任意矢量和均滿足：（1.4.10）上式左邊的分量表示為，而右邊為：（1.4.11）第五節(jié)對(duì)稱張量與反對(duì)稱張量如果對(duì)調(diào)張量分量指標(biāo)的順序而張量保持不變，則稱該張量關(guān)于這兩個(gè)指標(biāo)具有對(duì)稱性。如果對(duì)調(diào)張量指標(biāo)的順序而得到新張量的分量與原張量的對(duì)應(yīng)分量差一個(gè)正負(fù)號(hào)，譬如對(duì)常用的二階張量，其二階對(duì)稱張量和二階反對(duì)稱張量分別滿足：（1.5.1）（1.5.2）由于對(duì)稱性和反對(duì)稱性，二階對(duì)稱張量只有6個(gè)獨(dú)立分量，二階反對(duì)稱張量只有3個(gè)獨(dú)立分量?？梢宰C明，坐標(biāo)變換不改變張量的對(duì)稱或反對(duì)稱性質(zhì)。對(duì)于高階張量的對(duì)稱和反對(duì)稱性質(zhì)，需指明是對(duì)哪些指標(biāo)對(duì)稱和反對(duì)稱。例如，一個(gè)三階張量，若是對(duì)前兩個(gè)指標(biāo)對(duì)稱，則是指，若是對(duì)前兩個(gè)指標(biāo)反對(duì)稱，則是指。對(duì)于任意兩個(gè)指標(biāo)均反對(duì)稱的高于三階的張量，由于張量有4個(gè)或更多個(gè)指標(biāo)，而每個(gè)指標(biāo)只能取1、2、3，則每個(gè)分量總有兩個(gè)或兩個(gè)以上指標(biāo)的數(shù)字相同，考慮到反對(duì)稱性，這些分量必然為零，因此，高于三階的反對(duì)稱張量全部分量均為零?，F(xiàn)在考察對(duì)任意兩個(gè)指標(biāo)均反對(duì)稱的三階張量，三階張量有27個(gè)分量，指標(biāo)數(shù)字相同的分量為：因?qū)θ我鈨蓚€(gè)指標(biāo)反對(duì)稱，上面第一行表示有9個(gè)分量均為零，在第二和第三行中去掉與第一行相同的3個(gè)分量，剩下的各有6個(gè)分量均為零，則零分量共有21個(gè)。剩下6個(gè)不為零的分量是指標(biāo)取不同數(shù)字的6個(gè)，對(duì)應(yīng)指標(biāo)的三種順序排列和三種逆序排列，它們是：而由于反對(duì)稱，這6個(gè)分量還不全是獨(dú)立的，相鄰指標(biāo)置換一次，其值只差一個(gè)正負(fù)號(hào)，即：（1.5.3）因此，對(duì)三階反對(duì)稱張量，若所有指標(biāo)均兩兩反對(duì)稱，獨(dú)立分量就只有一個(gè)。這樣的例子就只有置換符號(hào)。下面分析常用的二階反對(duì)稱張量，根據(jù)定義，對(duì)于二階反對(duì)稱張量，有：（1.5.4）寫成矩陣形式為：（1.5.5）因此，二階反對(duì)稱張量有三個(gè)獨(dú)立分量，應(yīng)等價(jià)于一個(gè)矢量。反之，可以推論，任意一個(gè)矢量都存在一個(gè)與之等價(jià)的二階反對(duì)稱張量。為了建立矢量與反對(duì)稱二階張量的關(guān)系，考慮繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，剛體上任一點(diǎn)的線速度與繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的關(guān)系為：（1.5.6）其分量表示為，和均為矢量且為剛體上任意點(diǎn)，所以刻畫了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)特征，根據(jù)商法則，必為一個(gè)二階張量，記：，（1.5.7）注意置換符號(hào)對(duì)前兩個(gè)指標(biāo)的反對(duì)稱性，二階張量是反對(duì)稱張量，稱為反對(duì)稱二階張量的反偶矢量或軸矢量。二階反對(duì)稱張量用軸矢量表達(dá)的矩陣形式為：（1.5.8）因此，給定一個(gè)矢量，就能確定與它對(duì)應(yīng)的二階反對(duì)稱張量。反之，給定二階反對(duì)稱張量，不難找出與其對(duì)應(yīng)的軸矢量，只要把兩邊同乘以，則有：（1.5.9）改寫成：（1.5.9）其實(shí)體形式為：（1.5.10）顯然，二階反對(duì)稱張量的行列式為零。二階反對(duì)稱張量點(diǎn)乘任意矢量的結(jié)果是一個(gè)矢量，使其與該矢量點(diǎn)積，得：（1.5.11）所以，意謂著與正交?；蛘咧苯訉懀海?.5.12）上式相應(yīng)的實(shí)體形式為：（1.5.13）上式表示與和均正交。在力學(xué)應(yīng)用中較為常見的是二階張量，任意一個(gè)二階張量可按加法分解為對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量，根據(jù)張量加法，有：（1.5.14）令：（1.5.15）（1.5.16）則有，并且有，所以是對(duì)稱張量，由知是反對(duì)稱張量。例如彈性體變形時(shí)位移矢量為，則是位移空間梯度，因?yàn)?