高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十三講 數(shù)列（四大考向）（原卷版）

第十三講數(shù)列（四大考向）一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對數(shù)列的考查，重點是（1）數(shù)列自身內(nèi)部問題的綜合考杳如數(shù)列的遞推公式、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及前n項和公式、數(shù)列求和等；（2）構(gòu)造新數(shù)列求通項、求和如“歸納、累加、累乘，分組、錯位相減、倒序相加、裂項、并項求和”等方法的應(yīng)用與創(chuàng)新；（3）綜合性問題如與不等式、函數(shù)等其他知識的交匯問題，與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題及與實際生活相關(guān)的應(yīng)用問題以及結(jié)構(gòu)不良問題。等差、等比數(shù)列基本量的計算2024·新高考Ⅱ卷，122023·新高考Ⅰ卷，202022·新高考Ⅱ卷，17等比數(shù)列的證明、數(shù)列結(jié)合解析幾何2024·新高考Ⅱ卷，19累乘法求通項公式、裂項相消法求和2022·新高考Ⅰ卷，17含奇偶項的分組求和2023·新高考Ⅱ卷，18二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了數(shù)列的新定義問題，后續(xù)專題會介紹。Ⅱ卷考查了等差數(shù)列基本量的計算，體現(xiàn)在填空第一題中，難度較易。大題中考查了等比數(shù)列的證明，但是是結(jié)合雙曲線考查的，難度較難。數(shù)列問題特別突出對考生數(shù)學(xué)思維能力的考查，既通過歸納、類比、遞推等方法的應(yīng)用突出對考生數(shù)學(xué)探究、理性思維的培養(yǎng)，又通過通項公式、遞推公式、前n項和公式等內(nèi)容進(jìn)行大量技能訓(xùn)練，培養(yǎng)考生邏輯恩維、運算求解能力。從近三年的高考題可以看出，數(shù)列部分主要以考查基礎(chǔ)知識為主，同時鍛煉考生的運算求解能力、邏輯思維能力等。重點考查考生對數(shù)列基礎(chǔ)知識的掌握程度及靈活應(yīng)用，同時也要重視對通性通法的培養(yǎng)，所以在備考中應(yīng)把重點放在以下幾個方面。（1)對數(shù)列的概念及表示法的理解和應(yīng)用；（2）等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、遞推公式、前n項和公式中基本量的運算或者利用它們之間的關(guān)系式通過多角度觀察所給條件的結(jié)構(gòu)，深人剖析其特征，利用其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)變形與轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的問題；（3）會利用等差、等比數(shù)列的定義判斷或證明數(shù)列問題；（4）通過轉(zhuǎn)化與化歸思想利用錯位相減、裂項相消、分組求和等方法求數(shù)列的前n項和；（5）數(shù)列與不等式、解析幾何、函數(shù)導(dǎo)數(shù)等知識的交匯問題；（6）關(guān)注數(shù)學(xué)課本中有關(guān)數(shù)列的閱讀與思考探究與發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)材料，有意識地培養(yǎng)考生的閱讀能力和符號使用能力，也包括網(wǎng)絡(luò)資料中與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題，與實際生活相關(guān)的數(shù)列的應(yīng)用問題；（7）結(jié)構(gòu)不良試題、舉例問題等創(chuàng)新題型。預(yù)計2025年高考還是主要考查數(shù)列基本量的計算和數(shù)列與其他知識交匯的問題，例如數(shù)列和不等式等。三：試題精講一、解答題1．（2024新高考Ⅱ卷·19）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點，過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計算出的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗證結(jié)論；【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當(dāng)時，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點為，該點顯然在的左支上.故，從而，.（2）由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.所以該直線與的不同于的交點為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.高考真題練一、填空題1．（2024新高考Ⅱ卷·12）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.二、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·17）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關(guān)系得到當(dāng)時，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴2．（2023新高考Ⅰ卷·20）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當(dāng)時，，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時，，解得.綜上，.3．（2022新高考Ⅱ卷·17）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．4．（2023新高考Ⅱ卷·18）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.知識點總結(jié)一、等差數(shù)列的有關(guān)概念1、等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．2、等差中項若三個數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項，且有．二、等差數(shù)列的有關(guān)公式1、等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．2、等差數(shù)列的前項和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項和．三、等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．1、通項公式的推廣：．2、在等差數(shù)列中，當(dāng)時，．特別地，若，則．3、，…仍是等差數(shù)列，公差為．4、，…也成等差數(shù)列，公差為．5、若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．6、若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項與首項相同，公差是公差的．7、若項數(shù)為偶數(shù)，則；；．8、若項數(shù)為奇數(shù)，則；；．9、在等差數(shù)列中，若，則滿足的項數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項數(shù)使得取得最小值．四、等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．五、等差數(shù)列的前n項和的最值公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；公差為常數(shù)列．特別地若，則有最大值（所有正項或非負(fù)項之和）；若，則有最小值（所有負(fù)項或非正項之和）．六、其他衍生等差數(shù)列．1、若已知等差數(shù)列，公差為，前項和為，則：①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．②等長度截取為等差數(shù)列，公差為．③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．七、等比數(shù)列的有關(guān)概念1、定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．2、等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?．八、等比數(shù)列的有關(guān)公式1、等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式：2、等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為九、等比數(shù)列的性質(zhì)1、等比中項的推廣若時，則，特別地，當(dāng)時，．2、①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．3、等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定）．當(dāng)或時，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．4、其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時，不為偶數(shù)）．十、求數(shù)列的通項公式1、觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．2、公式法：若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．3、累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．4、累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．5、構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得十一、數(shù)列求和1、公式法（1）等差數(shù)列的前n項和（2）等比數(shù)列的前n項和（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④2、幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（4）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（5）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．【數(shù)列常用結(jié)論】1、數(shù)列的遞推公式（1）若數(shù)列的前項和為，通項公式為，則注意：根據(jù)求時，不要忽視對的驗證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則2、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列中，若，則．（2）等差數(shù)列中，若，則．（3）等差數(shù)列中，若，則．（4）若與為等差數(shù)列，且前項和為與，則．3、等比數(shù)列（1）若，則．（2）若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為．（4）公比不為－1的等比數(shù)列的前項和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．（5）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．（6）當(dāng)，時，是成等比數(shù)列的充要條件，此時．（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間項的平方．（8）若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．（9）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．（10）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．4、數(shù)列求和（1）裂項技巧①等差型（1）（2）（3）②根式型（1）（2）（3）③指數(shù)型（1）名校模擬練一、單選題1．（2024·江西九江·三模）已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項，則（

