等比數(shù)列的概念（原卷版）

專題4.3.1等差數(shù)列的概念【題型一：根據(jù)“定義”求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式..................................................】【題型二：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算..........................................................】【題型三：由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等比數(shù)列..........................................................】【題型四：等比中項(xiàng)及其應(yīng)用..................................................................................】【題型五：等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)..............................................................................】【題型六：等比數(shù)列的單調(diào)性與最值......................................................................】1．等比數(shù)列的概念文字語言一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符號語言在數(shù)列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數(shù)列{an}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比遞推關(guān)系或2．等比中項(xiàng)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是.4．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：(1)定義法：eq\f(an＋1,an)＝q（常數(shù)）{an}為等比數(shù)列；(2)中項(xiàng)法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2{an}為等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：an＝k·qn（k，q為常數(shù)）{an}為等比數(shù)列；5.等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)：若m,n,p,q∈6．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為，公比為q，則(1)當(dāng)或時，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；(2)當(dāng)或時，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；(3)當(dāng)q=1時，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項(xiàng)均不等于0)；(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項(xiàng)同號，所有的偶數(shù)項(xiàng)也同號，但是奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號).【題型一：根據(jù)“定義”求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（這里只體現(xiàn)構(gòu)造法中?？嫉膬蓚€）】【思路總結(jié)】類型一：a方法過程：設(shè)an+1+x=p(對比an+1=pan+q與所以數(shù)列an+所以an+qp?1類型二：an+1=p方法過程：等式兩邊同時除以q設(shè)bn=a類型三：S【例題】1.（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．2.（2025高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且，則通項(xiàng)公式．3.（2025高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，，則通項(xiàng)公式．【相似練習(xí)】1.（2425高三上·廣東廣州·期末）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．2.（2425高三上·重慶長壽·期末）已知數(shù)列滿足，則．3.（2425高二·江蘇·假期作業(yè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.求的通項(xiàng)公式；【題型二：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算】【例題】1．（浙江省金華十校20242025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在等比數(shù)列中，，則公比（

）A． B． C．3 D．132．（2425高二上·黑龍江綏化·期末）在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．或 B． C． D．或3．（2425高二上·福建福州·期末）在等比數(shù)列中，若，，則（

）A．6 B．8 C． D．16【相似練習(xí)】4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，若，，成等差數(shù)列，則．5．（2425高二上·吉林·期末）在等比數(shù)列中，若，，則.6．（2425高二上·福建福州·期末）已知等比數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【名師點(diǎn)睛】：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1?qn?1【題型三：由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等比數(shù)列】【例題】1．（2223高二上·江蘇徐州·期中）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2．（2425高二上·山西呂梁·期末）已知數(shù)列中，，且滿足（）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；3．（2425高二上·河北保定·期末）已知數(shù)列滿足，且.數(shù)列的前和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；4．（2425高二上·江蘇蘇州·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【相似練習(xí)】5．（2025·寧夏內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)6．（2425高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，設(shè).(1)寫出，，并證明是一個等比數(shù)列：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；公式；【名師點(diǎn)睛】：核心定義的深度理解與應(yīng)用，等比數(shù)列的核心定義是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個常數(shù)q（q≠0）,即an+1a【題型四：等比中項(xiàng)及其應(yīng)用】【例題】1．（2425高二上·重慶·期末）已知等比數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C．6 D．不確定2．（2425高三下·山東·開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，若，，成等比數(shù)列，則（

）A．3 B．2 C． D．3．（2425高三上·四川成都·期中）已知等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．6 B． C． D．【相似練習(xí)】4．（2425高二上·湖北武漢·期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則．5．（2425高三上·山東泰安·期末）已知遞增等差數(shù)列的前項(xiàng)和為是和的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；6．（2425高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；【名師點(diǎn)睛】：等比中項(xiàng)的定義為：若三個數(shù)A，B，C滿足B2=A?C,則稱B是A與C的等比中項(xiàng)，等比數(shù)列中任意三項(xiàng)都符合an?1?an+1=【題型五：等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)】【例題】1．（2025屆山東省齊魯名校大聯(lián)考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2425高二下·河北張家口·開學(xué)考試）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為（

）A． B． C． D．或【相似練習(xí)】4．（2425高二上·湖北咸寧·期末）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（

）A． B． C．14 D．155．（2425高二上·福建漳州·期末）已知數(shù)列滿足且，則的值為（

）A．32 B．16 C． D．6．（2425高二上·河南漯河·期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，，則．【題型六：等比數(shù)列的單調(diào)性與最值】【例題】1．（2425高二上·浙江溫州·期末）若正項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2425高二上·上?！て谀┰诘缺葦?shù)列中，公比為q，其前n項(xiàng)積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然數(shù)n等于40463．（2425高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.設(shè)甲：；乙：數(shù)列單調(diào)遞增，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【相似練習(xí)】4．【多選】（2425高二上·浙江杭州·期末）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，公比，則下列說法正確的是（

）A．若，則必有B．若，則必有C．若，則必有D．若，則必有5．【多選】（2425高二上·浙江嘉興·期末）等比數(shù)列的公比為，且滿足，，，記，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．使成立的最小自然數(shù)等于6．【多選】（2425高二上·湖南·期末）記等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為，已知，，，則（

）A． B．C．的最大值為 D．【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列單調(diào)性的判斷方法比值判斷法：對于等比數(shù)列，eq\f(an＋1,an)＝q，當(dāng)q>1且a1>0,或者0<q<1且a1<0時，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)q<1且a1>0，或者q>【課后作業(yè)】一、單選題1．（2425高二上·云南·期末）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（

）A．211 B．210 C．11 D．92．（2425高二上·重慶北碚·期末）已知等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．3．（2425高二上·云南麗江·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，對任意，都有，則（

）A． B． C． D．4．（江蘇省南通市20242025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題）在等比數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（

）條件A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．不充分不必要5．（2425高三上·云南昆明·期中）設(shè)等比數(shù)列公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件二、多選題6．（2425高二上·江蘇·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，，，記的前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．7．（安徽省鼎尖名校20242025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，前項(xiàng)和為．若，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列三、解答題8．（2425高二上·陜西西安·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.9．（2425高三下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)