蘇科版九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷及答案

蘇科版九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷及答案一、選擇題1．（3分）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．3x2﹣1＝2 B．a(chǎn)x2+5x+7＝0 C．2x4+3x2﹣5＝0 D．x2+＝02．（3分）已知關(guān)于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一個(gè)根為x＝﹣3，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根4．（3分）平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，O，⊙O的半徑為5，若PO＝4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O外 B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) D．無法判斷5．（3分）下列語句，錯(cuò)誤的是（）A．直徑是弦 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 C．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心 D．平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦6．（3分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在DC邊上，連接AE，交BD于點(diǎn)F，若DE：EC＝3：2，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：27．（3分）《九章算術(shù)》中記載：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門四十步有木，出西門八百一十步見木，問：邑方幾何？”譯文：如圖，一座正方形城池北、西邊正中A、C處各開一道門，從點(diǎn)A往正北方向走40步剛好有一棵樹位于點(diǎn)B處，若從點(diǎn)C往正西方向走810步到達(dá)點(diǎn)D處時(shí)正好看到此樹，則正方形城池的邊長(zhǎng)為（）A．360步 B．270步 C．180步 D．90步8．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D．若AD＝2，CD＝3，則BC的長(zhǎng)為（）A．3 B． C． D．2二、細(xì)心填一填（本大題共10小題，每空2分，共20分）9．（2分）已知＝，則＝．10．（2分）如圖，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ADE∽△ABC（只填一個(gè)即可）．11．（2分）已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是2和5，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣7x+10＝0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是．12．（2分）某商店4月份營業(yè)額為2.7萬元，6月份營業(yè)額為3.5萬元，平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程為．13．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，∠D＝67°，則∠ABC的度數(shù)為．14．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊CD上，連接AE．若∠ABC＝115°，則∠DAE的度數(shù)為．15．（2分）如圖，在等邊△ABC中，AB＝12，P、Q分別是邊BC、AC上的點(diǎn)，且∠APQ＝60°，PC＝8，則QC的長(zhǎng)是．16．（2分）《代數(shù)學(xué)》中記載，形如x2+10x＝33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為x的矩形，得到大正方形的面積為39+25＝64，則該方程的正數(shù)解為8﹣5＝3．”小聰按此方法解關(guān)于x的方程x2+12x+m＝0，構(gòu)造圖2，已知陰影部分的面積為60，則該方程的正數(shù)解為．17．（2分）如圖，直線l1∥l2∥l3，等腰Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在直線l1、l2、l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于點(diǎn)D．若l1與l2的距離為1，l1與l3的距離為4，則的值是．18．（2分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．點(diǎn)D、E分別在邊AC，BC上，點(diǎn)F、G在AB邊上，當(dāng)四邊形DEEG是菱形，且符合條件的菱形只有一個(gè)時(shí)，則菱形的邊長(zhǎng)x的取值范圍是．三、認(rèn)真答一答（本大題共7個(gè)題，共56分）19．（12分）解方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2﹣6x﹣1＝0（用配方法）；（3）2x2﹣3x﹣1＝0；（4）（3x+2）2﹣4x2＝0．20．（6分）如圖，在正方形格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)分別為A（2，3），B（2，1），C（5，4）．（1）寫出△ABC的外心P的坐標(biāo)．（2）以（1）中的外心P為位似中心，按位似比2：1在位似中心的同側(cè)將△ABC放大為△A′B′C′，放大后點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，C′，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△ABC．21．（6分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大??；（2）已知圓心O到BD的距離為3，求AD的長(zhǎng)．22．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，連接CE，F(xiàn)為線段CE上一點(diǎn)，且∠DFE＝∠A．（1）求證：△DFC∽△CBE；（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的長(zhǎng)．23．（6分）疫情結(jié)束后，某廣場(chǎng)推出促銷活動(dòng)，已知商品每件的進(jìn)貨價(jià)為30元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該商品的銷售單價(jià)為40元時(shí)，每天可銷售280件；當(dāng)銷售單價(jià)每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10件．