，?.5.17）根據(jù)微分鏈?zhǔn)角髮?dǎo)規(guī)則有：（1.5.18）滿足二階張量坐標(biāo)變換關(guān)系，所以是一個(gè)二階張量。它可以加法分解為：（1.5.19）其中對(duì)稱部分：（1.5.20）為應(yīng)變張量，反對(duì)稱部分為：（1.5.21）可以寫為：，（1.5.22）為轉(zhuǎn)動(dòng)分量。由此可見，位移梯度對(duì)稱化所定義的應(yīng)變張量自然消除了變形中剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。在實(shí)際應(yīng)用中，二階張量也可分解為球張量和偏張量，設(shè)有二階張量，令：（1.5.23）則稱為的球張量，而差：（1.5.24）為的偏張量。在彈性力學(xué)中，應(yīng)力張量的球張量與體積變形有關(guān)，偏張量與偏斜變形有關(guān)。第六節(jié)二階張量的主軸、特征值和不變量在彈性力學(xué)中有所謂的主應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力主軸，作用在與主軸垂直面元上的應(yīng)力分量只有沿主軸的分量，切向分量為零?？紤]過該點(diǎn)任意方向面元上的應(yīng)力矢量和法向矢量與應(yīng)力張量存在關(guān)系式，若正好與應(yīng)力張量的主軸重合，則就與平行，就有，就可確定主應(yīng)力狀態(tài)。把這個(gè)概念推廣到任意二階張量，不難找到二階張量的主軸?；蛘哌@樣表達(dá)，對(duì)于作為對(duì)象的任意二階張量，找到一個(gè)矢量，使之經(jīng)過該二階張量點(diǎn)乘后所得矢量與原來矢量平行，這里可把看作一個(gè)變換，它把一個(gè)矢量變換成另外一個(gè)矢量，這時(shí)，的方向代表主軸方向或特征矢量，是標(biāo)量稱為特征值，因此，寫成：（1.6.1）令，則有：（1.6.2）改寫為：（1.6.3）（1.6.4）該式表示關(guān)于特征矢量方向的三個(gè)奇次線性方程，有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，零解沒有方向意義，則得到：（1.6.5）展開后得關(guān)于的三次方程式：（1.6.6）求解方程分別得到三個(gè)根。如對(duì)應(yīng)的二階張量矩陣是實(shí)對(duì)稱的，則有三個(gè)實(shí)根，設(shè)為，稱為特征值，相應(yīng)的關(guān)于特征值的三次方程叫做張量的特征方程。由三個(gè)實(shí)根可以確定表示三個(gè)主軸方向的特征矢量。取一組笛卡爾坐標(biāo)系的單位基矢量，二階張量可化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形式。可以證明，對(duì)實(shí)對(duì)稱二階張量，三個(gè)特征值是實(shí)數(shù)，且三個(gè)特征矢量互相正交。令和是兩個(gè)不同的根，又令和是與這兩個(gè)根對(duì)應(yīng)的特征矢量，則有：，（1.6.7）對(duì)上式兩邊分別點(diǎn)乘和，得：，（1.6.8）考慮到的對(duì)稱性并對(duì)調(diào)指標(biāo)和后，上述兩式左邊相等，因此有：（1.6.9）特征值不等時(shí)，只有，表明與兩個(gè)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量是正交的。因此，如果所有的特征值是不同的實(shí)數(shù)，則對(duì)稱張量的主軸正交。要證明是實(shí)數(shù)，只要證明與它的共軛數(shù)相同，因?yàn)椋海?.6.10）兩邊乘以的共軛，則有：（1.6.11）對(duì)上式兩邊取共軛得：（1.6.12）注意的實(shí)對(duì)稱性并對(duì)調(diào)指標(biāo)和后，以上兩式的左邊相等，所以有：（1.6.13）由于特征矢量一定是實(shí)矢量，即有，因此得到。根據(jù)方程式的根與系數(shù)的關(guān)系有：（1.6.14）（1.6.15）（1.6.16）由于張量的特征值與坐標(biāo)系無關(guān)，因此特征方程的系數(shù)也必然與坐標(biāo)系無關(guān)，當(dāng)發(fā)生坐標(biāo)變換時(shí)、、保持不變，稱為張量的第一、第二、第三不變量，分別是張量分量的線性函數(shù)、二次函數(shù)和三次函數(shù)。對(duì)于二階對(duì)稱張量，只有三個(gè)獨(dú)立的不變量，這三個(gè)不變量的任何組合當(dāng)然也是不變量。由線性代數(shù)可知，實(shí)對(duì)稱二階張量的矩陣對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)二次型，與坐標(biāo)雙點(diǎn)乘后得到一標(biāo)量，寫為：（1.6.17）令則得到二次曲面方程：（1.6.18）因此一個(gè)實(shí)對(duì)稱二階張量也與一個(gè)二次曲面相對(duì)應(yīng)。如果取主應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力張量的矩陣成對(duì)角形：（1.6.19）主應(yīng)力就是張量的特征值。