高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)培優(yōu)點(diǎn)05極化恒等式、奔馳定理與等和線定理(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

培優(yōu)點(diǎn)05極化恒等式、奔馳定理與等和線定理（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)，很多時(shí)候需要用基底代換，運(yùn)算量大且復(fù)雜，用向量極化恒等式、奔馳定理、等和(高)線求解，能簡(jiǎn)化向量代換，減少運(yùn)算量，使題目更加清晰簡(jiǎn)單．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：向量極化恒等式極化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.變式：(1)a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).(2)如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.規(guī)律方法利用向量的極化恒等式可以對(duì)數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問(wèn)題．【例1】(2023·鄭州模擬)如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段EF的中點(diǎn)為B，則eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范圍是________．【變式】．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二:平面向量“奔馳定理”定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.易錯(cuò)提醒利用平面向量“奔馳定理”解題時(shí)，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)；定理中等式左邊三個(gè)向量的系數(shù)之比對(duì)應(yīng)三個(gè)三角形的面積之比．【例2】（2022·安徽·三模）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【變式1】(2023·重慶模擬)△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若△ABC的三邊為a，b，c，現(xiàn)有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O為△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【變式2】(2023·安陽(yáng)模擬)如圖，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A．1∶2∶3 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．2∶3∶6考點(diǎn)三:等和(高)線定理等和(高)線平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線．(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；(2)當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；(3)當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；(4)當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，k＝0；(5)若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；(6)定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．規(guī)律方法要注意等和(高)線定理的形式，解題時(shí)一般要先找到k＝1時(shí)的等和(高)線，利用比例求其他的等和(高)線．【例3】．（2022·山東煙臺(tái)·三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【變式3】已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．如圖，是圓O的直徑，P是圓弧上的點(diǎn)，M、N是直徑上關(guān)于O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則（

）A．13 B．7 C．5 D．32．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．3．設(shè)向量滿足，，則=A．1 B．2 C．3 D．54．已知圓的半徑為，點(diǎn)滿足，，分別是上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．6．在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．17．在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則的取值范圍是A． B． C． D．8．在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數(shù)的值為(

)A．2 B．3 C． D．9．如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．211．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（

）A． B． C． D．12．已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．13．已知點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B． C． D．14．已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△APB，△APC，△BPC的面積之比為（

）A． B． C． D．二、多選題15．如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則16．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足.則（