）A． B． C． D．2．（2024·天津濱海新·三模）已知數(shù)列為各項不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．163．（2024·天津北辰·三模）已知在等比數(shù)列中，，等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．60 B．54 C．42 D．364．（2024·新疆喀什·三模）已知等差數(shù)列滿足，記的前項和為，則（

）A．18 B．24 C．27 D．455．（2024·陜西西安·三模）已知是等比數(shù)列的前n項和，，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．186．（2024·廣東汕頭·三模）已知等差數(shù)列的前項和為，，，若，則（

）A．8 B．9 C．10 D．117．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023·天津和平·三模）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．9．（2024·陜西西安·三模）如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個球；第2堆有2層4個球，其中第1層有1個球，第2層有3個球；…；第n堆有n層共個球，第1層有1個球，第2層有3個球，第3層有6個球，…．已知，則（

）A．2290 B．2540 C．2650 D．287010．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．11．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題12．（2024·江西·三模）已知數(shù)列滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項和為 D．能被3整除13．（2024·湖南益陽·三模）已知是等比數(shù)列，是其前n項和，滿足，則下列說法正確的有（

）A．若是正項數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列D．若，且，，則時取最小值14．（2024·山東濟寧·三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，數(shù)列的前項和為，且滿足，則下列說法中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．若，則15．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項為三、填空題16．（2024·湖北荊州·三模）若實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則=.17．（2024·山東青島·三模）已知等差數(shù)列的公差，首項，是與的等比中項，記為數(shù)列的前項和，則18．（2024·湖南邵陽·三模）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，則.19．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，已知、、成等比數(shù)列，，當(dāng)取得最大值時，.20．（2024·上海浦東新·三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則.21．（2024·上海閔行·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，，則.22．（2024·四川·三模）在數(shù)列中，已知，，則數(shù)列的前2024項和．23．（2024·浙江紹興·三模）記為正項數(shù)列的前項積，已知，則；．四、解答題24．（2024·新疆喀什·三模）已知數(shù)列的首項，且滿足（）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項和，并證明．25．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．26．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．27．（2024·新疆·三模）若一個數(shù)列從第二項起，