高等數(shù)學(xué) 教案【ch03】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

《高等數(shù)學(xué)》課程教案課題：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1．熟悉微分中值定理。2．了解洛必達(dá)法則。3．了解函數(shù)的單調(diào)性、極值及圖形的性態(tài)等。課型：新授課課時：本章安排8個課時。教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)：微分中值定理教學(xué)難點(diǎn)：難點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、極值及圖形的性態(tài)教學(xué)過程：教學(xué)形式：講授課，教學(xué)組織采用課堂整體講授和分組演示。教學(xué)媒體：采用啟發(fā)式教學(xué)、案例教學(xué)等教學(xué)方法。教學(xué)手段采用多媒體課件、視頻等媒體技術(shù)。板書設(shè)計：本課標(biāo)題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課次4授課方式理論課□討論課□習(xí)題課□其他□課時安排8學(xué)分共2分授課對象普通高等院校學(xué)生任課教師教材及參考資料1.《高等數(shù)學(xué)》；電子工業(yè)出版社。2.本教材配套視頻教程及學(xué)習(xí)檢查等資源。3.與本課程相關(guān)的其他資源。教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法及教學(xué)手段課程引入銜接導(dǎo)入導(dǎo)數(shù)在自然科學(xué)和工程技術(shù)上都有著極其廣泛的應(yīng)用。本章在介紹微分中值定理的基礎(chǔ)上，引出求極限的新方法—洛必達(dá)法則，并以導(dǎo)數(shù)為工具，進(jìn)一步討論函數(shù)的單調(diào)性、極值及圖形的性態(tài)等。參考以下形式：1.銜接導(dǎo)入2.懸念導(dǎo)入3.情景導(dǎo)入4.激疑導(dǎo)入5.演示導(dǎo)入6.實(shí)例導(dǎo)入7.其他形式本章基本知識匯總第一節(jié)微分中值定理一、羅爾定理定理1（羅爾定理）如果函數(shù)滿足如下三個條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。對于定理1，這里不做證明。為了方便理解，可借助圖形加以說明。一條在閉區(qū)間上的連續(xù)曲線，如果其上每點(diǎn)（端點(diǎn)除外）都有不垂直于軸的切線（曲線光滑），并且在曲線兩個端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相同，那么在該曲線上至少有一點(diǎn)的切線平行于軸（見圖）。這就是羅爾定理的幾何意義。二、拉格朗日中值定理在羅爾定理中，這個條件相當(dāng)特殊，限制了該定理的應(yīng)用。拉格朗日在羅爾定理的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步研究，取消了羅爾定理中這個條件，提出了微分學(xué)中具有重要地位的拉格朗日中值定理。定理2（拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。上式也可表示成。顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理在時的特殊情形。同樣，我們也可以借助圖形加以理解。由于表示曲線上連接與兩點(diǎn)的弦的斜率，因此，定理2的幾何意義是：對于在閉區(qū)間上的連續(xù)曲線，若除端點(diǎn)外處處有不垂直于軸的切線，則在這條連續(xù)曲線上至少能找到一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線平行于弦，如圖所示。推論1如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，那么函數(shù)在內(nèi)是一個常數(shù)，即（C為常數(shù)）。證明在區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn)，且，則函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在，使得。由定理假設(shè)，，因此，從而，即。由和的任意性可知在區(qū)間內(nèi)恒為常數(shù)，即（C為常數(shù)）。推論2如果在區(qū)間內(nèi)恒有，那么在區(qū)間內(nèi)有（C為常數(shù)）。證明：令，則由得。由推論1可知，，即有。三、柯西中值定理定理3（柯西中值定理）。第二節(jié)洛必達(dá)法則一、型和型未定式定理4（洛必達(dá)法則）如果函數(shù)與滿足如下條件:（1），（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，（3）（為實(shí)數(shù)或），則。這個法則告訴我們，如果為型或型未定式極限，那么在上述條件下可轉(zhuǎn)化為。*二、其他類型的未定式未定式除型和型外，還有型、型、型、型、型等。對于這幾種未定式，可設(shè)法先將它們轉(zhuǎn)化為型或型后再運(yùn)用洛必達(dá)法則求解。第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)的單調(diào)性從函數(shù)的幾何圖形來看，如果函數(shù)是單調(diào)增加的，那么這條曲線沿軸正向是上升的，如圖所示，曲線上每點(diǎn)的切線斜率都是正的，；如果函數(shù)是單調(diào)減少的，那么曲線沿軸正向是下降的，如圖所示，曲線上每點(diǎn)的切線斜率都是負(fù)的，。可見，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系，反之能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢，下面的定理很好地回答了這個問題。定理5設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果在區(qū)間內(nèi)恒有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；（2）如果在區(qū)間內(nèi)恒有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。證明（1）在區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn)、，并設(shè)，顯然函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以至少存在一點(diǎn)，使。