這時(shí)，與應(yīng)力張量的二次曲面稱為應(yīng)力二次曲面，其標(biāo)準(zhǔn)形式為：（1.6.20）其中正負(fù)號(hào)視的正負(fù)而定。參照上面的思路，現(xiàn)在討論二階反對(duì)稱張量的情況。張量的三個(gè)不變量是：，，（1.6.21）由于恒為正，令，則張量的特征方程蛻化為：（1.6.22）特征方程的根為：，，（1.6.23）這里為虛數(shù)單位。令與對(duì)應(yīng)的特征矢量為單位矢量，稱為反對(duì)稱張量的軸，則有：（1.6.24）與和對(duì)應(yīng)的特征矢量應(yīng)為復(fù)矢量，分別表為和，在基矢量、和下，反對(duì)稱張量的矩陣形式為：（1.6.25）由于張量分量為兩個(gè)共軛虛數(shù)，失去了表達(dá)物理量的直接功能，應(yīng)該用實(shí)數(shù)表示它的分量，為此不再追求反對(duì)稱張量的主軸表達(dá)形式。考慮張量的不變性，選取笛卡爾坐標(biāo)系并使和為垂直于平面內(nèi)的任意一組正交單位矢量，在該坐標(biāo)系的分量為0、0、1并代入式中，得，表明矩陣的第三列分量均為零，由于張量保持反對(duì)稱性則主對(duì)角和第三行的分量也為零，再考慮該張量的第二不變量，則必有：（1.6.26）張量的實(shí)體形式為：（1.6.27）如果在垂直于的平面內(nèi)將基矢量和繞旋轉(zhuǎn)角，基矢量和變換為和，并聯(lián)系坐標(biāo)變換系數(shù)公式后有：，（1.6.28）則在新坐標(biāo)系中張量的形式為：（1.6.29）所以，二階反對(duì)稱張量的形式對(duì)于垂直于平面內(nèi)的任意一組正交單位矢量都是不變的。根據(jù)軸矢量與反對(duì)稱張量的關(guān)系式，此時(shí)張量的軸矢量為：（1.6.30）可見，張量的軸矢量沿著張量軸的方向，軸矢量的大小為。第七節(jié)張量的導(dǎo)數(shù)和積分一般而言，在固體力學(xué)和流體力學(xué)問題中，許多狀態(tài)量，如應(yīng)力張量，既是空間位置的函數(shù)，也是時(shí)間的函數(shù)。因此，研究動(dòng)態(tài)問題和場(chǎng)的問題時(shí)，就涉及到張量求導(dǎo)運(yùn)算。如果張量是某個(gè)標(biāo)量參數(shù)（通常就是時(shí)間）的確定函數(shù)，則每個(gè)分量都是參數(shù)的函數(shù)，那么，導(dǎo)數(shù)表示每一個(gè)分量對(duì)求導(dǎo)，其結(jié)果是同階張量，求導(dǎo)法則與普通導(dǎo)數(shù)相同?，F(xiàn)在重點(diǎn)討論張量是空間位置函數(shù)的情況，張量求導(dǎo)應(yīng)是每個(gè)分量對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)。我們首先從標(biāo)量入手，從張量的角度看，標(biāo)量只有一個(gè)分量，例如密度或溫度的空間分布，令表示某個(gè)區(qū)域的標(biāo)量函數(shù)，坐標(biāo)變換時(shí)保持不變（注意，通過二階張量縮并運(yùn)算形成的標(biāo)量可證），所以有。記它對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)為，按普通的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)規(guī)則有：注意到是空間位置矢量的分量，滿足坐標(biāo)變換關(guān)系，故有，，改寫式得到：滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，是一個(gè)矢量，它的三個(gè)分量為、、，這個(gè)矢量稱為標(biāo)量場(chǎng)的梯度，它表示在域內(nèi)一點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率（或者梯度在過該點(diǎn)任意方向的投影等于標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)），用表示，即，引入哈密爾頓（Hamilton）算子：則有：哈密爾頓算子是一個(gè)矢量微分算子，形式上是一個(gè)矢量，它與任一矢量的點(diǎn)積應(yīng)是一個(gè)標(biāo)量：稱為矢量的散度，它從概念上是矢量場(chǎng)中任意封閉曲面的通量對(duì)體積變化率，用表示。散度也可看成由二階張量進(jìn)行縮并運(yùn)算得到的結(jié)果。若將哈密爾頓算子與任一矢量叉乘，得一個(gè)新矢量，并記為：它表示矢量的旋度，旋度從概念上是矢量場(chǎng)中沿任一封閉有向曲線的環(huán)量對(duì)面積的最大變化率。例如，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的線速度為，則線速度場(chǎng)的旋度為：即速度場(chǎng)的旋度是角速度的2倍。標(biāo)量的梯度是矢量，即零階張量的梯度是一階張量，那么，一階張量對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)是否得到一個(gè)二階張量呢？