《單磁懸浮系統(tǒng)的原理與數(shù)學(xué)模型分析》3200字

單磁懸浮系統(tǒng)的原理與數(shù)學(xué)模型分析綜述磁懸浮平臺的工作原理磁懸浮系統(tǒng)包括間隙傳感器，加速度計，磁懸浮電源變換器，懸浮電磁鐵，懸浮控制器。

當(dāng)在電磁線圈上加一定電流后，電磁鐵內(nèi)電磁線圈產(chǎn)生磁場，使浮體受到相應(yīng)電磁吸引力。

若產(chǎn)生電磁引力超過浮體重力時，就會吸引浮動物體達(dá)到懸浮目的。

所以，要保持浮體穩(wěn)定懸浮，就必須對電磁線圈電流進(jìn)行調(diào)節(jié)，使得所產(chǎn)生電磁引力與懸浮體重量相當(dāng)。

但電磁引力與重力的平衡屬于非穩(wěn)定平衡。

由于磁飽和現(xiàn)象以及電磁力與摩擦力之間存在非線性關(guān)系，使得控制系統(tǒng)具有很強的耦合性和不確定性。同時，在外界環(huán)境擾動下，系統(tǒng)往往不能夠達(dá)到理想的跟蹤效果。

所以如果外界的擾動是平衡的，那么就算系統(tǒng)只受微小的擾動也可能打破平衡的狀態(tài)。

然而，由于懸浮體本身質(zhì)量較大，使得該過程存在著很大的不確定性，導(dǎo)致控制系統(tǒng)不具有魯棒性。另外，由于受到外界干擾的影響，也不能保證整個系統(tǒng)控制性能良好。

因此需要設(shè)計閉環(huán)控制反饋系統(tǒng)，對系統(tǒng)進(jìn)行全面閉環(huán)控制。

間隙傳感器可以直接測得懸浮體懸浮氣隙尺寸并轉(zhuǎn)換成位移信號。

接著，控制器基于傳感器記錄進(jìn)行變換，運算和產(chǎn)生對應(yīng)控制信號。

功率放大器收到控制電壓并控制電磁鐵輸出電流從而在電磁線圈中產(chǎn)生對應(yīng)電磁吸力。

所以當(dāng)浮體和電磁鐵間懸浮間隙變化時，需適時調(diào)節(jié)電磁線圈內(nèi)電流并改變電磁力大小才能保證所停物體穩(wěn)定懸浮于平衡位置左右。

由于電磁感應(yīng)定律告訴我們：在同一時刻，任何兩個相同導(dǎo)體間所產(chǎn)生的電磁場相等或近似相等。而這一規(guī)律又與磁飽和特性密切相關(guān)。當(dāng)電磁鐵處于飽和區(qū)時會發(fā)生嚴(yán)重的飽和現(xiàn)象。

所以要保證磁懸浮系統(tǒng)可靠運行，就必須對電磁鐵電流即電磁線圈兩端電壓進(jìn)行準(zhǔn)確控制，才能保證磁場能穩(wěn)定電磁強度及對應(yīng)電磁懸浮力。單磁懸浮裝置的數(shù)學(xué)模型單電磁懸浮系統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)如REF_Ref104151694\h圖21所示，圖中磁性導(dǎo)軌位于上方，電磁鐵位于下方，該裝置內(nèi)部存在一對電磁鐵。電磁鐵的吸引力與排斥力保證了導(dǎo)向裝置與導(dǎo)軌之間的距離即懸浮氣隙的動態(tài)平衡。圖STYLEREF2\s2SEQ圖\*ARABIC\s21單電磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖電磁鐵的漏磁現(xiàn)象以及兩個相鄰的電磁鐵之間磁場的相互影響在本文中默認(rèn)忽略不計，在假設(shè)的情況下，建立并分析單電磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。設(shè)氣隙間距是，各電磁鐵的一個磁極所纏繞線圈數(shù)是，此電磁鐵有的磁漏，作為氣隙間的磁通，當(dāng)磁懸浮裝置受到外界影響后，受擾動干擾記作，流過的電流為，兩極間的端電壓為，作用在導(dǎo)軌上的電場力為，該方向上所對應(yīng)的另一個電磁鐵對此裝置的作用力為。按照牛頓定理可列如下等式： 其中，式中為懸浮物的重量之和。REF_Ref104151891\h圖22為該電磁鐵的等效磁路圖STYLEREF2\s2SEQ圖\*ARABIC\s22電磁鐵的磁通等效電路圖其中，電磁鐵上所繞線圈的磁動勢為，電磁鐵各電磁極和導(dǎo)軌氣隙內(nèi)磁阻為。 公式GOTOBUTTONZEqnNum561697REFZEqnNum561697\*Charformat\!(2.2)中：表示電磁鐵的鐵心橫截面積；為真空磁導(dǎo)率。所述電磁鐵的總磁阻由電磁鐵的兩磁極所對應(yīng)兩磁阻總和構(gòu)成，即，綜上所述有： 電磁鐵所對應(yīng)的氣隙磁通為： 電磁鐵線圈的電感為下式： 電磁鐵單線圈的電磁吸力為，電磁鐵的單一磁極的電磁力： 式GOTOBUTTONZEqnNum440623REFZEqnNum440623\*Charformat\!(2.7)為電磁鐵與導(dǎo)軌間的間隙電壓等式（以電流為變量）： 推導(dǎo)得單磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為： 單磁懸浮模型的線性化處理由公式GOTOBUTTONZEqnNum431626REFZEqnNum431626\*Charformat\!(2.8)可知，所導(dǎo)出的單個磁懸浮裝置數(shù)學(xué)模型是非線性的，應(yīng)將數(shù)學(xué)模型線性化，以確保數(shù)學(xué)模型能達(dá)到線性化的要求。由于該模型存在參數(shù)不確定性及外部干擾，導(dǎo)致系統(tǒng)難以得到準(zhǔn)確的線性解，必須將其線性化才能確保系統(tǒng)穩(wěn)定。