【銷售利潤(rùn)＝銷售總額﹣進(jìn)貨成本】．（1）若該商品的單價(jià)為43元時(shí)，則當(dāng)天銷售商品件，當(dāng)天銷售利潤(rùn)是元；（2）當(dāng)該商品的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該商品的當(dāng)天銷售利潤(rùn)是3450元．24．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，連結(jié)EB，交OD于點(diǎn)F．（1）求證：OD⊥BE；（2）若DE＝，AB＝8，求AE的長(zhǎng)；（3）若△CDE的面積是△OBF面積的，求的值．25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（6，5），過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為A，作y軸的垂線，垂足為C．點(diǎn)D從O出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)E從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F從B出發(fā)，沿BA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，三點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中△ODE關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形是△O′DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）用含t的代數(shù)式分別表示點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)．（2）若△ODE與以點(diǎn)A，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值．（3）是否存在這樣的t，使得以D，E，F(xiàn)，O所圍成的四邊形中有一組對(duì)邊平行？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、精心選一選：（本大題共8題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．3x2﹣1＝2 B．a(chǎn)x2+5x+7＝0 C．2x4+3x2﹣5＝0 D．x2+＝0解：A、3x2﹣1＝2是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；B、ax2+5x+7＝0未指明a≠0，不一定是一元二次方程，故此選項(xiàng)不合題意；C、含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)x的最高次數(shù)是4次，所以該方程不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不合題意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．2．（3分）已知關(guān)于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一個(gè)根為x＝﹣3，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，解得k＝﹣1．故選：B．3．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根解：在方程x2﹣2x+3＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根．故選：D．4．（3分）平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，O，⊙O的半徑為5，若PO＝4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O外 B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) D．無法判斷解：∵⊙O的半徑為5，若PO＝4，∴4＜5，∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，故選：C．5．（3分）下列語句，錯(cuò)誤的是（）A．直徑是弦 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 C．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心 D．平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦解：直徑是弦，A正確，不符合題意；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，B錯(cuò)誤，符合題意；弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心，C正確，不符合題意；平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦，D正確，不符合題意；故選：B．6．（3分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在DC邊上，連接AE，交BD于點(diǎn)F，若DE：EC＝3：2，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2解：∵DE：EC＝3：2，∴DE：DC＝3：5，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DE：AB＝3：5，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2＝（）2＝．故選：C．7．（3分）《九章算術(shù)》中記載：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門四十步有木，出西門八百一十步見木，問：邑方幾何？”譯文：如圖，一座正方形城池北、西邊正中A、C處各開一道門，從點(diǎn)A往正北方向走40步剛好有一棵樹位于點(diǎn)B處，若從點(diǎn)C往正西方向走810步到達(dá)點(diǎn)D處時(shí)正好看到此樹，則正方形城池的邊長(zhǎng)為（）A．360步 B．270步 C．180步 D．90步解：如圖，設(shè)正方形城池的邊長(zhǎng)為x步，則AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽R(shí)t△EDC，∴＝，即＝，∴x＝360，即正方形城池的邊長(zhǎng)為360步．故選：A．8．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D．若AD＝2，CD＝3，則BC的長(zhǎng)為（）A．3 B． C． D．