河北省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由解得，由解得，所以，，所以,故選：B.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，由已知，，，，，，由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是.故選：C.3.“”是“是冪函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若是冪函數(shù)，則，得，所以“”是“是冪函數(shù)”的充要條件，故選：B.4.小明同學(xué)在公園散步時(shí)，對(duì)公園的扇形石雕（圖1）產(chǎn)生了濃厚的興趣，并畫(huà)出該扇形石雕的形狀（圖2），在扇形AOB中，，則扇形AOB的面積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得扇形的圓心角，扇形半徑，則扇形面積故選：A.5.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以，，的大小關(guān)系是.故選：A.6.已知函數(shù)（，且）的圖象過(guò)定點(diǎn)，且角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)的定義，所以．故選：B.7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?，又的?duì)稱軸為，開(kāi)口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.8.溶液的酸堿度是用來(lái)衡量溶液酸堿性強(qiáng)弱程度的一個(gè)指標(biāo)，在化學(xué)中，常用值來(lái)表示溶液的酸堿度.的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.已知某溶液中氫離子的濃度是摩爾/升，則該溶液的約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.1.921 B.1.301 C.1.875 D.1.079【答案】A【解析】由題意可得.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則（）A B.C. D.【答案】AC【解析】由，，得，A正確；當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤．因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，，所以，C正確；因?yàn)槭菧p函數(shù)，，所以，D錯(cuò)誤；故選：AC.10.對(duì)于函數(shù)，存在，使得，我們稱為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).下列函數(shù)中，是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】令，即.因?yàn)?，所以無(wú)解，則不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，A不正確；令，即，即.因?yàn)椋杂袃蓚€(gè)不同的非零實(shí)根，則是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，B正確；令，即，易知是方程的一個(gè)解，則是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，C正確；當(dāng)時(shí)，令，即，解得或，則方程在上無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，則方程在上無(wú)解.故不“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，D不正確；故選：BC.11.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的值域?yàn)锽.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.若方程在上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】因?yàn)?，的值域?yàn)?，故A正確．由，得，所以在上先增后減，故B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確．由，得，由，得，由正弦函數(shù)的圖象可得，解得，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.與角終邊相同的最小正角是________．（用弧度表示）【答案】【解析】與角終邊相同的最小正角是，即，故答案為：.13.函數(shù)的最小值為_(kāi)_______．【答案】1【解析】由得，則定義域?yàn)椋驗(yàn)樵谏隙际窃龊瘮?shù)，所以在上是增函數(shù)，所以的最小值為．故答案為：1.14.如圖，地在自西向東的一條直線鐵路上，在距地的B地有一金屬礦，地到該鐵路的距離．現(xiàn)擬定在之間的地修建一條公路到地，即修建一條的運(yùn)輸路線．若公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的倍，則當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為_(kāi)_________時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低．【答案】【解析】設(shè)當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為時(shí)，鐵路每公里運(yùn)費(fèi)為，公路每公里運(yùn)費(fèi)為．由題意得，則總運(yùn)費(fèi)，要使總費(fèi)用最低，只需最小即可．設(shè)，則，得，則，得．當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用最低，則，得，所以當(dāng)?shù)氐降氐木嚯x為時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）求的值；（2）若，求的值．解:（1）．（2）．16.已知函數(shù)（，且）的圖象過(guò)點(diǎn)，．（1）求，的值；（2）求不等式的解集．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，所以，解得.（2）由（1）得，由，得，所以，所以或，解得或，即不等式的解集為.17.已知．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由解得，所以．（2）由，得，則，所以．18.已知是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．（1）求．（2）若，，證明：．（3）求不等式的解集．解：（1）因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，解得.（2）由（1）得，由，得，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，又是定義在上的偶函數(shù)，所以．（3）由且是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增得，解得，即不等式的解集為．19.將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得曲線上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由