答案是肯定的。以矢量對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)為例，如果是矢量，則坐標(biāo)變換時(shí)有：其中，，，表示矢量場(chǎng)，上式代表三個(gè)標(biāo)量方程，利用普通的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)規(guī)則，即得到：上式滿足坐標(biāo)變換關(guān)系，是一個(gè)二階張量。依次類推，可以證明，在笛卡爾坐標(biāo)系中，張量的導(dǎo)數(shù)仍然是張量，其階數(shù)比原張量高一階。梯度、散度和旋度的概念也可以推廣到任意階張量場(chǎng)中去，只要把看作是一個(gè)矢量，把寫作指標(biāo)符號(hào)。譬如，一個(gè)二階張量場(chǎng)的梯度為三階張量：一個(gè)二階張量場(chǎng)的散度為一階張量：一個(gè)二階張量場(chǎng)的旋度為二階張量：在僅僅是矢量場(chǎng)的情況下，存在高斯(Gauss)定理和斯托克斯(Stokes)定理，高斯定理的形式為：斯托克斯定理的形式為：以上兩式中為任一矢量，高斯定理把一個(gè)面積分和體積分聯(lián)系起來，斯托克斯定理則把一個(gè)線積分和面積分聯(lián)系起來。這兩個(gè)定理可推廣到任意階張量的情況，對(duì)張量場(chǎng)相應(yīng)地有：，這里可以是任意階張量。材料力學(xué)中截面慣性矩四階各向同性張量波的傳播第二章一般張量笛卡爾張量是笛卡爾坐標(biāo)系變換下的不變量，要建立在任意坐標(biāo)系變換下的不變量，就必須引進(jìn)一般張量。第一節(jié)斜角直線坐標(biāo)系和曲線坐標(biāo)系在笛卡爾直角坐標(biāo)系中，有力矢量和位移矢量，則力在產(chǎn)生位移時(shí)所做的功為。在二維的情況下，在笛卡爾直角坐標(biāo)系中，有：現(xiàn)在討論這種情況在斜角直線坐標(biāo)系的表達(dá)形式。采用平面斜角直線坐標(biāo)系，取，為單位矢量，坐標(biāo)線和的夾角為，有力和位移的矢量形式：，故有：比較這個(gè)式子與直角坐標(biāo)系中點(diǎn)積的式子，形式上多了一項(xiàng)，失去了矢量點(diǎn)積是矢量分量兩兩點(diǎn)積之和的簡潔形式。為了建立矢量點(diǎn)積的簡潔表達(dá)形式，引入一組對(duì)偶基矢量，用帶上標(biāo)的矢量，，表示，稱為逆變基矢量。相對(duì)地，原來帶下標(biāo)的基矢量，，稱為協(xié)變基矢量，逆變基矢量可由協(xié)變基矢量按下面的對(duì)偶關(guān)系確定：，式中，為克氏符號(hào)，有九個(gè)分量，指標(biāo)相同的分量為1，指標(biāo)相異的取值為零。在二維情況下，，而，所以，并且的方向正交于。同理可得，并且正交于。圖這時(shí)用逆變基矢量的線性組合來表示為：式中稱帶下標(biāo)的符號(hào)、為矢量的協(xié)變分量，用協(xié)變基矢量表示時(shí)，則有：式中稱帶上標(biāo)的符號(hào)，為矢量的逆變分量。由于不依賴與坐標(biāo)系，的逆變分量和協(xié)變分量應(yīng)滿足一定的關(guān)系。對(duì)二維情況，寫：對(duì)上式兩邊分別點(diǎn)乘，，可得協(xié)變分量和逆變分量的關(guān)系：，現(xiàn)在把二維的概念推廣到三維的情況，計(jì)算功或矢量的點(diǎn)積，令：，則有：上式表明，只要在斜角直線坐標(biāo)系中引進(jìn)協(xié)變和逆變基矢量，就能夠像在直角坐標(biāo)系下那樣，對(duì)一個(gè)矢量采用協(xié)變分量的分解，對(duì)另一個(gè)矢量采用逆變分量的分解，就得到矢量點(diǎn)積的簡潔形式。顯然，矢量的協(xié)變和逆變分量分別為：，在斜角直線坐標(biāo)中，矢量的協(xié)變分量和逆變分量分別是矢量在協(xié)變和逆變基矢量的投影。從以上討論可以看出，采用對(duì)偶基矢量后，矢量有兩種分量，分別是矢量的協(xié)變分量和逆變分量，相應(yīng)地有逆變基矢量和協(xié)變基矢量。今后把具有上標(biāo)的量稱為逆變量，具有下標(biāo)的量稱為協(xié)變量。同時(shí)應(yīng)注意：自由指標(biāo)在表達(dá)式中只能出現(xiàn)一次，啞標(biāo)出現(xiàn)兩次表示愛因斯坦求和約定，但必須一個(gè)指標(biāo)在上而一個(gè)指標(biāo)在下。在斜角直線坐標(biāo)系中，把單位矢量用作定義逆變分量的協(xié)變基矢量，同時(shí)必須選擇一組大小不為1的矢量作為對(duì)偶的逆變基矢量。為了擴(kuò)充視野，下面考慮極坐標(biāo)系中的矢量。選擇線元作為待研究的矢量，把單位矢量和定義為沿坐標(biāo)增加的方向，就能寫出：這里實(shí)際上是把，看作是矢量的逆變分量了，但有類似于這樣非線性項(xiàng)的出現(xiàn)，將給運(yùn)算帶來不便。我們對(duì)上式作一調(diào)整，便得坐標(biāo)的微分成為線元矢量的逆變矢量：，這樣，就需要這兩個(gè)微分的系數(shù)：，作為新的基矢量，而不是用單位矢量作為基矢量。