山東省淄博市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期摸底質(zhì)量檢測(cè)（1月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高三摸底質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，即可得虛部.【詳解】因?yàn)?，則，所以復(fù)數(shù)z的虛部是.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B.3 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直求出得到的坐標(biāo)，然后計(jì)算其模長(zhǎng)即可.【詳解】向量，，因?yàn)椋?，解得，所以，所以，故選：A3.已知集合，集合，則子集的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次不等式化簡(jiǎn)集合B，進(jìn)而求交集，即可得子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榧?，且，可得，所以子集的個(gè)數(shù)為2.故選：B.4.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意切化弦可得，再結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，可得，又因，可得，所?故選：C.5.若圓柱、圓錐的底面半徑和高都與球的半徑相等，則圓柱、圓錐、球的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓柱、圓錐、球的體積公式運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，所以圓柱、圓錐、球的體積之比為.故選：D.6.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析可知函數(shù)是0,+∞上的單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列式求解即可.【詳解】因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，且的單調(diào)性相同，若函數(shù)是0,+∞上的單調(diào)函數(shù)，可知函數(shù)是0,+∞上的單調(diào)遞增，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.7.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖像變換可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析零點(diǎn).【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得，再將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，即，令，則對(duì)任意x∈R恒成立，可知函數(shù)y=gx在R上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.故選：B.8.設(shè)函數(shù)．若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分析可知有相同零點(diǎn)，即可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，若，可知有相同零點(diǎn)，則，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)的單調(diào)性分析可知有相同零點(diǎn)，進(jìn)而運(yùn)算求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但選不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某校舉行了交通安全知識(shí)主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評(píng)委對(duì)甲、乙的演講分別進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則（）A.若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)B.甲得分的極差大于乙得分的極差C.甲得分上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】ABD【解析】【分析】運(yùn)用極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計(jì)算，和方差的意義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：甲：，乙：，故去掉最高分和最低分可得甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，故A正確；甲的極差為，乙的極差為，故B正確；，所以甲的第75百分位數(shù)為，乙的第75百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；由圖可以看出甲得分的波動(dòng)比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.故選：ABD10.設(shè)公比為q的等比數(shù)列前n項(xiàng)的積為，則（）A.若，則B.若，則必有C.若，，則有最大值D.若，則數(shù)列一定是等差數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】利用等比數(shù)列的積的性質(zhì)，來研究各選項(xiàng)，即可得到判斷.【詳解】由于公比為q的等比數(shù)列前n項(xiàng)的積為，因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，由于等比?shù)列奇數(shù)項(xiàng)必同號(hào)，則，故B正確；因?yàn)?，，所以等比?shù)列是遞減數(shù)列，必存在，使得且，這個(gè)時(shí)候，故C正確；因?yàn)椋?，由于，?dāng)時(shí)，不滿足等于同一個(gè)常數(shù)，故數(shù)列不一定是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是由德國(guó)機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛．如圖所示，分別以正三角形ABC的頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)2為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，則（）A.萊洛三角形的周長(zhǎng)為B.以此萊洛三角形為底面做一個(gè)側(cè)面與底面垂直且高為10的柱形幾何體，則該幾何體的體積為C.點(diǎn)P為弧上的一點(diǎn)，則的最小值為D.點(diǎn)P為萊洛三角形曲邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】每段圓弧的長(zhǎng)度為圓周長(zhǎng)的，計(jì)算三段圓弧總長(zhǎng)度即可判斷選項(xiàng)A；先求出底面積為三個(gè)扇形的面積減去兩個(gè)正三角形的面積，然后求體積即可判斷選項(xiàng)B；設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，求解最小值即可判斷選項(xiàng)C；因?yàn)辄c(diǎn)為萊洛三角形曲邊上的一動(dòng)點(diǎn)，所以需要討論點(diǎn)在哪一條弧上.每一種情況將原式中的向量利用向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)且已知長(zhǎng)度和角度的向量，再設(shè)出唯一變化的角或∠，進(jìn)而利用數(shù)量積運(yùn)算表示成該角的三角函數(shù)，借助輔助角公式求出最值即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】每段圓弧的長(zhǎng)度為圓周長(zhǎng)的，三段圓弧的總長(zhǎng)度為所以萊洛三角形的周長(zhǎng)為，故A正確；該幾何體底面積為三個(gè)扇形的面積減去兩個(gè)正三角形的面積，正三角形的面積為，扇形的面積為圓面積的，故扇形的面積為.所以該幾何體底面積為：.故體積為，故B正確；設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，如圖所示，則，在正三角形中，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)落在圓弧上時(shí)，長(zhǎng)度恒為半徑2，設(shè)，，原式其中所以，又因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，原式取最小值.當(dāng)點(diǎn)落在圓弧上時(shí)，長(zhǎng)度恒半徑2，設(shè)，，原式，又因?yàn)椋?，所以時(shí)，原式取最小值.∵，故原式取最小值.故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)式定理運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)榈恼归_式為通項(xiàng)，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.13.