由已知條件，得，因此，即，這就證得在內(nèi)是單調(diào)增加的。同理可證（2）。注：（1）定理5中的開區(qū)間若改為閉區(qū)間或無限區(qū)間，結(jié)論同樣成立。（2）若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則稱該區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（3）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)僅在個別點(diǎn)處為零，而在其余的點(diǎn)處均滿足定理5的條件，那么定理5的結(jié)論仍然成立。例如，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，但在內(nèi)其他點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)均大于零，因此它在區(qū)間內(nèi)仍是單調(diào)增加的。一般地，確定函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，找出單調(diào)區(qū)間的可疑分界點(diǎn)，即使的點(diǎn)（函數(shù)的駐點(diǎn)）和不存在的點(diǎn)（包括導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn)），然后用可疑分界點(diǎn)將定義域分成若干個子區(qū)間；（3）判定在各子區(qū)間的符號，從而確定的單調(diào)區(qū)間。二、函數(shù)的極值1.函數(shù)極值的定義極值是函數(shù)的一種局部性態(tài)，它能幫助我們進(jìn)一步把握函數(shù)的變化情況，為準(zhǔn)確描繪函數(shù)圖形提供不可缺少的信息；函數(shù)的極值也是研究函數(shù)最大值問題和最小值問題的關(guān)鍵所在。下面首先給出函數(shù)極值的定義。定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某個鄰域內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)任取一點(diǎn)，恒有，則稱為函數(shù)的一個極大值或極小值，稱點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)。函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。函數(shù)的極值與函數(shù)的最值是兩個不同的概念。極值是一個局部性的概念，它僅限于與點(diǎn)處的某個鄰域內(nèi)的函數(shù)值進(jìn)行比較；而最值是一個整體性的概念，它對整個區(qū)間的函數(shù)值進(jìn)行比較。函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，函數(shù)的極小值也不一定是函數(shù)的最小值；一個函數(shù)在某個區(qū)間上可能有若干個極值點(diǎn)，在這些點(diǎn)中，有些極小值可能大于極極小值是最小值，而最大值是。2.函數(shù)極值的判定方法從幾何圖形上看，在函數(shù)可導(dǎo)的前提下，取得極值的點(diǎn)處的曲線切線是水平的。但曲線有水平切線的地方，函數(shù)不一定取得極值，圖

中點(diǎn)處的曲線切線是水平的，但不是極值。下面給出函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件。定理6（極值存在的必要條件）如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，那么。定理6又稱費(fèi)馬定理，該定理說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。例如，函數(shù)、的駐點(diǎn)都是，但點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，卻不是函數(shù)的極值點(diǎn)。此外，連續(xù)且不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。例如，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)且不可導(dǎo)，但點(diǎn)是該函數(shù)的一個極小值點(diǎn)。綜上所述，函數(shù)可能在其駐點(diǎn)或連續(xù)且不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得極值。那么如何判定這些可能的極值點(diǎn)到底是不是極值點(diǎn)呢？根據(jù)函數(shù)極值的定義和函數(shù)單調(diào)性的判別方法可知，如果函數(shù)在其極值點(diǎn)鄰近兩側(cè)的單調(diào)性改變，那么函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的符號會改變。據(jù)此，不難得到判定函數(shù)極值是否存在的一個充分條件。定理7（極值存在的第一充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且在點(diǎn)處的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，以及或不存在，（1）如果當(dāng)時，，且當(dāng)時，，那么函數(shù)在點(diǎn)處可以取得極大值；（2）如果當(dāng)時，，且當(dāng)時，，那么函數(shù)在點(diǎn)處可以取得極小值；（3）如果點(diǎn)兩側(cè)的符號相同，那么點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn)，在點(diǎn)處沒有極值。根據(jù)定理7，可以得到求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的一般步驟:（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，令，得到駐點(diǎn)，并找出使不存在的點(diǎn)（包括導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn)）；（3）用上述點(diǎn)將函數(shù)定義域分成若干個子區(qū)間，列表考察在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而判定函數(shù)在各個子區(qū)間上的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，并得到極值。