由此可見，在極坐標(biāo)系中，基矢量和隨點(diǎn)而變，相當(dāng)于一個(gè)活動(dòng)標(biāo)架?，F(xiàn)在把極坐標(biāo)的概念推廣到三維曲線坐標(biāo)系，。在任意一點(diǎn)A，選擇三個(gè)矢量的大小和方向，使得線元矢量滿足：對(duì)于任意曲線坐標(biāo)系，一般不是單位矢量，都是坐標(biāo)的函數(shù)并且一般都具有量綱。然后，考慮從定點(diǎn)O（也許是坐標(biāo)原點(diǎn)）到點(diǎn)A引一個(gè)位置矢量，矢量是坐標(biāo)的函數(shù)，相鄰點(diǎn)B的位置矢量為，則，是從A點(diǎn)到B點(diǎn)的的增量，可以把這一增量形式寫為：比較以上兩式得：由此看出，協(xié)變基矢量是位置矢量對(duì)相應(yīng)曲線坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，其方向與坐標(biāo)曲線相切。所以，曲線坐標(biāo)系下的協(xié)變基矢量，其大小和方向都與坐標(biāo)有關(guān)。由協(xié)變基矢量可通過對(duì)偶關(guān)系定義逆變基矢量：用這兩組基矢量，可以確定任一矢量的兩組分量：也可以把這兩組基矢量用于任何兩個(gè)矢量和的點(diǎn)積，由于，和的點(diǎn)積寫為：或者當(dāng)協(xié)變基矢量，，構(gòu)成右手系時(shí)，其混合積為正值，記：式中為正實(shí)數(shù)，混合積的幾何意義是三個(gè)矢量依次構(gòu)成右手系時(shí)，以這三個(gè)矢量為棱邊的平行六面體的體積。根據(jù)對(duì)偶關(guān)系可由協(xié)變基矢量確定逆變基矢量。因?yàn)?，，即有平行于，可令，因?yàn)椋嚎汕蟮茫汗视校和砜傻茫?，每個(gè)矢量都可以分解成協(xié)變分量或逆變分量。如果把每個(gè)基矢量都用同名的基矢量表示，即把協(xié)變基矢量用逆變分量表示以及把逆變基矢量用協(xié)變分量表示時(shí)，便有：，譬如，所以，協(xié)變基矢量的逆變分量和逆變基矢量的協(xié)變分量都能構(gòu)成單位張量，后面將會(huì)看到，這種分解實(shí)際上就是二階度量張量的混變分量。把一個(gè)協(xié)變基矢量分解成協(xié)變分量時(shí)，便導(dǎo)出一組新的重要的量：這樣定義的九個(gè)量的總體，叫做度量張量，而每個(gè)量是度量張量的協(xié)變分量。同理，可以把分解成逆變分量：這樣我們就定義了度量張量的逆變分量?，F(xiàn)在考察同一組基矢量的點(diǎn)積：或者并且，，所以度量張量是二階對(duì)稱張量。現(xiàn)在考慮：協(xié)變基矢量、、的混合積為，則的行列式為：這里利用了三個(gè)矢量兩兩點(diǎn)積構(gòu)成矩陣的矢量公式，后面將對(duì)此給予證明。而的行列式為：所以，混合積是以這三個(gè)逆變基矢量為棱邊的平行六面體的體積。則類似的有：，，利用和，可以把一個(gè)矢量的逆變分量用協(xié)變分量表示，也可以把它的協(xié)變分量用逆變分量表示出來。取任一矢量，且有：以上稱為矢量分量的指標(biāo)升降關(guān)系。還可以得到兩個(gè)矢量和的點(diǎn)積另外兩種形式：矢量模的平方則表示成：第二節(jié)坐標(biāo)變換考慮一個(gè)舊坐標(biāo)系和一個(gè)新坐標(biāo)系，新舊坐標(biāo)系各有一對(duì)對(duì)偶的基矢量。設(shè)已知一個(gè)矢量在舊坐標(biāo)系中的各分量，要求計(jì)算出它在新坐標(biāo)系中各分量。首先將新坐標(biāo)系的基矢量對(duì)老坐標(biāo)系基矢量分解，有：，上式中稱為協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)，稱為逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)，各有九個(gè)量，但實(shí)際上協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)和逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)互不獨(dú)立，為此，作：上式表示協(xié)、逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)組成的矩陣互逆，即舊坐標(biāo)系的協(xié)變基矢量對(duì)新坐標(biāo)系的協(xié)變基矢量分解，也應(yīng)有9個(gè)轉(zhuǎn)換系數(shù)，將上式左右點(diǎn)積，并利用對(duì)偶關(guān)系：又將上式左端的轉(zhuǎn)換關(guān)系代入后得：所以以及同理可證：且有：上式表示協(xié)變和逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)的另一種互逆關(guān)系：因此，新舊坐標(biāo)系的協(xié)變基和逆變基之間共有18個(gè)轉(zhuǎn)換系數(shù)，它們之間滿足矩陣互逆關(guān)系，獨(dú)立的只有九個(gè)。