專訓(xùn)3-活用多邊形的內(nèi)角和與外角和的五種方法

階段方法技巧訓(xùn)練（三）專訓(xùn)3活用多邊形的內(nèi)角和與外角和的五種方法習(xí)題課多邊形的內(nèi)角和、外角和屬于多邊形中的基礎(chǔ)知識，它常與方程、不等式(組)綜合運(yùn)用來求某些角的度數(shù)或多邊形的邊數(shù)．1方法利用多邊形的內(nèi)角和或外角和求邊數(shù)1．已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角等于72°，則這個(gè)正多邊形是(

)A．正五邊形B．正六邊形C．正七邊形D．正八邊形A2．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為________．同類變式8設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.3．已知兩個(gè)多邊形的內(nèi)角總和是900°，且邊數(shù)之比是1∶2.求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)．同類變式解：設(shè)這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是n，2n.則(n－2)×180°＋(2n－2)×180°＝900°，解得n＝3.所以2n＝6.所以這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是3，6.2方法利用多邊形的內(nèi)角和或外角和求角的度數(shù)4．在四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度數(shù)之比為2∶3∶4∶3，則∠D等于(

)A．60°

B．75°

C．90°

D．120°C5．如圖，已知∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的4個(gè)外角，且∠A＝120°，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．300°設(shè)∠A的鄰補(bǔ)角為∠α，則∠α＝180°－120°＝60°.因?yàn)椤?＋∠2＋∠3＋∠4＋∠α＝360°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－∠α＝360°－60°＝300°.6．如圖，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°.試求∠F的度數(shù)．同類變式解：如答圖，連接AD.在四邊形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.因?yàn)锳B⊥BC，所以∠B＝90°.又因?yàn)椤螩＝120°，所以∠BAD＋∠ADC＝150°.因?yàn)镃D∥AF，所以∠ADC＝∠DAF.所以∠BAD＋∠DAF＝150°，即∠BAF＝150°.又因?yàn)椤螩DE＝∠BAF，所以∠CDE＝150°.所以在六邊形ABCDEF中，∠F＝720°－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°－90°－120°－150°－80°＝130°.3方法用不等式(組)解決有關(guān)多邊形邊數(shù)及角的問題7．一個(gè)多邊形除去一個(gè)內(nèi)角后，其余內(nèi)角之和是2570°.求：(1)這個(gè)多邊形的邊數(shù)；(2)除去的那個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．解：(1)設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為(n－2)?180°.依題意，得2570°＜(n－2)?180°＜2570°＋180°，解這個(gè)不等式組，得16＜n＜17.因?yàn)閚是正整數(shù)，所以n＝17，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為17.(2)除去的那個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為(17－2)×180°－2570°＝130°.由于除去一個(gè)內(nèi)角后，其余內(nèi)角之和為2570°，故該多邊形的內(nèi)角和比2570°大，比2570°＋180°小．可列出關(guān)于邊數(shù)的不等式組，先確定邊數(shù)的取值范圍，再求邊數(shù)．4方法求不規(guī)則圖形的內(nèi)角和8．如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數(shù)．解：如圖，連接GF.因?yàn)椤螦＋∠B＋∠AHB＝180°，∠HFG＋∠HGF＋∠GHF＝180°，∠AHB＝∠GHF，所以∠A＋∠B＝∠HFG＋∠HGF.

因?yàn)椤螩＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠FGC＝540°，∠EFG＝∠EFH＋∠HFG，∠FGC＝∠HGC＋∠HGF，所以∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠HFG＋∠HGF＋∠HGC＝540°.所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠HGC＝540°.5方法多邊形中的截角問題9．一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成一個(gè)新多邊形的內(nèi)角和是2700°，那么原多邊形的邊數(shù)是多少？分析：設(shè)新多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得關(guān)于n的方程，從而求得n的值．一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，會出現(xiàn)三種情況，以四邊形為例：(1)邊數(shù)減少1，如圖①所示；(2)邊數(shù)不變，如圖②所示；(3)邊數(shù)增加1，如圖③所示．解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)是n