）A．為的外心B．C．D．17．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則18．在平行四邊形中，，，點(diǎn)是的三邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，C．的最大值為D．滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)三、填空題19．在扇形中，，為弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是．20．在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，其中且，若的最小值為.21．如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、,其中與與的夾角為，與的夾角為,且，，若,則的值為.22．（22-23高三上·江蘇南通·期中）如圖，已知M，N是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若，，則=．23．已知線段是圓上的一條動(dòng)弦，且，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為；如果直線與相交于點(diǎn)，則的最小值為.24．在銳角三角形ABC中，已知，則的取值范圍是．25．四邊形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為.26．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，則的面積之比是.培優(yōu)點(diǎn)05極化恒等式、奔馳定理與等和線定理（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)，很多時(shí)候需要用基底代換，運(yùn)算量大且復(fù)雜，用向量極化恒等式、奔馳定理、等和(高)線求解，能簡(jiǎn)化向量代換，減少運(yùn)算量，使題目更加清晰簡(jiǎn)單．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：向量極化恒等式極化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.變式：(1)a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).(2)如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.規(guī)律方法利用向量的極化恒等式可以對(duì)數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問(wèn)題．【例1】(2023·鄭州模擬)如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段EF的中點(diǎn)為B，則eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范圍是________．【答案】[39,55]【解析】由向量極化恒等式知eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－|eq\o(BE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－9.又△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，所以當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最大值8.當(dāng)點(diǎn)P位于AC的中點(diǎn)時(shí)，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最小值，即|eq\o(PB,\s\up6(→))|min＝8sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，所以|eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范圍為[4eq\r(3)，8]，所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范圍為[39,55]．【變式】．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)椋?，即；故選：D考點(diǎn)二:平面向量“奔馳定理”定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.易錯(cuò)提醒利用平面向量“奔馳定理”解題時(shí)，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)；定理中等式左邊三個(gè)向量的系數(shù)之比對(duì)應(yīng)三個(gè)三角形的面積之比．【例2】（2022·安徽·三模）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)平面向量基本定理可得，，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，根據(jù)面積比推出，結(jié)合角平分線定理推出為的平分線，同理推出是的平分線，根據(jù)內(nèi)心的定義可得答案.【詳解】由得，由得，根據(jù)平面向量基本定理可得，，所以，，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，則，又，所以，所以為的平分線，同理可得是的平分線，所以為的內(nèi)心.故選：B【變式1】(2023·重慶模擬)△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若△ABC的三邊為a，b，c，現(xiàn)有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O為△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【答案】B【解析】記點(diǎn)O到AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，S△OBC＝eq\f(1,2)a·h2，S△OAC＝eq\f(1,2)b·h3，S△OAB＝eq\f(1,2)c·h1，因?yàn)镾△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(1,2)a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又因?yàn)閍·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以h1＝h2＝h3，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心．【變式2】(2023·安陽(yáng)模擬)如圖，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A．1∶2∶3 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．2∶3∶6【答案】A【解析】O是△ABC的垂心，延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，則CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，因此，eq\f(S△BOC,S△AOC)＝eq\f(\f(1,2)OC·BP,\f(1,2)OC·AP)＝eq\f(BP,AP)＝eq\f(OPtan∠BOP,OPtan∠AOP)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ABC)，同理eq\f(S△BOC,S△AOB)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ACB)，于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，由“奔馳定理”有S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.考點(diǎn)三:等和(高)線定理等和(高)線平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線．(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；(2)當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；(3)當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；(4)當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，k＝0；(5)若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；(6)定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．規(guī)律方法要注意等和(高)線定理的形式，解題時(shí)一般要先找到k＝1時(shí)的等和(高)線，利用比例求其他的等和(高)線．【例3】．（2022·山東煙臺(tái)·三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】等和線的問(wèn)題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵BC//EF，∴設(shè)，則∴，∴∴故選：A.【變式3】已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)可知O為的重心；根據(jù)點(diǎn)M在內(nèi)，判斷出當(dāng)M與O重合時(shí)，最小；當(dāng)M與C重合時(shí)，的值最大，因不含邊界，所以取開(kāi)區(qū)間即可．【詳解】因?yàn)槭莾?nèi)一點(diǎn)，且所以O(shè)為的重心在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，最小，此時(shí)所以，即當(dāng)M與C重合時(shí)，最大，此時(shí)所以，即因?yàn)樵趦?nèi)且不含邊界所以取開(kāi)區(qū)間，即所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了向量在三角形中的線性運(yùn)算，特殊位置法的應(yīng)用，屬于難題．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．如圖，是圓O的直徑，P是圓弧上的點(diǎn)，M、N是直徑上關(guān)于O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則（

）A．13 B．7 C．5 D．3【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法和減法法則表示、，再根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算公式計(jì)算，即可求出結(jié)果．【詳解】連結(jié)，則，，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查向量運(yùn)算及向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量加減法及其幾何意義，屬于中檔題目．2．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故選：．3．設(shè)向量滿足，，則=A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，兩式相加得：，所以，故選A.考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積等平面向量知識(shí)，熟練基礎(chǔ)知識(shí)與基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵．4．已知圓的半徑為，點(diǎn)滿足，，分別是上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)為，利用表達(dá)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式計(jì)算，得到，從而得到與反向共線時(shí)取得最小值，當(dāng)與同向共線時(shí)，取得最大值，從而得到取值范圍.【詳解】，設(shè)的中點(diǎn)為，在半徑為的圓中，，得，，，即，當(dāng)與反向共線時(shí)，取得最小值；當(dāng)與同向共線時(shí)，取得最大值；即的取值范圍是；故選：D5．在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè),且，結(jié)合向量數(shù)乘、加法的幾何意義可得，再由已知條件即可得的值.【詳解】由題意，，且，而，所以，即，由已知，則，選項(xiàng)D正確.故選：D6．在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)給定條件探求出，結(jié)合轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)并求函數(shù)的最小值即可.【詳解】在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，則，于是得，而，且與不共線，則，即有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，此時(shí)M為BC中點(diǎn)，所以的最小值為.故選：C7．在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ與μ，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍．【詳解】如圖所示，△ABC中，，∴（），又點(diǎn)E在線段AD（不含端點(diǎn)）上移動(dòng)，設(shè)k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上單調(diào)遞減，∴λ的取值范圍為（，+∞），故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．8．在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數(shù)的值為(