把矢徑看作復(fù)合函數(shù)，利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)規(guī)則，有：與基矢量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系比較，得：同理可得：可以利用坐標(biāo)變換得到曲線坐標(biāo)系的基矢量。譬如確定球坐標(biāo)和笛卡爾直角坐標(biāo)間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)以及球坐標(biāo)的基矢量，令直角坐標(biāo)為，，，球坐標(biāo)為，，，球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系為：，，及，，協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)為：，，，，，，及逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)為：，，，，憶及，，并且直角坐標(biāo)有互相正交的單位基矢量，則有球坐標(biāo)的協(xié)變基矢量為：以及球坐標(biāo)的逆變基矢量：現(xiàn)在可以確定矢量在兩個(gè)不同坐標(biāo)系中的分量：首先考慮：用點(diǎn)乘上式兩邊得同理可得：，，可以把以上各式概括成以下形式：由老坐標(biāo)系變換到新坐標(biāo)系時(shí)，矢量的協(xié)變分量與協(xié)變基矢量以同一組協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)變換，以這種方式變換的量叫做協(xié)變量，按相反方式變換的量叫做逆變量。第三節(jié)一般張量的概念現(xiàn)在考慮以一種新的方式定義矢量。三維曲線坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)，如果由3個(gè)量構(gòu)成的集合或以下式進(jìn)行變換：，則這些量的集合就叫做矢量的協(xié)變分量，集合就叫做矢量的逆變分量。把矢量的解析定義推廣，若三維曲線坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)，一個(gè)由9個(gè)有序量組成的集合按下式：進(jìn)行變換，則這9個(gè)量的集合定義一個(gè)二階逆變張量，需要協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)兩次轉(zhuǎn)換。如果按下式：進(jìn)行變換，則這9個(gè)量的集合構(gòu)成一個(gè)二階協(xié)變張量，即用逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)的兩次逆變轉(zhuǎn)換。對(duì)于具有兩個(gè)指標(biāo)的二階張量，如果由舊坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換出現(xiàn)一次協(xié)變轉(zhuǎn)換和一次逆變轉(zhuǎn)換，即在老坐標(biāo)系中的9個(gè)量及按下式：變換到新坐標(biāo)系，則這9個(gè)量和的集合定義兩個(gè)二階混變張量。這也是一階張量推廣到二階張量的必然結(jié)果?，F(xiàn)在我們可以定義三維空間中的任意高階張量，如果三維空間中有個(gè)有序數(shù)的集合（共有個(gè)指標(biāo)），這組數(shù)按下式進(jìn)行坐標(biāo)變換：則這組有序數(shù)的集合就是三維空間中的階張量，每一個(gè)數(shù)就是張量的分量，張量的指標(biāo)代表坐標(biāo)變換時(shí)張量分量的協(xié)、逆變性質(zhì)，如果指標(biāo)全為上標(biāo)，稱為階張量的逆變分量，如果指標(biāo)全為下標(biāo)，則稱為階張量的協(xié)變分量，同時(shí)具有上標(biāo)和下標(biāo)的張量分量，稱為階張量的混變張量。要判別一組有序數(shù)的集合是否構(gòu)成一個(gè)張量，使用商法則是比直接采用定義更為方便的方法，下面以三階張量為例說明商法則。若已知是一階張量的逆變分量，是二階張量的協(xié)變分量，能對(duì)下式成立：則必為一個(gè)三階張量的逆變分量?，F(xiàn)在給予證明，根據(jù)已知條件：，代入后得：兩邊同乘，得：同時(shí)在新坐標(biāo)系中，有下式成立：把上兩式相減得由于的任意性，就有：這說明必是一個(gè)三階張量。張量是矢量的推廣，矢量可用分量表示，也有實(shí)體表示，矢量的實(shí)體表示是其分量與相應(yīng)基矢量的線性組合，張量也有同樣形式的實(shí)體表達(dá)。