浙江省寧波市九校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁寧波市2024學(xué)年第一學(xué)期期末九校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩集合中元素的特征，判斷集合中的任意一個元素都是集合中的元素，從而可得答案.【詳解】集合中的元素是所有奇數(shù)，集合中的元素是所有被4整除余1的數(shù)，因為任意一個被4整除余1的數(shù)都是奇數(shù)，即集合中的任意一個元素都是集合中的元素，所以，，A選項錯誤，D選項正確；且，C選項錯誤；，B選項錯誤.故選：D.2.已知函數(shù)，則的零點所在區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用零點存在性定理判斷各區(qū)間端點處的符號即可得出結(jié)論.【詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知，，滿足，因此的零點所在區(qū)間為.故選：C3.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域，利用整體思想，建立不等式，可得答案.【詳解】因為，所以.則函數(shù)的定義域為故選：A.4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】通過舉反例可排除A，B，C；利用作差法可推得D正確.【詳解】對于A，因，取，則，有，故A是假命題；對于B，當(dāng)時，，故B是假命題；對于C，取，，滿足，但，故C是假命題；對于D，由，由，所以，故D是真命題.故選：D.5.“函數(shù)在上單調(diào)”的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出在上單調(diào)時的范圍，結(jié)合選項找出該范圍的一個充分不必要條件，即得答案.【詳解】因為函數(shù)在不可能單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)等價于：①在上單調(diào)遞增，②，所以，解得，結(jié)合選項可知是的充分不必要條件，故選：B.6.若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由不等式恒成立，確定，且，再由基本不等式即可求解．【詳解】不等式可化為，當(dāng)時，不等式為，不滿足對任意的x∈R恒成立；當(dāng)時，，圖象開口向下，不滿足題意，所以，且，所以，所以，且，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為4．故選：C7.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則在上的最大值為（）A B. C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得，利用奇函數(shù)定義求出時，，再由單調(diào)性求解最大值即可.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，解得，則當(dāng)時，，若時，則，，所以，由和在R上單調(diào)遞減，知在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，所以.故選：B8.已知函數(shù)（，），為的零點，為圖象的對稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為（）A.10 B.12 C.14 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點和對稱軸列式求得，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)依次判斷和，即可得解.【詳解】由題意知，，所以，又因為，所以.當(dāng)時，，因為，所以，此時，經(jīng)檢驗，在上不單調(diào)，舍去；當(dāng)時，，因為，所以，此時，經(jīng)檢驗，在上單調(diào)遞減.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對部分得分.9.下列命題中正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】在同一坐標系中畫出和的圖象，即可判斷AB；再由同一坐標系中和的圖象，可判斷CD.【詳解】在同一坐標系中畫出和的圖象，如下圖所示：顯然對于，圖象在上方，即，，即A正確；當(dāng)x∈0,+∞時，圖象在下方，即，因此B錯誤；在同一坐標系中畫出和的圖象，如下圖所示：由圖可知，時的圖象在的下方，即，，可得C正確；當(dāng)x∈1,+∞時，圖象在的上方，所以，即D錯誤.故選：AC10.設(shè)函數(shù)，則（）A.是周期函數(shù) B.的圖象有對稱中心C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)對稱性的定義判斷BC，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域為，又，所以，所以，所以，所以，其中，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，A正確；因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，B正確；因為，，即當(dāng)時不成立，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤；因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解，它們從小到大依次記為，，，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探求出函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，令，,利用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系解決即可.【詳解】令，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞增，；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞增，，作出的圖象如下：若關(guān)于x的方程有四個不同的實數(shù)解，結(jié)合圖像可知，在只有一個解，記，①當(dāng)有兩個零點時，則一個零點為負數(shù)，另一個零點在，由題意Δ>0g0<0g②當(dāng)有且僅有一個零點時，，即或時，需要才行，無解，所以綜上①②，a的取值范圍是，故D正確.因為，由得，所以，故B正確；又，根據(jù)韋達定理可知中，，，所以，故C錯誤，A正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的周長為，圓心角為，則扇形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)扇形半徑為，由條件結(jié)合弧長公式求，再由扇形面積公式求結(jié)論.【詳解】設(shè)扇形半徑，則，解得，所以.故答案為：.13.設(shè)矩形（）的周長為，把沿向折疊，AB折過去后交于點，則的最大面積是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，用表示，以及面積，結(jié)合基本不等式即可求得結(jié)果【詳解】由題意可知，矩形的周長為，設(shè)，則，設(shè)，則，,故，而為直角三角形，∴，∴，∴，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，此時，滿足，即時，的面積取最大值，最大值為.故答案為：.14.已知，若對于任意的，恒成立，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)偶函數(shù)定義得是偶函數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，從而利用單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)和分別求解a的范圍，最后求交集即可.【詳解】對于函數(shù)，因為，所以恒成立，其定義域為R，又，且，所以為R上的偶函數(shù).由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，所以等價于，即，即.當(dāng)時，恒成立，所以；當(dāng)時，恒成立，所以.綜上，.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）計算：；（2）已知，，求的值..【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)化簡計算即可；（2）解方程求，再利用平方關(guān)系及商的關(guān)系將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入的值可得結(jié)論..【詳解】（1）因為，，，，所以原式；（2）因為，所以或，又，所以，原式.16.已知，（1）若，求；（2）若，則求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式化簡，利用集合補集和并集定義計算即可；（2）由知，利用集合間關(guān)系求的范圍.【小問1詳解】，當(dāng)時，，，，.【小問2詳解】∵，∴.當(dāng)時，，；當(dāng)時，即，即.∴.17.已知函數(shù)（），且.（1）求值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若將的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則求不等式的解集【答案】（1），，.（2），【解析】【分析】（1）將函數(shù)解析式整理，由根據(jù)的范圍，求出，得到，結(jié)合正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，列出不等式求解，即可求出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)題中條件，得到變換后的函數(shù)解析式，將所求不等式化為，求解，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】，因為，所以，，又因為，所以，則，令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】由（1）知，將的圖象向左平移個單位，可得的圖象，再將其圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），可得的圖象，所以因為，所以，解得，所以的解集為，.18.已知函數(shù)fx=log2x，，（1）當(dāng)x∈2,4時，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍；（3）若存在，使得不等式對任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先求出的取值范圍，再對勾函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域；（2）令，依題意可得在上恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出，即可得解；（3）依題意可得對任意，恒成立，即，令，，分、、、四種情況討論，分別求出的最值，從而得到不等式，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞增，又上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，，所以【小問2詳解】令，因為，所以，依題意可得在上恒成立，即在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，所以.【小問3詳解】由（1）知，在上的最大值為，所以對任意，恒成立，即，令，，①，即時，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以；②，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以；③，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以；④，即時，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以綜上可得，的取值范圍為.19.和都是定義在上的函數(shù)，若它們滿足如下性質(zhì)：①為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；②（，）；則稱為類正弦函數(shù)，為類余弦函數(shù).（1）求類正弦函數(shù)和類余弦函數(shù)的解析式；（2）求證：（?。?；（ⅱ）；（3）解關(guān)于的不等式：，其中為非零常數(shù).【答案】（1），（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和得到，聯(lián)立求出答案；（2）（ⅰ）由（1）所得解析式，求，即可證明；（ⅱ）根據(jù)函數(shù)的解析式求，，由此證明結(jié)論；（3）令，原不等式可化為，分別在條件，，，，條件下，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式可得結(jié)論，【小問1詳解】由性質(zhì)②知，所以，由性質(zhì)①知，，所以，解得