已知數(shù)列中，，，（，），則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式分析求解.【詳解】因?yàn)?，且，可知?shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，可得，所以.故答案為：.14.已知三棱錐的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面SBC上的射影H是的垂心，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球半徑等于______．【答案】【解析】【分析】做輔助線，根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可證，同理可得，可知點(diǎn)為的垂心，即可知點(diǎn)為的中心，根據(jù)體積可得，結(jié)合外接球的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)H是的垂心，則，又因平面，平面，則，且，平面，可得平面，由平面，可得，，且底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面，垂足為點(diǎn)，且平面，可得，且，平面，可得平面，由平面，可得，同理可得，可知點(diǎn)為的垂心，因?yàn)闉榈冗吶切危芍c(diǎn)為的中心，則，且，因?yàn)槿忮F的體積為，可得，可知三棱錐的外接球的球心，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，解得，所以外接球的半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；2.正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)；3.球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)；4.利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，成等差數(shù)列，且．（1）求證：為等邊三角形；（2）如圖，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，且，，求的值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)可得，再結(jié)合余弦定理分析證明；（2）設(shè)，在中，利用余弦定理可得，再利用正弦定理運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，又因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，即，解得，所以為等邊三角?【小問2詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，即，由正弦定理可得.16.某地為弘揚(yáng)我國(guó)傳統(tǒng)文化，舉辦知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，每位參賽者從以下兩種方式中選擇一種參賽：①活動(dòng)共設(shè)有3個(gè)問題，能正確回答問題者才能進(jìn)入下一個(gè)問題，否則即被淘汰，3個(gè)問題都回答正確即獲得“智慧星”稱號(hào)；②活動(dòng)需參賽者回答5個(gè)問題，至少正確回答4個(gè)即能獲得“智慧星”稱號(hào)；甲乙兩人參加此次競(jìng)賽活動(dòng)，甲選擇第一種方式，他能正確回答第一、二、三個(gè)問題的概率分別為，乙選擇第二種方式，他能正確回答每一個(gè)問題的概率均為．兩種方式下各個(gè)問題能否正確回答均互不影響，兩人彼此之間也互不影響．（1）求甲沒有獲得“智慧星”稱號(hào)的概率；（2）求乙獲得“智慧星”稱號(hào)的概率．（3）記事件“乙正確回答問題的個(gè)數(shù)比甲正確回答問題的個(gè)數(shù)多3個(gè)”，求事件發(fā)生的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）獲得“智慧星”，沒獲得“智慧星”為對(duì)立事件，先考慮求獲得“智慧星”的概率，根據(jù)對(duì)立事件概率求法即可得解；（2）設(shè)乙答對(duì)的問題數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，由題意需求即可；（3）甲可能答對(duì)個(gè)，據(jù)此分類討論求解.【小問1詳解】設(shè)甲獲得“智慧星”稱號(hào)的事件為，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式，，于是，即甲沒有獲得“智慧星”稱號(hào)的概率是；【小問2詳解】設(shè)乙答對(duì)的問題數(shù)為，則，由題意，乙獲得智慧星的概率為【小問3詳解】由于乙最多題，甲最多題，當(dāng)乙比甲多對(duì)題時(shí)，甲可能答對(duì)題當(dāng)甲對(duì)題，乙對(duì)題時(shí)，；當(dāng)甲對(duì)題，乙對(duì)題時(shí)，；當(dāng)甲對(duì)題，乙對(duì)題時(shí)，；故17.如圖，三棱柱中，，，，點(diǎn)M，N分別為AC，AB的中點(diǎn)，且，．（1）證明：平面ABC；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可證，，即可證線面垂直，（2）可證平面.建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】連接，因?yàn)椋?，則，可知，且點(diǎn)M，N分別為AC，AB的中點(diǎn)，則，∥，則，可知，又因?yàn)?，則，可得，可知，且，平面，所以平面ABC.【小問2詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，則，又因?yàn)?，∥，則，且，平面，所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由平面可知：平面的法向量可以為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切．（1）求；（2）若函數(shù)，且曲線關(guān)于直線對(duì)稱，（i）求和的值；（ii）證明：．【答案】（1）；（2）（i），，（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線y=fx在處的切線方程，設(shè)切線與曲線相切與點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義及兩點(diǎn)斜率公式列方程求；（2）（i）求函數(shù)y=gx的定義域，結(jié)合對(duì)稱性可求，由對(duì)稱性可得，化簡(jiǎn)可求；（ii）由分析可得要證明，只需證明當(dāng)時(shí)，，令，可得只需證明，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求其值域，由此證明結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，所以，所以曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)直線與曲線相切與點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故所以，，，解得，，，或，，又，故；【小問2詳解】（i）因?yàn)椋桑?），所以，所以函數(shù)y=gx的定義域?yàn)?，因?yàn)榍€y=gx關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，故函數(shù)為偶函數(shù)，所以，故所以，所以，所以，故，（ii）由（i），，函數(shù)y=gx的定義域?yàn)椋€y=gx關(guān)于直線對(duì)稱，要證明，只需證明當(dāng)時(shí)，，只需證明當(dāng)時(shí)，，令，則，只需證明當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則，所以函數(shù)在0,+∞單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．19.已知數(shù)列，從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、…第項(xiàng)，若，則稱新數(shù)列，，…，為的長(zhǎng)度為t的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是長(zhǎng)度為1的遞增子列．（1）寫出數(shù)列2，8，4，7，5，9一個(gè)長(zhǎng)度為3的遞增子列和一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；（2）已知數(shù)列的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為x，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為y．若，證明：；（3）設(shè)無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為的遞增子列恰有個(gè)（），（i）證明：1，2，3，4，5，6，7這7個(gè)數(shù)都在數(shù)列中；（ii）寫出數(shù)列通項(xiàng)公式（不證明）．【答案】（1）長(zhǎng)度為3的遞增子列（答案不唯一）；長(zhǎng)度為4的遞增子列（答案不唯一）；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)度為t的遞增子列的定義直接寫出答案即可；（2）法一：設(shè)的長(zhǎng)度為的一個(gè)遞