為此，構(gòu)造任意兩個(gè)矢量和的并矢，寫作，把這兩個(gè)矢量的分量逐個(gè)相乘，基矢量并寫到一起，分量相乘后可得到四種9個(gè)數(shù)的集合，譬如其中一種是，考察并矢的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，并利用協(xié)變和逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)的互逆性質(zhì)，有：因此是一個(gè)二階張量，而只是它的逆變分量，這里基矢量的并矢可稱為二階基張量，它們是線性無關(guān)的。由于在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)保持不變，所以是一個(gè)張量實(shí)體。在一個(gè)坐標(biāo)系中，對(duì)于二階張量可以實(shí)體表示為：當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，張量實(shí)體不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而變化。對(duì)于上面的二階張量，有：容易證明，上式與張量的分量形式是完全等價(jià)的。高階張量的實(shí)體表示完全可以依次類推，其中基張量的個(gè)數(shù)就是張量的階數(shù)，矢量可看作一階張量，而標(biāo)量可看作零階張量，它們都具有對(duì)坐標(biāo)的不變性，或者說張量不依賴于坐標(biāo)系。在曲線坐標(biāo)系的每個(gè)點(diǎn)都需要引進(jìn)對(duì)偶的協(xié)變基矢量和逆變基矢量，張量就可分解為協(xié)變、逆變和混變分量，譬如二階張量有四種分量。現(xiàn)以彈性平面應(yīng)力狀態(tài)為例考察這四種分量，在直角坐標(biāo)系中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為：MPa，MPa，MPa，討論中的逆變、協(xié)變和混變應(yīng)力分量。插圖建立兩個(gè)坐標(biāo)系，斜角直線坐標(biāo)系的坐標(biāo)參數(shù)為和，引用記號(hào)，，，。由圖有：，并由此求得：，令直角坐標(biāo)系的兩個(gè)基矢量為和，則斜角直線坐標(biāo)系中矢徑為：則協(xié)變基矢量分別為：，其模均為1。則兩坐標(biāo)系的變換系數(shù)為：，，，，根據(jù)，得逆變基矢量：把笛卡爾坐標(biāo)系作為舊坐標(biāo)系，斜角直線坐標(biāo)系作為新坐標(biāo)系，由張量分量的坐標(biāo)變換關(guān)系有：使，，，，代入上式中得：類似地推導(dǎo)可以得到：以及和若代入和應(yīng)力值，可以得到四種應(yīng)力分量的具體數(shù)值（略）。上述各應(yīng)力分量的四種表示如圖所示，注意第一個(gè)指標(biāo)表示應(yīng)力的作用面，第二個(gè)指標(biāo)表示應(yīng)力方向。第四節(jié)度量張量前面提到，在把協(xié)變基矢量分解為協(xié)變分量以及逆變基矢量分解為逆變分量時(shí)，分別定義了度量張量的協(xié)變分量和逆變分量，并且協(xié)變分量是協(xié)變基矢量的點(diǎn)積，逆變分量是逆變基矢量的點(diǎn)積?，F(xiàn)在考察這些分量的坐標(biāo)變換關(guān)系，根據(jù)定義：所以和是二階協(xié)變張量和二階逆變張量，根據(jù)一般張量的概念，度量張量還存在兩種混變分量，它們是：，顯然，度量張量的兩種混變分量都是單位張量，可以推論它們?cè)谌魏巫鴺?biāo)系均為單位張量。這樣，度量張量的實(shí)體形式可完整地寫成：度量張量協(xié)變分量的行列式記為，利用式：把上式展開成矩陣形式，并對(duì)兩邊取行列式，由于矩陣之積的行列式等于因子矩陣行列式之積，所以有：因此有：是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，考察它的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，利用度量張量協(xié)變分量的坐標(biāo)變換關(guān)系并同時(shí)取其行列式，有：如令協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)的行列式，上式成為：因此，盡管是標(biāo)量函數(shù)，但是在新舊兩個(gè)坐標(biāo)系的值是不同的，這樣的標(biāo)量稱為偽標(biāo)量。注意到協(xié)變基矢量構(gòu)成右手系時(shí)，混合積是以三個(gè)基矢量為棱邊的平行六面體的體積，而等于混合積的平方，因此有：有了度量張量后，現(xiàn)在簡單介紹一下空間的概念。數(shù)學(xué)上的空間是指具有一定性質(zhì)的點(diǎn)的集合，測(cè)量空間距離的規(guī)則就叫度量，這里關(guān)心的是三維空間情況下這些點(diǎn)的集合，那么空間中任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)著獨(dú)立的三個(gè)數(shù)即坐標(biāo)?？臻g中兩點(diǎn)的距離也就是矢量的長度，而矢量的長度可用矢量點(diǎn)積來表達(dá)，因此規(guī)定了矢量的點(diǎn)積也就規(guī)定了兩點(diǎn)的距離。