針對一類不確定非線性動態(tài)系統(tǒng)，設(shè)計了一種新的自適應(yīng)模糊控制方案，該算法通過在線學(xué)習(xí)模糊控制規(guī)則來實現(xiàn)對系統(tǒng)未知擾動的抑制以及跟蹤誤差的補償，提高了系統(tǒng)的魯棒性能和抗干擾能力。

常見的線性化方法有泰勒級數(shù)展開法等。單磁懸浮模型的反饋線性化利用精確狀態(tài)反饋線性化方法處理磁懸浮裝置數(shù)學(xué)模型。根據(jù)此系統(tǒng)的特點，將其分為線性子系統(tǒng)和非線性子系統(tǒng)兩部分來討論。最后分別對磁懸浮裝置電壓控制數(shù)學(xué)模型與電流控制數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推導(dǎo)。在對兩個模型進(jìn)行對比的同時，對兩個模型之間的區(qū)別進(jìn)行分析。兩種數(shù)學(xué)模型的上述區(qū)別造成了兩種模型應(yīng)用受控對象的不同。（1）系統(tǒng)的電壓控制模型式（2,8）可得，設(shè)單磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)變量分別為，，，設(shè)，為系統(tǒng)受到的影響系統(tǒng)正常工作的外部擾動，并且輸出為。可推出狀態(tài)方程為： 將代入式GOTOBUTTONZEqnNum440623REFZEqnNum440623\*Charformat\!(2.7)中，再結(jié)合單電磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以推導(dǎo)出電流的導(dǎo)數(shù)公式為： 將式GOTOBUTTONZEqnNum883115REFZEqnNum883115\*Charformat\!(2.6)與式GOTOBUTTONZEqnNum996408REFZEqnNum996408\*Charformat\!(2.10)代入式GOTOBUTTONZEqnNum319745REFZEqnNum319745\*Charformat\!(2.9)，得： 根據(jù)式GOTOBUTTONZEqnNum235360REFZEqnNum235360\*Charformat\!(2.11)，系統(tǒng)的非線性狀態(tài)空間方程能夠用下式表示： 設(shè)，，，，式GOTOBUTTONZEqnNum835641REFZEqnNum835641\*Charformat\!(2.12)可表述成： 在不考慮影響系統(tǒng)工作的外部擾動的條件下，根據(jù)上式可知： 通過對上述的式子進(jìn)行化簡可以得到，，，并且系統(tǒng)的相對階為，可得知系統(tǒng)階次與相對階相同且滿足定理規(guī)定的前提。使用的反饋規(guī)則為： 上式中，線性狀態(tài)變量可由表示，則可變換為： 轉(zhuǎn)換矩陣可以表示成： 根據(jù)式GOTOBUTTONZEqnNum840113REFZEqnNum840113\*Charformat\!(2.21)與式GOTOBUTTONZEqnNum148223REFZEqnNum148223\*Charformat\!(2.22)，可推出輸入和輸出之間有以下線性關(guān)系： 對原非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理后能夠得到以下狀態(tài)空間方程： 由上式可見，這種單磁懸浮系統(tǒng)屬于可控系統(tǒng)。所以只要選擇恰當(dāng)?shù)南禂?shù)，，就可以保證磁懸浮系統(tǒng)的全部極點處于復(fù)平面的左半平面內(nèi)并從某種程度上表明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。REF_Ref104154767\h圖23為對原系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理后產(chǎn)生的電壓控制模型，可以知道該模型為三階模型。圖STYLEREF2\s2SEQ圖\*ARABIC\s23反饋線性化后的電壓控制模型圖（2）系統(tǒng)的電流控制模型根據(jù)式GOTOBUTTONZEqnNum235360REFZEqnNum235360\*Charformat\!(2.11)，設(shè)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，并以為系統(tǒng)輸出，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程如式GOTOBUTTONZEqnNum605930REFZEqnNum605930\*Charformat\!