2解：連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，∵AB＝AC，∴＝，∴OH⊥BC，BH＝CH，∴BH＝，作AE∥BC交BD的延長(zhǎng)線于E．∵AD＝2，CD＝3，∴，∴，設(shè)OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝．故選：B．二、細(xì)心填一填（本大題共10小題，每空2分，共20分）9．（2分）已知＝，則＝．解：設(shè)＝＝k，則a＝4k，b＝3k，∴＝＝；故答案為：．10．（2分）如圖，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝，使△ADE∽△ABC（只填一個(gè)即可）．解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，∴要使△ADE∽△ABC，則添加的一個(gè)條件可以是∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．故答案為：∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．11．（2分）已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是2和5，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣7x+10＝0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是12．解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，∵三角形兩邊的長(zhǎng)分別是2和5，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣7x+10＝0的根，∴第三條邊長(zhǎng)的取值范圍是：3＜第三邊的長(zhǎng)＜7，∴第三邊長(zhǎng)為：5，故這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是：2+5+5＝12．故答案為：12．12．（2分）某商店4月份營業(yè)額為2.7萬元，6月份營業(yè)額為3.5萬元，平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程為2.7（1+x）2＝3.5．解：依題意，得：2.7（1+x）2＝3.5．故答案為：2.7（1+x）2＝3.5．13．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，∠D＝67°，則∠ABC的度數(shù)為23°．解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝67°，∴∠ABC＝90°﹣67°＝23°．故答案為23°．14．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊CD上，連接AE．若∠ABC＝115°，則∠DAE的度數(shù)為50°．解：∵圓內(nèi)接四邊形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝65°，∵點(diǎn)B關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊CD上，∴∠B＝∠AEC＝115°，∴∠DAE＝115°﹣65°＝50°．故答案為：50°．15．（2分）如圖，在等邊△ABC中，AB＝12，P、Q分別是邊BC、AC上的點(diǎn)，且∠APQ＝60°，PC＝8，則QC的長(zhǎng)是．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，∵PC＝8，∴BP＝4，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∴∠BAP＝∠CPQ，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴QC＝，故答案為：．16．（2分）《代數(shù)學(xué)》中記載，形如x2+10x＝33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為x的矩形，得到大正方形的面積為39+25＝64，則該方程的正數(shù)解為8﹣5＝3．”小聰按此方法解關(guān)于x的方程x2+12x+m＝0，構(gòu)造圖2，已知陰影部分的面積為60，則該方程的正數(shù)解為4﹣6．解：x2+12x+m＝0，x2+12x＝﹣m，∵陰影部分的面積為60，∴x2+12x＝60，設(shè)4a＝12，則a＝3，同理：先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為3x的矩形，得到大正方形的面積為60+32×4＝60+36＝96，則該方程的正數(shù)解為﹣6＝4﹣6，故答案為：4﹣6．17．（2分）如圖，直線l1∥l2∥l3，等腰Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在直線l1、l2、l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于點(diǎn)D．若l1與l2的距離為1，l1與l3的距離為4，則的值是．解：作AE⊥l3于E，交l2于F，作BH⊥l3于H，如圖，∵l1∥l2∥l3，∴AF⊥l2，∴EF＝BH＝3，AF＝1，∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠ACE+∠BCH＝90°，∴∠CAE＝∠BCH，在△ACE和△CBH中，，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴CE＝BH＝3，在Rt△ACE中，AC＝＝5，∴AB＝AC＝5，∵DF∥CE，∴＝＝，∴CD＝，在Rt△BCD中，BD＝＝，∴＝＝．故答案為．18．（2分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．點(diǎn)D、E分別在邊AC，BC上，點(diǎn)F、G在AB邊上，當(dāng)四邊形DEEG是菱形，且符合條件的菱形只有一個(gè)時(shí)，則菱形的邊長(zhǎng)x的取值范圍是x＝或＜x≤．解：如圖1中，當(dāng)四邊形DEFG是正方形時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，則CD＝x，AD＝x，∵AD+CD＝AC，∴x+x＝6，∴x＝．如圖2中，當(dāng)四邊形DAGE是菱形時(shí)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為m．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，∴，解得m＝．如圖3中，當(dāng)四邊形DGBE是菱形時(shí)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為n．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，∴，∴n＝，綜上所述，菱形的邊長(zhǎng)l的取值范圍為x＝或＜x≤，故答案為x＝或＜x≤．