)A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】用和表示，根據(jù)E、O、F三點(diǎn)共線可得，利用和基本不等式可求的最小值，再根據(jù)的最小值為3即可求出t的值．【詳解】，∵E、O、F三點(diǎn)共線，∴，∵m>0，n>0，t>0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴．故選：B．9．如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐標(biāo)系，將由點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后數(shù)形結(jié)合求解【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤,y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，解得，故，即，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)時(shí)，取最小值2，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，取得最大值.故選：B10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.11．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到，再結(jié)合“奔馳定理”即可求解結(jié)論．【詳解】解：為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，．，故選：D．12．已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得即可求解作答.【詳解】是的垂心，延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，則，，因此，，同理，于是得，又，即，由“奔馳定理”有，則，而與不共線，有，，即，所以.故選：A13．已知點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)作，根據(jù)平面向量基本定理求得，即可求得與的面積之比.【詳解】點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，過(guò)作，如下圖所示：由，故，所以與的面積之比為，故選：D．14．已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△APB，△APC，△BPC的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將已知向量式化為兩個(gè)向量共線的形式，再利用平行四邊形法則及向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，三角形面積公式確定面積之比【詳解】解：，，如圖：

，，、、三點(diǎn)共線，且，為三角形的中位線而，，的面積之比等于故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量式的化簡(jiǎn)，向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義等向量知識(shí)，充分利用向量共線是解決本題的關(guān)鍵二、多選題15．如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則【答案】AB【分析】對(duì)于A：利用重心的性質(zhì)，代入即可；對(duì)于B：利用三角形的面積公式結(jié)合與可知點(diǎn)到的距離相等.對(duì)于C：利用將表示出來(lái)，代入，化簡(jiǎn)即可表示出的關(guān)系式，用將表示出來(lái)即可得處其比值.對(duì)于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合的取值范圍可得出答案.【詳解】對(duì)于A：如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，同理可得、，所以，又因?yàn)?，所?正確；對(duì)于B：記點(diǎn)到的距離分別為，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)是的內(nèi)心，正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所以，所以，所以，化?jiǎn)得：，又因?yàn)椴还簿€，所以，所以，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)槭堑耐庑?，，所?，所以，因?yàn)?，則，化簡(jiǎn)得：，由題意知同時(shí)為負(fù)，記，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，錯(cuò)誤.故答案為：AB.16．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足.則（

）A．為的外心B．C．D．【答案】BCD【分析】由根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得,可得為的垂心；結(jié)合與三角形內(nèi)角和等于可證明B選項(xiàng)；結(jié)合B選項(xiàng)結(jié)論證明即可證明C選項(xiàng)，利用奔馳定理證明可證明D選項(xiàng)．【詳解】解：因?yàn)?，同理，，故為的垂心，故A錯(cuò)誤；，所以，又，所以，又，所以，故B正確；故，同理，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，則，同理可得，所以，故C正確；，同理可得，所以，又，所以，故D正確．故選：BCD．17．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則【答案】ACD【分析】對(duì)A，由奔馳定理即可判斷；對(duì)B，由面積公式求出，結(jié)合奔馳定理即可求；對(duì)C，由奔馳定理，結(jié)合內(nèi)心性質(zhì)可得，即可得；對(duì)D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得，結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得，如圖所示分別為垂足，可設(shè)，，即可由幾何關(guān)系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求【詳解】對(duì)A，由奔馳定理可得，，又不共線，故，A對(duì)；對(duì)B，，由得，故，B錯(cuò)；對(duì)C，若O為△ABC的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故，C對(duì)；對(duì)D，若O為△ABC的垂心，則，，又，同理，∴，∵，則，且如圖，分別為垂足，設(shè)，，則，又，故，由，解得，由，故，D對(duì)故選：ACD18．在平行四邊形中，，，點(diǎn)是的三邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，C．的最大值為D．滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)【答案】ABC【分析】建立坐標(biāo)系，將四邊形的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)，利用坐標(biāo)逐一判斷即可.【詳解】解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，其中設(shè)點(diǎn)，則，由，，故A正確，對(duì)于，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，，，B正確；對(duì)于，(此時(shí)，即P與C重合時(shí)取最大值1)，C正確對(duì)于，由令，滿足條件的點(diǎn)不只有一個(gè)，如和，D錯(cuò)誤．故選：ABC.三、填空題19．在扇形中，，為弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.向量坐標(biāo)化進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，利用三角函數(shù)求出的取值范圍.【詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.

則.不妨設(shè).因?yàn)椋?，解得：，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)最大；當(dāng)時(shí)最小.所以的取值范圍是.故答案為：.20．在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，其中且，若的最小值為.【答案】【分析】先利用向量的線性運(yùn)算得到關(guān)于與的