(2.25)： 定義、、與為：，，，設(shè) 則式GOTOBUTTONZEqnNum605930REFZEqnNum605930\*Charformat\!(2.25)能改寫為： 在忽略系統(tǒng)中外部擾動時，利用式GOTOBUTTONZEqnNum335937REFZEqnNum335937\*Charformat\!(2.27)來判斷系統(tǒng)是否符合要求。 根據(jù)上述式GOTOBUTTONZEqnNum813182REFZEqnNum813182\*Charformat\!(2.29)以及式GOTOBUTTONZEqnNum126130REFZEqnNum126130\*Charformat\!(2.30)可知，當(dāng)系統(tǒng)的階次與相對階一致時滿足該線性化方法的要求。所使用的規(guī)則如下： 式中，定義為線性化活動狀態(tài)變量，對該變量進(jìn)行如下變換： 則，能夠推導(dǎo)出： 由式GOTOBUTTONZEqnNum716614REFZEqnNum716614\*Charformat\!(2.31)和式GOTOBUTTONZEqnNum385869REFZEqnNum385869\*Charformat\!(2.32)，可以對式GOTOBUTTONZEqnNum605930REFZEqnNum605930\*Charformat\!(2.25)進(jìn)行線性化： 從而線性狀態(tài)空間方程為： 根據(jù)式GOTOBUTTONZEqnNum978160REFZEqnNum978160\*Charformat\!(2.26)和式GOTOBUTTONZEqnNum716614REFZEqnNum716614\*Charformat\!(2.31)可以知道電壓和電流兩個控制量有如下關(guān)系： 因此可推出： 根據(jù)REF_Ref104578739\h圖24可知，在對原系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理后能夠得到一個二階的數(shù)學(xué)模型來表述系統(tǒng)。圖STYLEREF2\s2SEQ圖\*ARABIC\s24反饋線性化后的電流控制模型框圖考慮到模型的復(fù)雜性，電流控制模型的優(yōu)點在于其為二階系統(tǒng)模型且較簡單的控制。但這一控制模型對實際問題的處理有點太簡單了，和實際情況有很大的差距。所以，在研究磁懸浮系統(tǒng)時，采用高階控制系統(tǒng)更為合適，因為其能夠更好地描述磁懸浮系統(tǒng)的非線性特性和魯棒性能等特點。另外，由于使用的數(shù)學(xué)工具不同。并且電壓控制模型是三階控制系統(tǒng)，比較適用于磁懸浮系統(tǒng)這一復(fù)雜控制結(jié)構(gòu)，所以本課題選用電壓控制數(shù)學(xué)模型，使得所生成的結(jié)構(gòu)更加貼近實際情況。單磁懸浮模型的平衡點線性化傳統(tǒng)的PID控制的控制規(guī)律是：，將其帶入表達(dá)式可以得到 令，，，可以求出系統(tǒng)的兩個奇點：，，，，，，。其中，因為奇點對于系統(tǒng)有同樣的影響效果，都是靠近兩奇點，系統(tǒng)工作性質(zhì)也大體一致，因此本論文僅分析了靠近第一奇點的系統(tǒng)，預(yù)設(shè)了第二奇點和第一奇點有同樣的效果。這里取已知系統(tǒng)在該奇點處所對應(yīng)的線性方程為：可以得到在該奇點處所對應(yīng)系數(shù)矩陣分別為：，,某磁懸浮系統(tǒng)的有關(guān)參數(shù)如REF_Ref104382553\h表21所示。表STYLEREF2\s2SEQ表\*ARABIC\s21系統(tǒng)參數(shù)將上面的參數(shù)帶入矩陣可以得到：，，容易看出，系統(tǒng)為可控系統(tǒng)，利用軟件對求出的參數(shù)矩陣進(jìn)行運算可以求出控制參數(shù)：，，由此可以得出控制量的表達(dá)式為：相對于只能在理論上保證線性系統(tǒng)優(yōu)越特性的平衡點反饋線性化的方法來說直接反饋線性化可以產(chǎn)生更有效的控制效果，但在實際非線性系統(tǒng)的使用中，控制系統(tǒng)的特性會有很大的不同。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)不發(fā)生改變時，兩種控制方式都可以實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定懸浮，但平衡點反饋方法的設(shè)計參數(shù)與實際參數(shù)有明顯不同，而直接反饋方法的實際參數(shù)