專題05導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合原卷-高考數(shù)學二輪復(fù)習壓軸題突破拿高分（導(dǎo)數(shù)篇）

2025年高考數(shù)學二輪復(fù)習壓軸題突破拿高分（導(dǎo)數(shù)篇）專題05導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合【數(shù)列的函數(shù)特性】等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式中共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題．【解題方法點撥】1．在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問題時：（1）要讀懂題意，理解實際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學實質(zhì)，舍棄與解題無關(guān)的非本質(zhì)性東西；（2）準確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學模型；（3）根據(jù)所建立的數(shù)學模型的知識系統(tǒng)，解出數(shù)學模型的結(jié)果；（4）最后再回到實際問題中去，從而得到答案．2．在求數(shù)列的相關(guān)和時，要注意以下幾個方面的問題：（1）直接用公式求和時，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程．（2）注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．（3）求一般數(shù)列的前n項和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項和的求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項公式（尤其是在處理客觀題目時）時，要注意適當?shù)馗鶕?jù)具體問題多計算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項，否則會因為所計算的數(shù)列的項數(shù)過少，而歸納出錯誤的通項公式，從而得到錯誤的結(jié)論．題型一：曲線切線與坐標軸交點形成數(shù)列【例1】（2023上海高考）已知函數(shù)，取點，過其作曲線切線交軸于點，取點，過其作曲線作切線交軸于，若，則停止操作，以此類推，得到數(shù)列.(1)若正整數(shù)，證明(2)若正整數(shù)，試比較與大?。?3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列?若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由.【例2】（2023·上海青浦·一模）已知有窮等差數(shù)列的公差d大于零．(1)證明：不是等比數(shù)列；(2)是否存在指數(shù)函數(shù)滿足：在處的切線的交軸于，在處的切線的交軸于，…，在處的切線的交軸于？若存在，請寫出函數(shù)的表達式，并說明理由；若不存在，也請說明理由；(3)若數(shù)列中所有項按照某種順序排列后可以構(gòu)成等比數(shù)列，求出所有可能的m的取值．【例3】（2025上海浦東新區(qū)高三一模）過曲線上一點作其切線，若恰有兩條，則稱為的“類點”；過曲線外一點作其切線，若恰有三條，則稱為的“類點”；若點為的“類點”或“類點”，且過存在兩條相互垂直的切線，則稱為的“類點”．(1)設(shè)，判斷點是否為的“類點”，并說明理由；(2)設(shè)，若點為的“類點”，且過點的三條切線的切點橫坐標可構(gòu)成等差數(shù)列，求實數(shù)的值；(3)設(shè)，證明：軸上不存在的“類點”．題型二：曲線與直線交點橫坐標形成數(shù)列【例4】（2023·上海嘉定·一模）已知．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)請嚴格證明曲線有唯一交點；(3)對于常數(shù)，若直線和曲線共有三個不同交點，其中，求證：成等比數(shù)列．【例5】（2324高三下·上海·階段練習）已知函數(shù)和(1)若函數(shù)是定義域上的嚴格減函數(shù)，求的取值范圍.(2)若函數(shù)和有相同的最小值，求的值(3)若，是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列【例6】（2024·上海青浦·一模）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，問:函數(shù)的圖像上是否存在三點，使得它們的橫坐標成等差數(shù)列，且直線的斜率等于在點處的切線的斜率?若存在，求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在，說明理由;(3)證明:函數(shù)圖像上任意一點都不落在函數(shù)圖像的下方題型三：函數(shù)遞推數(shù)列【例7】（2024·上海奉賢·一模）已知函數(shù)y=fx，其中（常數(shù)且）．(1)若函數(shù)y=fx的圖象過點，求關(guān)于的不等式的解集；(2)若存在，使得數(shù)列是等比數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.【例8】已知函數(shù)(1)判斷的單調(diào)性；(2)若有且僅有一個零點，求的取值范圍；(3)若取第（2）問所求范圍的最小值，且數(shù)列滿足，，，求證：，.【例9】（2025上海黃浦一模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間I上恒成立，對任意的，有．對于各項均不相同的數(shù)列，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列與均是嚴格增數(shù)列B．數(shù)列與均是嚴格減數(shù)列C．數(shù)列與中的一個是嚴格增數(shù)列，另一個是嚴格減數(shù)列D．數(shù)列與均既不是嚴格增數(shù)列也不是嚴格減數(shù)列【例10】（2024·上海崇明·二模）已知.(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)存在兩個不同的極值點，求證：；(3)若，，數(shù)列滿足，．求證：當時，．題型四：新定義數(shù)列【例11】（2324高三上·上海青浦·期中）已知函數(shù)，對于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個“源數(shù)列”.(1)已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，求；(2)已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對任意正整數(shù)，均有；(3)已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列?請說明理由.【例12】對給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，若對在定義域內(nèi)的給定常數(shù)，存在數(shù)列滿足在的定義域內(nèi)且，且對在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個點處的切線平行于和的連線，則稱數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.(1)若函數(shù)，證明：都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；(2)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，且，求的通項公式；(3)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)列的前項和為，證明：當時，.題型五：數(shù)列“累加型”不等式證明【例13】已知函數(shù).(1)證明：；(2)證明：.【例14】（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，，．(1)求；(2)若對一切成立，求的最小值；(3)證明：當正整數(shù)時，．【例15】（2023·上海普陀·曹楊二中?？既＃┮阎瘮?shù)，.(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)對于任意正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得不等式成立？若存