第一章集合核心題型講解

高考數(shù)學第一章集合核心題型講解探究核心題型第二部分例1

(1)(2022·衡水模擬)設集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，則集合A∩B的元素個數(shù)為A.0

B.1

C.2

D.3√如圖，函數(shù)y＝x與y＝x2的圖象有兩個交點，故集合A∩B有兩個元素.題型一集合的含義與表示(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，則實數(shù)a的值為A.1 B.1或0C.0 D.－1或0√∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1時，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互異性；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0時，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應問題.思維升華跟蹤訓練1

(1)(多選)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，則下列四個命題中，錯誤的命題是A.0?M

B.{0}∈MC.{1}?M

D.1?M√√√對于A，因為M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A錯誤；對于B，因為{0}是集合，且0∈M，所以{0}?M，所以B錯誤；對于C，因為1∈M，所以{1}?M，所以C正確；對于D，因為1是元素，1∈M，所以D錯誤.(2)(2023·聊城模擬)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，則集合B中元素的個數(shù)為A.2

B.3

C.4

D.5√因為A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，即集合B中含有4個元素.例2

(1)(2022·宜春質(zhì)檢)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，則下列結(jié)論正確的是A.A＝B

B.A∩B＝?C.A

B

D.B?A√題型二集合間的基本關(guān)系由題設，可得A＝{x|x>2}，又B＝{x|x≥－3}，所以A是B的真子集，故A，B，D錯誤，C正確.(2)設集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，當x∈Z時，集合A的真子集有____個；當B?A時，實數(shù)m的取值范圍是______________________.15(－∞，－2)∪[－1,0]A＝{x|－2≤x≤1}，若x∈Z，則A＝{－2，－1,0,1}，故集合A的真子集有24－1＝15(個).由B?A，得①若B＝?，則2m＋1<m－1，即m<－2，解得－1≤m≤0，綜上，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－2)∪[－1,0].(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.跟蹤訓練2

(1)(多選)已知非空集合M滿足：①M?{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，則x2∈M.則集合M可能是A.{－1,1} B.{－1,1,2,4}C.{1} D.{1，－2,2}√由題意可知3?M且4?M，而－2或2與4同時出現(xiàn)，所以－2?M且2?M，所以滿足條件的非空集合M有{－1,1}，{1}.√(2)函數(shù)f(x)＝

的定義域為A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是_______________________.(－∞，－3]∪[5，＋∞)由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，即A＝{x|x≥3或x≤－1}.∵B?A，顯然B≠?，∴4－a≤－1或－a≥3，解得a≥5或a≤－3，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]∪[5，＋∞).命題點1集合的運算例3

(1)(2021·全國乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T等于A.?

B.S C.T D.Z題型三集合的基本運算√方法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，則t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T?S，所以S∩T＝T.方法二

S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，觀察可知，T?S，所以S∩T＝T.(2)設全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝

}，則圖中陰影部分表示的集合為A.{x|x≤－2} B.{x|x>－2}C.{x|x≥4}

D.{x|x≤4}√觀察Venn圖，可知陰影部分的元素由屬于B而不屬于A的元素構(gòu)成，所以陰影部分表示的集合為(?UA)∩B.∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，∴?UA＝{x|x<－2或x≥4}，又B＝{x|y＝

}?B＝{x|x≥－2}，∴(?UA)∩B＝{x|x≥4}.命題點2利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)例4

(2023·衡水模擬)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(?RA)∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍為A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，1]由題可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}，?RA＝{x|x≤－1或x≥1}，所以由(?RA)∪B＝R，得a≥1.√對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.跟蹤訓練3

(1)(2022·全國甲卷)設全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，則?U(A∪B)等于A.{1,3} B.{0,3}C.{－2,1} D.{－2,0}√由題意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以?U(A∪B)＝{－2,0}.故選D.(2)(2023·駐馬店模擬)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，則a的取值范圍是A.[1,4) B.(1,4)C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)√由題意可得A＝{x|1<x<4}.因為A∪B＝{x|x>1}，所以1≤a<4.例5

(1)(多選)當一個非空數(shù)集F滿足條件“若a，b∈F，則a＋b，a－b，ab∈F，且當b≠0時，

∈F”時，稱F為一個數(shù)域，以下說法正確的是A.0是任何數(shù)域的元素B.若數(shù)域F有非零元素，則2023∈FC.集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}為數(shù)域D.有理數(shù)集為數(shù)域題型四集合的新定義問題√√√對于A，若a∈F，則a－a＝0∈F，故A正確；(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A?M，集合A中所有元素的乘積稱為集合A的“累積值”，且規(guī)定：當集合A只有一個元素時，其累積值即為該元素的數(shù)值，空集的累積值為0.設集合A的累積值為n.①若n＝3，則這樣的集合A共有________個；2若n＝3，據(jù)“累積值”的定義得A＝{3}或A＝{1,3}，這樣的集合A共有2個；②若n為偶數(shù)，則這樣的集合A共有________個.13因為集合M的子集共有24＝16(個)，其中“累積值”為奇數(shù)的子集為{1}，{3}，{1,3}，共3個，所以“累積值”為偶數(shù)的集合共有13個.解決集合新定義問題的關(guān)鍵解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目所給定義和要求進行恰當轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.跟蹤訓練4設集合U＝{2,3,4}，對其子集引進“勢”的概念：①空集的“勢”最??；②非空子集的元素越多，其“勢