三、認(rèn)真答一答（本大題共7個(gè)題，共56分）19．（12分）解方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2﹣6x﹣1＝0（用配方法）；（3）2x2﹣3x﹣1＝0；（4）（3x+2）2﹣4x2＝0．解：（1）∵（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，則x1＝5，x2＝﹣1；（2）∵x2﹣6x＝1，∴x2﹣6x+9＝1+9，即（x﹣3）2＝10，∴x﹣3＝，∴x＝3±，即x1＝3+，x2＝3﹣；（3）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，則x＝＝，即x1＝，x2＝；（4）∵（3x+2）2＝4x2，∴3x+2＝2x或3x+2＝﹣2x，解得x1＝﹣2，x2＝﹣．20．（6分）如圖，在正方形格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)分別為A（2，3），B（2，1），C（5，4）．（1）寫出△ABC的外心P的坐標(biāo)（4，2）．（2）以（1）中的外心P為位似中心，按位似比2：1在位似中心的同側(cè)將△ABC放大為△A′B′C′，放大后點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，C′，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△ABC．解：（1）如圖．P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）；故答案為（4，2）；（2）如圖，△A′B′C′為所作．21．（6分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大??；（2）已知圓心O到BD的距離為3，求AD的長(zhǎng)．解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，∵由圓周角定理得：∠C＝∠B，∴∠B＝30°；（2）過O作OE⊥BD于E，∵OE過O，∴BE＝DE，∵圓心O到BD的距離為3，∴OE＝3，∵AO＝BO，DE＝BE，∴AD＝2OE＝6．22．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，連接CE，F(xiàn)為線段CE上一點(diǎn)，且∠DFE＝∠A．（1）求證：△DFC∽△CBE；（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFE+∠B＝180°，而∠DFE+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠B，而∠DCF＝∠CEB，∴△DFC∽△CBE；（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，BC＝AD＝4，∵DE⊥AB，∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，在Rt△DEC中，CE＝＝＝3，∵△DFC∽△CBE，∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，∴DF＝．23．（6分）疫情結(jié)束后，某廣場(chǎng)推出促銷活動(dòng)，已知商品每件的進(jìn)貨價(jià)為30元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該商品的銷售單價(jià)為40元時(shí)，每天可銷售280件；當(dāng)銷售單價(jià)每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10件．【銷售利潤(rùn)＝銷售總額﹣進(jìn)貨成本】．（1）若該商品的單價(jià)為43元時(shí)，則當(dāng)天銷售商品250件，當(dāng)天銷售利潤(rùn)是3250元；（2）當(dāng)該商品的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該商品的當(dāng)天銷售利潤(rùn)是3450元．解：（1）280﹣（43﹣40）×10＝250（件），當(dāng)天銷售利潤(rùn)是250×（43﹣30）＝3250（元）．故答案為：250，3250；（2）設(shè)該商品的銷售單價(jià)為x元（x＞40），則當(dāng)天的銷售量為[280﹣（x﹣40）×10]件，依題意，得：（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝3450，整理，得：x2﹣98x+2385＝0，整理，得：x1＝53，x2＝45．答：當(dāng)該商品的銷售單價(jià)為45元或53元時(shí)，該商品的當(dāng)天銷售利潤(rùn)是3450元．24．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，連結(jié)EB，交OD于點(diǎn)F．（1）求證：OD⊥BE；（2）若DE＝，AB＝8，求AE的長(zhǎng)；（3）若△CDE的面積是△OBF面積的，求的值．解：（1）連接AD，∵AB是⊙O直徑，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴，∴OD⊥BE；（2）∵∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∵BD＝CD，∴BC＝2DE＝，∵四邊形ABDE內(nèi)接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠BAC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴，即，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8﹣；（3）∵，∴設(shè)S△CDE＝3k，S△OBF＝4k，∵BD＝CD，∴S△CDE＝S△BDE＝3k，∵BD＝CD，AO＝BO，∴OD∥AC，∴△OBF∽△ABE，∴＝，∴S△ABE＝4S△OBF，∴S△ABE＝4S△OBF＝16k，∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝22k，∵△CDE∽△CAB，∴，∴，∵BC＝2CD，∴．25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（6，5），過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為A，作y軸的垂線，垂足為C．點(diǎn)D從O出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)E從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F從B出發(fā)，沿BA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，三點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中△ODE關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形是△