電路分析基礎課件-第7章

第7章非正弦周期電流電路7.1非正弦周期信號7.2非正弦周期信號分解為傅立葉級數(shù)7.3

有效值、平均值和平均功率7.4非正弦周期電路的計算7.5非正弦周期電路的計算仿真習題7

7.1非正弦周期信號

在前面章節(jié)的介紹中我們知道，同一個線性電路中，在一個正弦交流電源的作用下電路中各支路的穩(wěn)態(tài)電壓和電流都是同頻率的正弦量，但是如果將電源換成幾個具有不同頻率的正弦交流電源，那么該線性電路的穩(wěn)態(tài)響應通常是非正弦的周期性電壓和電流；在某些電路中電源電壓或電流本身就是非正弦周期函數(shù)，例如由方波或鋸齒波電壓源作用而引起的響應一般也是非正弦周期函數(shù)。

此外，在含有非線性元件的電路中，即使是在一個正弦激勵的作用下，電路中也會出現(xiàn)非正弦電流。例如:圖7.

1.1(a)所示的半波整流電路，正弦電流作用于非線性的二極管元件，經(jīng)過整流后得到了半波的周期電壓、電流波形，如圖7.1.1(b)所示。圖7.1.1正弦波信號經(jīng)過半波整流后得到非正弦波

在現(xiàn)實中非正弦周期電壓、電流是普遍存在的，我們應用的某些直流電源和正弦電源，嚴格地說是近似的直流電源和正弦電源，如通過整流而獲得的直流電壓，盡管采取某些措施使其波形平直，但仍不可避免地存在一些周期性的起伏，即存在紋波;在電力系統(tǒng)中，即使發(fā)電機產(chǎn)生的電壓要求按正弦規(guī)律變化，但由于制造方面的原因，盡管是周期變化的，

但其電壓波形會產(chǎn)生畸變，形成非正弦周期變化的波形;以及實驗室經(jīng)常使用的電子示波器掃描電壓的鋸齒波、在自動控制及電子技術(shù)領域中經(jīng)常使用的脈沖信號也都是非正弦的

周期信號。圖7.1.2所示為幾種常見的非正弦周期信號。

本章僅討論非正弦周期信號作用于線性電路的分析與計算。圖7.1.2幾種常見的非正弦周期信號

7.2非正弦周期信號分解為傅立葉級數(shù)

分析在非正弦周期信號的作用下的線性電路的穩(wěn)態(tài)響應時，可采用傅立葉級數(shù)展開的方法，將非正弦周期信號分解為一系列不同頻率的正弦量之和的形式，基于線性電路中的疊加定理，分別計算在各個正弦分量單獨作用時的電壓或電流響應分量，最后將各分量瞬時值疊加，即為該非正弦周期信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應。其實質(zhì)就是將非正弦周期電流電路的分析轉(zhuǎn)化為正弦交流電路的分析。

根據(jù)傅立葉級數(shù)展開的方法，可以將一個非正弦周期信號的波形分解為許多不同頻率的正弦波的和。例如:有一矩形周期電壓，波形如圖7.2.1所示，其在一個周期內(nèi)的表達式為圖7.2.1矩形周期電壓

按照傅立葉級數(shù)展開可得

疊加后的波形如圖7.2.2(b)所示。

u1

與u2

的合成波u12

顯然已接近矩形波，

u12

與u

3的合成波u123

更加接近于矩形方波，若按式(7.2.1)繼續(xù)疊加，那么最終的波形將與矩形波一致。u

1與矩形方波的頻率相同，稱為方波的基波;u2的頻率是方波的3倍，稱為方波的三次諧波；u

3的頻率是方波的5倍，稱為方波的五次諧波。除了基波，式(7.2.1)中其余各項稱為方波的高次諧波。

由高等數(shù)學可知，如果一個函數(shù)是周期性的且滿足狄里赫利條件，那么它可以展開成一個收斂級數(shù)，即傅立葉級數(shù)。電工技術(shù)中所遇到的周期函數(shù)一般都能滿足這個條件。圖7.2.2矩形波的合成

若有函數(shù)f(t

)，滿足f(t)=f(kt+T

)，

k=0，

1，

2，…，則稱f(t)為周期函數(shù)，其中T為常數(shù)，為f(t)的周期。若其滿足狄里赫利條件：①f(t)的極值點數(shù)目有限；②間斷點的數(shù)目無限；③在一個周期內(nèi)絕對可積，即

則f

(t

)就可以分解成一個收斂的傅立葉級數(shù)，即

式中，

ω=2π/T，a0

、ak

、bk

為傅立葉系數(shù)，計算公式如下:

利用三角函數(shù)公式，式(7.2.2)還可以寫成第二種形式:

其中:

A0:f(t)的直流分量，也稱零次諧波;

A1msin(ωt+θ1

):基波分量，也稱一次諧波，其周期和頻率與原函數(shù)相同;

