浙江省溫州市2025屆高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平評(píng)估數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省溫州市2025屆高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平評(píng)估數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，所以.故選：C.2.已知空間向量，則下列向量可以與構(gòu)成空間向量的一組基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，由于基底向量不能是零向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于與不共面，符合基底要求，故B正確；對(duì)于C，，故共面，不符合要求，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故共面，不符合要求，故D錯(cuò)誤；故選：B.3.圓心為且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】易知拋物線的準(zhǔn)線方程為；圓心到準(zhǔn)線的距離為，所以該圓的半徑為2；所以圓的方程為.故選：C.4.已知4名學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)分別為98，110，m，120，且上四分位數(shù)為118，則（）A.115 B.116 C.117 D.118【答案】B【解析】由題意，上四分位數(shù)為98，110，m，120從小到大排列的第3、4位的平均數(shù)，當(dāng)時(shí)，上四分位數(shù)為不合題意；當(dāng)時(shí)，上四分位數(shù)為，解得，滿足題意.故選：B.5.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列中的最小項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可知為等差數(shù)列，且公差為2，首項(xiàng)為，因此，由于且，故中的最小項(xiàng)為，故選：B6.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】由于，故為銳角，故,故故選：B.7.如圖所示，“田”字型方格是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成，A，B，C，D為其中的4個(gè)格點(diǎn)，在9個(gè)格點(diǎn)中依次取不同的兩點(diǎn)P，Q，則概率等于的事件是（）A. B.C. D.條件下，【答案】BD【解析】由于向量是有方向和大小的量，所以在9個(gè)格點(diǎn)中依次取不同的兩點(diǎn)共有個(gè)不同的向量，對(duì)于A，，由于，故，且方向相同，所以只能在只能在,只有這一種情況，故，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，所以可以為共18種，所以，B正確，對(duì)于C，，則，故可以為共4種，所以，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，在條件下，可以為共16種,滿足有，故概率為，D正確，故選：BD.8.已知函數(shù)與（且）在上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】若，則，從而不是上的增函數(shù)，不滿足條件；若，則對(duì)有，且.所以和都是上的增函數(shù)，滿足條件.若，則.取，則，從而對(duì)有.從而在上遞減，不滿足條件.綜上，的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由可知，，故AB正確；由于，故，C正確；時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.將下列平面四邊形中的沿對(duì)角線翻折成，使二面角為直二面角，其中四面體的外接球的半徑等于2的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，如圖：,解得，故A正確；對(duì)于B，底面圓的半徑為,而，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于和均為直角三角形，且二面角為直二面角，故的中點(diǎn)即為球心，故；故C正確；對(duì)于D，由于和均為直角三角形，且二面角為直二面角，取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為,則,結(jié)合二面角為直二面角，是兩平面的交線，故平面，平面，故,因此,故的中點(diǎn)即為球心，故，D正確.故選：ACD.11.給定，若集合，且存在，滿足，則稱P為“廣義等差集合”．記P的元素個(gè)數(shù)為，則（）A.是“廣義等差集合”B.是“廣義等差集合”C.若P不是“廣義等差集合”，當(dāng)時(shí)，的最大值為4D.若P不是“廣義等差集合”，若最大值為4，則n可以是13【答案】ABC【解析】對(duì)于A,取，則符合“廣義等差集合”定義，故A正確，對(duì)于B，取故B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，如時(shí)，設(shè)，由題意可知兩兩不相同，則矛盾，故，當(dāng)時(shí)，取,滿足P不是“廣義等差集合”，故的最大值為4，故C正確，對(duì)于D當(dāng)時(shí)，取，這與矛盾，故D錯(cuò)誤，故選：ABC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式：，則___________．【答案】【解析】由題意，，故.故答案為：13.若角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則____________．【答案】或0.6【解析】由題意可知，故，故答案為：.14.已知P為橢圓上一點(diǎn)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓的離心率等于____________．【答案】或【解析】取的中點(diǎn)為，設(shè)，則,由余弦定理可得.，故，又，故，進(jìn)而可得，因此，故，又，故，因此，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)在處的切線垂直于軸．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的極小值．解：（1）由可得，則，由于，故，（2），當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極小值為16.為了研究某市高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高的關(guān)聯(lián)性，抽取了200名高三年級(jí)的學(xué)生，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，整理得到如下列聯(lián)表，并畫(huà)出身高的頻率分布直方圖：性別身高合計(jì)低于不低于女m20

男50n

合計(jì)

200（1）根據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中m，n的值；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高是否低于有關(guān)聯(lián)？（3）用樣本頻率估計(jì)總體的概率，在全市不低于的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，其中不低于的人數(shù)記為，求的期望．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：，解：（1）由圖可知：低于170cm的學(xué)生有名，則不低于170cm的學(xué)生有90名，從而，（2）由題意可得性別身高合計(jì)低于不低于女602080男5070120合計(jì)11090200故，故認(rèn)為高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高是否低于有關(guān)聯(lián).（3）可以取0，1，2，抽中不低于175cm的概率為，故,故17.如圖，已知四棱錐中，頂點(diǎn)在底面上的射影落在線段上（不含端點(diǎn)），底面為直角梯形，．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，直線與平面所成的角為．①求的值；②當(dāng)時(shí)，求的最小值．（1）證明：由于平面平面故由于底面為直角梯形，故，過(guò)，且與相交于，則，又，故,所以,由于平面，，所以平面，（2）解：①由題意可知，過(guò)作的垂線，垂足為,連接,由于平面平面故,平面，故平面，平面，故，故為二面角的平面角，所以從而，②以為原點(diǎn)，以為軸，以過(guò)且垂直于平面的直線為軸建系，則，設(shè)，從而設(shè)平面法向量為，則，令，則，而平面的法向量為，所以即，又，代入上式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，18.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，其漸近線的方程為．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)；過(guò)右支上點(diǎn)作斜率為1的直線與C的左支交于點(diǎn)，過(guò)再作斜率為的直線與C的右支交于點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求證：數(shù)列是等比數(shù)列．（1）解：由題意可得，解得，所以雙曲線C的方程為：（2）解：過(guò)作斜率為的直線方程為，聯(lián)立其與雙曲線方程可得，設(shè),由于在拋物線上，所以則，所以，故（3）證明：設(shè)，由于在雙曲線上，所以，則，化簡(jiǎn)可得，，故，所以，,所以，故是等比數(shù)列.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷的奇偶性；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，方程有解，求的最小值；（3）若存在，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，故為偶函數(shù)，（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由于，則的周期為，且關(guān)于對(duì)稱，所以只需要討論在上的值域，由于