，（1）若，則點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為極大值；（2）若，則點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，為極小值。第四節(jié)函數(shù)的最值由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必取得最大值和最小值。下面討論怎樣求出這個最大值和最小值。根據(jù)最值和極值的定義可知，在閉區(qū)間上的最大值和最小值只能在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和端點(diǎn)處取得。因此，可以求出在內(nèi)的所有可能的極值點(diǎn)（駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)），然后將在這些點(diǎn)處的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的就是函數(shù)在上的最大值，最小的就是函數(shù)在上的最小值。第五節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)及函數(shù)圖形的描繪一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)在第三章第三節(jié)中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)的上升或下降，但不能完全反映它的變化規(guī)律。如圖3-7所示的函數(shù)的圖形在內(nèi)雖然一直上升，但點(diǎn)前后圖形有著明顯的不同。圖中曲線從左向右先是向上彎曲，通過點(diǎn)后，改變了彎曲的方向變?yōu)橄蛳聫澢?。因此研究圖形時，考察曲線的彎曲方向及改變彎曲方向的點(diǎn)是很有必要的。從圖中可以明顯看出，曲線向上彎曲的弧段位于該弧段上每點(diǎn)切線的上方，曲線向下彎曲的弧段位于該弧段上每點(diǎn)切線的下方。據(jù)此，可以給出曲線凹凸性的定義。定義2設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若曲線位于其上任意一點(diǎn)切線的上方，則稱曲線在區(qū)間內(nèi)是凹的（見圖），此時區(qū)間稱為函數(shù)的凹區(qū)間；若曲線位于其上任意一點(diǎn)切線的下方，則稱曲線在區(qū)間內(nèi)是凸的（見圖），此時區(qū)間稱為函數(shù)的凸區(qū)間。從幾何圖形上看，凹曲線上切線的斜率隨著的增大而變大（一階導(dǎo)數(shù)遞增），凸曲線上切線的斜率隨著的增大而變?。ㄒ浑A導(dǎo)數(shù)遞減）。于是，容易得到下面判定曲線凹凸性的定理。定理9設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）若在內(nèi)，則曲線在內(nèi)是凹的；（2）若在內(nèi)，則曲線在內(nèi)是凸的。某些函數(shù)曲線可能在某些區(qū)間內(nèi)是凹的而在另一些區(qū)間內(nèi)是凸的。所以，我們要考慮曲線由凹變凸或由凸變凹的分界點(diǎn)。下面給出拐點(diǎn)的定義。定義3連續(xù)曲線上凹與凸的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)。如何尋找曲線的拐點(diǎn)呢？拐點(diǎn)既然是曲線凹凸的分界點(diǎn)，結(jié)合定理2，若函數(shù)在拐點(diǎn)附近的存在，則拐點(diǎn)左右兩邊的必然異號。所以，要尋找拐點(diǎn)，只要找出使符號發(fā)生變化的分界點(diǎn)即可。如果函數(shù)在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么在使符號發(fā)生變化的分界點(diǎn)處必有；此外，不存在的點(diǎn)也可能是使符號發(fā)生變化的分界點(diǎn)。綜上所述，求函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的一般步驟為:（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，令，解出全部實(shí)根，并求出所有使不存在的點(diǎn)。同時以這些點(diǎn)作為分界點(diǎn)，將定義域劃分為若干個子區(qū)間；（3）列表判定各子區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。*二、函數(shù)圖形的描繪1.函數(shù)曲線的水平漸近線和垂直漸近線為了完整地描繪函數(shù)的圖形，除應(yīng)當(dāng)知道其凹凸性、極值和拐點(diǎn)等性態(tài)外，還應(yīng)當(dāng)了解曲線無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時的變化情況，這就是我們要討論的曲線的漸近線問題。定義4若曲線上的動點(diǎn)沿著曲線無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時，它與某直線的距離趨于零，則稱直線為該曲線的漸近線。定義中的漸近線可以是在各種位置的直線，我們只討論下面兩種特殊情況：（1）水平漸近線。若或或，則稱直線為曲線的水平漸近線。（2）垂直漸近線。若或或，則稱直線為曲線的垂直漸近線。2.函數(shù)圖形的描繪對于一個函數(shù)來說，若能作出其圖形，就能從圖形上直觀地了解該函數(shù)的變化趨勢。在中學(xué)階段，我們曾利用描點(diǎn)法來作函數(shù)的圖形，但這種方法常常會遺漏曲線的一些關(guān)鍵點(diǎn)，如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等，因此難以準(zhǔn)確把握函數(shù)的變化趨勢。本節(jié)我們將先利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的一些重要性態(tài)，再描繪函數(shù)的圖形。其一般步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域，并考察其奇偶性和周期性；（2）求和，求出使和的點(diǎn)，以及和不存在的點(diǎn)，并用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分成若干個子區(qū)間；（3）列表討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)