其余各項:高次諧波。若傅立葉級數(shù)是收斂的，一般來說其諧波次數(shù)越高，振幅越小。

將非正弦周期函數(shù)f

(t

)分解為直流分量、基波分量和一系列不同頻率的各次諧波分量之和，稱為非正弦周期函數(shù)的諧波分解。諧波分析的意義在于，傅立葉級數(shù)是一個收斂級

數(shù)，當k取到無限多項時就可以準確地表示原非正弦周期函數(shù)，但在實際工程計算時，只能取有限的前幾項，取的項數(shù)與工程所需精度有關。

將周期函數(shù)分解成傅立葉級數(shù)是非正弦交流電路分析的第一步，工程中常用查表的方法得到典型周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)。表7.2.1中是電工技術(shù)中常用的幾種非正弦周期函數(shù)

的波形和傅立葉級數(shù)展開式。

觀察表7.2.1中各波形可發(fā)現(xiàn):方波、等腰三角波只含有sin項的奇次諧波;鋸齒波和全波整流都含有直流成分，且鋸齒波還包含sin項的各偶次諧波;全波整流則包含cos項的

各偶次諧波。

諧波分析一般都是根據(jù)已知波形來進行的，而非正弦周期信號的波形本身就已經(jīng)決定了該非正弦波所含有的諧波。非正弦周期波中含有的高次諧波成分是否嚴重，取決于它們

波形的平滑性即越不平滑的波形所含有的高次諧波越嚴重。

7.3有效值、平均值和平均功率

1.有效值工程上將周期電流或電壓在一個周期T內(nèi)產(chǎn)生的平均效應換算為在效應上與之相等的直流量，即

從而得到任一周期電流i

(t

)的有效值:

非正弦周期信電流也可以根據(jù)式(7.3.1)求有效值，例如一非正弦周期電流i(t)，分解為傅立葉級數(shù):

將

i代入式(7.3.1)，則其有效值為

【例7.3.1】已知周期電流i

(t)=1+0.707sin(ωt-20°)+0.42sin(2ωt+50°)A，試求其有效值。

解

2.平均值

在工程實踐中往往還會用到平均值。非正弦周期函數(shù)的平均值是指一個周期內(nèi)函數(shù)絕對值的平均值。一個周期函數(shù)f

(t)在一個周期T內(nèi)的平均值定義為

則非正弦周期電流i

(t

)、電壓u(t)的平均值為

非正弦周期電壓、電流的有效值和平均值都是可以通過測量得到的。在對一個非正弦周期電壓或電流測量時，要注意選擇儀表的類別，選用合適的儀表。若選用磁電式儀表(直流儀表)，則測量結(jié)果為直流量；若選用電磁式或電動式儀表測量，則測量結(jié)果為有效值；如果用全波整流儀表測量，則測量結(jié)果為平均值。在非正弦交流電路中，應將直流分量、

有效值和平均值這三個概念加以區(qū)分。

【例7.3.2】矩形波形如圖7.3.1所示，計算矩形波的整流平均值。

解圖7.3.1例7.3.2的矩形波形

3.平均功率

設任意一個線性二端網(wǎng)絡如圖7.3.2所示，端口處電壓u(t)和電流i(t)均為非正弦周期量。則該二端網(wǎng)絡吸收的瞬時功率p=ui。圖7.3.

平均功率為瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值，定義式為

可得

式中，

U0I0

表示零次諧波功率(直流分量功率)；Uk

、Ik表示k

次諧波電壓、電流的有效值(k

=1，

2，

3…)，由式(7.3.5)可得到；

φk表示k

次諧波電壓對電流超前的相位差；cosφk表示各次諧波的功率因數(shù)。

由式(7.3.8)可知，非正弦周期電流電路的平均功率=直流分量的功率+各次諧波平均功率，各次諧波的功率等于各次諧波電壓、電流的有效值與各次諧波功率因數(shù)的乘積。只

有同頻率的電壓諧波與電流諧波才能構(gòu)成平均功率，不同頻率的電壓諧波和電流諧波只能構(gòu)成瞬時功率，不產(chǎn)生平均功率。

【例7.3.3】已知某二端網(wǎng)絡的電壓電流分別為

當u

(t

)與i(t)取關聯(lián)參考方向時，求二端網(wǎng)絡吸收的平均功率。

解

7.4非正弦周期電流電路的計算

分析非正弦周期電流電路的方法為諧波分析法，分析步驟如下:

(1)將給定的電源電壓或電流展開成傅立葉級數(shù)，根據(jù)要求的計算精度選擇展開的級數(shù)數(shù)目;

(2)分別計算傅立葉級數(shù)中各項電壓或電流分量單獨作用時電路的響應(需要注意的是電壓或電流的直流分量作用于電路時，電路應看做直流電阻電路，也就是電感看做短路、

電容看做開路的情況);

(3)應用疊加定理，將各響應分量的瞬時表達式求代數(shù)和(注意:由于各次諧波的頻率不同，不能用相量形式求和)。

計算非正弦周期電流電路時應注意的問題:

(1)當直流分量單獨作用時，遇電容元件按開路處理，遇電感元件則要按短路處理;

(2)任意正弦分量單獨作用時的計算原則與單相正弦交流電路的計算方法完全相同，只是必須注意，不同諧波頻率下電感和電容上的電抗各不相同。

(3)用相量分析法計算出來的各次諧波分量是不能直接進行疊加的，必須根據(jù)相量與正弦量的對應關系表示成正弦量的解析式后再進行疊加。

(4)不同頻率的各次諧波響應不能畫在同一個相量圖上，也不能出現(xiàn)在同一個相量表達式中。

【例7.4.1】如圖7.4.1(b)所示，

RL電路的激勵電壓us

為一周期性方波，如圖7.4.1(a)所示。已知R=5Ω，

ωL=5Ω，方波的周期為5ms，求穩(wěn)態(tài)時的電感電壓uL。圖7.4.1例7.4.1的電路圖

解首先將us

展開成傅立葉級數(shù)，根據(jù)方波的傅立葉級數(shù)可知

將方波作用于RL電路相當于把振幅為

頻率為ω，3ω，

5ω…的正弦電源同時串聯(lián)作用于電路，分別求出每一個頻率分量電源(正弦電源)作用下的u

(1)L，

u

(3)L…，顯然每一個電源作用仍可以用相量法，將各頻率分量的疊加，即可求出uL。

的相量表達式為

根據(jù)k的取值可分別求出對應寫出

疊加這些分量可得uL。

所以

所以

所以

疊加后可得

【例7.4.2】已知電路7.4.2中:us(t)=40+180sinωt+60sin(3ωt+45°)+20sin(5ωt+18°)V

，

f=50Hz，求i(t)和電流有效值I。圖7.4.2例7.4.2的電路圖

解零次諧波電壓單獨作用時，由于直流下C相當開路，因此I0=0;一次諧波電壓單獨作用時，應先求出電路中的復阻抗，然后再求一次諧波電流。

三次諧波電壓單獨作用時：

五次諧波電壓單獨作用時:

電流解析式根據(jù)疊加定理可求得

電流的有效值:

其中三次諧波電壓、電流同相，說明電路在三次諧波作用下發(fā)生了串聯(lián)諧振。

【例7.4.3】圖7.4.3(a)中LC構(gòu)成LC濾波電路，其中L=0.1H，C=1000μF。設輸入為工頻正弦經(jīng)全波整流電壓，如圖7.4.3(b)所示，電壓振幅Um=150V，負載電阻R=50Ω。求電感電流i和輸出電壓uR。圖7.4.3例7.4.3的電路圖

解

(1)從表7.2.1中查出正弦全波整流電壓的傅立葉級數(shù)為

代入數(shù)據(jù)，且將各正弦量前方符號變?yōu)檎柕?/p>

式中，

ω1=2πf=100πrad/s，表示工頻的角頻率。

(2)分別計算電源電壓的恒定分量和各交流分量引起的響應。

①恒定電壓作用時電感相當于短路，電容相當于開路，故

輸入阻抗為

電感電流相量和瞬時值分別為

輸出電壓相量和瞬時值分別為

③計算單獨作用引起的響應。計算方法同上，但角頻率加倍。

電感電流相量及瞬時值為

輸出電壓相量及有效值為

可見負載電壓中角頻率為4ω1

的諧波有效值僅占恒定電壓的0.0574/95.5≈0.0601%，更高頻率的諧波分量可省略計算。

(3)將恒定分量與各諧波分量相疊加。

將式(3)、(6)和(8)相加得電感電流:

將式(4)、(7)和(9)相加得輸出電壓:

負載電壓uR

(t)中最大的交流分量有效值僅占恒定分量的(1.1693/95.5)×100%≈1.224%，表明這個LC

電路具有濾除交流分量的作用，故稱為濾波電路或濾波器(filter)。其中電感L

起抑止高頻交流的作用，常稱為扼流圈;并聯(lián)電容C

起減小負載電阻上交流電壓的作用，常稱為旁路電容。

所以

7.5非正弦周期電流電路的計算機仿真圖7.5.1例7.5.1的電路圖

電流表和電壓表測的分別是電流、電壓的有效值，功率表測量的是電路的有功功率。

應用Multisim10進行電路仿真:

(1)按照電路圖7.5.1在Multisim中接好電路，取ω=10，則L=1H，

C=0.00111F。觀察各表讀數(shù)，是否與計算值相符。

(2)接入示波器，觀察非正弦周期電流電路的電壓波形及電流波形。

電壓表U2的讀數(shù)為64.294V，電流表U1的讀數(shù)為2.926A，功率表的讀數(shù)為69.523W，如圖7.5.2所示。圖7.5.2例7.5.1的電路圖

習題7題7.1圖

7.1題7.1圖所示電路中L=5H，

C=10μF，負載電阻R=2kΩ，

us

為正弦全波整流波形，設ω1

=314rad/s，