如果兩點(diǎn)很近，則其間的距離是線元矢量的長度，由于線元是個(gè)微分量，可用相應(yīng)的線元弦長來代替：上式表明坐標(biāo)的微分導(dǎo)致線元長度的變化完全取決于，從而建立起微分距離的空間度量，鑒于線元的平方是二次型，所以稱為空間的度量，稱為度量張量，它也是確定空間幾何性質(zhì)的一個(gè)最基本的度量尺度。用度量張量決定性質(zhì)的空間稱為度量空間。一般是坐標(biāo)的函數(shù)，如果，這樣的空間稱為黎曼空間。如果，則稱這個(gè)空間為歐氏空間，反之，若，則稱這個(gè)空間為閔可夫斯基空間。線元長度的平方也是一個(gè)微分二次型，是其系數(shù)，由式可知，這個(gè)二次型是正定二次型，如果把看作矩陣，這個(gè)矩陣也是正定的。現(xiàn)以球坐標(biāo)系為例，確定度量張量的協(xié)變分量和逆變分量。注意到笛卡爾坐標(biāo)系中的度量張量有：，，式中在兩個(gè)相同指標(biāo)下面加一橫，表示不對(duì)指標(biāo)求和。觀察式，容易得到：所以球坐標(biāo)系中的協(xié)變和逆變基矢量互相垂直，為正交曲線坐標(biāo)系，同時(shí)考慮到的展開式，因此，有：，考慮變換關(guān)系，則有：且，而逆變分量為：，，度量張量協(xié)變分量的行列式為：第五節(jié)置換張量前面已經(jīng)看到，在一個(gè)坐標(biāo)系中基矢量的點(diǎn)積構(gòu)成度量張量，并且度量張量的混變分量就是克氏符號(hào)。現(xiàn)在考察基矢量的混合積形式。在最簡單的笛卡爾坐標(biāo)系中，三個(gè)互相正交的單位基矢量的混合積為。當(dāng)這三個(gè)基矢量任意排列時(shí)，其全部排列構(gòu)成27個(gè)值，利用置換符號(hào)的性質(zhì)，寫其混合積為?，F(xiàn)在推廣到任意曲線坐標(biāo)系中，曲線坐標(biāo)系中基矢量的混合積有：，取上面兩組各三個(gè)基矢量任意排列，則每一組共有27中可能的排列，因?yàn)榛旌戏e中若有兩個(gè)矢量相同，混合積為零，所以只有6種排列不為零，其中三種順序排列的值為正值，三種逆序排列為負(fù)值，為此擴(kuò)展具有3個(gè)指標(biāo)的置換符號(hào)為：則基矢量混合積的全部排列可統(tǒng)一寫為：，對(duì)基矢量的混合積進(jìn)行坐標(biāo)變換，得：混合積滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，根據(jù)張量定義應(yīng)為三階張量，并且是三階張量的協(xié)變分量，稱這個(gè)張量為置換張量，其協(xié)變分量與逆變分量記為：協(xié)變分量和逆變分量的關(guān)系可通過置換張量定義和指標(biāo)升降關(guān)系得到：所以，協(xié)變分量可通過逆變分量指標(biāo)三次下降而得到，反之亦然。根據(jù)指標(biāo)升降關(guān)系還可得到置換張量的六種混變分量，但沒有實(shí)際使用價(jià)值。置換張量是關(guān)于任意一對(duì)指標(biāo)的反對(duì)稱張量，其分量一般是坐標(biāo)的函數(shù)。置換張量實(shí)體形式記為：利用置換張量，考察基矢量的叉積，因?yàn)椋罕容^上式兩邊，得：同理可得：用置換張量表示基矢量的叉積與式（由逆變基求協(xié)變基）的形式是完全等價(jià)的。置換符號(hào)關(guān)于任意兩個(gè)指標(biāo)均反對(duì)稱，它不是三階張量的分量，利用置換符號(hào)，可以改寫行列式的展開式：這里令為行號(hào)，為列號(hào)。根據(jù)行列式的性質(zhì)，如果在中對(duì)下標(biāo)作任意的位置置換，譬如就相當(dāng)于把行列式的兩列互換，行列式的值為，在置換一次又改變了符號(hào)，其結(jié)果又回到了，這個(gè)規(guī)律可以寫成：因?yàn)榻粨Q行列式的兩行時(shí)行列式的值也變號(hào)，因此類似地有：這樣相當(dāng)于把行列式的唯一一種展開式表達(dá)為27種展開式，把行列式換行、換列以及兩行兩列相等時(shí)的性質(zhì)都包括進(jìn)來，拓展了行列式的表達(dá)形式。如果同時(shí)變換行列式的行和列，則得到一組共有6個(gè)自由指標(biāo)的行列式，即其中，這個(gè)式子也可以這樣證明，首先可直接寫出：把以上兩式相乘，得：式得證。如果考慮克氏符號(hào)構(gòu)成的行列式，由于是一個(gè)單位矩陣，所以，則有：稱為廣義的克氏符號(hào)，當(dāng)和都是順序排列或都是逆序排列時(shí)，=1；當(dāng)和中一為順序排列，一為逆序排列時(shí)，=－1；其余情況，=0。它的主要性質(zhì)在于：把上式啞標(biāo)改寫成：上式兩邊同乘并利用式，得到：根據(jù)指標(biāo)升降關(guān)系，有：上式即為置換張量的逆變分量的定義。對(duì)于兩個(gè)任意給定的矢量和，在任意曲線坐標(biāo)系中，，令這兩個(gè)矢量的叉積為，則有：得矢量的協(xié)變分量：同理得到矢量的逆變分量：三個(gè)矢量的二重叉積，表示連續(xù)兩次叉積運(yùn)算，其結(jié)果仍是一個(gè)矢量，但必須注意叉積的順序，即有：一組三個(gè)矢量的混合積用矢量的逆變分量表示為：另外